2.14: Derivados de orden superior
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La operación de diferenciación toma como entrada una función,\(f(x)\text{,}\) y produce como salida otra función,\(f'(x)\text{.}\) Ahora\(f'(x)\) es una vez más una función. Entonces podemos diferenciarlo de nuevo, asumiendo que es diferenciable, para crear una tercera función, llamada la segunda derivada de\(f\text{.}\) Y podemos volver a diferenciar la segunda derivada para crear una cuarta función, llamada la tercera derivada de\(f\text{.}\) Y así sucesivamente.
- \(f''(x)\)y\(f^{(2)}(x)\) y\(\frac{\mathrm{d} ^{2}}{\mathrm{d} x^{2}}(x)\) todos significan\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)\big)\)
- \(f'''(x)\)y\(f^{(3)}(x)\) y\(\frac{\mathrm{d} ^{3}}{\mathrm{d} x^{3}}(x)\) todos significan\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)\big)\big)\)
- \(f^{(4)}(x)\)y\(\frac{\mathrm{d} ^{4}}{\mathrm{d} x^{4}}(x)\) ambos significan\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\big(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)\big)\big)\big)\)
- y así sucesivamente.
Aquí hay un ejemplo sencillo. Entonces pensaremos un poco sobre la importancia de los derivados de segundo orden. Entonces haremos un ejemplo más complejo computacionalmente.
Dejar\(n\) ser un número natural y dejar\(f(x)= x^n\text{.}\) Entonces
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx} x^n&=nx^ {n-1}\\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x^ {2}} x^n&=\ dfrac {d} {dx}\ grande (nx^ {n-1}\ grande) =n (n-1) x^ {2}\\\ frac {\ mathrm {d} ^ {3}} {\ mathrm {d} x^ {3}} x^n&=\ dfrac {d} {dx}\ grande (n (n-1) x^ {n-2}\ grande) =n (n-1) (n-2) x^ {n-3}\ final {align*}
Cada vez que diferenciamos, bajamos al exponente, que es exactamente uno más pequeño que el exponente anterior derribado, y reducimos el exponente en uno. Para cuando tenemos\(n-1\) tiempos diferenciados, el exponente ha disminuido a\(n-(n-1)=1\) y hemos derribado los factores\(n(n-1)(n-2)\cdots 2\text{.}\) tan
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} ^ {n-1}} {\ mathrm {d} x^ {n-1}} x^n&=n (n-1) (n-2)\ cdots 2x\ end {alinear*}
y
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x^ {n}} x^n&=n (n-1) (n-2)\ cdots 1\ end {alinear*}
El producto de los primeros números\(n\) naturales,\(1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n,\) se llama “\(n\)factorial” y se denota\(n!\text{.}\) Así también podemos escribir
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x^ {n}} x^n&=n! \ end {align*}
Si\(m \gt n\text{,}\) entonces
\ begin {align*}\ frac {\ mathrm {d} ^ {m}} {\ mathrm {d} x^ {m}} x^n&=0\ end {align*}
Recordemos que la derivada\(v'(a)\) es la tasa (instantánea) de cambio de la función\(v(t)\) en\(t=a\text{.}\) Supongamos que estás caminando sobre el\(x\) eje —y esa\(x(t)\) es tu\(x\) —coordenada en el momento\(t\text{.}\) También supongamos, por simplicidad, que te estás moviendo de izquierda a derecha. Entonces\(v(t)=x'(t)\) es tu velocidad en el tiempo\(t\) y\(v'(a)=x''(a)\) es la velocidad a la que tu velocidad está cambiando en el tiempo\(t=a\text{.}\) Se llama tu aceleración. En particular, si\(x''(a) \gt 0\text{,}\) entonces tu velocidad está aumentando, es decir, estás acelerando, en el tiempo\(a\text{.}\) Si\(x''(a) \lt 0\text{,}\) entonces tu velocidad está disminuyendo, es decir, estás desacelerando, en el tiempo\(a\text{.}\) Esa es una interpretación de la segunda derivada.
Encuentra\(y''\) si\(y=y^3+xy+x^3\text{.}\)
Solución Este problema se refiere a alguna función\(y(x)\) que no se nos da explícitamente. Todo lo que nos dicen es que\(y(x)\) satisface
\[ y(x)=y(x)^3+xy(x)+x^3 \tag{E1} \nonumber \]
para todos Se\(x\text{.}\) nos pide encontrar No\(y''(x)\text{.}\) podemos resolver esta ecuación para obtener una fórmula explícita para\(y(x)\text{.}\) Así que usamos diferenciación implícita, como hicimos en el Ejemplo 2.11.1. Es decir, aplicamos\(\dfrac{d}{dx}\) a ambos lados de (E1). Esto da
\[ y'(x)=3y(x)^2\,y'(x)+y(x)+x\,y'(x)+3x^2 \tag{E2} \nonumber \]
que podemos resolver\(y'(x)\text{,}\) moviendo todos\(y'(x)\) hacia el lado izquierdo, dando
\[ \big[1-x-3y(x)^2\big]y'(x) = y(x)+3x^2 \nonumber \]
y luego dividiendo entre sí.
\[ y'(x) = \frac{y(x)+3x^2}{1-x-3y(x)^2} \tag{E3} \nonumber \]
Para conseguir\(y''(x)\text{,}\) tenemos dos opciones.
Método 1. Aplicar\(\dfrac{d}{dx}\) a ambos lados de (E2). Esto da
\[ y''(x)=3y(x)^2\,y''(x)+6y(x)\,y'(x)^2+2y'(x)+x\,y''(x)+6x \nonumber \]
Ahora podemos resolver para\(y''(x)\text{,}\) dar
\[ y''(x) = \frac{6x+2y'(x)+6y(x)y'(x)^2}{1-x-3y(x)^2} \tag{E4} \nonumber \]
Entonces podemos sustituir en (E3), dando
\ begin {alinear*} & y "(x) = 2\ frac {3x+\ frac {y (x) +3x^2} {1-x-3y (x) ^2} +3y (x)\ grande (\ frac {y (x) +3x^2} {1-x-3y (x) ^2}\ grande) ^2} {1-x-3y (x) ^2}\\ &= 2\ frac {3x {[1\! -\! x\! -\! 3y (x) ^2]} ^2+ [y (x)\! +\! 3x^2] [1\! -\! x\! -\! 3y (x) ^2] +3y (x) {[y (x)\! +\! 3x^2]} ^2} {{[1-x-3y (x) ^2]} ^3}\ end {alinear*}
Método 2. Alternativamente, también podemos diferenciar (E3).
\ begin {alinear*} & y "(x) =\ frac {[y' (x) +6x] [1\! -\! x\! -\! 3y (x) ^2] - [y (x) +3x^2] [-1-6y (x) y' (x)]} {{[1-x-3y (x) ^2]} ^2}\\ &=\ frac {\ grande [\ frac {y (x) +3x^2} {1-x-3y (x) ^2} +6x\ grande] [1-x-3y (x) ^2} +6x\ grande] [1-x-3y y (x) ^2] - [y (x) +3x^2] [-1-6y (x)\ frac {y (x) +3x^2} {1-x-3y (x) ^2}]} {{[1-x-3y (x) ^2]} ^2}\\ &=\ frac {2 [y (x) +3x^2] [1\! -\! x\! -\! 3y (x) ^2] +6x {[1\! -\! x\! -\! 3y (x) ^2]} ^2 +6y (x) {[y (x)\! +\! 3x^2]} ^2} {{[1-x-3y (x) ^2]} ^3}\ end {alinear*}
Comentario 1. Ahora hemos calculado\(y''(x)\) — algo así como. La respuesta es en términos de los\(y(x)\text{,}\) cuales no sabemos. Ya que no podemos obtener una fórmula explícita porque no\(y(x)\text{,}\) hay mucho que podamos hacer, en general.
Comentario 2. A pesar de que no podemos resolver\(y=y^3+xy+x^3\) explícitamente\(y(x)\text{,}\) para general a veces\(x\text{,}\) es posible resolver ecuaciones como esta para algunos valores especiales de\(x\text{.}\) De hecho, vimos en el Ejemplo 2.11.1 que cuando\(x=1\text{,}\) la ecuación dada se reduce a\(y(1)=y(1)^3+1\cdot y(1)+1^3\text{,}\) o\(y(1)^3=-1\text{,}\) que podemos resolver para obtener\(y(1)=-1\text{.}\) Sustituyendo en (E2), como hicimos en el Ejemplo 2.11.1 da
\[ y'(1) = \frac{-1+3}{1-1-3(-1)^2} = -\frac{2}{3} \nonumber \]
y sustituyendo en (E4) da
\[ y''(1) = \frac{6+2\big(-\frac{2}{3}\big)+6(-1)\big(-\frac{2}{3}\big)^2} {1-1-3(-1)^2} =\frac{6-\frac{4}{3}-\frac{8}{3}}{-3} = -\frac{2}{3} \nonumber \]
(Es una casualidad que, en este ejemplo,\(y'(1)\) y\(y''(1)\) pasan a ser iguales.) Entonces ahora sabemos que, a pesar de que no podemos resolver\(y=y^3+xy+x^3\) explícitamente porque\(y(x)\text{,}\) la gráfica de la solución pasa a través\((1,-1)\) y tiene pendiente\(-\frac{2}{3}\) (es decir, se inclina hacia abajo entre\(30^\circ\) y\(45^\circ\)) ahí y, además, la pendiente de la gráfica disminuye a medida que\(x\) aumenta a través de\(x=1\text{.}\)
Aquí hay un boceto de la parte de la gráfica muy cerca\((1, -1)\text{.}\) También\((1, -1)\) se muestra la línea tangente a la gráfica en. Tenga en cuenta que la línea tangente se inclina hacia abajo hacia la derecha, como esperamos, y que la gráfica se encuentra por debajo de la línea tangente cerca\((1,-1)\text{.}\) Eso es porque la pendiente\(f'(x)\) está disminuyendo (volviéndose más negativa) a medida que\(x\) pasa a través\(1\text{.}\)
Mucha gente suprimirá el\((x)\) in\(y(x)\) al hacer cálculos como los del Ejemplo 2.14.4. Esto da fórmulas más cortas, más fáciles de leer, como\(y'=\frac{y+3x^2}{1-x-3y^2}\text{.}\) Si haces esto, nunca debes olvidar que\(y\) es una función de\(x\) y no es una constante. Si lo olvidas, cometerás el grave error de decir\(\dfrac{dy}{dx}=0\text{,}\) lo que es falso.
Ejercicios
Etapa 1
Cuál es la derivada 180 de la función\(f(x)=e^x\text{?}\)
Supongamos que\(f(x)\) es una función diferenciable, con\(f'(x) \gt 0\) y\(f''(x) \gt 0\) para cada\(x \in (a,b)\text{.}\) ¿Cuál de los siguientes debe ser cierto?
- \(f(x)\)es positivo sobre\((a,b)\)
- \(f(x)\)está aumentando sobre\((a,b)\)
- \(f(x)\)está aumentando a un ritmo constante sobre\((a,b)\)
- \(f(x)\)está aumentando más rápido y más rápido\((a,b)\)
- \(f''''(x) \gt 0\)para algunos\(x \in (a,b)\)
Dejar que\(f(x)=ax^{15}\) para alguna constante\(a\text{.}\) Qué valor de\(a\) los resultados en\(f^{(15)}(x)=3\text{?}\)
Encuentra el (los) error (es) en el siguiente trabajo, y proporciona una respuesta corregida.
\(-14x^2+2xy+y^2=1\text{.}\)Supongamos que encontramos\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{2}y}{\mathrm{d} x^{2}}\) en el punto\(\left(1,3\right)\text{.}\) Diferenciando implícitamente:
\ begin {align*} -28x+2y+2xy'+2yy'&=0\\\ end {alinear*}
Conectando\(x=1\text{,}\)\(y=3\text{:}\)
\ begin {alinear*} -28+6+2y'+6y'&=0\\ y'&=\ frac {11} {4}\\ final {alinear*}Diferenciando:
\ begin {align*} y"&=0\ end {align*}
Etapa 2
Dejar\(f(x)=(\log x-1)x\text{.}\) Evaluar\(f''(x)\text{.}\)
Evaluar\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{2}}{\mathrm{d} x^{2}}\{\arctan x\}\text{.}\)
El círculo unitario consta de todos los puntos\(x^2+y^2=1\text{.}\) Dar una expresión para\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{2}y}{\mathrm{d} x^{2}}\) en términos de\(y\text{.}\)
Supongamos que la posición de una partícula en el momento\(t\) viene dada por\(s(t) = \dfrac{e^t}{t^2+1}\text{.}\) Encontrar la aceleración de la partícula en el momento\(t=1\text{.}\)
Evaluar\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{3}}{\mathrm{d} x^{3}}\{\log(5x^2-12)\}\text{.}\)
La altura de una partícula en el tiempo\(t\) segundos viene dada por\(h(t)=-\cos t\text{.}\) ¿La partícula se acelera o se ralentiza en\(t=1\text{?}\)
La altura de una partícula en el tiempo\(t\) segundos viene dada por ¿\(h(t)=t^3-t^2-5t+10\text{.}\)Es el movimiento de la partícula cada vez más rápido o más lento en\(t=1\text{?}\)
Supongamos que una curva está definida implícitamente por
\[ x^2+x+y=\sin(xy) \nonumber \]
Qué hay\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{2}y}{\mathrm{d} x^{2}}\) en el punto\((0,0)\text{?}\)
¿Qué afirmaciones a continuación son verdaderas y cuáles falsas?
- \(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{4}}{\mathrm{d} x^{4}} \sin x = \sin x\)
- \(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{4}}{\mathrm{d} x^{4}} \cos x = \cos x\)
- \(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{4}}{\mathrm{d} x^{4}} \tan x = \tan x\)
Etapa 3
Una función\(f(x)\) satisface\(f'(x) \lt 0\) y\(f''(x) \gt 0\) sobre\((a,b)\text{.}\) ¿Cuál de las siguientes curvas a continuación podría representar\(y=f(x)\text{?}\)
Vamos\(f(x)=2^{x}\text{.}\) ¿Qué es\(f^{(n)}(x)\text{,}\) si\(n\) es un número entero?
Vamos\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\text{,}\) donde\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(d\) son constantes distintas de cero. ¿Cuál es el número entero más pequeño\(\displaystyle\frac{\mathrm{d} ^{n}f}{\mathrm{d} x^{n}}=0\) para\(n\) que para todos\(x\text{?}\)
\[ f(x)=e^{x+x^2}\qquad \qquad \qquad h(x)=1+x+\frac{3}{2}x^2 \nonumber \]
- Encuentra la primera y segunda derivada de ambas funciones
- Evaluar ambas funciones y su primera y segunda derivadas a 0.
- Demuestre que para todos\(x \gt 0\text{,}\)\(f(x) \gt h(x)\text{.}\)
Observación: para algunas aplicaciones, solo necesitamos saber que una función es “lo suficientemente grande”. Dado que\(f(x)\) es una función difícil de evaluar, puede ser útil saber que es más grande que\(h(x)\) cuando\(x\) es positivo.
La ecuación\(x^3y+y^3=10x\) define\(y\) implícitamente como una función de\(x\) cerca del punto\((1,2)\text{.}\)
- Calcular\(y'\) en este punto.
- Se puede demostrar que\(y''\) es negativo cuando\(x=1\text{.}\) Usa este hecho y tu respuesta a 2.14.2.18.a para hacer un boceto que muestre la relación de la curva con su línea tangente en\((1,2)\text{.}\)
Que\(g(x)=f(x)e^x\text{.}\) En la Pregunta 2.7.3.12, Sección 2.7, aprendimos que\(g'(x)=[f(x)+f'(x)]e^x\text{.}\)
- Qué es\(g''(x)\text{?}\)
- Qué es\(g'''(x)\text{?}\)
- Con base en tus respuestas anteriores, adivina una fórmula para\(g^{(4)}(x)\text{.}\) Comprobarlo diferenciando.
Supongamos que\(f(x)\) es una función cuyas primeras\(n\) derivadas existen sobre todos los números reales, y\(f^{(n)}(x)\) tiene precisamente\(m\) raíces. ¿Cuál es el número máximo de raíces que\(f(x)\) pueden tener?
¿Cuántas raíces tiene la función\(f(x)=(x+1)\log(x+1)+\sin x - x^2\)?
Vamos\(f(x) = x|x|\text{.}\)
- Demostrar que\(f(x)\) es diferenciable en\(x = 0\text{,}\) y encontrar\(f'(0)\text{.}\)
- Encuentra la segunda derivada de\(f(x)\text{.}\) Expresar explícitamente, con justificación, el punto o puntos en los que\(f''(x)\) no existe, en su caso.