Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.8: (Opcional) — Hacer que los límites infinitos sean un poco más formales

  • Page ID
    118225
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    Para aquellos de ustedes que lo hicieron a través de la\(\epsilon-\delta\) definición formal de límites les damos la definición formal de límites que involucran infinidad:

    Definición 1.8.1 Límites que involucran infinito — formal.

    1. Dejar\(f\) ser una función definida en toda la línea real. Decimos que

      el límite como\(x\) enfoques\(\infty\) de\(f(x)\) es\(L\)

      o equivalentemente

      \(f(x)\)converge a\(L\) lo que\(x\) va a\(\infty\)

      y escribir

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} f (x) &= L\ end {alinear*}

      si y solo si por cada\(\epsilon \gt 0\) existe para\(M \in \mathbb{R}\) que\(|f(x)-L| \lt \epsilon\) siempre que\(x \gt M\text{.}\)

      Del mismo modo escribimos

      \ begin {align*}\ lim_ {x\ to -\ infty} f (x) &= K\ end {alinear*}

      si y solo si por cada\(\epsilon \gt 0\) existe para\(N \in \mathbb{R}\) que\(|f(x)-K| \lt \epsilon\) siempre que\(x \lt N\text{.}\)

    2. Dejar\(a\) ser un número real y\(f(x)\) ser una función definida para todos\(x\ne a\text{.}\) Escribimos

      \[ \lim_{x \to a} f(x) = \infty \nonumber \]

      si y solo si por cada\(P \gt 0\) existe para\(\delta\gt 0\) que\(f(x) \gt P\) siempre que\(0\lt |x-a|\lt \delta\text{.}\)
    3. Dejar\(f\) ser una función definida en toda la línea real. Escribimos

      \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \nonumber \]

      si y solo si por cada\(P \gt 0\) existe para\(M\gt 0\) que\(f(x) \gt P\) siempre que\(x \gt M\text{.}\)

    Tenga en cuenta que podemos aflojar los requisitos anteriores en el dominio de definición de\(f\) — por ejemplo, en la parte (a) todo lo que realmente requerimos es que\(f(x)\) se defina para todos\(x\) mayores que algún valor. Sería suficiente exigir “hay algunos para\(x_0 \in \mathbb{R}\) que\(f\) se defina para todos\(x \gt x_0\)”. También tenga en cuenta que hay variaciones obvias de las partes (b) y (c) con\(\infty\) reemplazadas por\(-\infty\text{.}\)

    Para la completitud probemos el Teorema 1.5.3 usando esta definición de forma. El trazado de la prueba será muy similar a nuestra prueba del Teorema 1.4.1.

    Prueba

    Prueba de Teorema 1.5.3.

    Hay cuatro límites para probar en total y hacemos cada uno a su vez. Vamos\ (c\ in\ mathbb {R}\ text { . }\

    • Deje\(\epsilon \gt 0\) y establezca\(f(x)=c\text{.}\) Elija\(M=0\text{,}\) entonces para cualquier\(x\) satisfacción\(x \gt M\) (o de hecho cualquier número real\(x\) en absoluto) tenemos\(|f(x)-c| = 0 \lt \epsilon\text{.}\) Por lo tanto,\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} c = c\) según sea necesario.
    • La prueba que\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} c = c\) es casi idéntica. De nuevo, deja\(\epsilon \gt 0\) y establece\(f(x)=c\text{.}\) Elige\(N=0\text{,}\) entonces para cualquier\(x\) satisfacción\(x \lt N\) que tengamos\(|f(x)-c| = 0 \lt \epsilon\text{.}\) Por lo tanto,\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty} c = c\) según sea necesario.
    • Dejar\(\epsilon \gt 0\) y establecer\(f(x)=x\text{.}\) Elegir\(M = \frac{1}{\epsilon}\text{.}\) Entonces cuando\(x \gt M\) tengamos\ begin {align*} 0\ lt M &\ lt x &\ text {dividir por $xM$ para obtener}\\ 0\ lt\ frac {1} {x} &\ lt\ frac {1} {M} =\ epsilon\ end {align*} Ya que\(x \gt 0\text{,}\)\(\frac{1}{x} = |\frac{1}{x}| = |\frac{1}{x} - 0| \lt \epsilon\) según sea necesario.
    • Nuevamente, la prueba en el límite a\(-\infty\) es similar pero hay que tener cuidado con las señales. Dejar\(\epsilon \gt 0\) y establecer\(f(x)=x\text{.}\) Elegir\(N = -\frac{1}{\epsilon}\text{.}\) Entonces cuando\(x \lt N\) tengamos\ begin {align*} 0\ gt N &\ gt x &\ text {dividir por $xn$ para obtener}\\ 0\ gt\ frac {1} {x} &\ gt\ frac {1} {N} = -\ epsilon\ end {align*} Observe que por suposición\(x,N \lt 0\text{,}\) tanto\(xN \gt 0\text{.}\) ahora desde\(x \lt 0\text{,}\) \(\frac{1}{x} = -|\frac{1}{x}| = |\frac{1}{x} - 0| \lt \epsilon\)según sea necesario.

    Esto completa la prueba.


    This page titled 1.8: (Opcional) — Hacer que los límites infinitos sean un poco más formales is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.