3.1: Velocidad y aceleración

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Si te estás moviendo a lo largo$x$ del eje y tu posición en el momento$t$ es$x(t)\text{,}$ entonces tu velocidad en el tiempo$t$ es$v(t)=x'(t)$ y tu aceleración en el momento$t$ es$a(t)=v'(t) = x''(t)\text{.}$

Ejemplo 3.1.1 La velocidad como derivada de la posición.

Supongamos que se está moviendo a lo largo del$x$ eje —y que en el momento$t$ su posición viene dada por

\ begin {align*} x (t) &=t^3-3t+2. \ end {alinear*}

Vamos a tratar de obtener una buena imagen de cómo es tu movimiento. Podemos aprender bastante con solo mirar el signo de la velocidad$v(t)=x'(t)$ en cada momento$t\text{.}$

Si$x'(t) \gt 0\text{,}$ entonces en ese instante$x$ va en aumento, es decir, se está moviendo hacia la derecha.
Si$x'(t)=0\text{,}$ entonces en ese instante no te estás moviendo en absoluto.
Si$x'(t) \lt 0\text{,}$ entonces en ese instante$x$ está disminuyendo, es decir, se está moviendo hacia la izquierda.

A partir de la fórmula dada,$x(t)$ es sencillo calcular la velocidad

\ begin {alinear*} v (t) = x' (t) &=3t^2-3=3 (t^2-1) =3 (t+1) (t-1)\ end {align*}

Esto es cero solo cuando$t=-1$ y cuando$t=+1\text{;}$ a ningún otro valor ¹ de este polinomio$t$ puede ser igual cero. Consecuentemente en cualquier intervalo de tiempo que no incluya ninguno$t=-1$ o$t=+1\text{,}$$v(t)$ tome solo un solo signo ². Entonces

Para todos$t \lt -1\text{,}$ ambos$(t+1)$ y$(t-1)$ son negativos (sub in, por ejemplo,$t=-10$) por lo que el producto$v(t)=x'(t)=3(t+1)(t-1) \gt 0\text{.}$
Para todo$-1 \lt t \lt 1\text{,}$ el factor$(t+1) \gt 0$ y el factor$(t-1) \lt 0$ (sub in, por ejemplo,$t=0$) por lo que el producto$v(t)=x'(t)=3(t+1)(t-1) \lt 0\text{.}$
Para todos$t \gt 1\text{,}$ ambos$(t+1)$ y$(t-1)$ son positivos (sub in, por ejemplo,$t=+10$) por lo que el producto$v(t)=x'(t)=3(t+1)(t-1) \gt 0\text{.}$

La siguiente figura da un resumen de la información del letrero que tenemos sobre$t-1\text{,}$$t+1$ y$x'(t)\text{.}$

Ahora es fácil armar una imagen mental de tu trayectoria.

Para$t$ grande y negativo (es decir, lejos en el pasado),$x(t)$ es grande y negativo y$v(t)$ es grande y positivo. Por ejemplo ³, cuándo$t=-10^6\text{,}$$x(t)\approx t^3=- 10^{18}$ y$v(t)\approx 3t^2 = 3\cdot 10^{12}\text{.}$ Así te estás moviendo rápidamente hacia la derecha.
Porque$t \lt -1\text{,}$$v(t)=x'(t) \gt 0$ así eso$x(t)$ va en aumento y te estás moviendo hacia la derecha.
En$t=-1\text{,}$$v(-1)=0$ y has llegado a un alto en la posición$x(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=4\text{.}$
Porque$-1 \lt t \lt 1\text{,}$$v(t)=x'(t) \lt 0$ así eso$x(t)$ va disminuyendo y te estás moviendo hacia la izquierda.
Al$t=+1\text{,}$$v(1)=0$ y de nuevo has llegado a un alto, pero ahora en posición$x(1)=1^3-3+2=0\text{.}$
Porque$t \gt 1\text{,}$$v(t)=x'(t) \gt 0$ así eso$x(t)$ va en aumento y de nuevo se está moviendo hacia la derecha.
Para$t$ grande y positivo (es decir, en el futuro lejano),$x(t)$ es grande y positivo y$v(t)$ es grande y positivo. Por ejemplo ⁴, cuándo$t=10^6\text{,}$$x(t)\approx t^3= 10^{18}$ y$v(t)\approx 3t^2 = 3\cdot 10^{12}\text{.}$ Así te estás moviendo rápidamente hacia la derecha.

Aquí hay un boceto de las gráficas de$x(t)$ y$v(t)\text{.}$ Las líneas pesadas en las gráficas indican cuándo se está moviendo hacia la derecha —ahí es donde$v(t)=x'(t)$ es positivo.

Y aquí hay una imagen esquemática de toda la trayectoria.

Ejemplo 3.1.2 Posición y velocidad a partir de la aceleración.

En este ejemplo vamos a averiguar hasta qué punto caerá un cuerpo que cae del reposo en un periodo de tiempo determinado.

Deberíamos comenzar definiendo algunas variables y sus unidades. Denotar
- tiempo en segundos por$t\text{,}$
- masa en kilogramos por$m\text{,}$
- distancia caída (en metros) en el tiempo$t$ por$s(t)\text{,}$ velocidad (en m/seg) por$v(t)=s'(t)$ y aceleración (en m/seg$^2$) por$a(t)=v'(t)=s''(t)\text{.}$
Tiene sentido elegir un sistema de coordenadas para que el cuerpo comience a caer a$t=0\text{.}$
Utilizaremos la segunda ley de movimiento de Newton
\ begin {reunir*}\ text {la fuerza aplicada al cuerpo en el tiempo} t = m\ cdot a (t). \ end {reunir*}
junto con la suposición de que la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la gravedad (en particular, sin resistencia al aire). Obsérvese que cerca de la superficie de la Tierra,
\ begin {align*}\ text {la fuerza debida a la gravedad que actúa sobre un cuerpo de masa} m &= m\ cdot g.\ end {align*}
La constante$g\text{,}$ llamada aceleración de la gravedad ⁵, es de aproximadamente 9.8m/seg$^2\text{.}$
Ya que el cuerpo está cayendo del reposo, sabemos que su velocidad inicial es cero. Eso es
\ begin {align*} v (0) &= 0. \ end {alinear*}
La segunda ley de Newton implica entonces que
\ begin {align*} m\ cdot a (t) &=\ text {fuerza debida a la gravedad}\\ m\ cdot v' (t) &= m\ cdot g &\ text {cancelar el} m\\ v' (t) &=g\ end {alinear*}
Para encontrar la velocidad, necesitamos encontrar una función de$t$ cuya derivada sea constante. Simplemente vamos a adivinar tal función y luego verificaremos que nuestra conjetura tiene todas las propiedades deseadas. Es fácil adivinar una función cuya derivada es la constante$g\text{.}$ Ciertamente$gt$ tiene la derivada correcta. Así lo hace
\ comenzar {reunir*} v (t) = gt + c\ fin {reunir*}

para cualquier constante$c\text{.}$ Uno puede entonces verificar ⁶ que$v'(t)=g\text{.}$ Usando el hecho de que entonces$v(0)=0$ debemos tener$c=0$ y así

\ begin {alinear*} v (t) &= gt. \ end {alinear*}
Como la velocidad es la derivada de la posición, sabemos que
\ begin {align*} s' (t) &= v (t) = g\ cdot t.\ end {align*}
Para$s(t)$ encontrarnos de nuevo vamos a adivinar y comprobar. No es difícil ver que podemos usar
\ begin {align*} s (t) &=\ frac {g} {2} t^2 + c\ end {alinear*}
donde de nuevo$c$ es alguna constante. Nuevamente podemos verificar que esto funciona simplemente diferenciando ⁷. Ya que hemos definido como$s(t)$ la distancia caída, se deduce lo$s(0)=0$ que a su vez nos dice que$c = 0\text{.}$ De ahí
\ begin {align*} s (t) &=\ frac {g} {2} t^2 &\ text {pero $g=9.8$, entonces}\\ &= 4.9 t^2,\ end {align*}
que es exactamente la forma$s(t)$ utilizada en la Sección 1.2.

Hagamos ahora un ejemplo similar pero más complicado.

Ejemplo 3.1.3 Distancia de parada de un carro de frenado.

Los frenos de un automóvil pueden desacelerar el auto a 64000$\textrm{km/hr}^2\text{.}$ ¿Qué tan rápido se puede conducir el automóvil si debe poder detenerse a una distancia de 50m?

Solución

Antes de comenzar, observe que hay un pequeño “truco” en este problema — se indican varias cantidades pero sus unidades son diferentes. La aceleración se expresa en kilómetros por hora$^2\text{,}$ pero la distancia se indica en metros. Siempre que nos encontremos con un problema del “mundo real” ⁸ debemos tener cuidado con las unidades utilizadas.

Primero debemos definir algunas variables y sus unidades. Denotar
- tiempo (en horas) por$t\text{,}$
- la posición del automóvil (en kilómetros) en el momento$t$ por$x(t)\text{,}$ y
- la velocidad (en kilómetros por hora) por es$v(t)\text{.}$
También podemos elegir un sistema de coordenadas tal que$x(0)=0$ y el auto comience a frenar en el momento$t=0\text{.}$
Ahora reescribamos la información en el problema en términos de estas variables.
- Nos dicen que, al máximo frenado, la aceleración$v'(t)=x''(t)$ del automóvil es$-64000\text{.}$
- Necesitamos determinar la velocidad inicial máxima para$v(0)$ que la distancia de parada sea como máximo$50m = 0.05km$ (teniendo cuidado con nuestras unidades). Llamemos a la distancia de parada$x_{stop}$ que es realmente$x(t_{stop})$ dónde$t_{stop}$ está el tiempo de parada.
Para determinar primero$x_{stop}$ necesitamos determinar$t_{stop}\text{,}$ cuál haremos asumiendo el frenado máximo a partir de una velocidad inicial, aún por determinar, de$v(0)=q$ m/seg.
Suponiendo que el automóvil sufre una aceleración constante a esta máxima potencia de frenado, tenemos
\ begin {align*} v' (t) &= -64000\ end {align*}

Esta ecuación es muy similar a las que tuvimos que resolver en el Ejemplo 3.1.2 justo arriba.

Como lo hicimos ahí ⁹ Ahora es un buen momento para volver atrás y leer ese ejemplo. , vamos a simplemente adivinar$v(t)\text{.}$ Primero, solo adivinamos una función cuya derivada es$-64000\text{,}$ a saber$-64000 t\text{.}$ A continuación observamos que, dado que la derivada de una constante es cero, cualquier función de la forma

\ start {reunir*} v (t) = -64000\, t + c\ end {reunir*}

con constante$c\text{,}$ tiene la derivada correcta. Por último, el requisito de que la velocidad inicial$v(0)=q$ "obliga$c=q\text{,}$ a

\ begin {reunir*} v (t) = q - 64000\, t\ end {reunir*}
A partir de esto podemos determinar fácilmente el tiempo de parada$t_{stop}\text{,}$ cuando la velocidad inicial es$q\text{,}$ ya que esto es justo cuando$v(t) = 0\text{:}$
\ begin {align*} 0 = v (t_ {stop}) &= q-64000\ cdot t_ {stop} &\ text {y así}\\ t_ {stop} &=\ frac {q} {64000}. \ end {alinear*}
Armados con el tiempo de parada, ¿cómo llegamos a la distancia de parada? Necesitamos encontrar la fórmula satisfecha por$x(t)\text{.}$ De nuevo (según el Ejemplo 3.1.2) hacemos uso del hecho de que
\ begin {align*} x' (t) &= v (t) = q - 64000t. \ end {alinear*}
Así que tenemos que adivinar una función$x(t)$ para que no$x'(t) = q-64000 t\text{.}$ sea difícil de ver que
\ begin {align*} x (t) &= qt - 32000t^2 +\ text {constante}\ end {align*}
obras. Ya que sabemos que$x(0)=0\text{,}$ esta constante es apenas cero y
\ begin {align*} x (t) &= qt - 32000 t^2. \ end {alinear*}
Ahora estamos listos para calcular la distancia de parada (en términos de la velocidad inicial, aún por determinar$q$):
\ begin {align*} x_ {stop} &= x (t_ {stop}) = q t_ {stop} - 32000 t_ {stop} ^2\\ &=\ frac {q^2} {64000} -\ frac {32000 q^2} {64000^2}\\ &=\ frac {q^2} {64000}\ izquierda (1 -\ frac {1} {2}\ derecha)\\ &=\ frac {q^2} {2\ times 64000}\ end {align*}
Observe que la distancia de parada es una función cuadrática de la velocidad inicial; si va el doble de rápido, necesita cuatro veces la distancia para detenerse.
Pero nos dicen que la distancia de parada debe ser menor que$50m = 0.05km\text{.}$ Esto significa que
\ begin {align*} x_ {stop} =\ frac {q^2} {2\ times 64000} &\ leq\ frac {5} {100}\\ q^2 &\ leq\ frac {2\ times 64000\ times 5} {100} =\ frac {64000\ times 10} {100} = 6400\ end {align*}
Así debemos tener$q \leq 80\text{.}$ De ahí que la velocidad inicial no pueda ser mayor que$80km/h\text{.}$

Ejercicios

Etapa 1

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos que lanzas una pelota hacia arriba en el aire, y su altura de$t=0$ a$t=4$ viene dada por$h(t)=-4.9t^2+19.6t\text{.}$ Verdadero o falso: en$t=2\text{,}$ el momento la aceleración de la pelota es 0.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que un objeto se mueve con una aceleración constante. Tarda diez segundos en acelerar de$1\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ a$2\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\text{.}$ ¿Cuánto tiempo se tarda en acelerar de$2\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ a$3\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\text{?}$ Cuánto tiempo se tarda en acelerar de$3\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ a$13\;\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dejar$s(t)$ ser la posición de una partícula en el tiempo$t\text{.}$ Verdadero o falso: si$s''(a) \gt 0$ para algunos$a\text{,}$ entonces la velocidad de la partícula está aumentando cuando$t=a\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Dejar$s(t)$ ser la posición de una partícula en el tiempo$t\text{.}$ Verdadero o falso: si$s'(a) \gt 0$ y$s''(a) \gt 0$ para algunos$a\text{,}$ entonces la velocidad de la partícula está aumentando cuando$t=a\text{.}$

Etapa 2

Para esta sección, te haremos una serie de preguntas que tienen que ver con objetos que caen sobre la Tierra. A menos que se indique lo contrario, se debe asumir que un objeto que cae por el aire tiene una aceleración debido a la gravedad de 9.8 metros por segundo por segundo.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Una maceta sale por una ventana a 10m sobre el suelo. ¿Qué tan rápido está cayendo justo cuando huele al suelo?

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Quieres saber qué tan profundo es un pozo, así que dejas caer una piedra hacia abajo y cuentas los segundos hasta que escuches que toca fondo.

Si la piedra tardó$x$ segundos en tocar fondo, ¿qué tan profundo es el pozo?
Supongamos que piensas que dejaste caer la piedra por el pozo, pero en realidad la tiraste hacia abajo, así que en lugar de una velocidad inicial de 0 metros por segundo, accidentalmente impartiste una velocidad inicial de$1$ metros por segundo. ¿Cuál es la profundidad real del pozo, si la piedra cayó por$x$ segundos?

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Le tiras una llave a tu amigo, parado a dos metros de distancia. Las llaves inicialmente se mueven hacia tu amigo a 2 metros por segundo, pero ralentizan a una velocidad de 0.25 metros por segundo por segundo. ¿Cuánto tiempo tiene que reaccionar tu amigo para coger las llaves? Es decir, ¿cuánto tiempo están volando las llaves antes de que lleguen a tu amigo?

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Un auto circula a 100 km/h, y frena con una desaceleración de$50000 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{hr}^2}\text{.}$ ¿Cuánto tiempo tarda el auto en llegar a una parada completa?

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Estás conduciendo a 120 km/h, y necesitas parar en 100 metros. ¿Cuánta desaceleración necesitan proporcionar tus frenos? Se puede suponer que los frenos provocan una desaceleración constante.

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Estás conduciendo a 100 km/h, y aplicas los frenos de manera constante, para que tu auto desacelere a un ritmo constante y se detenga exactamente en 7 segundos. ¿Cuál era tu velocidad un segundo antes de detenerte?

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Aproximadamente 8.5 minutos después del despegue, el transbordador espacial estadounidense ha alcanzado una velocidad orbital, de 17 500 millas por hora. Asumiendo que su aceleración fue constante, ¿hasta dónde viajó en esos 8.5 minutos?

Origen: http://www.nasa.gov/mission_pages/shuttle/shuttlemissions/sts121/launch/qa-leinbach.html

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Una máquina de cabeceo tiene un dial para ajustar la velocidad del paso. Lo rotas para que lance la pelota hacia arriba en el aire. ¿Qué tan rápido debe salir la bola de la máquina, para poder permanecer en el aire exactamente 10 segundos?

Se puede suponer que la bola sale del nivel del suelo, y se actúa sobre ella sólo por gravedad, lo que provoca una desaceleración constante de 9.8 metros por segundo.

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Un halcón peregrino puede bucear a una velocidad de 325 km/h. Si dejaras caer una piedra, ¿qué tan alto tendrías que estar para que la piedra alcanzara la misma velocidad en su caída?

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Disparas una bola de cañón al aire con velocidad inicial$v_0\text{,}$ y luego la gravedad la vuelve a bajar (descuidando todas las demás fuerzas). Si la bala de cañón llegó a una altura de 100m, lo que fue$v_0\text{?}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Supongamos que está conduciendo a 120 km/h, y empieza a frenar a una desaceleración de$50 000$ kph por hora. Durante tres segundos aumenta constantemente su desaceleración a$60 000$ kph por hora. (Es decir, durante tres segundos, la tasa de cambio de tu desaceleración es constante). ¿Qué tan rápido conduces al final de esos tres segundos?

Etapa 3

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Saltas desde el costado de un trampolín con una velocidad ascendente inicial de$1$ metro por segundo. Mientras estás en el aire, tu desaceleración es constante de$9.8$ metros por segundo por segundo debido a la gravedad. Una vez que golpeas el trampolín, a medida que caes tu velocidad disminuye en$4.9$ metros por segundo por segundo. ¿Cuántos segundos pasan entre el pico de tu salto y la parte más baja de tu caída en el trampolín?

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Supongamos que un objeto se mueve para que su velocidad se duplique cada segundo. Dar una expresión para la aceleración del objeto.

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