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3.3: Crecimiento exponencial y decaimiento: una primera mirada a las ecuaciones diferenciales

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    Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que involucra la derivada de la función desconocida. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton dice:

    La tasa de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.

    Podemos escribir esto más matemáticamente usando una ecuación diferencial, una ecuación para la función desconocida\(T(t)\) que también involucra su derivada\(\dfrac{dT}{dt}(t)\text{.}\) Si denotamos por\(T(t)\) la temperatura del objeto en el momento\(t\) y por\(A\) la temperatura de su entorno, la ley de Newton de enfriamiento dice que hay alguna constante de proporcionalidad,\(K\text{,}\) tal que

    \ begin {align*}\ dfrac {dT} {dt} (t) &= K\ big [T (t) -A\ big]\ end {align*}

    Las ecuaciones diferenciales juegan un papel central en la modelización de un gran número de fenómenos diferentes, incluyendo el movimiento de partículas, radiación electromagnética, opciones financieras, poblaciones de ecosistemas y potenciales de acción nerviosa. La mayoría de las universidades ofrecen media docena de cursos de pregrado diferentes sobre diversos aspectos de las ecuaciones diferenciales. Apenas vamos a rayar la superficie del sujeto. En este punto vamos a restringirnos a unas ecuaciones diferenciales muy simples para las que solo podemos adivinar la solución. En particular, aprenderemos a resolver sistemas que obedecen a la ley de enfriamiento de Newton en la Sección 3.3.2, a continuación. Pero primero, aquí hay otro ejemplo un poco más sencillo.

    Datación por carbono

    Los científicos pueden determinar la edad de los objetos que contienen material orgánico mediante un método llamado datación por carbono o datación por radiocarbono 1. Los rayos cósmicos que golpean la atmósfera convierten el nitrógeno en un isótopo radiactivo de carbono,\({}^{14}C\text{,}\) con una vida media de aproximadamente 5730 años 2. La vegetación absorbe dióxido de carbono de la atmósfera a través de la fotosíntesis y los animales adquieren\({}^{14}C\) al comer plantas. Cuando una planta o animal muere, deja de reemplazar su carbono y la cantidad de\({}^{14}C\) comienza a disminuir a través de la desintegración radiactiva. Más precisamente, vamos a\(Q(t)\) denotar la cantidad de\({}^{14}C\) en la planta o animal\(t\) años después de que muera. El número de desintegraciones radiactivas por unidad de tiempo, en el tiempo\(t\text{,}\) es proporcional a la cantidad de\({}^{14}C\) presente en el tiempo\(t\text{,}\) que es\(Q(t)\text{.}\) Así

    Ecuación 3.3.1 Desintegración radiactiva.

    \ begin {align*}\ dfrac {dQ} {dt} (t) &=-k Q (t)\ end {align*}

    Aquí\(k\) hay una constante de proporcionalidad que está determinada por la vida media. Explicaremos qué es la vida media y también determinaremos el valor de\(k\) en el Ejemplo 3.3.3, a continuación. Antes de hacerlo, pensemos en el signo en la ecuación 3.3.1.

    • Recordemos que\(Q(t)\) denota una cantidad, es decir, la cantidad de\({}^{14}C\) presente en el tiempo No puede\(t\text{.}\) haber una cantidad negativa de\({}^{14}C\text{,}\) ni esta cantidad puede ser cero (de lo contrario no usaríamos datación por carbono, así que debemos tener\(Q(t) \gt 0\text{.}\)
    • A medida que\(t\) aumenta el tiempo,\(Q(t)\) disminuye, porque\({}^{14}C\) se está convirtiendo continuamente en\({}^{14}N\) por desintegración radiactiva 3. Así\(\dfrac{dQ}{dt}(t) \lt 0\text{.}\)
    • Los signos\(Q(t) \gt 0\) y\(\dfrac{dQ}{dt}(t) \lt 0\) son consistentes con la ecuación 3.3.1 siempre que la constante de proporcionalidad\(k \gt 0\text{.}\)
    • En la ecuación 3.3.1, optamos por llamar a la constante de proporcionalidad “\(-k\)”. Lo hicimos con el fin de hacer\(k \gt 0\text{.}\) También podríamos haber optado por llamar a la constante de proporcionalidad “\(K\)”. Es decir, podríamos haber sustituido la ecuación 3.3.1 por\(\dfrac{dQ}{dt}(t)=K Q(t)\text{.}\) La constante de proporcionalidad\(K\) tendría que ser negativa, (\(K\)y y\(k\) estaría relacionada por\(K=-k\)).

    Ahora, adivinemos algunas soluciones a la ecuación 3.3.1. Deseamos adivinar una función\(Q(t)\) cuya derivada es solo un tiempo constante en sí mismo. Aquí hay una breve tabla de derivados. Ciertamente no está completo, pero contiene los derivados más importantes que conocemos.

    \(F(t)\) \(1\) \(t^a\) \(\sin t\) \(\cos t\) \(\tan t\) \(e^t\) \(\log t\) \(\arcsin t\) \(\arctan t\)
    \(\dfrac{d}{dt}F(t)\) \(0\) \(at^{a-1}\) \(\cos t\) \(-\sin t\) \(\sec^2 t\) \(e^t\) \(\frac{1}{t}\) \(\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) \(\frac{1}{1+t^2}\)

    Hay exactamente una función en esta tabla cuya derivada es solo una constante (distinta de cero) veces en sí misma. A saber, el derivado de\(e^t\) es exactamente\(e^t = 1\times e^t\text{.}\) Esto es casi, pero no del todo lo que queremos. Queremos que la derivada de\(Q(t)\) sea la constante\(-k\) (más que la constante\(1\)) veces\(Q(t)\text{.}\) Queremos que la derivada “saque una constante” de nuestra conjetura. Eso es exactamente lo que sucede cuando diferenciamos\(e^{at}\text{,}\) donde\(a\) es una constante. Diferenciar da

    \ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dt} e^ {at} = a e^ {at}\ end {reunir*}

    es decir, “saca la constante\(a\) de\(e^{at}\)”.

    Hemos logrado adivinar una sola función, a saber,\(e^{-kt}\text{,}\) que obedece a la ecuación 3.3.1. ¿Podemos adivinar alguna otra solución? Sí. Si\(C\) es alguna constante,\(Ce^{-kt}\) también obedece a la ecuación 3.3.1:

    \ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dt} (Ce^ {-kt}) = C\ dfrac {d} {dt} e^ {-kt} = Ce^ {-kt} (-k) = -k (Ce^ {-kt})\ end {reunión*}

    Puedes intentar adivinar algunas soluciones más, pero no encontrarás ninguna, porque con un poco de engaño podemos probar que una función\(Q(t)\) obedece a la ecuación 3.3.1 si y sólo si\(Q(t)\) es de la forma\(Ce^{-kt}\text{,}\) donde\(C\) hay alguna constante.

    El truco 4 es imaginar que\(Q(t)\) es alguna (en esta etapa, desconocida) solución a la ecuación 3.3.1 y comparar\(Q(t)\) y nuestra solución conocida\(e^{-kt}\) estudiando la relación\(Q(t)/e^{-kt}\text{.}\) Mostraremos que\(Q(t)\) obedece a la ecuación 3.3.1 si y sólo si la relación\(Q(t)/e^{-kt}\) es una constante, es decir, si y sólo si la derivada de la relación es cero. Por la regla del producto

    \ begin {reunir*}\ dfrac {d} {dt}\ grande [Q (t) /e^ {-kt}\ grande] =\ dfrac {d} {dt}\ big [e^ {kt} Q (t)\ grande] =ke^ {kt} Q (t) +e^ {kt} Q' (t)\ end {reunir*}

    Ya que nunca\(e^{kt}\) es\(0\text{,}\) el lado derecho es cero si y solo si\(k Q(t)+Q'(t)=0\text{;}\) eso es\(Q'(t)=-kQ(t)\text{.}\) Así

    \ comenzar {reunir*}\ dfrac {d} {dt} Q (t) = -k Q (t)\ iff\ dfrac {d} {dt}\ grande [Q (t) /e^ {-kt}\ grande] =0\ fin {reunir*}

    según sea necesario.

    Hemos logrado encontrar todas las funciones que obedecen 3.3.1. Es decir, hemos encontrado la solución general a 3.3.1. Esto vale la pena afirmar como teorema.

    Teorema 3.3.2.

    Una función diferenciable\(Q(t)\) obedece a la ecuación diferencial

    \ comenzar {reunir*}\ dfrac {dQ} {dt} (t) =-k Q (t)\ fin {reunir*}

    si y solo si hay una constante\(C\) tal que

    \ begin {reunir*} Q (t) = C e^ {-kt}\ end {reunir*}

    Antes de comenzar a aplicar el teorema anterior, aprovechamos esta oportunidad para recordar al lector que en este texto vamos a utilizar\(\log x\) sin base para indicar el logaritmo natural. Eso es

    \ comenzar {reunir*}\ log x =\ log_e x =\ ln x\ fin {reunir*}

    Ambas notaciones\(\log(x)\) y\(\ln(x)\) se utilizan ampliamente y el lector debe estar cómodo con ambas.

    Ejemplo 3.3.3 Datación por carbono y vida media.

    En este ejemplo, determinamos el valor de la constante de proporcionalidad\(k\) en la ecuación 3.3.1 que corresponde a la vida media de la\({}^{14}C\text{,}\) cual es de 5730 años.

    • Imagínese que alguna planta o animal contiene una cantidad\(Q_0\) de\({}^{14}C\) en su momento de la muerte. Escojamos el punto cero del tiempo\(t=0\) para que sea el instante en que la planta o animal murió.
    • Denotar por\(Q(t)\) la cantidad de\({}^{14}C\) en la planta o animal\(t\) años después de su muerte. Entonces\(Q(t)\) hay que obedecer tanto la ecuación 3.3.1 como\(Q(0)=Q_0\text{.}\)
    • Ya que\(Q(t)\) hay que obedecer la ecuación 3.3.1, el Teorema 3.3.2 nos dice que debe haber una constante\(C\) tal que\(Q(t)= C e^{-kt}\text{.}\) Para tener también\(Q_0=Q(0) =Ce^{-k\times 0}\text{,}\) la constante\(C\) debe ser Es\(Q_0\text{.}\) decir,\(Q(t) = Q_0 e^{-kt}\) para todos\(t\ge 0\text{.}\)
    • Por definición, la semivida de\({}^{14}C\) es el tiempo que tarda la mitad del en\({}^{14}C\) decairse. Es decir, la semivida\(t_{1/2}\) está determinada por

      \ begin {align*} Q (t_ {1/2}) =\ frac {1} {2} Q (0) &=\ frac {1} {2} Q_0 &\ text {pero sabemos} Q (t) = Q_0 e^ {-kt}\\ Q_0 e^ {-kt_ {1/2}} &=\ frac {1} {2} Q_0 &\ text {ahora cancela} Q_0\\ e^ {-kt_ {1/2}} &=\ frac {1} {2}\\\ end {align*}

      Tomando el logaritmo de ambos lados da

      \ begin {align*} -k t_ {1/2} &=\ log\ frac {1} {2} = -\ log 2 &\ text {y así}\\ k &=\ frac {\ log 2} {t_ {1/2}}. \ end {align*} Se nos dice que, para\({}^{14}C\text{,}\) la mitad de la vida\(t_{1/2}=5730\text{,}\) así

      \ begin {align*} k&=\ frac {\ log 2} {5730} = 0.000121 &\ texto {a 6 dígitos}\ end {align*}

    Del trabajo en el ejemplo anterior hemos acumulado suficientes hechos nuevos para hacer un corolario al Teorema 3.3.2.

    Corolario 3.3.4.

    La función\(Q(t)\) satisface la ecuación

    \ begin {align*}\ dfrac {dQ} {dt} &= -k Q (t)\ end {align*}

    si y solo si

    \ begin {align*} Q (t) &= Q (0)\ cdot e^ {-kt}. \ end {alinear*}

    La vida media se define como el tiempo\(t_{1/2}\) que obedece

    \ begin {align*} Q (t_ {1/2}) &=\ frac {1} {2}\ cdot Q (0). \ end {alinear*}

    La vida media está relacionada con la constante\(k\) por

    \ begin {align*} t_ {1/2} &=\ frac {\ log 2} {k}\ end {align*}

    Ahora aquí hay un problema típico que se resuelve usando Corolario 3.3.4.

    Ejemplo 3.3.5 Determinar la edad de un artefacto.

    Un trozo particular de pergamino contiene alrededor de 64 tanto\(\%\)\({}^{14}C\) como lo hacen las plantas hoy en día. Estimar la edad del pergamino.

    Solución Dejar\(Q(t)\) denotar la cantidad de\({}^{14}C\) en el pergamino\(t\) años después de que se creó por primera vez.

    Por la ecuación 3.3.1 y el Ejemplo 3.3.3,

    \ begin {reunir*}\ dfrac {dQ} {dt} =-k Q (t)\ qquad\ texto {con} k =\ frac {\ log 2} {5730} = 0.000121. \ end {reunir*}

    Por Corolario 3.3.4

    \ begin {align*} Q (t) &= Q (0)\ cdot e^ {-kt}\ end {alinear*}

    El tiempo en el que\(Q(t)\) alcanza\(0.64 Q(0)\) está determinado por

    \ begin {align*} Q (t) &=0.64 Q (0) &\ text {but} Q (t) = Q (0) e^ {-kt}\\ Q (0) e^ {-kt} &=0.64 Q (0) &\ text {cancel $Q (0) $}\\ e^ {-kt} &=0.64 &\ text {tomar logaritmos}\ -kt &=\ log 0.64\\ t &=\ frac {\ log 0.64} {-k} =\ frac {\ log 0.64} {-0.000121} = 3700 &\ text {a 2}\ texto {dígitos significativos. } \ end {alinear*}

    Es decir, el pergamino 5 tiene unos 37 siglos de antigüedad.

    Hemos afirmado que la vida media de\({}^{14}C\) es de 5730 años. ¿Cómo se puede determinar esto? Podemos explicar esto usando el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 3.3.6 Cálculo de una vida media.

    Un científico en una película de ciencia ficción de grado B está estudiando una muestra del elemento raro y ficticio, la implausio 6. Con gran esfuerzo ha producido una muestra de pura implausio. Al día siguiente —17 horas después— regresa a su laboratorio y descubre que su muestra es ahora sólo 37% pura. ¿Cuál es la vida media del elemento?

    Solución Podemos volver a configurar nuestro problema usando Corolario 3.3.4. Dejar\(Q(t)\) denotar la cantidad de implausio en el tiempo\(t\text{,}\) medido en horas. Entonces sabemos

    \ begin {align*} Q (t) &= Q (0)\ cdot e^ {-kt}\ end {alinear*}

    También sabemos que

    \ begin {align*} Q (17) &= 0.37 Q (0). \ end {alinear*}

    Eso nos permite determinar a\(k\) través de

    \ begin {align*} Q (17) = 0.37 Q (0) &= Q (0) e^ {-17k} &\ text {divide ambos lados por $Q (0) $}\\ 0.37 &= e^ {-17k}\\\ end {align*}

    y así

    \ begin {align*} k &= -\ frac {\ log 0.37} {17} = 0.05849\ end {align*}

    Entonces podemos convertir esto a la semivida usando Corolario 3.3.4:

    \ begin {align*} t_ {1/2} &=\ frac {\ log 2} {k}\ aprox 11.85\ texto {horas}\ end {align*}

    Si bien este ejemplo es completamente ficticio, uno realmente puede usar este enfoque para medir la vida media de los materiales.

    Ley de Refrigeración de Newton

    Recordemos la ley de enfriamiento de Newton desde el inicio de esta sección:

    La tasa de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.

    La temperatura del entorno a veces se llama temperatura ambiente. Luego traducimos esta afirmación en la siguiente ecuación diferencial

    Ecuación 3.3.7 Ley del enfriamiento de Newton.

    \ comenzar {reunir*}\ dfrac {dT} {dt} (t) = K\ grande [T (t) -A\ grande]\ final {reunir*}

    donde\(T(t)\) está la temperatura del objeto en el momento\(t\text{,}\)\(A\) es la temperatura de su entorno, y\(K\) es una constante de proporcionalidad. Este modelo matemático de cambio de temperatura funciona bien cuando se estudia un objeto pequeño en un ambiente grande, de temperatura fija. Por ejemplo, una taza de café caliente en una habitación grande 7.

    Antes de preocuparnos por resolver esta ecuación, pensemos un poco en el signo de la constante de proporcionalidad. En cualquier momento\(t\text{,}\) hay tres posibilidades.

    • Si\(T(t) \gt A\text{,}\) es así, si el cuerpo es más cálido que su entorno, esperaríamos que el calor fluyera del cuerpo a su entorno y así esperaríamos que el cuerpo se enfriara\(\dfrac{dT}{dt}(t) \lt 0\text{.}\) para que Para que esta expectativa sea consistente con la ecuación 3.3.7, necesitamos\(K \lt 0\text{.}\)
    • Si\(T(t) \lt A\text{,}\) eso es que el cuerpo es más fresco que su entorno, esperaríamos que el calor fluyera de los alrededores hacia el cuerpo y así esperaríamos que el cuerpo se calentara\(\dfrac{dT}{dt}(t) \gt 0\text{.}\) para que Para que esta expectativa sea consistente con la ecuación 3.3.7, nuevamente necesitamos\(K \lt 0\text{.}\)
    • Por último si\(T(t)=A\text{,}\) ese es el cuerpo y su ambiente tienen la misma temperatura, no esperaríamos que ningún calor fluya entre los dos y así esperaríamos que\(\dfrac{dT}{dt}(t)=0\text{.}\) Esto no imponga ninguna condición a\(K\text{.}\)

    En conclusión, esperaríamos Por\(K \lt 0\text{.}\) supuesto, podríamos haber optado por llamar a la constante de proporcionalidad\(-k\text{,}\) en lugar de\(K\text{.}\) Entonces la ecuación diferencial sería\(\dfrac{dT}{dt} = -k\big(T-A\big)\) y esperaríamos\(k \gt 0\text{.}\)

    Ahora para encontrar la solución general a la ecuación 3.3.7. Dado que esta ecuación es tan similar en forma a la ecuación 3.3.1, podríamos esperar una solución similar. Empieza por intentarlo\(T(t) = Ce^{Kt}\) y veamos qué sale mal. Sustituirlo en la ecuación:

    \ begin {align*}\ dfrac {dT} {dt} &= K (T (t) - A)\\ K C e^ {Kt} &= kCE^ {KT} - KA\\? 0 & = -KA? &\ text {la constante $A$ causa problemas!} \ end {alinear*}

    Probemos algo un poco diferente —recordemos que la derivada de una constante es cero. Así podemos sumar o restar una constante\(T(t)\) sin cambiar su derivada. Establezca\(Q(t) = T(t)+B\text{,}\) entonces

    \ begin {align*}\ dfrac {dQ} {dt} (t) &=\ dfrac {dT} {dt} (t) &\ text {por la ley de enfriamiento de Newton}\\ & = K (T (t) -A) = K (Q (t) -B-A)\ end {align*}

    Así que si elegimos\(B=-A\) entonces tendremos

    \ start {alinear*}\ dfrac {dQ} {dt} (t) &= K Q (t)\ final {alinear*}

    que es exactamente la misma forma que la ecuación 3.3.1, pero con\(K=-k\text{.}\) So by Theorema 3.3.2

    \ begin {align*} Q (t) &= Q (0) e^ {Kt}\ end {align*}

    Podemos traducir de nuevo a\(T(t)\text{,}\) since\(Q(t)=T(t)-A\) y\(Q(0)=T(0)-A\text{.}\) Esto nos da la solución.

    Corolario 3.3.8.

    Una función diferenciable\(T(t)\) obedece a la ecuación diferencial

    \ comenzar {reunir*}\ dfrac {dT} {dt} (t) = K\ grande [T (t) -A\ grande]\ final {reunir*}

    si y solo si

    \ begin {reunir*} T (t) = [T (0) -A]\, e^ {Kt} + A\ end {reunir*}

    Justo antes de poner esto en acción, le recordamos al lector que\(\log x = \log_e x = \ln x\text{.}\)

    Ejemplo 3.3.9 Calentar té helado.

    La temperatura de un vaso de té helado es inicialmente\(5^\circ\text{.}\) Después de 5 minutos, el té se ha calentado a\(10^\circ\) en una habitación donde la temperatura del aire es\(30^\circ\text{.}\)

    1. Determinar la temperatura en función del tiempo.
    2. ¿Cuál es la temperatura después de 10 minutos?
    3. Determinar cuándo el té alcanzará una temperatura de\(20^\circ\text{.}\)

    Solución Parte (a)

    • Denote por\(T(t)\) la temperatura del té\(t\) minutos después de que se retiró de la nevera, y dejar que\(A=30\) sea la temperatura ambiente.
    • Por la ley del enfriamiento de Newton,

      \ comenzar {reunir*}\ dfrac {dT} {dt} =K (T-A) = K (T-30)\ final {reunir*}

      para algunos, hasta ahora desconocidos, constante de proporcionalidad\(K\text{.}\)
    • Por Corolario 3.3.8,

      \ begin {reunir*} T (t) = [T (0) -30]\, e^ {Kt} + 30 =30-25 e^ {Kt}\ end {reunir*}

      desde la temperatura inicial\(T(0)=5\text{.}\)
    • Esta solución no está completa porque aún contiene una constante desconocida, es decir Aún no\(K\text{.}\) hemos utilizado los datos dados que\(T(5)=10\text{.}\) Podemos utilizarla para determinar\(K\text{.}\) At\(t=5\text{,}\)

      \ begin {alinear*} T (5) &=30-25 e^ {5K} =10 &\ text {reorganizar}\\ e^ {5K} &=\ frac {20} {25}\\ 5K &=\ log\ frac {20} {25} &\ text {y así}\\ K &=\ frac {1} {5}\ log\ frac {4} {5} =-0.044629 &\ texto {a 6 dígitos}\ end {alinear*}

    Parte (b)

    • Para encontrar la temperatura a los 10 minutos solo podemos usar la solución que hemos determinado anteriormente.

      \ begin {align*} T (10) &=30-25 e^ {10K}\\ &=30-25 e^ {10\ times\ frac {1} {5}\ log\ frac {4} {5}}\\ &=30-25 e^ {2\ log\ frac {4} {5}} = 30-25 e^ {\ log\ frac {16} {25}\\ &=30-16=\ texto {$14^\ circ$}\ end {align*}

    Parte (c)

    • Podemos encontrar cuando la temperatura es\(20^\circ\) resolviendo\(T(t)=20\text{:}\)

      \ begin {alinear*} 20 &= 30-25 e^ {Kt} &\ text {reorganizar}\\ e^ {Kt} &=\ frac {10} {25} =\ frac {2} {5}\\ K t &=\ log\ frac {2} {5} {5}\ t &=\ frac {\ log\ frac {2} {5}} {K}\ &=\ texto {20.5 minutos} &\ texto {a 1 decimal}\ end {alinear*}

    Un ejemplo un poco más espantoso.

    Ejemplo 3.3.10 Determinar un tiempo a partir de temperaturas.

    Se descubre un cadáver a las 3:45pm en una habitación donde la temperatura es de 20\(^\circ\) C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 27\(^\circ\) C. Dos horas después, a las 5:45pm, la temperatura del cuerpo es de 25.3\(^\circ\) C. ¿Cuál fue la hora de la muerte? Tenga en cuenta que la temperatura corporal normal (humano adulto) es\(37^\circ\text{.}\)

    Solución Supondremos 8 que la temperatura del cuerpo obedece a la ley de enfriamiento de Newton.

    • Denotar por\(T(t)\) la temperatura del cuerpo en el momento\(t\text{,}\) con\(t=0\) correspondiente a las 3:45pm. Deseamos encontrar la hora de la muerte — llámala\(t_d\text{.}\)
    • Hay muchos datos en el enunciado del problema; nos dicen que
      • la temperatura ambiente:\(A=20\)
      • la temperatura del cuerpo cuando se descubre:\(T(0)=27\)
      • la temperatura del cuerpo 2 horas después:\(T(2)=25.3\)
      • asumiendo que la persona era un adulto sano hasta su muerte, la temperatura al momento de la muerte:\(T(t_d)=37\text{.}\)
    • Como suponemos que la temperatura del cuerpo obedece a la ley de enfriamiento de Newton, utilizamos el Corolario 3.3.8 para encontrar,

      \ begin {reunir*} T (t) = [T (0) -A]\, e^ {Kt} + A =20+7 e^ {Kt}\ end {reunir*}

      Quedan dos incógnitas,\(K\) y\(t_d\text{.}\)
    • Podemos encontrar la constante\(K\) usando\(T(2)=25.3\text{:}\)

      \ begin {align*} 25.3=T (2) &= 20+7 e^ {2K} &\ text {reorganizar}\\ 7 e^ {2K} &=5.3 &\ text {reorganizar un poco más}\\ 2K &=\ log\ big (\ tfrac {5.3} {7}\ big)\\ K &=\ tfrac {1} {2}\ log big\ (\ tfrac {5.3} {7}\ big) = -0.139 &\ text {a 3 decimales}\ end {align*}

    • Ya que sabemos 9 que\(t_d\) está determinado por\(T(t_d)=37\text{,}\) tenemos

      \ begin {align*} 37 = T (t_d) &= 20+7 e^ {-0.139 t_d} &\ text {reorganizar}\\ e^ {-0.139 t_d} &=\ tfrac {17} {7}\\ -0.139 t_d &=\ log\ big (\ tfrac {17} {7}\ big)\\ t_d &= -\ tfrac {1} {0.139}\ log\ big (\ tfrac {17} {7}\ grande)\\ & = - 6.38 &\ text {a 2 decimales}\ end {align*}

      Ahora el\(6.38\) horario es\(6\) horas y\(0.38\times 60 = 23\) minutos. Entonces la hora de la muerte fue\(6\) horas y\(23\) minutos antes de las 3:45pm, que son las 9:22am.

    Un ejemplo un poco complicado: necesitamos determinar la temperatura ambiente a partir de tres mediciones en diferentes momentos.

    Ejemplo 3.3.11 Encontrar la temperatura exterior.

    Un vaso de agua a temperatura ambiente se lleva a un balcón desde un departamento donde la temperatura es\(22^\circ\) C. Después de un minuto el agua tiene temperatura\(26^\circ\) C y después de dos minutos tiene temperatura\(28^\circ\) C. ¿Cuál es la temperatura exterior?

    Solución Supondremos que la temperatura del termómetro obedece a la ley de Newton de enfriamiento.

    • Dejar\(A\) ser la temperatura exterior y\(T(t)\) ser la temperatura del agua\(t\) minutos después de que sea sacada al exterior.
    • Por la ley del enfriamiento de Newton,

      \ begin {reunir*} T (t) =A+\ grande (T (0) -A\ big) e^ {Kt}\ end {reunir*}

      por Corolario 3.3.8. Observe que aquí hay 3 incógnitas\(A\text{,}\)\(T(0)\) —y\(K\) — así que necesitamos tres piezas de información para encontrarlas todas.
    • Se nos dice\(T(0)=22\text{,}\) así

      \ begin {alinear*} T (t) &=A+\ grande (22-A\ grande) e^ {Kt}. \ end {alinear*}

    • También se nos dice\(T(1)=26\text{,}\) que da

      \ begin {align*} 26 &=A+\ big (22-A\ big) e^ {K} &\ text {reorganizar las cosas}\\ e^k&=\ frac {26-A} {22-A}\ end {align*}

    • Por último,\(T(2)=28\text{,}\) entonces

      \ begin {align*} 28&=A+\ grande (22-A\ grande) e^ {2K} &\ text {reorganizar}\\ e^ {2K} &=\ frac {28-A} {22-A} &\ text {pero $e^k=\ frac {26-A} {22-A} $, entonces}\\\ izquierda (\ frac {26-A} {22-A}\ derecha) ^2 &=\ frac {28-A} {22-A} &\ text {multiplicar por $ (22-A) ^2$}\\ (26-A) ^2 &= (28-A) (22-A)\ end {align*}

      Podemos expandir ambos lados y recopilar términos para obtener

      \ begin {alinear*}\ underbrackets {26^2} _ {=676} -52A+A^2 &=\ underbrackets {28\ times22} _ {=616} -50A+A^2\\ 60 &= 2A\\ 30 &= A\ end {align*}

      Entonces la temperatura exterior es\(30^\circ\text{.}\)

    Crecimiento poblacional

    Supongamos que deseamos predecir el tamaño\(P(t)\) de una población en función del tiempo\(t\text{.}\) En el modelo más ingenuo de crecimiento poblacional, cada pareja produce\(\beta\) descendencia (para alguna constante\(\beta\)) y luego muere. Así, en el transcurso de una generación se producen\(\beta\tfrac{P(t)}{2}\) niños y\(P(t)\) los padres mueren para que el tamaño de la población crezca de\(P(t)\) a

    \ begin {reunir*} P (t+t_g) =\ underbrackets {P (t) +\ beta\ frac {P (t)} {2}} _ {\ text {padres+descendencia}} -\ underbrackets {P (t)} _ {\ text {padres mueren}} =\ frac {\ beta} {2} P (t)\ end {reunión*}

    donde\(t_g\) denota la vida útil de una generación. La tasa de cambio del tamaño de la población por unidad de tiempo es

    \ comenzar {reunir*}\ frac {P (t+t_g) -P (t)} {t_g} =\ frac {1} {t_g}\ Grande [\ frac {\ beta} {2} P (t) -P (t)\ Grande] = b P (t)\ final {reunir*}

    donde\(b=\tfrac{\beta-2}{2t_g}\) es la tasa neta de natalidad por miembro de la población por unidad de tiempo. Si aproximamos

    \ comenzar {reunir*}\ tfrac {P (t+t_g) -P (t)} {t_g}\ approx\ dfrac {dP} {dt} (t)\ final {reunir*}

    obtenemos la ecuación diferencial

    Ecuación 3.3.12 Modelo poblacional simple.

    \ comenzar {reunir*}\ dfrac {dP} {dt} = bP (t)\ final {reunir*}

    Por Corolario 3.3.4, con\(-k\) sustituido por\(b\text{,}\)

    \ begin {align*} P (t) &= P (0)\ cdot e^ {bt}\ end {align*}

    Esto se llama el Malthusian 10 Esto lleva el nombre del reverendo Thomas Robert Malthus. Describió este modelo en un artículo de 1798 llamado “Un ensayo sobre el principio de población”. modelo de crecimiento. Es, por supuesto, muy simplista. Una de sus principales características es que, ya que\(P(t+T) = P(0)\cdot e^{b(t+T)} = P(t)\cdot e^{bT}\text{,}\) cada vez que se agrega\(T\) al tiempo, el tamaño de la población se multiplica por\(e^{bT}\text{.}\) En particular, el tamaño de la población se duplica cada\(\frac{\log 2}{b}\) unidad de tiempo. El modelo de crecimiento maltusiano puede ser un modelo razonablemente bueno solo cuando el tamaño de la población es muy pequeño en comparación con su entorno 11. Un modelo más sofisticado de crecimiento poblacional, que toma en cuenta la “capacidad de carga del medio ambiente” se considera en el subapartado opcional que figura a continuación.

    Ejemplo 3.3.13 Una simple predicción de la población futura.

    En 1927 la población del mundo era de alrededor de 2 mil millones. En 1974 era de unos 4 mil millones. Estimar cuando llegó a los 6 mil millones. ¿Cuál será la población del mundo en 2100, asumiendo el modelo de crecimiento maltusiano?

    Solución Seguimos nuestro patrón habitual para tratar este tipo de problemas.

    • Seamos\(P(t)\) la población mundial\(t\) años después de 1927. Tenga en cuenta que 1974 corresponde a\(t=1974-1927 = 47\text{.}\)
    • Estamos asumiendo que\(P(t)\) obedece la ecuación 3.3.12. Entonces, por Corolario 3.3.4 con\(-k\) sustituido por\(b\text{,}\)

      \ comenzar {reunir*} P (t) =P (0)\ cdot e^ {bt}\ final {reunir*}

      Observe que aquí hay 2 incógnitas\(b\)\(P(0)\) —y— así que necesitamos dos datos para encontrarlos.
    • Se nos dice\(P(0)=2\text{,}\) así

      \ comenzar {reunir*} P (t) =2\ cdot e^ {bt}\ fin {reunir*}

    • También se nos dice\(P(47)=4\text{,}\) que da

      \ begin {align*} 4 &=2\ cdot e^ {47b} &\ text {limpiar}\\ e^ {47b} &=2 &\ text {tomar el registro y limpiar}\\ b&=\ frac {\ log 2} {47} = 0.0147 &\ text {a 3 dígitos significativos}\ end {align*}

    • Ahora sabemos\(P(t)\) completamente, por lo que podemos determinar fácilmente la población pronosticada 12 en 2100, es decir, en\(t=2100-1927 = 173\text{.}\)

      \ begin {reunir*} P (173) = 2 e^ {173 b} = 2 e^ {173\ times 0.0147} = 25.4\ texto {mil millones}\ end {reunir*}

    • Por último, nuestro modelo crudo predice que la población es de 6 mil millones en el momento\(t\) que obedece

      \ begin {align*} P (t) &= 2 e^ {b t} = 6 &\ text {limpiar}\\ e^ {b t} &=3 &\ text {tomar el registro y limpiar}\\ t&=\ frac {\ log 3} {b} = 47\ frac {\ log 3} {\ log 2} = 74.5\ end {align*}

      que corresponde 13

    (Opcional) — Crecimiento Logístico de la Población

    El crecimiento logístico agrega una arruga más al modelo poblacional simple. Se asume que la población sólo tiene acceso a recursos limitados. A medida que crece el tamaño de la población, disminuye la cantidad de alimentos disponibles para cada miembro. Esto a su vez hace que la tasa neta de\(b\) natalidad disminuya. En el modelo de crecimiento logístico\(b=b_0\left(1-\tfrac{P}{K}\right)\text{,}\) donde\(K\) se llama la capacidad de carga del medio ambiente, de manera que

    \ begin {reunir*} P' (t) =b_0\ izquierda (1-\ frac {P (t)} {K}\ derecha) P (t)\ end {reunir*}

    Podemos aprender bastante sobre el comportamiento de las soluciones a ecuaciones diferenciales como esta, sin encontrar fórmulas para las soluciones, con solo observar el signo de\(P'(t)\text{.}\) Para concreción, veremos soluciones de la ecuación diferencial

    \ comenzar {reunir*}\ dfrac {dP} {dt} (t) =\ grande (\ ,6000-3P (t)\,\ grande)\, P (t)\ final {reunir*}

    Vamos a esbozar las gráficas de cuatro funciones\(P(t)\) que obedecen a esta ecuación.

    • Para la primera función,\(P(0)=0\text{.}\)
    • Para la segunda función,\(P(0)=1000\text{.}\)
    • Para la tercera función,\(P(0)=2000\text{.}\)
    • Para la cuarta función,\(P(0)=3000\text{.}\)

    Los bocetos se basarán en la observación de que\((6000-3P)\,P=3(2000-P)\,P\)

    • es cero para\(P=0,\ 2000\text{,}\)
    • es estrictamente positivo para\(0 \lt P \lt 2000\) y
    • es estrictamente negativo para\(P \gt 2000\text{.}\)

    Consecuentemente

    \ begin {align*}\ dfrac {dP} {dt} (t)\\ begin {cases} =0 &\ text {if} P (t) =0\\\ gt 0 &\ text {if} 0\ lt P (t)\ lt 2000\\ =0 &\ text {if} P (t) =2000\\ lt 0 &\ text {if} P (t)\ gt\ end {cases}\ end {align*}

    Así si\(P(t)\) es alguna función que obedece\(\dfrac{dP}{dt}(t)=\big(6000-3P(t)\big)P(t)\text{,}\) entonces como la gráfica de\(P(t)\) pasa a través\(\big(t,P(t)\big)\)

    \ begin {align*}\ text {la gráfica tiene}\ begin {cases}\ text {pendiente cero,} &\ text {es decir, es horizontal, si} P (t) =0\\\ text {pendiente positiva,} &\ text {es decir, está aumentando, si} 0\ lt P (t)\ lt 2000\\ text {pendiente cero,} &\ text {es decir, es horizontal, si} P (t) =2000\\\ texto {pendiente negativa,} &\ texto {es decir, es decreciente, si} 0\ lt P (t)\ lt 2000\ end {cases}\ end {align*}

    como se ilustra en la figura

    Como consecuencia de ello,

    • si\(P(0)=0\text{,}\) la gráfica comienza horizontalmente. Es decir, a medida que\(t\) empieza a aumentar, se\(P(t)\) mantiene en cero, por lo que la pendiente de la gráfica se mantiene en cero. El tamaño de la población sigue siendo cero para todos los tiempos. Como cheque, observe que la función\(P(t)=0\) obedece\(\dfrac{dP}{dt}(t)=\big(6000-3P(t)\big)P(t)\) para todos\(t\text{.}\)
    • De igual manera, si\(P(0)=2000\text{,}\) la gráfica vuelve a comenzar horizontalmente. Así\(P(t)\) se mantiene en\(2000\) y la pendiente se mantiene en cero. El tamaño de la población se mantiene en 2000 para todos los tiempos. Nuevamente, la función\(P(t)=2000\) obedece\(\dfrac{dP}{dt}(t)=\big(6000-3P(t)\big)P(t)\) para todos\(t\text{.}\)
    • Si\(P(0)=1000\text{,}\) la gráfica comienza con pendiente positiva. Así\(P(t)\) aumenta con\(t\text{.}\) As\(P(t)\) aumenta hacia el 2000, la pendiente sin\((6000-3P(t)\big)P(t)\text{,}\) dejar de ser positiva, se acerca cada vez más a cero. A medida que la gráfica se acerca a la altura 2000, se vuelve cada vez más horizontal. La gráfica en realidad no puede cruzar desde abajo del 2000 hasta arriba del 2000, porque para ello, tendría que tener pendiente estrictamente positiva para algún valor\(P\) superior al 2000, lo cual no está permitido.
    • Si\(P(0)=3000\text{,}\) la gráfica comienza con pendiente negativa. Así\(P(t)\) disminuye con\(t\text{.}\) As\(P(t)\) disminuye hacia 2000, la pendiente\((6000-3P(t)\big)P(t)\text{,}\) mientras permanece negativa, se acerca cada vez más a cero. A medida que la gráfica se acerca a la altura 2000, se vuelve cada vez más horizontal. La gráfica en realidad no puede cruzar de arriba de 2000 a menos de 2000, porque para ello, tendría que tener pendiente negativa para algún valor\(P\) inferior a 2000. lo cual no está permitido.

    Estas curvas se esbozan en la siguiente figura. Concluimos que para cualquier tamaño de población inicial\(P(0)\text{,}\) excepto\(P(0)=0\text{,}\) el tamaño de la población se aproxima\(2000\) como\(t\rightarrow\infty\text{.}\)

    Ejercicios

    Ejercicios para § 3.3.1

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuál de las siguientes es una ecuación diferencial para una función desconocida\(y\) de\(x\text{?}\)

    \ begin {align*} &\ mbox {(a)} y=\ dfrac {dy} {dx} & &\ mbox {(b)}\ dfrac {dy} {dx} =3\ izquierda [y-5\ derecha] &\ mbox {(c)} y=3\ izquierda [y-\ dfrac {dx} {dx} {dx}\ derecha]\\ &\ mbox {(d)} e^x=e^y+1 & &\ mbox {(e)} y=10e^x\ end {alinear*}

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    ¿Cuál de las siguientes funciones\(Q(t)\) satisface la ecuación diferencial?\(Q(t)=5\displaystyle\dfrac{dQ}{dt}\text{?}\)

    \ begin {align*} &\ mbox {(a)} Q (t) =0& &\ mbox {(b)} Q (t) =5e^t& &\ mbox {(c)} Q (t) =e^ {5t}\\ &\ mbox {(d)} Q (t) =e^ {t/5} &\ mbox {(e)} Q (t) =e^ {t/5} +1\ end {align*}

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que una muestra comienza con\(C\) gramos de un isótopo radiactivo, y la cantidad del isótopo radiactivo que queda en la muestra en el momento\(t\) viene dada por

    \[ Q(t)=Ce^{-kt} \nonumber \]

    para alguna constante positiva\(k\text{.}\) ¿Cuándo\(Q(t)=0\text{?}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

    Considerar una función de la forma\(f(x) = A e^{kx}\) donde\(A\) y\(k\) son constantes. Si\(f(0)=5\) y\(f(7)=\pi\text{,}\) encontrar las constantes\(A\) y\(k\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

    Encuentra la función\(y(t)\) si\(\displaystyle\dfrac{dy}{dt} +3y = 0\text{,}\)\(y(1) = 2\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Una muestra de hueso pertenece a un animal que murió hace 10 mil años. Si el hueso contenía 5\(\mu\) g de Carbono-14 cuando murió el animal, ¿cuánto Carbono-14 esperas que tenga ahora?

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Una muestra que contenía un gramo de Radio-226 fue almacenada en un laboratorio hace 100 años; ahora la muestra solo contiene 0.9576 gramos de Radio-226. ¿Cuál es la vida media de Radium-226?

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

    La masa de una muestra de Polonio—210, inicialmente 6 gramos, disminuye a una tasa proporcional a la masa. Después de un año, queda 1 gramo. ¿Cuál es la semivida (el tiempo que tarda la muestra en decairse a la mitad de su masa original)?

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    El radio-221 tiene una vida media de 30 segundos. ¿Cuánto tiempo tarda solo 0.01% de una muestra original en quedar?

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    El polonio-210 tiene una vida media de 138 días. ¿Qué porcentaje de una muestra de Polonio-210 decae en un día?

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Se encuentra que una muestra de mineral contiene\(7.2 \pm 0.3\;\mu\) g de Uranio-232, cuya vida media está entre 68.8 y 70 años. ¿Cuánto Uranio-232 quedará sin descomponerse en la muestra en 10 años?

    Ejercicios para § 3.3.2

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuál de las siguientes funciones\(T(t)\) satisface la ecuación diferencial?\(\displaystyle\dfrac{dT}{dt}=5\left[T-20\right]\text{?}\)

    \ begin {align*} &\ mbox {(a)} T (t) =20 & &\ mbox {(b)} T (t) =20e^ {5t} -20 &\ mbox {(c)} T (t) =e^ {5t} +20\ &\ mbox {(d)} T (t) =20e^ {5t} +20\ end alinear*}

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Al momento se coloca\(t=0\text{,}\) un objeto en una habitación, de temperatura\(A\text{.}\) Después de\(t\) segundos, la Ley de Enfriamiento de Newton da que la temperatura del objeto es como

    \[ T(t)=35e^{Kt}-10 \nonumber \]

    ¿Cuál es la temperatura de la habitación? ¿La habitación es más cálida o más fría que el objeto?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Un objeto cálido se coloca en una cámara frigorífica. La temperatura del objeto, con el tiempo, se acerca a la temperatura de la habitación en la que se encuentra. La temperatura del objeto en el momento\(t\) viene dada por

    \[ T(t)=[T(0)-A]e^{Kt}+A. \nonumber \]

    ¿Puede\(K\) ser un número positivo? ¿Puede\(K\) ser un número negativo? ¿Puede\(K\) ser cero?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que un objeto obedece a la Ley de Enfriamiento de Newton, y su temperatura viene dada por

    \[ T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A \nonumber \]

    para alguna constante ¿\(k\text{.}\)A qué hora es\(T(t)=A\text{?}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Un trozo de cobre a temperatura ambiente (25\(^\circ\)) se coloca en una olla de agua hirviendo. Después de 10 segundos, se ha calentado a 90\(^\circ\text{.}\) Cuando será 99.9\(^\circ\text{?}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Hoy es un día frío. Calentamos una piedra a 500\(^\circ\) C en una hoguera, luego la sacamos y la dejamos afuera, donde la temperatura es de 0\(^\circ\) C. Después de 10 minutos fuera de la hoguera, la piedra se había enfriado a un 100\(^\circ\) C aún intocable Ahora la piedra está a un acogedor 50\(^\circ\) C. ¿Cuánto tiempo hace que se tomó la piedra fuera del fuego?

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

    Isaac Newton se bebe su café con crema. Para ser exactos, 9 partes de café por 1 parte de crema. Su casera le vierte una taza de café a\(95^\circ\) C en la que Newton revuelve la crema tomada de la nevera en\(5^\circ\) C. Cuando bebe la mezcla diez minutos después, señala que se ha enfriado a\(54^\circ\) C. Newton se pregunta si su café estaría más caliente (y por cuánto) si esperó hasta justo antes beberlo para agregar la crema. Analice esta pregunta, asumiendo que:

    1. La temperatura del comedor es constante a\(22^\circ\) C.
    2. Cuando\(T_1\) se mezcla un volumen\(V_1\) de líquido a temperatura con un volumen\(V_2\) a temperatura,\(T_2\text{,}\) la temperatura de la mezcla es\(\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}\text{.}\)
    3. Ley de enfriamiento de Newton: La temperatura de un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su entorno.
    4. La constante de proporcionalidad es la misma para la taza de café con crema que para la taza de café puro.
    Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

    La temperatura de un vaso de té helado es inicialmente\(5^\circ\text{.}\) Después de 5 minutos, el té se ha calentado a\(10^\circ\) en una habitación donde la temperatura del aire es\(30^\circ\text{.}\)

    1. Utilice la ley de enfriamiento de Newton para obtener una ecuación diferencial para la temperatura\(T(t)\) en el tiempo\(t\text{.}\)
    2. Determinar cuándo el té alcanzará una temperatura de\(20^\circ\text{.}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Supongamos que un objeto está cambiando de temperatura de acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, y su temperatura en el momento\(t\) viene dada por

    \[ T(t)=0.8^{kt}+15 \nonumber \]

    ¿Es\(k\) positivo o negativo?

    Ejercicios para § 3.3.3

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Que una población en su momento\(t\) sea dada por el modelo maltusiano,

    \[ P(t)=P(0)e^{bt}\mbox{ for some positive constant } b. \nonumber \]

    Evaluar\(\displaystyle\lim_{t \to \infty}P(t)\text{.}\) ¿Tiene sentido este modelo para grandes valores de\(t\text{?}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    En la década de 1950, se pensaba que los bisontes de madera de raza pura estaban extintos. Sin embargo, en Canadá se encontró una pequeña población. Durante décadas, un programa de cría en cautividad ha estado trabajando para aumentar su número, y de vez en cuando los bisontes de madera son liberados a la naturaleza. Supongamos que en 2015, un rebaño liberado contaba con 121 animales, y un año después, había 136 14. Si el bisonte de madera se adhiere al modelo maltusiano (¡una gran suposición!) , y si no hay más liberaciones de animales cautivos, ¿cuántos animales tendrá el rebaño en 2020?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Una colonia fundadora de 1,000 bacterias se coloca en una placa de Petri de alimento de bacterias delicioso. Después de una hora, la población se ha duplicado. Asumiendo el modelo maltusiano, ¿cuánto tiempo tardará la colonia en triplicar su población original?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Un solo par de ratas llega a una isla tras un naufragio. Se multiplican según el modelo maltusiano. En 1928, había mil ratas en la isla, y al año siguiente había 1500. ¿Cuándo fue el naufragio?

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Un granjero quiere sembrar cochinillas, que son insectos que se utilizan para hacer el tinte rojo. El agricultor cría un pequeño número de cochinillas como prueba. En tres meses, una población de prueba de cochinillas aumentará de 200 individuos a 1000, dado un amplio espacio y comida.

    El plan del agricultor es comenzar con una población inicial de\(P(0)\) cochinillas, y después de un año tener\(1\,000\,000+P(0)\) cochinillas, para que se pueda cosechar un millón, y\(P(0)\) ahorrar para comenzar a reproducirse nuevamente. ¿\(P(0)\)Qué población inicial sugiere el modelo maltusiano?

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dejar que\(f(t)=100e^{kt}\text{,}\) por alguna constante\(k\text{.}\)

    1. Si\(f(t)\) es la cantidad de un isótopo radiactivo en descomposición en una muestra en el momento\(t\text{,}\) cuál es la cantidad del isótopo en la muestra cuando\(t=0\text{?}\) ¿Cuál es el signo de\(k\text{?}\)
    2. Si\(f(t)\) es el número de individuos en una población que está creciendo según el modelo maltusiano, cuántos individuos hay cuando\(t=0\text{?}\) ¿Cuál es el signo de\(k\text{?}\)
    3. Si la temperatura de un objeto en el momento\(f(t)\) está\(t\text{,}\) dada por la Ley de Enfriamiento de Newton, ¿cuál es la temperatura ambiente que rodea al objeto? ¿Cuál es el signo de\(k\text{?}\)

    Subsubsección Problemas adicionales para § 3.3

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\) (✳)

    Encuentra\(f(2)\) si\(f'(x) = \pi f(x)\) para todos\(x\text{,}\) y\(f(0) = 2\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Qué funciones\(T(t)\) satisfacen la ecuación diferencial\(\displaystyle\dfrac{dT}{dt}=7T+9\text{?}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\) (✳)

    Se necesitan 8 días para que el 20% de un material radiactivo en particular se descomponga. ¿Cuánto tiempo tardan 100 gramos del material en descomponerse a 40 gramos?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Un vaso de agua hirviendo se deja en una habitación. Después de 15 minutos, se ha enfriado a 85\(^\circ\) C, y después de 30 minutos es de 73\(^\circ\) C. ¿Qué temperatura es la habitación?

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

    A un egresado de 25 años de la UBC se le dan 50.000 dólares los cuales se invierten al 5% anual agravados continuamente. El egresado también pretende depositar dinero de manera continua a razón de 2000 dólares anuales. Suponiendo que la tasa de interés se mantiene 5%, la cantidad\(A(t)\) de dinero en el momento\(t\) satisface la ecuación

    \[ \dfrac{dA}{dt}= 0.05 A+2000 \nonumber \]

    1. Resuelve esta ecuación y determina la cantidad de dinero en la cuenta cuando el egresado tenga 65 años.
    2. A los 65 años, el egresado retirará dinero continuamente a razón de\(W\) dólares anuales. Si el dinero debe durar hasta que la persona esté 85, cuál es el mayor valor posible de\(W\text{?}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{6}\) (✳)

    Un inversionista pone 120,000 dólares que en una cuenta bancaria que paga 6% de interés anual, compuesto continuamente. Ella planea retirar dinero continuamente de la cuenta a razón de $9000 anuales. Si\(A(t)\) es la cantidad de dinero en el momento\(t\text{,}\) entonces

    \[ \dfrac{dA}{dt}= 0.06 A-9000 \nonumber \]

    1. Resuelve esta ecuación para\(A(t)\text{.}\)
    2. ¿Cuándo se acabará el dinero?
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

    Un cultivo bacteriano particular crece a una velocidad proporcional al número de bacterias presentes. Si el tamaño del cultivo se triplica cada nueve horas, ¿cuánto tiempo tarda el cultivo en duplicarse?

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

    Un objeto cae bajo gravedad cerca de la superficie de la tierra y su movimiento se ve obstaculizado por la resistencia del aire proporcional a su velocidad. Su velocidad\(v\) satisface la ecuación diferencial

    \[ \dfrac{dv}{dt}=-g-kv \nonumber \]

    donde\(g\) y\(k\) son constantes positivas.

    1. Encuentra la velocidad del objeto en función del tiempo\(t\text{,}\) dado que estaba\(v_0\) en\(t=0\text{.}\)
    2. Encuentra\(\lim\limits_{t\rightarrow\infty} v(t)\text{.}\)

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