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3.6: Croquizar gráficos

  • Page ID
    118031
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    Una de las aplicaciones más obvias de los derivados es ayudarnos a entender la forma de la gráfica de una función. En esta sección utilizaremos nuestro conocimiento acumulado de derivados para identificar las características cualitativas más importantes de\(y=f(x)\text{.}\) las gráficas El objetivo de esta sección es resaltar características de la gráfica\(y=f(x)\) que son fácilmente

    • determinado a partir de\(f(x)\) sí mismo, y
    • deducida de\(f'(x)\text{,}\) y
    • leer de\(f''(x)\text{.}\)

    Luego usaremos las ideas para bosquejar varios ejemplos.

    Dominio, Interceptos y Asíntotas

    Dada una función\(f(x)\text{,}\) hay varias características importantes que podemos determinar a partir de esa expresión antes de examinar sus derivadas.

    • El dominio de la función — tomar nota de los valores donde\(f\) no existe. Si la función es racional, busca donde el denominador es cero. Del mismo modo, tenga cuidado de buscar raíces de números negativos u otras posibles fuentes de discontinuidades.
    • Intercepciones — examinar dónde la función cruza el\(x\) eje y el\(y\) eje -mediante la resolución\(f(x)=0\) y el cálculo\(f(0)\text{.}\)
    • Asíntotas verticales — buscar valores de\(x\) a los que\(f(x)\) estalla. Si\(f(x)\) se acerca ya sea\(+\infty\) o\(-\infty\) como\(x\) enfoques\(a\) (o posiblemente como\(x\) enfoques\(a\) desde un lado) entonces\(x=a\) es una asíntota vertical a\(y=f(x)\text{.}\) Cuando\(f(x)\) es una función racional (escrita para que se cancelen factores comunes), entonces\(y=f(x)\) tiene asíntotas verticales en los ceros del denominador.
    • Asíntotas horizontales — examinar los límites de\(f(x)\) como\(x\to+\infty\) y\(x\to-\infty\text{.}\) A menudo\(f(x)\) tenderán a\(+\infty\)\(-\infty\) o a un límite finito\(L\text{.}\) Si, por ejemplo,\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L\text{,}\) entonces\(y=L\) es una asíntota horizontal a\(y=f(x)\) como\(x\rightarrow\infty\text{.}\)
    Ejemplo 3.6.1 Dominio, intercepciones y asíntotas de\(\frac{x+1}{(x+3)(x-2)}\).

    Considera la función

    \ begin {align*} f (x) &=\ frac {x+1} {(x+3) (x-2)}\ end {align*}

    • Vemos que se define en todos los números reales excepto\(x=-3,+2\text{.}\)
    • Desde\(f(0)=-1/6\) y\(f(x)=0\) solo cuando\(x=-1\text{,}\) la gráfica tiene\(y\) -interceptar\((0,-1/6)\) y\(x\) -interceptar\((-1,0)\text{.}\)
    • Dado que la función es racional y su denominador es cero en\(x=-3,+2\) ella tendrá asíntotas verticales en\(x=-3,+2\text{.}\) Para determinar la forma alrededor de esas asíntotas necesitamos examinar los límites

      \ begin {align*}\ lim_ {x\ a -3} f (x) &&\ lim_ {x\ to2} f (x)\ end {align*}

      Observe que cuando\(x\) está cerca de\(-3\text{,}\) los factores\((x+1)\) y ambos\((x-2)\) son negativos, por lo que el signo de\(f(x) = \frac{x+1}{x-2} \cdot \frac{1}{x+3}\) es el mismo que el signo de\(x+3\text{.}\) De ahí

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a -3^+} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ a -3^-} f (x) &= -\ infty\ end {alinear*}

      Un análisis similar cuando\(x\) está cerca\(2\) da

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2^+} f (x) &= +\ infty &\ lim_ {x\ a 2^-} f (x) &= -\ infty\ end {alinear*}

    • Finalmente como el numerador tiene grado 1 y el denominador tiene grado 2, vemos\(x \to \pm \infty\text{,}\)\(f(x) \to 0\text{.}\) que como So\(y=0\) es una asíntota horizontal.
    • Ya que conocemos el comportamiento alrededor de las asíntotas y conocemos las ubicaciones de las intercepciones (como se muestra en la gráfica de la izquierda a continuación), entonces podemos unir las piezas y suavizarlas para obtener el un buen boceto de esta función (abajo a la derecha).

    Primera Derivada: Aumento o Disminución

    Ahora pasamos a la primera derivada,\(f'(x)\text{.}\) Este es un buen momento para volver a visitar el teorema del valor medio (Teorema 2.13.5) y algunas de sus consecuencias (Corolario 2.13.12). En particular, supongamos que\(f(x)\) es continuo en un intervalo\([A,B]\) y diferenciable en\((A,B)\text{.}\) Entonces

    • si\(f'(x) \gt 0\) para todos\(A \lt x \lt B\text{,}\) entonces\(f(x)\) está aumentando en\((A,B)\)

      — es decir, para todos\(A \lt a \lt b \lt B\text{,}\)\(f(a) \lt f(b)\text{.}\)

    • si\(f'(x) \lt 0\) para todos\(A \lt x \lt B\text{,}\) entonces\(f(x)\) es decreciente en\((A,B)\)

      — es decir, para todos\(A \lt a \lt b \lt B\text{,}\)\(f(a) \gt f(b)\text{.}\)

    Así, el signo de la derivada nos indica si la función está aumentando o disminuyendo. Además, como discutimos en la Sección 3.5.1, también debemos examinar puntos en los que la derivada es cero —puntos críticos— y donde la derivada no existe —puntos singulares—. Estos puntos podrán indicar un máximo o mínimo local.

    Después de estudiar la función\(f(x)\) como se describió anteriormente, debemos calcular su derivada\(f'(x)\text{.}\)

    • Puntos críticos — determinar dónde\(f'(x)=0\text{.}\) En un punto crítico,\(f\) tiene una tangente horizontal.
    • Puntos singulares — determinar dónde no\(f'(x)\) está definido. Si\(f'(x)\) se acerca\(\pm\infty\) como\(x\) se acerca a un punto singular\(a\text{,}\) entonces\(f\) tiene una tangente vertical allí cuando se\(f\) acerca a un valor finito como\(x\) se acerca\(a\) (o posiblemente se acerca\(a\) desde un lado) y una asíntota vertical cuando\(f(x)\) enfoques\(\pm\infty\) como\(x\) enfoques\(a\) (o posiblemente enfoques\(a\) desde un lado).
    • Creciente y decreciente — dónde está la derivada positiva y dónde es negativa. Observe que para que la derivada cambie de signo, debe pasar por cero (un punto crítico) o tener un punto singular. Así, las regiones vecinas de incremento y disminución estarán separadas por puntos críticos y singulares.
    Ejemplo 3.6.2 Un polinomio simple.

    Considera la función

    \ begin {align*} f (x) &= x^4-6x^3\ end {alinear*}

    • Antes de pasar a los derivados, examinemos primero la función misma como lo hicimos anteriormente.
      • Como\(f(x)\) es un polinomio su dominio es todo números reales.
      • Su\(y\) -intercepción está en\((0,0)\text{.}\) Encontramos sus\(x\) -intercepciones factorizando

        \ begin {align*} f (x) &=x^4-6x^3 = x^3 (x-6)\ end {alinear*}

        Entonces cruza el\(x\) eje en\(x=0,6\text{.}\)
      • Nuevamente, como la función es un polinomio no tiene asíntotas verticales. Y desde

        \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ pm\ infty} f (x) &=\ lim_ {x\ a\ pm\ infty} x^4 (1-6/x) = +\ infty\ end {alinear*}

        no tiene asíntotas horizontales — sopla hasta\(+\infty\) como\(x\) va a\(\pm\infty\text{.}\)
      • También podemos determinar donde la función es positiva o negativa ya que sabemos que es continua en todas partes y cero en\(x=0,6\text{.}\) Así debemos examinar los intervalos

        \ begin {align*} (-\ infty,0) && (0,6) && (6,\ infty)\ end {align*}

        Cuando\(x \lt 0\text{,}\)\(x^3 \lt 0\) y\(x-6 \lt 0\) así\(f(x) = x^3(x-6) = (\text{negative})(\text{negative}) \gt 0\text{.}\) Del mismo modo cuando\(x \gt 6\text{,}\)\(x^3 \gt 0, x-6 \gt 0\) debemos tener\(f(x) \gt 0\text{.}\) Finalmente cuando\(0 \lt x \lt 6\text{,}\)\(x^3 \gt 0\) pero\(x-6 \lt 0\) así\(f(x) \lt 0\text{.}\) Así

        intervalo \((-\infty,0)\) 0 \((0,6)\) 6 \((6,\infty)\)
        \(f(x)\) positivo 0 negativo 0 positivo
      • Con base en esta información ya podemos construir un boceto en bruto.
    • Ahora calculamos su derivada

      \ begin {align*} f' (x) &= 4x^3-18x^2 = 2x^2 (2x-9)\ end {align*}

    • Dado que la función es un polinomio, no tiene ningún punto singular, pero sí tiene dos puntos críticos en\(x=0, 9/2\text{.}\) Estos dos puntos críticos dividen la línea real en 3 intervalos abiertos

      \ begin {align*} (-\ infty, 0) && (0,9/2) && (9/2,\ infty)\ end {align*}

      Necesitamos determinar el signo de la derivada en cada intervalo.

      • Cuando\(x \lt 0\text{,}\)\(x^2 \gt 0\) pero\((2x-9) \lt 0\text{,}\) así\(f'(x) \lt 0\) y la función es decreciente.
      • Cuando\(0 \lt x \lt 9/2\text{,}\)\(x^2 \gt 0\) pero\((2x-9) \lt 0\text{,}\) así\(f'(x) \lt 0\) y la función sigue disminuyendo.
      • Cuándo\(x \gt 9/2\text{,}\)\(x^2 \gt 0\) y\((2x-9) \gt 0\text{,}\) así\(f'(x) \gt 0\) y la función va en aumento.

      A continuación, podemos resumir esto en la siguiente tabla

      intervalo \((-\infty,0)\) 0 \((0,9/2)\) 9/2 \((9/2,\infty)\)
      \(f'(x)\) negativo 0 negativo 0 positivo
        decreciente
      tangente horizontal
      decreciente mínimo aumentando

      Dado que la derivada cambia signo de negativo a positivo en el punto crítico\(x=9/2\text{,}\) este punto es mínimo. Su\(y\) -valor es

      \ begin {align*} y&=f (9/2) =\ frac {9^3} {2^3}\ izquierda (\ frac {9} {2} - 6\ derecha)\\ &=\ frac {3^6} {2^3}\ cdot\ izquierda (\ frac {-3} {2}\ derecha) = -\ frac {3^7} {2^4}\ end {alinear*}

      Por otra parte, en\(x=0\) la derivada no cambia de signo; mientras que este punto tiene una línea tangente horizontal no es mínima ni máxima.

    • Armando esta información llegamos a un boceto bastante razonable.

      Para mejorar esto más a fondo examinaremos la segunda derivada.

    Segunda Derivada — Concavidad

    La segunda derivada nos\(f''(x)\) dice la velocidad a la que cambia la derivada. Quizás la forma más fácil de entender cómo interpretar el signo de la segunda derivada es pensar en lo que implica sobre la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función. Considere los siguientes bocetos de\(y=1+x^2\) y\(y=-1-x^2\text{.}\)

    • En el caso de\(y = f(x) = 1+x^2\),\(f''(x) = 2 \gt 0\text{.}\) Observe que esto significa la pendiente,\(f'(x)\text{,}\) de la línea tangente a la gráfica en\(x\) incrementos a medida que\(x\) aumenta. Al mirar la figura de arriba a la izquierda, vemos que la gráfica siempre se encuentra por encima de las líneas tangentes.
    • Para\(y = f(x) = -1-x^2\),\(f''(x) = -2 \lt 0\text{.}\) La pendiente,\(f'(x)\text{,}\) de la línea tangente a la gráfica en\(x\) disminuciones a medida que\(x\) aumenta. Al mirar la figura de arriba a la derecha, vemos que la gráfica siempre se encuentra por debajo de las líneas tangentes.

    De manera similar, considere los siguientes bocetos de\(y=x^{-1/2}\) y\(y=\sqrt{4-x}\text{:}\)

    Ambos de sus derivados,\(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\) y\(-\frac{1}{2}(4-x)^{-1/2}\text{,}\) son negativos, por lo que son funciones decrecientes. El examen de segundas derivadas muestra algunas diferencias.

    • Para la primera función,\(y''(x) = \frac{3}{4}x^{-5/2} \gt 0\text{,}\) por lo que las pendientes de las líneas tangentes van aumentando con\(x\) y la gráfica se encuentra por encima de sus líneas tangentes.
    • Sin embargo, la segunda función tiene\(y''(x) = -\frac{1}{4}(4-x)^{-3/2} \lt 0\) por lo que las pendientes de las líneas tangentes están disminuyendo con\(x\) y la gráfica se encuentra por debajo de sus líneas tangentes.

    De manera más general

    Definición 3.6.3.

    \(f(x)\)Sea una función continua en el intervalo\([a,b]\) y supongamos que su primera y segunda derivadas existen en ese intervalo.

    • Si\(f''(x) \gt 0\) por todos\(a \lt x \lt b\text{,}\) entonces la gráfica de\(f\) yace por encima de sus líneas tangentes para\(a \lt x \lt b\) y se dice que es cóncava hacia arriba.
    • Si\(f''(x) \lt 0\) para todos\(a \lt x \lt b\text{,}\) entonces la gráfica de\(f\) yace por debajo de sus líneas tangentes para\(a \lt x \lt b\) y se dice que es cóncava hacia abajo.
    • Si\(f''(c)=0\) para algunos\(a \lt c \lt b\text{,}\) y la concavidad de\(f\) los cambios a través\(x=c\text{,}\) entonces llamamos punto\((c,f(c))\) de inflexión.

    Tenga en cuenta que también se podrían ver los términos

    • “convexo” o “convexo hacia arriba” utilizado en lugar de “cóncavo hacia arriba”, y
    • “cóncavo” o “convexo hacia abajo” solía significar “cóncavo hacia abajo”.

    Para evitar confusiones recomendamos que el lector se pegue con los términos “cóncavo hacia arriba” y “cóncavo hacia abajo”.

    Continuemos ahora Ejemplo 3.6.2 discutiendo la concavidad de la curva.

    Ejemplo 3.6.4 Continuación de 3.6.2.

    Considerar de nuevo la función

    \ begin {align*} f (x) &= x^4-6x^3\ end {alinear*}

    • Su primera derivada es\(f'(x)=4x^3-18x^2\text{,}\) tan

      \ begin {align*} f "(x) &= 12x^2 - 36x = 12x (x-3)\ end {alinear*}

    • Así la segunda derivada es cero (y potencialmente cambia signo) en\(x=0,3\text{.}\) Así debemos considerar el signo de la segunda derivada en los siguientes intervalos

      \ begin {align*} (-\ infty,0) && (0,3) && (3,\ infty)\ end {align*}

      Un poco de álgebra nos da

      intervalo \((-\infty,0)\) 0 \((0,3)\) 3 \((3,\infty)\)
      \(f''(x)\) positivo 0 negativo 0 positivo
      concavidad arriba inflexión abajo inflexión arriba

      Dado que la concavidad cambia en ambos\(x=0\) y\(x=3\text{,}\) los siguientes son puntos de inflexión

      \ begin {align*} (0,0) && (3,3^4-6\ times3^3) = (3, -3^4)\ end {align*}

    • Armando esto con la información que obtuvimos anteriormente nos da el siguiente boceto

    Simetrías

    Antes de proceder a algunos ejemplos, debemos examinar algunas simetrías simples que poseen algunas funciones. Veremos tres simetrías: uniformidad, rareza y periodicidad. Si una función posee una de estas simetrías entonces puede ser explotada para reducir la cantidad de trabajo requerido para bosquejar la gráfica de la función.

    Empecemos con funciones pares e impares.

    Definición 3.6.5.

    \(f(x)\)Se dice que una función es aunque\(f(-x)=f(x)\) para todos\(x\text{.}\)

    Definición 3.6.6.

    Se dice que una función\(f(x)\) es impar si\(f(-x)=-f(x)\) para todos\(x\text{.}\)

    Ejemplo 3.6.7 Una función par y una función impar.

    Let\(f(x) = x^2\) y\(g(x)=x^3\text{.}\) Entonces

    \ begin {alinear*} f (-x) &= (-x) ^2 = x^2 = f (x)\\ g (-x) &= (-x) ^3 = -x^3 = -g (x)\ end {alinear*}

    De ahí\(f(x)\) que sea par y\(g(x)\) es impar.

    Observe que cualquier polinomio que involucre solo incluso poderes de\(x\) será par

    \ begin {align*} f (x) &= 7x^6+2x^4-3x^2+5 &\ text {recuerda eso} 5=5x^0\\ f (-x) &= 7 (-x) ^6+2 (-x) ^4-3 (-x) ^2+5\\ &= 7x^6+2x^4-3x^2+5 = f (x)\ end {align*}

    Del mismo modo, cualquier polinomio que involucre solo poderes impares de\(x\) será impar

    \ begin {alinear*} g (x) &= 2x^5-8x^3-3x\\ g (-x) &= 2 (-x) ^5-8 (-x) ^3-3 (-x)\\ &= -2x^5+8x^3+3x = -g (x)\ end {align*}

    No todas las funciones pares e impares son polinomios. Por ejemplo

    \ begin {align*} |x| &&\ cos x &&\ text {y} (e^x + e^ {-x})\ end {align*}

    son todos parejos, mientras

    \ begin {align*}\ sin x &&\ tan x &&\ text {y} (e^x-e^ {-x})\ end {align*}

    son todos impares. En efecto, dada cualquier función\(f(x)\text{,}\) la función

    \ begin {align*} g (x) &= f (x) +f (-x) &\ text {será par, y}\\ h (x) &= f (x) -f (-x) &\ text {será impar.} \ end {alinear*}

    Ahora veamos cómo podemos hacer uso de estas simetrías para facilitar el boceto gráfico. Que\(f(x)\) sea una función parejo. Entonces

    \ begin {reunir*}\ text {el punto} (x_0, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\ end {reunir*}

    si y solo si\(y_0= f(x_0) = f(-x_0)\) cual es el caso si y solo si

    \ begin {reunir*}\ text {el punto} (-x_0, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x). \ end {reunir*}

    Observe que los puntos\((x_0,y_0)\) y\((-x_0,y_0)\) son solo reflejos unos de otros a través del\(y\) eje. En consecuencia, para dibujar la gráfica\(y=f(x)\text{,}\) basta con dibujar la parte de la gráfica con\(x\ge 0\) y luego reflejarla en el\(y\) eje —. Aquí hay un ejemplo. La parte con\(x\ge 0\) está a la izquierda y la gráfica completa está a la derecha.

    De manera muy similar, cuando\(f(x)\) es una función impar entonces

    \ begin {reunir*} (x_0, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\ end {reunir*}

    si y solo si

    \ begin {reunir*} (-x_0, -y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\ end {reunir*}

    Ahora la simetría es un poco más difícil de interpretar pictóricamente. Para obtener de\((x_0,y_0)\) a\((-x_0,-y_0)\) uno primero se puede reflejar\((x_0,y_0)\) en el\(y\) eje —para llegar\((-x_0,y_0)\) y luego reflejar el resultado en el\(x\) eje —para llegar a\((-x_0,-y_0)\text{.}\) En consecuencia, para dibujar la gráfica\(y=f(x)\text{,}\) basta con dibujar la parte de la gráfica con\(x\ge 0\) y luego reflejar primero en el\(y\) eje —y luego en el\(x\) eje —. Aquí hay un ejemplo. Primero, aquí está la parte de la gráfica con\(x\ge 0\text{.}\)

    A continuación, como paso intermedio (generalmente hecho en nuestras cabezas y no en papel), agregamos en la reflexión en el\(y\) eje —eje.

    Finalmente para obtener el gráfico completo, reflejamos la línea discontinua en el\(x\) eje —

    y luego retire la línea discontinua.

    Hagamos un ejemplo más sustancial de una función par

    Ejemplo 3.6.8 Una función incluso racional.

    Considera la función

    \ begin {alinear*} g (x) &=\ frac {x^2-9} {x^2+3}\ end {alinear*}

    • La función es incluso desde

      \ begin {alinear*} g (-x) &=\ frac {(-x) ^2-9} {(-x) ^2+3} =\ frac {x^2-9} {x^2+3} = g (x)\ end {alinear*}

      Por lo tanto, basta con estudiar la función\(x\geq0\) porque entonces podemos usar la simetría par para entender lo que sucede para\(x \lt 0\text{.}\)
    • La función se define en todos los números reales ya que su denominador nunca\(x^2+3\) es cero. De ahí que no tenga asíntotas verticales.
    • El\(y\) -intercepto es\(g(0) = \frac{-9}{3} = -3\text{.}\) Y\(x\) -intercepciones están dadas por la solución de\(x^2-9=0\text{,}\) saber\(x=\pm 3\text{.}\) Tenga en cuenta que sólo necesitamos establecer\(x=3\) como una intercepción. Entonces ya que\(g\) es parejo, sabemos que también\(x=-3\) es una intercepción.
    • Para encontrar las asíntotas horizontales calculamos el límite como\(x\to+\infty\)

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty} g (x) &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {x^2-9} {x^2+3}\\ &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {x^2 (1-9/x^2)} {x^2 (1+3/x^2)}\ =\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1-9/x^2} {1+3/x^2} = 1\ final {alinear*}

      Así\(y=1\) es una asíntota horizontal. En efecto, esta es también la asíntota como\(x\to-\infty\) ya que por la simetría par

      \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a -\ infty} g (x) &=\ lim_ {x\ a\ infty} g (-x) =\ lim_ {x\ a\ infty} g (x). \ end {alinear*}

    • Ya podemos producir un boceto bastante razonable simplemente poniendo la asíntota horizontal y las intercepciones y dibujando una curva suave entre ellas.

      Obsérvese que hemos dibujado la función como nunca cruzando la asíntota\(y=1\text{,}\) sin embargo aún no lo hemos probado. Podríamos tratando de resolver\(g(x)=1\text{.}\)

      \ begin {alinear*}\ frac {x^2-9} {x^2+3} &= 1\\ x^2-9 &= x^2+3\ -9=3 &\ text {entonces no hay soluciones.} \ end {alinear*}

      Alternativamente podríamos analizar la primera derivada para ver cómo la función se acerca a la asíntota.

    • Ahora pasamos a la primera derivada:

      \ begin {align*} g' (x) &=\ frac {(x^2+3) (2x) - (x^2-9) (2x)} {(x^2+3) ^2}\\ &=\ frac {24x} {(x^2+3) ^2}\ end {align*}

      No hay puntos singulares ya que el denominador no está en ninguna parte cero. El único punto crítico está en\(x=0\text{.}\) Así debemos encontrar el signo de\(g'(x)\) en los intervalos

      \ begin {align*} (-\ infty,0) && (0,\ infty)\ end {align*}

    • Cuándo\(x \gt 0\text{,}\)\(24x \gt 0\) y\((x^2+3) \gt 0\text{,}\) así\(g'(x) \gt 0\) y la función va en aumento. Incluso por simetría sabemos que cuando\(x \lt 0\) la función debe estar disminuyendo. De ahí que el punto crítico\(x=0\) sea un mínimo local de la función.
    • Observe que ya que la función está aumentando para\(x \gt 0\) y la función debe acercarse a la asíntota horizontal\(y=1\) desde abajo. Por lo tanto, el boceto anterior es bastante exacto.
    • Consideremos ahora la segunda derivada:

      \ begin {align*} g "(x) &=\ dfrac {d} {dx}\ frac {24x} {(x^2+3) ^2}\\ &=\ frac {(x^2+3) ^2\ cdot 24 - 24x\ cdot 2 (x^2+3)\ cdot2x} {(x^2+3) ^4}\\ end align{ *}

      cancelar un factor de\((x^2+3)\)

      \ begin {align*} &=\ frac {(x^2+3)\ cdot 24 - 96x^2} {(x^2+3) ^3}\\ &=\ frac {72 (1-x^2)} {(x^2+3) ^3}\ end {align*}
    • Es claro que\(g''(x) = 0\) cuando\(x=\pm 1\text{.}\) Note que, de nuevo, podemos inferir el cero at\(x=-1\) del cero at\(x=1\) por la simetría par. Por lo tanto, necesitamos examinar el signo de\(g''(x)\) los intervalos

      \ begin {align*} (-\ infty, -1) && (-1,1) && (1,\ infty)\ end {align*}

    • Cuando\(|x| \lt 1\) tenemos\((1-x^2) \gt 0\) así que\(g''(x) \gt 0\) y la función es cóncava hacia arriba. Cuando\(|x| \gt 1\) tenemos\((1-x^2) \lt 0\) así que\(g''(x) \lt 0\) y la función es cóncava hacia abajo. Así los puntos\(x=\pm 1\) son puntos de inflexión. Sus coordenadas son\((\pm1, g(\pm1)) =(\pm 1,-2)\text{.}\)
    • Armando esto da el siguiente boceto:

    Otra simetría que debemos considerar es la periodicidad.

    Definición 3.6.9.

    Se dice que una función\(f(x)\) es periódica, con periodo\(P \gt 0\text{,}\) si\(f(x+P)=f(x)\) para todos\(x\text{.}\)

    Tenga en cuenta que si\(f(x+P)=f(x)\) para todos\(x\text{,}\) entonces reemplazando\(x\) por\(x+P\text{,}\) tenemos

    \ begin {reunir*} f (x+2p) =f (x+p+p) =f (x+p) =f (x). \ end {reunir*}

    Más generalmente\(f(x+kP)=f(x)\) para todos los enteros\(k\text{.}\) Así, si\(f\) tiene periodo\(P\text{,}\) entonces también tiene periodo\(nP\) para todos los números naturales\(n\text{.}\) El periodo más pequeño se denomina periodo fundamental.

    Ejemplo 3.6.10\(\sin x\) is periodic.

    El ejemplo clásico de una función periódica es\(f(x)=\sin x\text{,}\) que tiene período\(2\pi\) desde\(f(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)=\sin x=f(x)\text{.}\)

    Si\(f(x)\) tiene periodo\(P\) entonces

    \ begin {reunir*} (x_0, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\\\ end {reunir*}

    si y solo si\(y_0=f(x_0)=f(x_0+P)\) cual es el caso si y solo si

    \ begin {reunir*} (x_0+p, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\ end {reunir*}

    y, de manera más general,

    \ begin {reunir*} (x_0, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\\\ end {reunir*}

    si y solo si

    \ begin {reunir*} (x_0+np, y_0)\ text {se encuentra en la gráfica de} y=f (x)\ end {reunir*}

    para todos los enteros\(n\text{.}\)

    Tenga en cuenta que el punto se\((x_0+P,y_0)\) puede obtener traduciendo\((x_0,y_0)\) horizontalmente por\(P\text{.}\) De manera similar, el punto se\((x_0+nP,y_0)\) puede encontrar trasladando repetidamente\((x_0,y_0)\) horizontalmente por\(P\text{.}\)

    En consecuencia, para dibujar la gráfica\(y=f(x)\text{,}\) basta con dibujar un periodo de la gráfica, decir la parte con\(0\le x\le P\text{,}\) y luego traducirla repetidamente. Aquí hay un ejemplo. Aquí hay un boceto de un período

    y aquí está el boceto completo.

    Una lista de verificación para bosquejar

    Arriba hemos descrito cómo podemos usar nuestro conocimiento acumulado de derivados para identificar rápidamente las características cualitativas más importantes de las gráficas\(y=f(x)\text{.}\) Aquí le damos al lector una lista de verificación rápida de cosas para examinar con el fin de producir un boceto preciso basado en propiedades que se leen fácilmente de \(f(x)\text{,}\)\(f'(x)\)y\(f''(x)\text{.}\)

    Una lista de comprobación de bocetos

    1. Características de\(y = f(x)\) eso se leen fuera de\(f(x)\text{:}\)
      • Primera comprobación donde\(f(x)\) se define. Entonces
      • y=f (x) se traza solo para\(x\)'s en el dominio de\(f(x)\text{,}\) i.e., donde\(f(x)\) se define.
      • \(y = f(x)\)tiene asíntotas verticales en los puntos donde\(f(x)\) sopla hasta\(\pm\infty\text{.}\)
      • A continuación, determine si la función es par, impar o periódica.
      • \(y=f(x)\)primero se traza para\(x\ge 0\) si la función es par o impar. El resto del boceto es creado luego por reflexiones.
      • \(y=f(x)\)se traza primero por un solo período si la función es periódica. El resto del boceto es luego creado por traducciones.
      • Siguiente computa\(f(0)\text{,}\)\(\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)\)\(\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)\) y busca soluciones a las\(f(x)=0\) que puedas encontrar fácilmente. Entonces
      • \(y = f(x)\)tiene\(y\) —interceptar\(\big(0, f(0)\big)\text{.}\)
      • \(y = f(x)\)tiene\(x\) —interceptar\((a,0)\) siempre que\(f(a)=0\)
      • \(y = f(x)\)tiene asíntota horizontal\(y=Y\) si\(\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=L\) o\(\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)=L\text{.}\)
    2. Características de\(y=f(x)\) eso se leen fuera de\(f'(x)\text{:}\)
      • Calcula\(f'(x)\) y determina sus puntos críticos y puntos singulares, luego
      • \(y=f(x)\)tiene una tangente horizontal en los puntos donde\(f'(x)=0\text{.}\)
      • \(y=f(x)\)está aumentando en puntos donde\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • \(y=f(x)\)es decreciente en puntos donde\(f'(x) \lt 0\text{.}\)
      • \(y=f(x)\)tiene tangentes verticales o asíntotas verticales en los puntos donde\(f'(x)=\pm\infty\text{.}\)
    3. Características de\(y=f(x)\) eso se leen fuera de\(f''(x)\text{:}\)
      • Calcula\(f''(x)\) y determina dónde\(f''(x)=0\) o no existe, entonces
      • \(y=f(x)\)es cóncavo hacia arriba en los puntos donde\(f''(x) \gt 0\text{.}\)
      • \(y=f(x)\)es cóncavo hacia abajo en puntos donde\(f''(x) \lt 0\text{.}\)
      • \(y=f(x)\)puede o no tener puntos de inflexión donde\(f''(x)=0\text{.}\)

    Ejemplos de bosquejar

    Ejemplo 3.6.11 Croquis\(f(-x) = -x^3+3x+1\).
    1. Leyendo de\(f(x)\text{:}\)
      • La función es un polinomio por lo que se define en todas partes.
      • Ya\(f(-x) = -x^3+3x+1 \neq \pm f(x)\text{,}\) que no es par ni impar. Tampoco es periódico.
      • El\(y\) -intercepto es\(y=1\text{.}\) Las\(x\) -intercepciones no se calculan fácilmente ya que es un polinomio cúbico que no facciona muy bien 1. Entonces para este ejemplo no nos preocupamos por encontrarlos.
      • Al ser un polinomio no tiene asíntotas verticales.
      • Para muy grandes\(x\text{,}\) tanto positivos como negativos, el\(x^3\) término en\(f(x)\) domina los otros dos términos para que

        \ comenzar {alinear*} f (x)\ fila derecha\ comenzar {casos} +\ infty &\ texto {como} x\ fila derecha+\ infty\ -\ infty &\ texto {como} x\ fila derecha-\ infty\ fin {casos}\ fin {alinear*}

        y no hay asíntotas horizontales.
    2. Ahora calculamos la derivada:

      \ begin {align*} f' (x) &= 3x^2-3 = 3 (x^2-1) =3 (x+1) (x-1)\ end {align*}

      • Los puntos críticos (donde\(f'(x)=0\)) están en\(x=\pm 1\text{.}\) Más lejos ya que la derivada es un polinomio se define en todas partes y no hay puntos singulares. Los puntos críticos dividen la línea real en los intervalos\((-\infty,-1),(-1,1)\) y\((1,\infty)\text{.}\)
      • Cuando\(x \lt -1\text{,}\) ambos factores\((x+1),(x-1) \lt 0\)\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • Del mismo modo cuando\(x \gt 1\text{,}\) ambos factores\((x+1),(x-1) \gt 0\)\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • Cuando\(-1 \lt x \lt 1\text{,}\)\((x-1) \lt 0\) pero\((x+1) \gt 0\) así\(f'(x) \lt 0\text{.}\)
      • Resumiendo todo esto
          \((-\infty,-1)\) -1 (-1,1) 1 \((1,\infty)\)
        \(f'(x)\) positivo 0 negativo 0 positivo
          aumentando máximo decreciente mínimo aumentando

        Entonces\((-1,f(-1))=(-1,3)\) es un máximo local y\((1,f(1))=(1,-1)\) es un mínimo local.

    3. Compute la segunda derivada:

      \ begin {reunir*} f "(x) = 6x\ end {reunir*}

      • La segunda derivada es cero cuando\(x=0\text{,}\) y el problema es bastante fácil de analizar. Claramente,\(f''(x) \lt 0\) cuándo\(x \lt 0\) y\(f''(x) \gt 0\) cuándo\(x \gt 0\text{.}\)
      • Así\(f\) es cóncavo hacia abajo para\(x \lt 0\text{,}\) cóncavo hacia arriba para\(x \gt 0\) y tiene un punto de inflexión en\(x=0\text{.}\)

    Armando todo esto da:

    Ejemplo 3.6.12 Croquis\(f(-x) = x^4+4x^3\).
    1. Leyendo de\(f(x)\text{:}\)
      • La función es un polinomio por lo que se define en todas partes.
      • Ya\(f(-x) = x^4+4x^3 \neq \pm f(x)\text{,}\) que no es par ni impar. Tampoco es periódico.
      • La\(y\) -intercepción es\(y=f(0)=0\text{,}\) mientras que las\(x\) -intercepciones están dadas por la solución de

        \ begin {align*} f (x) =x^4-4x^3 &= 0\\ x^3 (x-4) &=0\ end {align*}

        De ahí que las\(x\) -intercepciones sean\(0,4\text{.}\)
      • Dado que\(f\) es un polinomio no tiene ninguna asíntota vertical.
      • Para muy grandes\(x\text{,}\) tanto positivos como negativos, el\(x^4\) término en\(f(x)\) domina el otro término para que

        \ comenzar {alinear*} f (x)\ fila derecha\ comenzar {casos} +\ infty &\ texto {como} x\ fila derecha+\ infty\\ +\ infty &\ texto {como} x\ fila derecha-\ infty\ fin {casos}\ fin {alinear*}

        y la función no tiene asíntotas horizontales.
    2. Ahora computa la derivada\(f'(x)\text{:}\)

      \ begin {reunir*} f' (x) = 4x^3-12x^2 = 4 (x-3) x^2\ end {reunir*}

      • Los puntos críticos están en\(x=0,3\text{.}\) Dado que la función es un polinomio no hay puntos singulares. Los puntos críticos dividen la línea real en los intervalos\((-\infty,0)\text{,}\)\((0,3)\) y\((3,\infty)\text{.}\)
      • Cuándo\(x \lt 0\text{,}\)\(x^2 \gt 0\) y\(x-3 \lt 0\text{,}\) así\(f'(x) \lt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(0 \lt x \lt 3\text{,}\)\(x^2 \gt 0\) y\(x-3 \lt 0\text{,}\) así\(f'(x) \lt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(3 \lt x\text{,}\)\(x^2 \gt 0\) y\(x-3 \gt 0\text{,}\) así\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • Resumiendo todo esto
          \((-\infty,0)\) 0 (0,3) 3 \((3,\infty)\)
        \(f'(x)\) negativo 0 negativo 0 positivo
          decreciente
        tangente horizontal
        decreciente mínimo aumentando

        Entonces el punto\((3,f(3))=(3,-27)\) es un mínimo local. El punto no\((0,f(0))=(0,0)\) es ni mínimo ni máximo, aunque\(f'(0)=0\text{.}\)

    3. Ahora examina\(f''(x)\text{:}\)

      \ begin {reunir*} f "(x) = 12x^2-24x=12x (x-2)\ end {reunir*}

      • Entonces,\(f''(x)=0\) cuando\(x=0,2\text{.}\) Esto divide la línea real en los intervalos\((-\infty,0),(0,2)\) y\((2,\infty)\text{.}\)
      • Cuándo\(x \lt 0\text{,}\)\(x-2 \lt 0\) y así\(f''(x) \gt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(0 \lt x \lt 2\text{,}\)\(x \gt 0\)\(x-2 \lt 0\) y así\(f''(x) \lt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(2 \lt x\text{,}\)\(x \gt 0\)\(x-2 \gt 0\) y así\(f''(x) \gt 0\text{.}\)
      • Así la función es convexa hacia arriba para\(x \lt 0\text{,}\) luego convexa hacia abajo para\(0 \lt x \lt 2\text{,}\) y finalmente convexa hacia arriba de nuevo para\(x \gt 2\text{.}\) Por lo tanto\((0,f(0))=(0,0)\) y\((2,f(2))=(2,-16)\) son puntos de inflexión.

    Juntar toda esta información nos da el siguiente boceto.

    Ejemplo 3.6.13\(f(-x) = -x^3-6x^2-9x-54\).
    1. Leyendo de\(f(x)\text{:}\)
      • La función es un polinomio por lo que se define en todas partes.
      • Ya\(f(-x) = -x^3-6x^2-9x-54 \neq \pm f(x)\text{,}\) que no es par ni impar. Tampoco es periódico.
      • La\(y\) -intercepción es\(y=f(0)=-54\text{,}\) mientras que las\(x\) -intercepciones están dadas por la solución de

        \ begin {alinear*} f (x) =x^3-6x^2+9x-54 &= 0\\ x^2 (x-6) + 9 (x-6) &=0\\ (x^2+9) (x-6) &= 0\ end {alinear*}

        De ahí que la única\(x\) intercepción es\(6\text{.}\)
      • Dado que\(f\) es un polinomio no tiene ninguna asíntota vertical.
      • Para muy grandes\(x\text{,}\) tanto positivos como negativos, el\(x^3\) término en\(f(x)\) domina el otro término para que

        \ comenzar {alinear*} f (x)\ fila derecha\ comenzar {casos} +\ infty &\ texto {como} x\ fila derecha+\ infty\ -\ infty &\ texto {como} x\ fila derecha-\ infty\ fin {casos}\ fin {alinear*}

        y la función no tiene asíntotas horizontales.
    2. Ahora computa la derivada\(f'(x)\text{:}\)

      \ begin {alinear*} f' (x) &= 3x^2-12x+9\\ &= 3 (x^2-4x+3) = 3 (x-3) (x-1)\ end {align*}

      • Los puntos críticos están en\(x=1,3\text{.}\) Dado que la función es un polinomio no hay puntos singulares. Los puntos críticos dividen la línea real en los intervalos\((-\infty,1)\text{,}\)\((1,3)\) y\((3,\infty)\text{.}\)
      • Cuándo\(x \lt 1\text{,}\)\((x-1) \lt 0\) y\((x-3) \lt 0\text{,}\) así\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(1 \lt x \lt 3\text{,}\)\((x-1) \gt 0\) y\((x-3) \lt 0\text{,}\) así\(f'(x) \lt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(3 \lt x\text{,}\)\((x-1) \gt 0\) y\((x-3) \gt 0\text{,}\) así\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • Resumiendo todo esto
          \((-\infty,1)\) 1 (1,3) 3 \((3,\infty)\)
        \(f'(x)\) positivo 0 negativo 0 positivo
          aumentando máximo decreciente mínimo aumentando

        Entonces el punto\((1,f(1))=(1,-50)\) es un máximo local. El punto\((3,f(3))=(3,-54)\) es un mínimo local.

    3. Ahora examina\(f''(x)\text{:}\)

      \ begin {reunir*} f "(x) = 6x-12\ end {reunir*}

      • Entonces,\(f''(x)=0\) cuando\(x=2\text{.}\) Esto divide la línea real en los intervalos\((-\infty,2)\) y\((2,\infty)\text{.}\)
      • Cuando\(x \lt 2\text{,}\)\(f''(x) \lt 0\text{.}\)
      • Cuando\(x \gt 2\text{,}\)\(f''(x) \gt 0\text{.}\)
      • Así la función es convexa hacia abajo para\(x \lt 2\text{,}\) luego convexa hacia arriba para\(x \gt 2\text{.}\) Por lo tanto\((2,f(2))=(2,-52)\) es un punto de inflexión.

    Juntar toda esta información nos da el siguiente boceto.

    y si nos acercamos alrededor de los puntos interesantes (mínimo, máximo y punto de inflexión), tenemos

    Un ejemplo de esbozar una función racional simple.

    Ejemplo 3.6.14\(f(-x) = \dfrac{-x}{x^2-4}\).
    1. Leyendo de\(f(x)\text{:}\)
      • La función es racional por lo que se define excepto donde su denominador es cero, es decir, en\(x=\pm2\text{.}\)
      • Ya\(f(-x) = \dfrac{-x}{x^2-4} = - f(x)\text{,}\) que es extraño. De hecho esto significa que solo necesitamos examinar para qué sucede con la función\(x \geq 0\) y entonces podemos inferir qué sucede por\(x\leq 0\) usar\(f(-x) = -f(x)\text{.}\) En la práctica vamos a bosquejar la gráfica para\(x\geq0\) y luego inferir el resto de esta simetría.
      • El\(y\) -intercepto es\(y=f(0)=0\text{,}\) mientras los\(x\) -interceptos son dados por la solución de\(f(x)=0\text{.}\) Así que el único\(x\) -intercepto es\(0\text{.}\)
      • Ya que\(f\) es racional, puede tener asíntotas verticales donde su denominador es cero — en\(x=\pm 2\text{.}\) Dado que la función es impar, solo tenemos que analizar la asíntota en\(x=2\) y luego podemos inferir lo que sucede en\(x=-2\) por simetría.

        \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2^+} f (x) &=\ lim_ {x\ a 2^+}\ frac {x} {(x-2) (x+2)} = +\ infty\\ lim_ {x\ a 2^-} f (x) &=\ lim_ {x\ a 2^-}\ frac {x} {(2) (x+2)} = -\ infty\ end {alinear*}

      • Ahora comprobamos si hay asíntotas horizontales:

        \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a +\ infty} f (x) &=\ lim_ {x\ a +\ infty}\ frac {x} {x^2-4}\\ &=\ lim_ {x\ a +\ infty}\ frac {1} {x-4/x} = 0\ end {align*}

    2. Ahora computa la derivada\(f'(x)\text{:}\)

      \ begin {align*} f' (x) &=\ frac {(x^2-4)\ cdot 1 - x\ cdot 2x} {(x^2-4) ^2}\\ &=\ frac {- (x^2+4)} {(x^2-4) ^2}\ end {align*}

      • De ahí que no haya puntos críticos. Hay puntos singulares donde el denominador es cero, es decir,\(x=\pm2\text{.}\) Antes de continuar, observe que el numerador siempre es negativo y el denominador siempre es positivo. De ahí\(f'(x) \lt 0\) excepto en\(x=\pm 2\) donde esté indefinido.
      • La función es decreciente excepto en\(x=\pm 2\text{.}\)
      • Ya sabemos que en\(x = 2\) tenemos una asíntota vertical y eso\(f'(x) \lt 0\) para todos\(x\text{.}\) Así

        \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha 2} f' (x) = -\ infty\ fin {reunir*}

      • Resumiendo todo esto
          [0,2) 2 \((2,\infty)\)
        \(f'(x)\) negativo DNE negativo
          decreciente
        asíntota vertical
        decreciente

        Recuerde: dibujaremos la gráfica\(x\geq 0\) y luego usaremos la simetría impar para inferir la gráfica para\(x \lt 0\text{.}\)

    3. Ahora examina\(f''(x)\text{:}\)

      \ begin {alinear*} f "(x) &=-\ frac {(x^2-4) ^2\ cdot (2x) - (x^2+4)\ cdot2\ cdot 2x\ cdot (x^2-4)} {(x^2-4) ^4}\\ &=-\ frac {(x^2-4)\ cdot (2x) - (x^2+4)\ cdot4x} {(x^2-4) ^3}\\ &=-\ frac {2x^3-8x - 4x^3-16x} {(x^2-4) ^3}\\ &=\ frac {2x (x^2+12)} {(x^2-4) ^3}\ end {alinear*}

      • Entonces\(f''(x)=0\) cuando\(x=0\) y no existe cuando\(x=\pm 2\text{.}\) Esto divide la línea real en los intervalos\((-\infty,-2), (-2,0), (0,2)\) y\((2,\infty)\text{.}\) Sin embargo solo necesitamos considerar\(x \geq 0\) (debido a la simetría impar).
      • Cuándo\(0 \lt x \lt 2\text{,}\)\(x \gt 0, (x^2+12) \gt 0\) y\((x^2-4) \lt 0\) así\(f''(x) \lt 0\text{.}\)
      • Cuándo\(x \gt 2\text{,}\)\(x \gt 0, (x^2+12) \gt 0\) y\((x^2-4) \gt 0\) así\(f''(x) \gt 0\text{.}\)

    Al juntar toda esta información se obtiene el siguiente boceto para\(x \geq 0\text{:}\)

    Luego podemos dibujar en la gráfica para\(x \lt 0\) usar\(f(-x) = -f(x)\text{:}\)

    Observe que esto significa que la concavidad cambia en\(x=0\text{,}\) lo que el punto\((0,f(0))=(0,0)\) es un punto de inflexión (como se indica).

    Este último ejemplo es más sustancial ya que la función tiene puntos singulares (puntos donde la derivada es indefinida). El análisis está más involucrado.

    Ejemplo 3.6.15\(f(x) = \root{3}\of{\frac{x^2}{(x-6)^2}}\).
    1. Leyendo de\(f(x)\text{:}\)
      • Primer aviso de que podemos reescribir

        \ begin {align*} f (x) &=\ root {3}\ de {\ frac {x^2} {(x-6) ^2}} =\ root {3}\ de {\ frac {x^2} {x^2\ cdot (1-6/x) ^2}} =\ root {3}\ de {\ frac {1} {(1-6/x) ^2}}\ end {alinear*}

      • La función es la raíz cubo de una función racional. La función racional se define excepto en\(x=6\text{,}\) así que el dominio de\(f\) es todos reales excepto\(x=6\text{.}\)
      • Claramente la función no es periódica, y examinar

        \ begin {align*} f (-x) &=\ root {3}\ de {\ frac {1} {(1-6/ (-x)) ^2}}\\ &=\ raíz {3}\ de {\ frac {1} {(1+6/x) ^2}}\ neq\ pm f (x)\ end {align*}

        muestra que la función no es ni par ni impar.
      • Para calcular asíntotas horizontales examinamos el límite de la porción de la función dentro de la raíz cúbica

        \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha\ pm\ infty}\ frac {1} {(1-\ frac {6} {x}) ^2} =1\ fin {reunir*}

        Esto significa que tenemos

        \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha\ pm\ infty} f (x) =1\ fin {reunir*}

        Es decir, la línea\(y=1\) será una asíntota horizontal a la gráfica\(y=f(x)\) tanto para\(x\rightarrow+\infty\) como para\(x\rightarrow-\infty\text{.}\)
      • Nuestra función\(f(x)\rightarrow+\infty\) como\(x\rightarrow 6\text{,}\) por el\((1-6/x)^2\) en su denominador. Así\(y=f(x)\) tiene\(x=6\) como asíntota vertical.
    2. Ahora computa\(f'(x)\text{.}\) Desde que reescribimos

      \ begin {align*} f (x) &=\ raíz {3}\ de {\ frac {1} {(1-6/x) ^2}} =\ left (1-\ frac {6} {x}\ derecha) ^ {-\ frac {2} {3}}\ end {align*}

      podemos usar la regla de la cadena

      \ begin {reunir*} f' (x) = -\ frac {2} {3} {\ izquierda (1-\ frac {6} {x}\ derecha)} ^ {-\ frac {5} {3}}\ frac {6} {x^2}\\ =-4 {\ izquierda (\ frac {x-6} {x}\ derecha)} ^ {-\ frac {5} {3}}\ frac {1} {x^2}\\ =-4 {\ izquierda (\ frac {1} {x-6}\ derecha)} ^ {\ frac {5} {3}}\ frac {1} {x^ {\ frac {1} {3}}}\ end {reunir*}

      • Observe que la derivada no es en ninguna parte igual a cero, por lo que la función no tiene puntos críticos. Sin embargo hay dos lugares donde la derivada es indefinida. Los términos

        \ begin {alinear*}\ izquierda (\ frac {1} {x-6}\ derecha) ^ {\ frac {5} {3}} &&\ frac {1} {x^ {\ frac {1} {3}}}\ end {align*}

        están indefinidos en\(x=6,0\) respectivamente. De ahí\(x=0,6\) que sean los puntos singulares. Estos dividen la línea real en los intervalos\((-\infty,0), (0,6)\) y\((6,\infty)\text{.}\)
      • Cuando\(x \lt 0\text{,}\)\((x-6) \lt 0\text{,}\) tenemos eso\((x-6)^{-\frac53} \lt 0\)\(x^{-\frac13} \lt 0\) y así\(f'(x)=-4 \cdot (\text{negative})\cdot(\text{negative}) \lt 0 \text{.}\)
      • Cuando\(0 \lt x \lt 6\text{,}\)\((x-6) \lt 0\text{,}\) tenemos eso\((x-6)^{-\frac53} \lt 0\)\(x^{-\frac13} \gt 0\) y así\(f'(x) \gt 0\text{.}\)
      • Cuando\(x \gt 6\text{,}\)\((x-6) \gt 0\text{,}\) tenemos eso\((x-6)^{-\frac53} \gt 0\)\(x^{-\frac13} \gt 0\) y así\(f'(x) \lt 0\text{.}\)
      • También debemos examinar el comportamiento de la derivada como\(x \to 0\) y\(x\to 6\text{.}\)

        \ begin {align*}\ lim_ {x\ a 0^-} f' (x) &= -4\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0^-} (x-6) ^ {-\ frac53}\ derecha)\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0^-} x^ {-\ frac13}\ derecha) = -\ infty\\ lim_ {x\ a 0^^+} f' (x) &= -4\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0^+} (x-6) ^ {-\ frac53}\ derecha)\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0^+} x^ {-\ frac13}\ derecha) = +\ infty\\ lim_ {x\ a 6^-} f' (x ) &= -4\ izquierda (\ lim_ {x\ a 6^-} (x-6) ^ {-\ frac53}\ derecha)\ izquierda (\ lim_ {x\ a 6^-} x^ {-\ frac13}\ derecha) = +\ infty\\ lim_ {x\ a 6^+} f' (x) &= -4\ izquierda (\ lim_ {x\ a 6^+} f' (x) &= -4\ izquierda (\ lim_ {x\ a 6^ ^+} (x-6) ^ {-\ frac53}\ derecha)\ izquierda (\ lim_ {x\ a 6^+} x^ {-\ frac13}\ derecha) = -\ infty\ end {alinear*}

        Ya sabemos que\(x=6\) es una asíntota vertical de la función, por lo que no es de extrañar que las líneas tangentes a la gráfica se vuelvan verticales a medida que nos acercamos a 6. El comportamiento alrededor\(x=0\) es menos estándar, ya que las líneas tangentes a la gráfica se vuelven verticales, pero no\(x=0\) es una asíntota vertical de la función. De hecho, la función toma un valor finito\(y=f(0)=0\text{.}\)
      • Resumiendo todo esto
          \((-\infty,0)\) 0 (0,6) 6 \((6,\infty)\)
        \(f'(x)\) negativo DNE positivo DNE negativo
          decreciente
        tangentes verticales
        aumentando
        asíntota vertical
        decreciente
    3. Ahora mira\(f''(x)\text{:}\)

      \ begin {align*} f "(x) &=-4\ dfrac {d} {dx}\ izquierda [{\ izquierda (\ frac {1} {x-6}\ derecha)} ^ {\ frac {5} {3}}\ frac {1} {x^ {\ frac {1} {3}}}\ derecha]\\ &=-4\ izquierda [-\ frac {1} {3}} 5} {3} {\ izquierda (\ frac {1} {x-6}\ derecha)} ^ {\ frac {8} {3}}\ frac {1} {x^ {\ frac {1} {3}}} -\ frac {1} {3} {\ left (\ frac {1} {x-6}\ derecha)} ^ {\ frac {5} {3} {3}}}\ frac {1} {x^ {\ frac {4} {3}}}\ derecha]\\ &=\ frac {4} {3} {\ izquierda (\ frac {1} {x-6}\ derecha)} ^ {\ frac {8} {3}}\ frac {1} {x^ {\ frac {4} {3}}}\ izquierda [5x + (x-6)\ derecha]\ &=8 {\ izquierda (\ frac {1} {x-6}\ derecha)} ^ {\ frac {8} {3}}\ frac {1} {x^ {\ frac {4} {3}}}\ izquierda [x-1\ derecha]\ final {alinear*}

      ¡Oof!

      • Ambos factores\({\Big(\frac{1}{x-6}\Big)}^{\frac{8}{3}} ={\Big(\frac{1}{\root{3}\of{x-6}}\Big)}^8\) y\(\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}} =\Big(\frac{1}{\root{3}\of{x}}\Big)^4\) son incluso poderes y así son positivos (aunque posiblemente infinitos). Entonces el signo de\(f''(x)\) es el mismo que el signo del factor\(x-1\text{.}\) Así
          \((-\infty,1)\) 1 \((1,\infty)\)
        \(f''(x)\) negativo 0 positivo
          cóncavo hacia abajo
        punto de inflexión
        cóncavo hacia arriba

    Aquí hay un boceto de la gráfica\(y=f(x)\text{.}\)

    Es difícil ver el punto de inflexión\(x=1\text{,}\)\(y=f(1)=\frac{1}{ \root{3}\of{25} }\) en el boceto anterior. Así que aquí hay una volada de la parte del boceto alrededor\(x=1\text{.}\)

    Y si nos acercamos aún más tenemos

    Ejercicios

    Ejercicios para § 3.6.1

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función dada por

    \[ f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9} \nonumber \]

    donde también\(g(x)\) es una función. Verdadero o falso:\(f(x)\) tiene una asíntota vertical en\(x=-3\text{.}\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Haga coincidir las funciones\(f(x)\text{,}\)\(g(x)\text{,}\)\(h(x)\text{,}\) y las curvas\(k(x)\) a\(y=A(x)\) través de\(y=D(x)\text{.}\)

    \ begin {alinear*} f (x) & =\ sqrt {x^2+1} & g (x) &=\ sqrt {x^2-1}\\ h (x) &=\ sqrt {x^2+4} & k (x) &=\ sqrt {x^2-4}\ end {align*}

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    A continuación se muestra la gráfica de

    \[ y=f(x)=\sqrt{\log^2(x+p)} \nonumber \]

    1. Qué es\(p\text{?}\)
    2. ¿Qué es\(b\) (marcado en la gráfica)?
    3. ¿Cuál es la\(x\) -intercepción de\(f(x)\text{?}\)

    Recuerde\(\log(x+p)\) es el logaritmo natural de\(x+p\text{,}\)\(\log_e(x+p)\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra todas las asíntotas de\(f(x)=\dfrac{x(2x+1)(x-7)}{3x^3-81}\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra todas las asíntotas de\(f(x)=10^{3x-7}\text{.}\)

    Ejercicios para § 3.6.2

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Haga coincidir cada función graficada a continuación con su derivada de la lista. (Por ejemplo, a qué función de la lista corresponde\(A'(x)\text{?}\))

    Los\(y\) ejes se han escalado para que el comportamiento de la curva sea claro, por lo que las escalas verticales difieren de gráfica a gráfica.

    \(l(x)=(x-2)^4\)

    \(m(x)=(x-2)^4(x+2)\)

    \(n(x)=(x-2)^2(x+2)^2\)

    \(o(x)=(x-2)(x+2)^3\)

    \(p(x)=(x+2)^4\)

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\) (✳)

    Encuentra el (los) intervalo (s) donde\(f(x)=\dfrac{e^x}{x+3}\) está aumentando.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\) (✳)

    Encuentra el (los) intervalo (s) donde\(f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2x+4}\) está aumentando.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

    Encuentra el (los) intervalo (s) donde\(f(x)=2\arctan (x) - \log(1+x^2)\) está aumentando.

    Ejercicios para § 3.6.3

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    En la gráfica siguiente, marque los intervalos donde\(f''(x) \gt 0\) (es decir,\(f(x)\) es cóncavo hacia arriba) y dónde\(f''(x) \lt 0\) (es decir,\(f(x)\) es cóncavo hacia abajo).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Esbozar una curva que sea:

    • cóncavo hacia arriba cuando\(|x| \gt 5\text{,}\)
    • cóncavo hacia abajo cuando\(|x| \lt 5\text{,}\)
    • aumentando cuándo\(x \lt 0\text{,}\) y
    • decreciente cuando\(x \gt 0\text{.}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función cuya segunda derivada existe y es continua para todos los números reales.

    Verdadero o falso: si\(f''(3)=0\text{,}\) entonces\(x=3\) es un punto de inflexión de\(f(x)\text{.}\)

    Observación: compare con la Pregunta 3.6.7.7

    Etapa 2
    Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

    Encuentra todos los puntos de inflexión para la gráfica de\(f(x)=3x^5-5x^4+13x\text{.}\)

    Etapa 3

    Las preguntas 3.6.7.5 a 3.6.7.7 le piden que demuestre que ciertas cosas son ciertas. Dar una explicación clara utilizando conceptos y teoremas de este semestre.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

    Let

    \[ f(x)=\frac{x^5}{20}+\frac{5x^3}{6}-10x^2+500x+1000 \nonumber \]

    Demostrar que\(f(x)\) tiene exactamente un punto de inflexión.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\) (✳)

    \(f(x)\)Sea una función cuyas dos primeras derivadas existen en todas partes, y\(f''(x) \gt 0\) para todos\(x\text{.}\)

    1. Demostrar que\(f(x)\) tiene como máximo un punto crítico y que cualquier punto crítico es un mínimo absoluto para\(f(x)\text{.}\)
    2. Mostrar que el valor máximo de\(f(x)\) en cualquier intervalo finito ocurre en uno de los puntos finales del intervalo.
    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función cuya segunda derivada existe y es continua para todos los números reales, y\(x=3\) es un punto de inflexión de\(f(x)\text{.}\) Usar el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que\(f''(3)=0\text{.}\)

    Observación: compare con la Pregunta 3.6.7.3.

    Ejercicios para § 3.6.4

    Etapa 1
    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    ¿Qué simetrías (pares, impares, periódicas) tiene la función graficada a continuación?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    ¿Qué simetrías (pares, impares, periódicas) tiene la función graficada a continuación?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función par definida para todos los números reales. A continuación se muestra la curva\(y=f(x)\) cuando\(x \lt 0\text{.}\) Completa el boceto de la curva.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos que\(f(x)\) es una función impar definida para todos los números reales. A continuación se muestra la curva\(y=f(x)\) cuando\(x \lt 0\text{.}\) Completa el boceto de la curva.

    Etapa 2

    En las Preguntas 3.6.7.7 a 3.6.7.10, encontrar las simetrías de una función a partir de su ecuación.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \[ f(x)=\frac{x^4-x^6}{e^{x^2}} \nonumber \]

    Demostrar que\(f(x)\) es parejo.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    \[ f(x)=\sin(x)+\cos\left(\frac{x}{2}\right) \nonumber \]

    Demostrar que\(f(x)\) es periódico.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    \[ f(x)=x^4+5x^2+\cos\left(x^3\right) \nonumber \]

    ¿Qué simetrías (pares, impares, periódicas)\(f(x)\) tiene?

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \[ f(x)=x^5+5x^4 \nonumber \]

    ¿Qué simetrías (pares, impares, periódicas)\(f(x)\) tiene?

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \[ f(x)=\tan\left(\pi x\right) \nonumber \]

    ¿Cuál es el periodo de\(f(x)\text{?}\)

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \[ f(x)=\tan\left(3 x\right)+\sin\left(4 x\right) \nonumber \]

    ¿Cuál es el periodo de\(f(x)\text{?}\)

    Ejercicios para § 3.6.6

    Etapa 1

    En las Preguntas 3.6.7.2 a 3.6.7.4, esbozarás las gráficas de las funciones racionales.

    En las preguntas 3.6.7.6 y 3.6.7.7, esbozarás las gráficas de funciones con un componente exponencial. En la siguiente sección, aprenderás a encontrar sus asíntotas horizontales, pero por ahora estas se te dan.

    En las preguntas 3.6.7.8 y 3.6.7.9, esbozarás las gráficas de funciones que tienen un componente trigonométrico.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\) (✳)

    Let\(f(x) = x\sqrt{3 - x}\text{.}\)

    1. Encuentra el dominio de\(f(x)\text{.}\)
    2. Determinar las\(x\) coordenadas de los máximos y mínimos locales (si los hay) y los intervalos donde\(f(x)\) está aumentando o disminuyendo.
    3. Determinar los intervalos donde\(f(x)\) es cóncavo hacia arriba o hacia abajo, y las\(x\) coordenadas de los puntos de inflexión (si los hay). Se puede utilizar, sin verificarlo, la fórmula\(f''(x) = (3x -12)(3 - x)^{-3/2}/4\text{.}\)
    4. Hay un punto en el que la línea tangente a la curva\(y = f(x)\) es vertical. Encuentra este punto.
    5. Esboce la gráfica\(y = f(x)\text{,}\) mostrando las características dadas en los ítems (a) a (d) anteriores y dando las\((x, y)\) coordenadas para todos los puntos que aparecen arriba.
    Ejercicio\(\PageIndex{2}\) (✳)

    Esbozar el gráfico de

    \[ f(x)= \dfrac{x^3-2}{x^4}. \nonumber \]

    Indicar los puntos críticos, máximos y mínimos locales y absolutos, asíntotas verticales y horizontales, puntos de inflexión y regiones donde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\) (✳)

    La primera y segunda derivadas de la función\(f(x)=\dfrac{x^4}{1+x^3}\) son:

    \[ f'(x)=\frac{4x^3+x^6}{(1+x^3)^2}\qquad\hbox{and}\qquad f''(x)=\frac{12x^2-6x^5}{(1+x^3)^3} \nonumber \]

    Gráfica\(f(x)\text{.}\) Incluye máximos y mínimos locales y absolutos, regiones donde\(f(x)\) está aumentando o disminuyendo, regiones donde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y cualquier asíntota.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

    La primera y segunda derivadas de la función\(f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}\) son:

    \[ f'(x)=\frac{3x^2-x^4}{(1-x^2)^2}\qquad\hbox{and}\qquad f''(x)=\frac{6x+2x^3}{(1-x^2)^3} \nonumber \]

    Gráfica\(f(x)\text{.}\) Incluye máximos y mínimos locales y absolutos, regiones donde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y cualquier asíntota.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

    La función\(f(x)\) está definida por

    \[ f(x) = \left\{\begin{array}{lc} e^x &x \lt 0\\ \frac{x^2+3}{3(x+1)} & x \ge 0 \end{array}\right. \nonumber \]

    1. Explica por qué\(f(x)\) es continuo en todas partes.
    2. Determine todos los siguientes si están presentes:
      1. \(x\)—coordenadas de máximos y mínimos locales, intervalos donde\(f(x)\) es creciente o decreciente;
      2. intervalos donde\(f(x)\) es cóncavo hacia arriba o hacia abajo;
      3. ecuaciones de cualquier asíntota horizontal o vertical.
    3. Dibuje la gráfica de\(y = f(x)\text{,}\) dar las\((x, y)\) coordenadas para todos los puntos de interés anteriores.
    Ejercicio\(\PageIndex{6}\) (✳)

    La función\(f(x)\) y su derivada se dan a continuación:

    \[ f(x)=(1+2x)e^{-x^2}\qquad\hbox{and}\qquad f'(x)=2(1-x-2x^2)e^{-x^2} \nonumber \]

    Esbozar la gráfica de\(f(x)\text{.}\) Indicar los puntos críticos, máximos y mínimos locales y/o absolutos, y asíntotas. Sin realmente calcular los puntos de inflexión, indicar en la gráfica su ubicación aproximada.

    Nota:\(\ds\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=0\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

    Considera la función\(f(x) = xe^{-x^2/2}\text{.}\)

    Nota:\(\ds\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=0\text{.}\)

    1. Encuentre todos los puntos de inflexión e intervalos de aumento, disminución, convexidad hacia arriba y convexidad hacia abajo. Se puede utilizar sin pruebas la fórmula\(f''(x) = (x^3-3x)e^{-x^2/2}\text{.}\)
    2. Encuentra mínimos y máximos locales y globales.
    3. Usa todo lo anterior para dibujar una gráfica para\(f\text{.}\) Indicar todos los puntos especiales en la gráfica.
    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Utilice las técnicas de esta sección para bosquejar la gráfica de\(f(x)=x+2\sin x\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\) (✳)

    \[ f(x) = 4\sin x - 2\cos 2x \nonumber \]

    Grafique la ecuación\(y = f(x)\text{,}\) incluyendo todas las características importantes. (En particular, encuentra todos los máximos y mínimos locales y todos los puntos de inflexión.) Adicionalmente, encuentra los valores máximos y mínimos de\(f(x)\) en el intervalo\([0,\pi]\text{.}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Croquis de la curva\(y=\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x^2}}\text{.}\)

    Puede utilizar los hechos\(y'(x)=\dfrac{-(x+2)}{3x^{5/3}(x+1)^{2/3}}\) y\(y''(x)=\dfrac{4x^2+16x+10}{9x^{8/3}(x+1)^{5/3}}\text{.}\)

    Etapa 3
    Ejercicio\(\PageIndex{11}\) (✳)

    Una función\(f(x)\) definida en toda la línea numérica real satisface las siguientes condiciones

    \[ f(0)=0\qquad f(2)=2\qquad \lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=0\qquad f'(x)=K(2x-x^2)e^{-x} \nonumber \]

    por alguna constante positiva\(K\text{.}\) (Lea atentamente: se le da la derivada de\(f(x)\text{,}\) no\(f(x)\) en sí misma.)

    1. Determinar los intervalos en los que\(f\) está aumentando y disminuyendo y la ubicación de cualquier valor local máximo y mínimo de\(f\text{.}\)
    2. Determine los intervalos en los que\(f\) es cóncavo hacia arriba o hacia abajo y las\(x\) coordenadas —de cualquier punto de inflexión de\(f\text{.}\)
    3. Determinar\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f(x)\text{.}\)
    4. Esbozar la gráfica de\(y=f(x)\text{,}\) mostrar alguna asíntota y la información determinada en las partes 3.6.7.11.a y 3.6.7.11.b.
    Ejercicio\(\PageIndex{12}\) (✳)

    Vamos\(f(x) = e^{-x}\),\(x \ge 0\text{.}\)

    1. Esbozar la gráfica de la ecuación\(y = f(x)\text{.}\) Indicar cualquier extremo local y puntos de inflexión.
    2. Esbozar el gráfico de la función inversa\(y = g (x)=f^{-1}(x)\text{.}\)
    3. Encuentra el dominio y el rango de la función inversa\(g(x)= f^{-1}(x)\text{.}\)
    4. Evaluar\(g'(\half)\text{.}\)
    Ejercicio\(\PageIndex{13}\) (✳)
    1. Esboce la gráfica de asíntotas\(y=f(x)=x^5-x\text{,}\) indicadoras, máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y donde la gráfica es cóncava arriba/cóncava hacia abajo.
    2. Considera la función\(f(x)=x^5-x+k\text{,}\) donde\(k\) es una constante,\(-\infty \lt k \lt \infty\text{.}\) ¿Cuántas raíces tiene la función? (Su respuesta puede depender del valor de\(k\text{.}\))
    Ejercicio\(\PageIndex{14}\) (✳)

    Las funciones trigonométricas hiperbólicas\(\sinh(x)\) y\(\cosh(x)\) se definen por

    \[ \sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\qquad \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \nonumber \]

    Tienen muchas propiedades que son similares a las propiedades correspondientes de\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\text{.}\) En particular, es fácil ver que

    \[ \dfrac{d}{dx} \sinh(x)=\cosh(x)\qquad \dfrac{d}{dx} \cosh(x)=\sinh(x)\qquad \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1 \nonumber \]

    Puede utilizar estas propiedades en su solución a esta pregunta.

    1. Esbozar las gráficas de\(\sinh(x)\) y\(\cosh(x)\text{.}\)
    2. Definir funciones trigonométricas hiperbólicas inversas\(\sinh^{-1}(x)\) y especificando\(\cosh^{-1}(x)\text{,}\) cuidadosamente sus dominios de definición. Esbozar las gráficas de\(\sinh^{-1}(x)\) y\(\cosh^{-1}(x)\text{.}\)
    3. Encuentra\(\dfrac{d}{dx}\left\{ \cosh^{-1}(x)\right\}\text{.}\)

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