1.8: (Opcional) — Hacer que los límites infinitos sean un poco más formales
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Para aquellos de ustedes que lo hicieron a través de la\(\epsilon-\delta\) definición formal de límites les damos la definición formal de límites que involucran infinidad:
- Dejar\(f\) ser una función definida en toda la línea real. Decimos que
el límite como\(x\) enfoques\(\infty\) de\(f(x)\) es\(L\)
o equivalentemente
\(f(x)\)converge a\(L\) lo que\(x\) va a\(\infty\)
y escribir
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} f (x) &= L\ end {alinear*}
si y solo si por cada\(\epsilon \gt 0\) existe para\(M \in \mathbb{R}\) que\(|f(x)-L| \lt \epsilon\) siempre que\(x \gt M\text{.}\)
Del mismo modo escribimos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ to -\ infty} f (x) &= K\ end {alinear*}
si y solo si por cada\(\epsilon \gt 0\) existe para\(N \in \mathbb{R}\) que\(|f(x)-K| \lt \epsilon\) siempre que\(x \lt N\text{.}\)
- Dejar\(a\) ser un número real y\(f(x)\) ser una función definida para todos\(x\ne a\text{.}\) Escribimos
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \nonumber \]
si y solo si por cada\(P \gt 0\) existe para\(\delta\gt 0\) que\(f(x) \gt P\) siempre que\(0\lt |x-a|\lt \delta\text{.}\) - Dejar\(f\) ser una función definida en toda la línea real. Escribimos
\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \nonumber \]
si y solo si por cada\(P \gt 0\) existe para\(M\gt 0\) que\(f(x) \gt P\) siempre que\(x \gt M\text{.}\)
Tenga en cuenta que podemos aflojar los requisitos anteriores en el dominio de definición de\(f\) — por ejemplo, en la parte (a) todo lo que realmente requerimos es que\(f(x)\) se defina para todos\(x\) mayores que algún valor. Sería suficiente exigir “hay algunos para\(x_0 \in \mathbb{R}\) que\(f\) se defina para todos\(x \gt x_0\)”. También tenga en cuenta que hay variaciones obvias de las partes (b) y (c) con\(\infty\) reemplazadas por\(-\infty\text{.}\)
Para la completitud probemos el Teorema 1.5.3 usando esta definición de forma. El trazado de la prueba será muy similar a nuestra prueba del Teorema 1.4.1.
- Prueba
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Prueba de Teorema 1.5.3.
Hay cuatro límites para probar en total y hacemos cada uno a su vez. Vamos\ (c\ in\ mathbb {R}\ text { . }\
- Deje\(\epsilon \gt 0\) y establezca\(f(x)=c\text{.}\) Elija\(M=0\text{,}\) entonces para cualquier\(x\) satisfacción\(x \gt M\) (o de hecho cualquier número real\(x\) en absoluto) tenemos\(|f(x)-c| = 0 \lt \epsilon\text{.}\) Por lo tanto,\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} c = c\) según sea necesario.
- La prueba que\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} c = c\) es casi idéntica. De nuevo, deja\(\epsilon \gt 0\) y establece\(f(x)=c\text{.}\) Elige\(N=0\text{,}\) entonces para cualquier\(x\) satisfacción\(x \lt N\) que tengamos\(|f(x)-c| = 0 \lt \epsilon\text{.}\) Por lo tanto,\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} c = c\) según sea necesario.
- Dejar\(\epsilon \gt 0\) y establecer\(f(x)=x\text{.}\) Elegir\(M = \frac{1}{\epsilon}\text{.}\) Entonces cuando\(x \gt M\) tengamos\ begin {align*} 0\ lt M &\ lt x &\ text {dividir por $xM$ para obtener}\\ 0\ lt\ frac {1} {x} &\ lt\ frac {1} {M} =\ epsilon\ end {align*} Ya que\(x \gt 0\text{,}\)\(\frac{1}{x} = |\frac{1}{x}| = |\frac{1}{x} - 0| \lt \epsilon\) según sea necesario.
- Nuevamente, la prueba en el límite a\(-\infty\) es similar pero hay que tener cuidado con las señales. Dejar\(\epsilon \gt 0\) y establecer\(f(x)=x\text{.}\) Elegir\(N = -\frac{1}{\epsilon}\text{.}\) Entonces cuando\(x \lt N\) tengamos\ begin {align*} 0\ gt N &\ gt x &\ text {dividir por $xn$ para obtener}\\ 0\ gt\ frac {1} {x} &\ gt\ frac {1} {N} = -\ epsilon\ end {align*} Observe que por suposición\(x,N \lt 0\text{,}\) tanto\(xN \gt 0\text{.}\) ahora desde\(x \lt 0\text{,}\) \(\frac{1}{x} = -|\frac{1}{x}| = |\frac{1}{x} - 0| \lt \epsilon\)según sea necesario.
Esto completa la prueba.