2.8: Derivadas de las Funciones Trigonométricas
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Ahora vamos a calcular las derivadas de las diversas funciones trigonométricas,\(\sin x\text{,}\)\(\cos x\) y así sucesivamente. Los cómputos están más involucrados que los demás que hemos hecho hasta ahora y darán varios pasos. Afortunadamente, las respuestas finales serán muy sencillas.
Observe que solo necesitamos elaborar las derivadas de\(\sin x\) y\(\cos x\text{,}\) ya que las otras funciones trigonométricas son realmente solo cocientes de estas dos funciones. Recordar:
\ begin {alinear*}\ tan x &=\ frac {\ sin x} {\ cos x} &\ cot x &=\ frac {\ cos x} {\ sin x} &\ csc x &=\ frac {1} {\ sin x} &\ seg x &=\ frac {1} {\ cos x}. \ end {alinear*}
Los primeros pasos para computar los derivados de\(\sin x, \cos x\) es encontrar sus derivados en\(x=0\text{.}\) Los derivados en puntos generales\(x\) seguirán rápidamente a partir de estos, utilizando identidades trigonométricas. Es importante señalar que debemos medir ángulos en radianes 1, más que grados, en lo que sigue. En efecto — a menos que se indique explícitamente lo contrario, cualquier número que se ponga en una función trigonométrica se mide en radianes.
Estas Pruebas son Opcionales, los Resultados No lo son.
Si bien esperamos que lea y siga estas pruebas, no esperamos que pueda reproducirlas. Se le requerirá conocer los resultados, en particular el Teorema 2.8.5 a continuación.
Paso 1:\(\mathbf{\dfrac{d}{dx} \{ \sin x \} \big|_{x=0}}\)
Por definición, la derivada de\(\sin x\) evaluada at\(x=0\) es
\ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dx}\ {\ sin x\}\ Big|_ {x=0} =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {\ sin h-\ sin 0} {h} =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {\ sin h} {h}\ end {reunir*}
Demostraremos este límite mediante el uso del teorema squeeze (Teorema 1.4.18). Para llegar ahí primero tendremos que hacer algo de geometría. Pero primero vamos a construir algo de intuición.
La siguiente figura contiene parte de un círculo de radio 1. Recordemos que un arco de longitud\(h\) en dicho círculo subtiende un ángulo de\(h\) radianes en el centro del círculo. Entonces el arco oscurecido en la figura tiene longitud\(h\) y la línea vertical oscurecida en la figura tiene longitud\(\sin h\text{.}\) Debemos determinar qué sucede con la relación de las longitudes de la línea vertical oscurecida y el arco oscurecido como\(h\) tiende a cero.
Aquí hay una versión ampliada de la parte de la figura anterior que contiene el arco oscurecido y la línea vertical.
Esta figura particular ha sido dibujada con\(h=.4\) radianes. Aquí hay tres explosiones más de este tipo. En cada figura sucesiva, el valor de\(h\) es menor. Para que las cifras fueran más claras, el grado de aumento se incrementó cada vez\(h\) que se disminuía.
A medida que hacemos cada vez más\(h\) pequeños y miramos la figura con aumentos cada vez mayores, el arco de longitud\(h\) y la línea vertical de longitud\(\sin h\) se parecen cada vez más. Supondríamos de esto que
\[ \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin h}{h}=1 \nonumber \]
Las siguientes tablas de valores
| \(h\) | \(\sin h\) | \(\tfrac{\sin h}{h}\) |
| 0.4 | .3894 | .9735 |
| 0.2 | .1987 | .9934 |
| 0.1 | .09983 | .9983 |
| 0.05 | .049979 | .99958 |
| 0.01 | .00999983 | .999983 |
| 0.001 | .0099999983 | .9999983 |
| h | \(\sin h\) | \(\tfrac{\sin h}{h}\) |
| \(-0.4\) | \(-.3894\) | .9735 |
| \(-0.2\) | \(-.1987\) | .9934 |
| \(-0.1\) | \(-.09983\) | .9983 |
| \(-0.05\) | \(-.049979\) | .99958 |
| \(-0.01\) | \(-.00999983\) | .999983 |
| \(-0.001\) | \(-.0099999983\) | .9999983 |
sugiere la misma suposición. Aquí hay un argumento que demuestra que la conjetura es realmente correcta.
Prueba de que\(\mathbf{\lim\limits_{h\rightarrow 0}\tfrac{\sin h}{h}=1}\)
El círculo en la figura anterior tiene radio\(1\text{.}\) Por lo tanto
\ begin {alinear*} |OP|=|OR|&=1 & |PS|&=\ sin h\\ |OS|&=\ cos h & |QR|&=\ tan h\ end {alinear*}
Ahora podemos usar algunos hechos geométricos sobre esta figura para establecer tanto un límite superior como un límite inferior\(\frac{\sin h}{h}\) con ambos los límites superior e inferior tendiendo a\(1\) como\(h\) tiende a\(0\text{.}\) Así que el teorema de squeeze nos dirá que\(\frac{\sin h}{h}\) también tiende a\(1\) como\(h\) tiende a\(0\text{.}\)
- El triángulo\(OPR\) tiene base\(1\) y altura\(\sin h\text{,}\) y por lo tanto
\ begin {alinear*}\ texto {área de}\ triángulo OPR &=\ frac {1} {2}\ tiempos1\ veces\ sin h=\ frac {\ sin h} {2}. \ end {alinear*}
- El triángulo\(OQR\) tiene base\(1\) y altura\(\tan h\text{,}\) y por lo tanto
\ begin {alinear*}\ texto {área de}\ triángulo OQR &=\ frac {1} {2}\ tiempos1\ veces\ tan h=\ frac {\ tan h} {2}. \ end {alinear*}
- El “trozo de pastel”\(OPR\) cortado del círculo es la fracción\(\frac{h}{2\pi}\) de todo el círculo (ya que el ángulo en la esquina de la pieza de pastel es\(h\) radianes y el ángulo para todo el círculo es\(2\pi\) radianes). Como el círculo tiene radio\(1\) tenemos
\ begin {alinear*}\ texto {área de pastel} OPR &=\ frac {h} {2\ pi}\ cdot (\ texto {área del círculo}) =\ frac {h} {2\ pi}\ pi\ cdot 1^2=\ frac {h} {2}\ end {align*}
Ahora el triángulo\(OPR\) está contenido dentro del trozo de pastel\(OPR\text{.}\) y así el área del triángulo es más pequeña que el área del trozo de pastel. De igual manera, el trozo de pastel\(OPR\) está contenido dentro del triángulo\(OQR\text{.}\) Así tenemos
\ begin {reunir*}\ texto {área del triángulo} OPR\ leq\ texto {área de pastel} OPR\ leq\ texto {área del triángulo} OQR\ end {reunir*}
Sustituir en las áreas que elaboramos da
\ begin {alinear*}\ frac {\ sin h} {2} &\ leq\ frac {h} {2}\ leq\ frac {\ tan h} {2}\\\ end {alinear*}
que limpia para dar
\ comenzar {alinear*}\ sin h &\ leq h\ leq\ frac {\ sin h} {\ cos h}\ fin {alinear*}
Reescribimos estas dos desigualdades para que\(\frac{\sin h}{h}\) aparezca en ambas.
- Ya\(\sin h \leq h\text{,}\) que tenemos eso\(\displaystyle \frac{\sin h}{h} \leq 1\text{.}\)
- Ya\(\displaystyle h \leq \frac{\sin h}{\cos h}\) que tenemos eso\(\displaystyle \cos h \leq \frac{\sin h}{h}\text{.}\)
Así llegamos a la desigualdad “exprimible”
\ comenzar {reunir*}\ cos h\ leq\ frac {\ sin h} {h}\ leq 1\ fin {reunir*}
Sabemos 2 que
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ cos h &=1. \ end {alinear*}
Ya que\(\tfrac{\sin h}{h}\) está intercalado entre\(\cos h\) y 1, podemos aplicar el teorema squeeze para límites (Teorema 1.4.18) para deducir el siguiente lema:
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ sin h} {h} &= 1. \ end {alinear*}
Dado que este argumento requirió un poco de trabajo, quizás deberíamos recordarnos por qué lo necesitábamos en primer lugar. Estábamos computando
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ {\ sin x\}\ Big|_ {x=0} &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ sin h -\ sin 0} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ sin h} {h} &\ text {(¡Por eso!)} \\ &= 1\ final {alinear*}
Esto concluye el Paso 1. Ahora sabemos que\(\dfrac{d}{dx}\sin x\big|_{x=0}=1\text{.}\) Los pasos restantes son más fáciles.
Paso 2:\(\mathbf{\dfrac{d}{dx} \{ \cos x \} \big|_{x=0}}\)
Por definición, la derivada de\(\cos x\) evaluada at\(x=0\) es
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ cos h-\ cos 0} {h} &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ cos h - 1} {h}\ end {alinear*}
Afortunadamente no tenemos que atravesar la geometría como hicimos para el paso anterior. En su lugar podemos reciclar nuestro trabajo y masajear el límite anterior para reescribirlo en términos de expresiones que involucran\(\frac{\sin h}{h}\text{.}\) Gracias a Lemma 2.8.1 el trabajo es entonces fácil.
Te mostraremos dos formas de proceder: una usa un método similar a “multiplicar por el conjugado” que ya hemos usado varias veces (ver Ejemplo 1.4.17 y 2.2.9), mientras que la otra usa un buen truco que involucra la fórmula de doble ángulo 3.
Método 1 — Multiplicar por el “Conjugado”
Comienza multiplicando la expresión dentro del límite por 1, escrita como\(\displaystyle \frac{\cos h + 1}{\cos h +1}\text{:}\)
\ begin {align*}\ frac {\ cos h - 1} {h} &=\ frac {\ cos h - 1} {h}\ cdot\ frac {\ cos h + 1} {\ cos h +1}\\ &=\ frac {\ cos^2 h - 1} {h (1+\ cos h)} &&\ text {$\ big ($desde $ (a-b) (a+b) =a^2-b^2\ grande) $}\\ &= -\ frac {\ sin^2 h} {h (1+\ cos h)} &&\ text {(desde $\ sin^2 h +\ cos^2 h=1$)}\\ &= -\ frac {\ sin h} {h} \ cdot\ frac {\ sin h} {1 +\ cos h}\ end {alinear*}
Ahora podemos tomar el límite como\(h \to 0\) vía Lemma 2.8.1.
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ cos h - 1} {h} &=\ lim_ {h\ a 0}\ izquierda (\ frac {-\ sin h} {h}\ cdot\ frac {\ sin h} {1 +\ cos h}\ derecha)\\ &= -\ lim_ {h\ a 0}\ izquierda (\ frac ac {\ sin h} {h}\ derecha)\ cdot\ lim_ {h\ to0}\ izquierda (\ frac {\ sin h} {1 +\ cos h}\ derecha)\\ &= - 1\ cdot\ frac {0} {2}\\ &= 0\ end {align*}
Método 2: a través de la fórmula de doble ángulo
La otra forma implica la fórmula de doble ángulo 4,
\ begin {reunir*}\ cos 2\ theta = 1 - 2\ sin^2 (\ theta)\ qquad\ text {o}\ qquad\ cos 2\ theta -1 = - 2\ sin^2 (\ theta)\ end {reunir*}
Configuración\(\theta = h/2\text{,}\) que tenemos
\ begin {alinear*}\ frac {\ cos h - 1} {h} &=\ frac {-2\ grande (\ sin\ tfrac {h} {2}\ grande) ^2} {h}\\ final {alinear*}
Ahora esto empieza a parecerse\(\frac{\sin h?}{h}\text{,}\) excepto que dentro de la\(\sin(\cdot)\) tenemos\(h/2\text{.}\) Así, configurando\(\theta =h/2\text{,}\)
\ begin {alinear*}\ frac {\ cos h - 1} {h} &= -\ frac {\ sin^2\ theta} {\ theta} = -\ theta\ cdot\ frac {\ sin^2\ theta} {\ theta} {\ theta}\ &= -\ theta\ cdot\ frac {\ sin\ theta} {\ theta} cdot\ frac {\ sin\ theta} {\ theta}\ final {alinear*}Cuando tomamos el límite ya\(h \to 0\text{,}\) que también estamos tomando el límite como\(\theta=h/2 \to 0\text{,}\) y así
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ cos h - 1} {h} &=\ lim_ {\ theta\ a 0}\ left [-\ theta\ cdot\ frac {\ sin\ theta} {\ theta}\ cdot\ frac {\ sin\ theta} {\ theta}\ derecha]\\ &=\ lim_ {\ theta\ a 0}\ izquierda [-\ theta\ derecha]\ cdot\ lim_ {\ theta\ a 0}\ izquierda [\ frac {\ sin\ theta} {\ theta}\ derecha]\ cdot\ lim_ {\ theta\ a 0}\ izquierda [\ frac {\ sin\ theta} {\ theta}\ derecha]\\ &= 0\ cdot 1\ cdot 1\\ &= 0\ end {align*}
donde hemos utilizado el hecho de que\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\) y que el límite de un producto es producto de límites (i.e. Lema 2.8.1 y Teorema 1.4.3).
Así que ahora hemos producido dos pruebas del siguiente lema:
\ begin {align*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ cos h -1} {h} &= 0\ end {align*}
Nuevamente, ha habido un poco de trabajo para llegar hasta aquí, así que debemos recordarnos por qué lo necesitábamos. Estábamos computando
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ {\ cos x\}\ Big|_ {x=0} &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ cos h -\ cos 0} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {\ cos h - 1} {h}\\ &= 0\ end {align*}
Armados con estos resultados ahora podemos construir las derivadas de seno y coseno.
Paso 3:\(\dfrac{d}{dx} \{ \sin x \}\) and \(\dfrac{d}{dx} \{ \cos x\}\) for General \(x\)
Para proceder a las derivadas generales de\(\sin x\) y\(\cos x\) vamos a utilizar los dos resultados anteriores y un par de identidades trigonométricas. Recuerda las fórmulas de adición 5
\ comenzar {alinear*}\ sin (a+b) &=\ sin (a)\ cos (b) +\ cos (a)\ sin (b)\\ cos (a+b) &=\ cos (a)\ cos (b) -\ sin (a)\ sin (b)\ fin {alinear*}
Para calcular la derivada de solo\(\sin(x)\) partimos de la definición de la derivada:
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ sin x &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ sin (x+h) -\ sin x} {h}\\ &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x\ cos h +\ cos x\ sin h-\ sin x} {h}\\ =\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ bigg [\ sin x\ frac {\ cos h-1} {h} +\ cos x\ frac {\ sin h-0} {h}\ bigg]\\ &=\ sin x\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ cos h-1} {h}\ + \\ cos x\\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ sin h-0} {h}\\ &=\ sin x\\ underbrackets {\ bigg [\ dfrac {d} {dx}\ cos x\ bigg] _ {x=0} _ {=0} _ {=0}\ +\ cos x\\ understrace {\ bigg [\ dfrac {d} {dx}\ sin x\ bigg] _ {x=0}} _ {=1}\\ &=\ cos x\ final {alinear*}
El cálculo de la derivada de\(\cos x\) es muy similar.
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ cos x &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ cos (x+h) -\ cos x} {h}\\ &=\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ cos x\ cos h -\ sin x\ sin h-\ cos x} {h}\ =\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ bigg [\ cos x\ frac {\ cos h-1} {h} -\ sin x\ frac {\ sin h-0} {h}\ bigg]\\ &=\ cos x\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ cos h-1} {h}\ - \\ sin x\ lim_ {h\ fila derecha 0}\ frac {\ sin h-0} {h}\\ &=\ cos x\\ underbrackets {\ bigg [\ dfrac {d} {dx}\ cos x\ bigg] _ {x=0} _ {=0} _ {=0}\ -\ sin x\ underbrackets {\ bigg [\ dfrac {d} {dx}\ sin x\ bigg] _ {x=0}} _ {=1}\\ &=-\ sin x\ fin {alinear*}
Ahora hemos encontrado los derivados de ambos\(\sin x\) y\(\cos x\text{,}\) siempre que\(x\) se mide en radianes.
\ comenzar {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ sin x &=\ cos x &\ dfrac {d} {dx}\ cos x &=-\ sin x\ fin {alinear*}
Las fórmulas anteriores mantenidas\(x\) se miden en radianes.
Estas fórmulas son bastante fáciles de recordar, aplicándose\(\dfrac{d}{dx}\) a\(\sin x\) y\(\cos x\) solo intercambios\(\sin x\) y a\(\cos x\text{,}\) excepción del signo menos 6 en la derivada de\(\cos x\text{.}\)
Nosotros remarcamos que, una vez que se sabe que\(\dfrac{d}{dx}\sin x =\cos x\text{,}\) es fácil de usar y la identidad trigonométrica\(\cos(x) = \sin\big(\frac{\pi}{2}-x\big)\) para derivar\(\dfrac{d}{dx}\cos x =-\sin x\text{.}\) Aquí es como 7.
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ cos x &=\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {\ cos (x+h) -\ cos x} {h} =\ lim_ {h\ rightarrow 0}\ frac {\ sin\ grande (\ frac {\ pi} {2} -x-h) -\ sin\ grande (\ frac {\ pi} {2} -x-h) -\ sin\ grande (\ frac {\ pi} {2} -x-h ac {\ pi} {2} - x\ grande)} {h}\\ &=-\ lim_ {h'\ fila derecha 0}\ frac {\ sin\ grande (x'+h') -\ sin (x')} {h'}\ qquad\ texto {con} x'=\ tfrac {\ pi} {2} -x,\ h'=-h\ &=-\ dfrac {d} {dx'}\ sin x'\ Big|_ {x'=\ tfrac {\ pi} {2} -x} =-\ cos\ grande (\ tfrac {\ pi} {2} - x\ grande)\\ &=-\ sin x\ fin {alinear*}
Tenga en cuenta que si\(x\) se mide en grados, entonces las fórmulas de Lemma 2.8.3 están equivocadas. Hay fórmulas similares, pero necesitamos la regla de la cadena para construirlas —ese es el tema de la siguiente sección. Pero primero debemos encontrar las derivadas de las otras funciones trigonométricas.
Paso 4: las funciones trigonométricas restantes
Ahora es fácil obtener las derivadas de las funciones trigonométricas restantes utilizando identidades trigonométricas básicas y la regla del cociente. Recuerda 8 que
\ begin {align*}\ tan x&=\ frac {\ sin x} {\ cos x} &\ cot x &=\ frac {\ cos x} {\ sin x} =\ frac {1} {\ tan x}\\ csc x&=\ frac {1} {\ sin x} &\ sec x &=\ frac {1} {\ cos x}\ end {alinear*}
Entonces, por la regla del cociente,
\ begin {alignat*} {3}\ dfrac {d} {dx}\ tan x &=\ dfrac {d} {dx}\,\ frac {\ sin x} {\ cos x} & &=\ frac {\ overbrackets {\ big ({\ dfrac {d} {dx}}\ sin x\ big)} ^ {\ cos x}\ cos x -\ sin x\ overbrackets {\ grande ({\ dfrac {d} {dx}\ cos x}\ grande)} ^ {-\ sin x}} {\ cos^2 x} & &=\ seg^2 x\\ dfrac {d} {dx}\,\ csc x &=\ dfrac {d} {dx}\,\ frac {1} {\ sin x } & &=-\ frac {\ overbrackets {\ big ({\ dfrac {d} {dx}}\ sin x\ grande)} ^ {\ cos x}} {\ sen ^2 x} & &=-\ csc x\ cuna x\\ dfrac {d} {dx}\,\ seg x &=\ dfrac {d} {dx}\,\ frac {1} {\ cos x} & &=-\ frac {\ overbrackets {\ big ({\ dfrac {d} {dx}}\ cos x\ big)} ^ {-\ sin x}} {\ cos^2 x} & &=\ seg x\ tan x\\ dfrac {d} {dx}\ cuna x &=\ dfrac {d} {dx}\,\ frac {\ cos x} {\ sin x} & &=\ frac {\ overbrackets {\ grande ({\ dfrac {d} {dx}}\ cos x\ grande)} ^ {-\ sin x}\ sin x -\ cos x\ overbrackets
Callstack:
at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/03:_Derivados/3.08:_Derivadas_de_las_Funciones_Trigonométricas), /content/body/div[6]/p[4]/span, line 1, column 1
Resumen
Para resumir todo este trabajo, podemos redactarlo como teorema:
Los derivados de\(\sin x\) y\(\cos x\) son
\ comenzar {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ sin x &=\ cos x &\ dfrac {d} {dx}\ cos x &= -\ sin x\ fin {alinear*}
En consecuencia, las derivadas de las otras funciones trigonométricas son
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ tan x &=\ seg^2 x &\ dfrac {d} {dx}\ cot x &= -\ csc^2 x\\\ dfrac {d} {dx}\ csc x &= -\ csc x\ cuna x &\ dfrac {d} {dx}\ seg x &=\ seg x\ tan x\ final {alinear*}
De estos 6 derivados realmente deberías memorizar los de seno, coseno y tangente. Sin duda esperamos que pueda resolver los de cotangente, cosecante y secante.
Ejercicios
Etapa 1
Grafica seno y coseno en los mismos ejes, de\(x=-2\pi\) a\(x=2\pi\text{.}\) Marcar los puntos donde\(\sin x\) tiene una tangente horizontal. ¿A qué corresponden estos puntos, en la gráfica del coseno?
Gráfica seno y coseno en los mismos ejes, de\(x=-2\pi\) a\(x=2\pi\text{.}\) Marcar los puntos donde\(\sin x\) tiene una línea tangente de pendiente máxima (positiva). ¿A qué corresponden estos puntos, en la gráfica del coseno?
Etapa 2
Diferenciar\(f(x)=\sin x + \cos x +\tan x\text{.}\)
\(x\)¿Para qué valores de la función\(f(x)=\sin x + \cos x\) tiene una tangente horizontal?
Diferenciar\(f(x)=\sin^2 x + \cos^2 x\text{.}\)
Diferenciar\(f(x)=2\sin x \cos x\text{.}\)
Diferenciar\(f(x)=e^x\cot x\text{.}\)
Diferenciar\(f(x) = \dfrac{2\sin x + 3 \tan x}{\cos x + \tan x}\)
Diferenciar\(f(x) = \dfrac{5\sec x+1}{e^x}\text{.}\)
Diferenciar\(f(x)=(e^x+\cot x)(5x^6-\csc x)\text{.}\)
Diferenciar\(f(\theta)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)\text{.}\)
Diferenciar\(f(x)=\sin(-x)+\cos(-x)\text{.}\)
Diferenciar\(s(\theta)=\dfrac{\cos \theta + \sin \theta}{\cos \theta - \sin\theta}\text{.}\)
Encuentra los valores de las constantes\(a\) y\(b\) para las cuales
\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \cos(x) & x\le 0\\ ax + b & x \gt 0\end{array} \right. \nonumber \]
es diferenciable en todas partes.
Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(y=\cos(x)+2x\) at\(x=\dfrac{\pi}{2}\text{.}\)
Etapa 3
Evaluar\(\displaystyle \lim_{x\to \pi/3}\left( \dfrac{\cos(x)-1/2}{x-\pi/3}\right).\) Utilice cualquier método.
Muestra cómo puedes usar la regla del cociente para encontrar la derivada de tangente, si ya conoces las derivadas de seno y coseno.
La derivada de la función
\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} ax+b& \mbox{for }x \lt 0\\ \frac{6\cos x}{2+\sin x+\cos x}& \mbox{for }x\ge 0 \end{array}\right. \nonumber \]
existe para todos\(x\text{.}\) Determinar los valores de las constantes\(a\) y\(b\text{.}\)
¿Para qué valores de\(x\)\(f(x) = \tan x\) existe la derivada de?
¿Para qué valores de\(x\)\(\dfrac{10\sin(x)}{x^2+x-6}\) existe el derivado de? Explica tu respuesta.
¿Para qué valores de\(x\)\(\dfrac{x^2+6x+5}{\sin(x)}\) existe el derivado de? Explica tu respuesta.
Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(y=\tan(x)\) at\(x=\dfrac{\pi}{4}\text{.}\)
Encuentra la ecuación de la línea tangente a la gráfica de\(y=\sin(x)+\cos(x)+e^x\) at\(x=0\text{.}\)
\(x\)¿Para qué valores de la función\(f(x)=e^x\sin x\) tiene una línea tangente horizontal?
Let
\[ f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{\sin x}{x}&,&x \neq 0\\ 1&,&x=0 \end{array}\right. \nonumber \]
Encuentra\(f'(0)\text{,}\) o demuestra que no existe.
Diferenciar la función
\[ h(x) = \sin(|x|) \nonumber \]
y dar el dominio donde existe el derivado.
Para la función
\[ f(x) =\left\{\begin{array}{ll} 0 & x\le 0\\ \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}} & x \gt 0\end{array}\right. \nonumber \]
¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
- \(f\)está indefinido en\(x = 0\text{.}\)
- \(f\)no es continuo ni diferenciable en\(x = 0\text{.}\)
- \(f\)es continuo pero no diferenciable en\(x = 0\text{.}\)
- \(f\)es diferenciable pero no continuo en\(x = 0\text{.}\)
- \(f\)es tanto continuo como diferenciable en\(x = 0\text{.}\)
Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sin x^{27}+2x^5 e^{x^{99}}}{\sin^5 x}\text{.}\)