3.7: Regla de L'Hôpital y formas indeterminadas

Volvamos a los límites (Capítulo 1) y veamos cómo podemos utilizar derivados para simplificar ciertas familias de límites llamadas formas indeterminadas. Sabemos, del Teorema 1.4.3 sobre la aritmética de los límites, que si

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha a} f (x) &= F &\ lim_ {x\ fila derecha a} g (x) &= G\\\ final {alinear*}

y\(G\ne 0\text{,}\) luego

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha a}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {F} {G}\ final {alinear*}

El requisito que\(G\ne 0\) es crítico —lo exploramos en el Ejemplo 1.4.7. Por favor vuelva a leer ese ejemplo.

Por supuesto ¹ no es de extrañar que si\(F\ne 0\) y\(G= 0\text{,}\) entonces

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x)} {g (x)} &= DNE\ end {align*}

y si\(F=0\) pero\(G\neq 0\) entonces

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x)} {g (x)} &= 0\ end {align*}

Sin embargo cuando ambos\(F,G=0\) entonces, como vimos en el Ejemplo 1.4.7, casi cualquier cosa puede pasar

\ begin {alinear*} f (x) &=x & g (x) &=x^2 &\ lim_ {x\ to0}\ frac {x} {x^2} &=\ lim_ {x\ to0}\ frac {1} {x} = DNE\ f (x) &=x^2 & g (x) &=x &\ lim_ {x\ 0}\ frac {x^2} {x} &=\ lim_ {x\ to0} x = 0\\ f (x) &=x & g (x) &=x &\ lim_ {x\ to0}\ frac {x} {x} &=\ lim_ {x\ to0} 1 = 1\\ f (x) &=7x ^2 & g (x) &=3x^2 &\ lim_ {x\ to0}\ frac {7x^2} {3x^2} &=\ lim_ {x\ to0}\ frac {7} {3} =\ frac {7} {3}\ end {align*}

Efectivamente después de explorar el Ejemplo 1.4.12 y 1.4.14 nos dimos la regla general de que si encontramos\(0/0\text{,}\) entonces debe haber algo que cancele.

Debido a que el límite que resulta de estas\(0/0\) situaciones no es inmediatamente obvio, sino que también lleva a algunas matemáticas interesantes, deberíamos darle un nombre.

Definición 3.7.1 Primeras formas indeterminadas.

Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) ser funciones. Si

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= 0 &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a} g (x) &= 0\ end {alinear*}

luego el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a una}\ dfrac {f (x)} {g (x)}\ fin {reunir*}

se llama una forma\(\frac{0}{0}\) indeterminada.

Hay bastantes herramientas matemáticas para evaluar tales formas indeterminadas, por ejemplo, la serie Taylor. Un método más sencillo, que funciona en bastantes casos, es la regla de L'Hôpital ²

\[ \mbox{ } \nonumber \]

Tenga en cuenta que alrededor de esa época el nombre de L'hôpital se deletreaba comúnmente L'Hospital, pero la ortografía del s silencioso en francés se cambió posteriormente; muchos textos deletreaban su nombre L'hospital. Si te encuentras en París, puedes cazar a lo largo del Boulevard de l'Hôpital en busca de letreros antiguos tallados en los lados de los edificios que lo deletrean “L'hospital”, aunque posiblemente hay mejores cosas que hacer allí.

Teorema 3.7.2 Regla de L'Hôpital.

Dejemos\(a\in\mathbb{R}\) y supongamos que

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &=\ lim_ {x\ a} g (x) = 0\ end {align*}

Entonces

1. si\(f'(a)\) y\(g'(a)\) existir y\(g'(a)\ne 0\text{,}\) entonces

   \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {f' (a)} {g' (a)},\ end {alinear*}

2. mientras que, si\(f'(x)\) y\(g'(x)\) existe, con\(g'(x)\) distinto de cero, en un intervalo abierto que contiene\(a\text{,}\) excepto posiblemente en\(a\) sí mismo, y si el límite

   \ begin {reunir*}\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a}\ frac {f' (x)} {g' (x)}\ text {existe o es $+\ infty$ o es $-\ infty$}\ end {reunir*}

   entonces

   \ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a una}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ lim_ {x\ a una}\ frac {f' (x)} {g' (x)}\ end {reunir*}

Prueba.

Nosotros sólo damos la prueba por la parte (a). La prueba de la parte (b) no es muy difícil, pero utiliza el Teorema de Media-Valor Generalizado (Teorema 3.4.38), que es opcional y la mayoría de los lectores no la han visto.

• Primero anotar que debemos tener\(f(a)=g(a)=0\text{.}\) Para ver esta nota que dado que\(f'(a)\) existe derivado, sabemos que el límite

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x) -f (a)} {x-a} &\ text {existe}\ end {align*}

Ya que sabemos que el denominador va a cero, también debemos tener que tener que el numerador va a cero (de lo contrario el límite estaría indefinido). De ahí que debemos tener

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} (f (x) -f (a)) &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a} f (x)\ derecha) - f (a) = 0\ end {alinear*}

Se nos dice que\(\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) =0\) así debemos tener\(f(a)=0\text{.}\) Del mismo modo sabemos que\(g(a)=0\text{.}\)

• Ahora considere la forma indeterminada

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a una}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ a una}\ frac {f (x) - 0} {g (x) - 0} &\ text {use} 0=f (a) =g (a)\ &=\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x) - f (a)} {g (x) - g (a)} &\ text {multiplicar por} 1=\ frac {(x-a) ^ {-1}} {(x-a) ^ {-1}}\\ &=\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x) - f (a)} {g (x) - g (a)}\ cdot\ frac {(x-a) ^ { -1}} {(x-a) ^ {-1}} &\ texto {reorganizar}\\ &=\ lim_ {x\ a}\ left [\ frac {\ dfrac {f (x) - f (a)} {x-a}} {\ dfrac {g (x) - g (a)} {x-a}}\ derecha] &\ texto {usar aritmética de límites}\\ &=\ dfrac {\ displaystyle\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x) - f (a)} {x-a}} {\ displaystyle\ lim_ {x\ a}\ frac {g (x) - g (a)} {x-a}} =\ dfrac {f' (a )} {g' (a)}\ end {align*}

Podemos justificar este paso y aplicar el Teorema 1.4.3, ya que los límites en el numerador y denominador existen, porque son justos\(f'(a)\) y\(g'(a)\text{.}\)

Optativa — Prueba de la Parte b) de la Regla de L'hôpital

Para probar la parte (b) debemos trabajar en torno a la posibilidad de que\(f'(a)\) y\(g'(a)\) no existan o que\(f'(x)\) y no\(g'(x)\) sean continuos en\(x=a\text{.}\) Para ello, hacemos uso del Teorema del Valor Medio Generalizado (Teorema 3.4.38) que se utilizó para probar la Ecuación 3.4.33. Te recomendamos revisar el GMVT antes de continuar.

Por simplicidad consideramos el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a a^+}\ frac {f (x)} {g (x)}\ fin {reunir*}

Por supuesto, sabemos que

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a a^+} f (x) =\ lim_ {x\ a a^+} g (x) = 0\ end {reunir*}

Por simplicidad, también asumimos que\(f(a)=g(a)=0\text{.}\) Esto nos permite escribir

\ begin {alinear*}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)}\ end {alinear*}

que es la forma adecuada para una solicitud del GMVT.

Por suposición\(f'(x)\) y\(g'(x)\) existir, con\(g'(x)\) distinto de cero, en algún intervalo abierto alrededor\(a\text{,}\) excepto posiblemente en\(a\) sí mismo. Entonces sabemos que existen, con\(g'(x)\ne 0\text{,}\) en algún intervalo\((a,b]\) con\(b \gt a\text{.}\) Entonces el GMVT (Teorema 3.4.38) nos dice que para\(x\in (a,b]\)

\ begin {alinear*}\ frac {f (x)} {g (x)} =\ frac {f (x) -f (a)} {g (x) -g (a)} &=\ frac {f' (c)} {g' (c)}\ end {align*}

donde\(c \in (a,x)\text{.}\) A medida que tomamos el límite como también\(x\to a\text{,}\) tenemos eso\(c\to a\text{,}\) y así

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a a^+}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ a a^+}\ frac {f' (c)} {g' (c)} =\ lim_ {c\ a a^+}\ frac {f' (c)} {g' (c)}\ end {alinear*}

según sea necesario.

Ejemplos estándar

Aquí hay algunos ejemplos simples usando la regla de L'Hôpital.

Ejemplo 3.7.3 Buscar\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\).

Considera el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin x} {x}\ fin {reunir*}

• Observe que

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ sin x &= 0\\\ lim_ {x\ a 0} x &= 0\ end {align*}

  entonces esta es una forma\(\frac00\) indeterminada, y sugiere que probemos la regla de L'hôpital.
• Para aplicar la regla debemos verificar primero los límites de los derivados.

  \ begin {alinear*} f (x) &=\ sin x & f' (x) & =\ cos x &\ text {y} && f' (0) =1\\ g (x) &= x & g' (x) & = 1 &\ text {y} && g' (0) =1\ end {align*}

• Así que por regla de L'hôpital

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin x} {x} &=\ frac {f' (0)} {g' (0)} =\ frac {1} {1} = 1. \ end {alinear*}

Ejemplo 3.7.4 Computación\(\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{\sin(2x)}\).

Considera el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin (x)} {\ sin (2x)}\ fin {reunir*}

• Primera comprobación

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ sin 2x &= 0\\\ lim_ {x\ a 0}\ sin x &= 0\ end {align*}

  así que nuevamente tenemos una forma\(\frac00\) indeterminada.
• Establecer\(f(x)=\sin x\) y\(g(x)=\sin 2x\text{,}\) luego

  \ begin {align*} f' (x) &=\ cos x & f' (0) = 1\\ g' (x) &= 2\ cos 2x & g' (0) = 2\ end {align*}

• Y por regla de L'hôpital

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin x} {\ sin 2x} &=\ frac {f' (0)} {g' (0)} =\ frac {1} {2}. \ end {alinear*}

Ejemplo 3.7.5\(\displaystyle \lim_{x \to0} \frac{q^x - 1}{x}\).

Dejar\(q \gt 1\) y calcular el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ to0}\ frac {q^x - 1} {x}\ fin {reunir*}

Este límite surgió en nuestra discusión sobre las funciones exponenciales en la Sección 2.7.

• Primera comprobación

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0} (q^x-1) & = 1-1 = 0\\\ lim_ {x\ a 0} x & = 0\ end {alinear*}

  así que tenemos una forma\(\frac00\) indeterminada.
• Establecer\(f(x)= q^x-1\) y\(g(x)=x\text{,}\) luego (tal vez después de una revisión rápida de la Sección 2.7)

  \ begin {align*} f' (x) &=\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (q^x-1\ derecha) = q^x\ cdot\ log q & f' (0) &=\ log q\\ g' (x) &= 1 & g' (0) &= 1\ end {align*}

• Y por regla de l'Hôpital ³

  \ begin {align*}\ lim_ {h\ to0}\ frac {q^h - 1} {h} &=\ log q.\ end {align*}

En este ejemplo, aplicaremos la regla de L'Hôpital dos veces antes de obtener la respuesta.

Ejemplo 3.7.6 Doble L'Hôpital

Compute el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin (x^2)} {1-\ cos x}\ fin {reunir*}

• Nuevamente deberíamos verificar

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ sin (x^2) &=\ sin 0 = 0\\\ lim_ {x\ a 0} (1-\ cos x) &= 1-\ cos 0 = 0\ end {alinear*}

  y tenemos una forma\(\frac00\) indeterminada.
• Let\(f(x) = \sin(x^2)\) y\(g(x)=1-\cos x\) luego

  \ begin {align*} f' (x) &= 2x\ cos (x^2) & f' (0) &=0\\ g' (x) &=\ sin x & g' (0) &=0\ end {align*}

  Entonces, si tratamos de aplicar ingenuamente la regla de L'hôpital obtendremos

  \ begin {align*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin (x^2)} {1-\ cos x} &=\ frac {f' (0)} {g' (0)} =\ frac {0} {0}. \ end {alinear*}

  que es otra forma\(\frac00\) indeterminada.
• Parece que estamos atrapados hasta que recordamos que la regla de L'hôpital (como se afirma en el Teorema 3.7.2) tiene una parte (b) —ahora es un buen momento para releerla.
• Dice que

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ a 0}\ frac {f' (x)} {g' (x)}\ end {alinear*}

  siempre que exista este segundo límite. En nuestro caso esto nos obliga a computar

  \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {2x\ cos (x^2)} {\ sin (x)}\ fin {reunir*}

  lo que podemos hacer usando de nuevo la regla de L'hôpital. Ahora

  \ begin {align*} h (x) &= 2x\ cos (x^2) & h' (x) &= 2\ cos (x^2) - 4x^2\ sin (x^2) & h' (0) &=2\\ ell (x) &=\ sin (x) &\ ell' (x) &=\ cos (x) &\ ell' (0) &=\ end {alinear*}

  Por regla de L'hôpital

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {2x\ cos (x^2)} {\ sin (x)} &=\ frac {h' (0)} {\ ell' (0)} = 2\ end {alinear*}

• Por lo tanto, nuestro límite original es

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin (x^2)} {1-\ cos x} &=\ lim_ {x\ a 0}\ frac {2x\ cos (x^2)} {\ sin (x)} = 2. \ end {alinear*}

• Podemos resumir sucintamente las dos aplicaciones de la regla de L'Hôpital en este ejemplo mediante

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ underbrackets {\ frac {\ sin (x^2)} {1-\ cos x}} _

  ParseError: invalid DekiScript (click for details)

  Callstack:
      at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[1]/article[4]/div/ul/li[6]/p/span[1], line 1, column 1
  

  &=\ lim_ {x\ a 0}\ underbrackets {\ frac {2x\ cos (x^2)} {\ sin x}} _
  ParseError: invalid DekiScript (click for details)

  Callstack:
      at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[1]/article[4]/div/ul/li[6]/p/span[2], line 1, column 1
  

  =\ lim_ {x\ a 0}\ underbrackets {\ frac {2\ cos (x^2) -4x^2\ sin (x^2)} {\ cos x}} _
  ParseError: invalid DekiScript (click for details)

  Callstack:
      at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[1]/article[4]/div/ul/li[6]/p/span[3], line 1, column 1
  

  =2\ end {align*}
  Aquí se utilizan “num” y “den” como abreviaturas de “numerador” y “denominador” respectivamente.”

Hay que tener cuidado para que se cumplan las hipótesis de la regla de L'hôpital antes de aplicarla. Las siguientes “advertencias” muestran el tipo de cosas que pueden salir mal.

Advertencia 3.7.7 Límite de denominador distinto de cero.

Si

\ begin {alinear*}\ lim\ límites_ {x\ fila derecha a} f (x) &=0 &\ text {pero} &&\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a} g (x) &\ ne 0\ end {alinear*}

entonces

\ begin {align*}\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x)} {g (x)} &&\ text {no necesita ser lo mismo que} &&\ frac {f' (a)} {g' (a)}\ texto {o}\ lim\ limits_ {x\ fila derecha a}\ frac {f' (x)} {g' (x)}. \ end {alinear*}

Aquí hay un ejemplo. Toma

\ begin {reunir*} a=0\ qquad f (x) =3x\ qquad g (x) =4+5x\ end {reunir*}

Entonces

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {3x} {4+5x} & &=\ frac {3\ veces 0} {4+5\ veces 0} =0\\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &=\ frac {f' (0)} {g' (0)} =\ frac {3} {5}\ end {align*}

Advertencia 3.7.8 Límite de numerador distinto de cero.

Si

\ begin {alinear*}\ lim\ límites_ {x\ fila derecha a} g (x) &=0 &\ text {pero} &&\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a} f (x) &\ ne 0\ end {alinear*}

entonces

\ begin {align*}\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a}\ frac {f (x)} {g (x)} &&\ text {no necesita ser lo mismo que} &&\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a}\ frac {f' (x)} {g' (x)}. \ end {alinear*}

Aquí hay un ejemplo. Toma

\ begin {reunir*} a=0\ qquad\ qquad f (x) =4+5x\ qquad g (x) =3x\ end {reunir*}

Entonces

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {4+5x} {3x} & &=\ texto {DNE}\\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {5} {3} =\ frac {5} {3}\ final {alinear*}

Este siguiente es más sutil; los límites de las funciones de numerador y denominador originales van ambos a cero, pero el límite de la relación sus derivadas no existe.

Advertencia 3.7.9 Límite de relación de derivados DNE.

Si

\ begin {alinear*}\ lim\ límites_ {x\ fila derecha a} f (x) &=0 &\ text {y} &&\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a} g (x) &= 0\ end {alinear*}

pero

\ begin {align*}\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &\ text {no existe}\ end {align*}

entonces todavía es posible que

\ begin {alinear*}\ lim\ límites_ {x\ fila derecha a}\ frac {f (x)} {g (x)} &\ texto {existe.} \ end {alinear*}

Aquí hay un ejemplo. Toma

\ begin {reunir*} a=0\ qquad\ qquad f (x) =x^2\ sin\ frac {1} {x}\ qquad g (x) = x\ end {reunir*}

Luego (con una aplicación del teorema squeeze)

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0} f (x) &= 0 &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a 0} g (x) &= 0. \ end {alinear*}

Si intentamos aplicar la regla de L'hôptial entonces tenemos\(g'(x)=1\) y

\ begin {alinear*} f' (x) &=2x\ sin\ frac {1} {x} -\ cos\ frac {1} {x}\\\ end {align*}

y luego tratamos de calcular el límite

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &=\ lim_ {x\ a 0}\ izquierda (2x\ sin\ frac {1} {x} -\ cos\ frac {1} {x}\ derecha)\ end {alinear*}

Sin embargo, este límite no existe. El primer término converge a 0 (por el teorema squeeze), pero el segundo término\(\cos(1/x)\) simplemente oscila salvajemente entre\(\pm 1\text{.}\) Todo lo que podemos concluir de esto es

Dado que el límite de la relación de derivados no existe, no podemos aplicar la regla de L'hôpital.

En su lugar debemos volver al límite original y aplicar el teorema squeeze:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {x^2\ sin\ frac {1} {x}} {x} =\ lim_ {x\ fila derecha 0} x\ sin\ frac {1} {x} = 0,\ end {alinear*}

desde\(|x\sin(1/x)| \lt |x|\) y\(|x| \to 0\) como\(x\to 0\text{.}\)

También es fácil construir un ejemplo en el que los límites de numerador y denominador sean ambos cero, pero el límite de la relación y el límite de la relación de las derivadas no existen. Un ligero cambio del ejemplo anterior muestra que es posible que

\ begin {alinear*}\ lim\ límites_ {x\ fila derecha a} f (x) &=0 &\ text {y} &&\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a} g (x) &= 0\ end {alinear*}

pero ninguno de los límites

\ begin {alinear*}\ lim\ límites_ {x\ fila derecha a}\ frac {f (x)} {g (x)} &&\ text {o} &&\ lim\ limits_ {x\ rightarrow a}\ frac {f' (x)} {g' (x)}\ end {align*}

existir. Toma

\ begin {reunir*} a=0\ qquad\ qquad f (x) =x\ sin\ frac {1} {x}\ qquad g (x) = x\ end {reunir*}

Luego (con una rápida aplicación del teorema squeeze)

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0} f (x) &= 0 &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a 0} g (x) &= 0. \ end {alinear*}

Sin embargo,

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {x\ sin\ frac {1} {x}} {x} {x} =\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ sin\ frac {1} {x}\ end {align*}

no existe. Y de manera similar

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &=\ lim_ {x\ a 0}\ frac {\ sin\ frac {1} {x} -\ frac {1} {x}\ cos\ frac {1} {x} {x}} {x^2}\ end {align*}

no existe.

Variaciones

El teorema 3.7.2 es la forma básica de la regla de L'Hôpital, pero también hay muchas variaciones. Aquí hay un montón de ellos.

Límites en\(\pm \infty\)

La regla de L'Hôpital también se aplica cuando el límite de\(x \to a\) es sustituido por\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\) o por\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\) o por\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\) o por\(\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}\text{.}\)

Podemos justificar adaptar la regla a los límites a\(\pm \infty\) través del siguiente razonamiento

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {y\ a 0^+}\ frac {f (1/y)} {g (1/y)} &\ text {sustituto} x=1/y\ &=\ lim_ {y\ a 0^+}\ frac {-\ frac ac {1} {y^2} f' (1/y)} {-\ frac {1} {y^2} g' (1/y)},\ end {align*}

donde hemos utilizado la regla de L'hôpital (asumiendo que existe este límite) y el hecho de que\(\dfrac{d}{dy} f(1/y) = -\frac{1}{y^2} f'(1/y)\) (y de manera similar para\(g\)). Limpiarlo y sustituirlo\(y=1/x\) da el resultado requerido:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} & =\ lim_ {y\ a 0^+}\ frac {f' (1/y)} {g' (1/y)} =\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {f' (x)} {g' (x)}. \ end {alinear*}

Ejemplo 3.7.10 L'Hôpital al infinito

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {\ arctan x -\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1} {x}}\ end {reunir*}

Tanto el numerador como el denominador van a\(0\) como\(x \to\infty\text{,}\) así se trata de una forma\(\frac00\) indeterminada. ENCONTRAMOS

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha+\ infty}\ underbrackets {\ frac {\ arctan x-\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1} {x}}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[1]/div/article/div/p[4]/span[1], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ frac {\ frac {1} {1+x^2}} {-\ frac {1} {x^2}} =-\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {1} {1+\ frac {1} {x^2}}} _ _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[1]/div/article/div/p[4]/span[2], line 1, column 1

=-1\ final {reunir*}

Hemos aplicado la regla de L'Hôpital con

\ begin {align*} f (x) &=\ arctan x -\ frac {\ pi} {2}\ qquad& g (x) &=\ frac {1} {x}\\ f' (x) &=\ frac {1} {1+x^2} & g' (x) &=-\ frac {1} {x^2}\ end {align*}

\(\frac{\infty}{\infty}\) indeterminate form

La regla de L'Hôpital también se aplica cuando\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=0\text{,}\)\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0\) se sustituye por\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\pm\infty\text{,}\)\(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=\pm\infty\text{.}\)

Ejemplo 3.7.11 Computación\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}\)

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {\ log x} {x}\ end {reunir*}

Tanto el numerador como el denominador explotan hacia el infinito por lo que esta es una forma\(\frac\infty\infty\) indeterminada. Una aplicación de la regla de L'hôpital da

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ underbrackets {\ frac {\ log x} {x}} _ {{\ mathrm {num}\ rightarrow\ infty}\\ {\ mathrm {den}\ rightarrow\ infty} &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1/x} {1}\\ &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {1} {x} = 0\ final {alinear*}

Ejemplo 3.7.12 Buscar\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+3x-3}{x^2+1}\)

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {5x^2+3x-3} {x^2+1}\ end {reunir*}

Entonces por dos aplicaciones de la regla de l'Hôpital obtenemos

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ underbrackets {\ frac {5x^2+3x-3} {x^2+1}} _ {\ atp {\ mathrm {num}\ rightarrow\ infty} {\ mathrm {den}\ rightarrow\ infty}} &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ underbrackets {\ frac {10x+3} {2x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/article[1]/div/p[4]/span, line 1, column 1

=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {10} {2} = 5. \ end {alinear*}

Ejemplo 3.7.13 Un doble L'hôpital más desmesurado

Compute el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ frac {\ log x} {\ tan\ grande (\ frac {\ pi} {2} -x\ grande)}\ fin {reunir*}

Podemos computar esto usando la regla de L'hôpital dos veces:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ underbrackets {\ frac {\ log x} {\ tan\ grande (\ frac {\ pi} {2} -x\ grande)}} _ {{\ mathrm {num}\ fila derecha -\ infty}\\ {\ mathrm den {}\\ fila derecha +\ infty} & =\ limtarrow _ {x\ fila derecha 0+}\ frac {\ frac {1} {x}} {-\ seg^2 (\ frac {\ pi} {2} -x)} =-\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ underbrackets {\ frac {\ cos^2 (\ frac {\ pi} {2} -x)} {x} _ {{\ mathrm {num}\ fila derecha 0}\\ {\ mathrm {den}\ fila derecha 0}}\\ &=-\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ underbrackets {\ frac {2\ cos (\ frac {\ pi} {2} -x)\ sin (\ frac {\ pi} {2} -x) {1} _ {{\ mathrm {num}\ fila derecha 0}\\ {\ mathrm {den}\ fila derecha 1}} =0\ final {alinear*}

La primera aplicación de L'Hôpital fue con

\ begin {align*} f (x) &=\ log x & g (x) &=\ tan\ Grande (\ frac {\ pi} {2} -x\ Grande)\\ f' (x) &=\ frac {1} {x}\ qquad& g' (x) &=-\ seg^2\ Grande (\ frac {\ pi} {2} -x Grande\)\ end {alinear*}

y la segunda vez con

\ begin {align*} f (x) &=\ cos^2\ Grande (\ frac {\ pi} {2} -x\ Grande) & g (x) &=x\ f' (x) &=2\ cos\ Grande (\ frac {\ pi} {2} -x\ Grande)\ Grande [-\ sin\ Grande (\ frac {\ pi} {2} -x\ Grande)\ Grande] (-1)\ qquad& g' (x) &=1\ end {alinear*}

A veces las cosas no salen del todo como nos gustaría y la regla de L'hôpital puede quedar atascada en un bucle. Recuerda pensar en el problema antes de aplicar alguna regla.

Ejemplo 3.7.14 Atrapado en un bucle

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {e^x + e^ {-x}} {e^x - e^ {-x}}\ end {reunir*}

Claramente tanto el numerador como el denominador van a\(\infty\text{,}\) así que tenemos una forma\(\frac\infty\infty\) indeterminada. Aplicando ingenuamente la regla de L'hôpital da

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {e^x + e^ {-x}} {e^x - e^ {-x}} &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {e^x - e^ {-x}} {e^x + e^ {-x}}\ end {align*}

que de nuevo es una forma\(\frac\infty\infty\) indeterminada. Así que vuelve a aplicar la regla de L'hôpital:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {e^x - e^ {-x}} {e^x + e^ {-x}} &=\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {e^x + e^ {-x}} {e^x - e^ {-x}}\ end {align*}

que es justo de vuelta donde empezamos!

El enfoque correcto para tal límite es aplicar los métodos que aprendimos en el Capítulo 1 y reescribir

\ begin {align*}\ frac {e^x+e^ {-x}} {e^x-e^ {-x}} &=\ frac {e^x (1+e^ {-2x})} {e^x (1-e^ {-2x})} =\ frac {1+e^ {-2x}} {1-e^ {-2x}}\ end {align*}

y luego tomar el límite.

Un tipo similar de bucle de reglas de L'hôpital ocurrirá si aplicas ingenuamente la regla de L'hôpital hasta el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {\ sqrt {4x^2+1}} {5x-1}\ end {reunir*}

que apareció en el Ejemplo 1.5.6.

Optativa — Prueba de la Regla de L'hôpital para\(\frac\infty\infty\)

Podemos justificar esta generalización del gobierno de L'hôpital con algunas manipulaciones cuidadosas. Dado que las derivadas\(f',g'\) existen en algún intervalo alrededor\(a\text{,}\) sabemos que\(f,g\) son continuas en algún intervalo alrededor de\(a\text{;}\) dejar\(x,t\) ser puntos dentro de ese intervalo. Ahora reescribe ⁴

\ begin {align*}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {f (x)} {g (x)} +\ underbrackets {\ left (\ frac {f (t)} {g (x)} -\ frac {f (t)} {g (x)}\ right)} _ {=0} +\ underbrackets {\ left (\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)} -\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)}\ derecha)} _ {=0}\\ &=\ underbrackets {\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)} _\ text {listo para GMVT} +\ frac {f (t)} {g (x)} + \ underbrackets {\ left (\ frac {f (x)} {g (x)} -\ frac {f (t)} {g (x)} -\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)}\ derecha)} _\ text {podemos limpiarlo}\\ &=\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)} +\ frac {f (t)} {g (x)} +\ left (\ frac {f (x) -f (t)} {g (x)} -\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)}\ derecha)\\ &=\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)} +\ frac {f (t)} {g (x)} +\ izquierda ( \ frac {1} {g (x)} -\ frac {1} {g (x) -g (t)}\ derecha)\ cdot (f (x) -f (t))\ &=\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)} +\ frac {f (t)} {g (x)} +\ izquierda (\ frac {g (x) -g (t) - g (x)} {g (x) (g (x) -g (t))}\ derecha)\ cdot (f (x) -f (t))\ &=\ underbrackets {\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)}} _\ texto {listo para GMVT} +\ frac {f (t)} {g (x)} -\ frac {g (t)} {g (x)}\ cdot\ underbrackets {\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)}} _\ text {listo para GMVT}\ end {align*}

¡Oof! Ahora el teorema del valor medio generalizado (Teorema 3.4.38) nos dice que hay un\(c\) entre\(x\) y\(t\) así que

\ begin {alinear*}\ frac {f (x) -f (t)} {g (x) -g (t)} &=\ frac {f' (c)} {g' (c)}\ end {alinear*}

Ahora sustituya esto en la expresión grande que derivamos anteriormente:

\ begin {align*}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {f' (c)} {g' (c)} +\ frac {1} {g (x)}\ izquierda (f (t) -\ frac {f' (c)} {g' (c)}\ cdot g (t)\ derecha)\ end {align*}

A primera vista esto no parece tan útil, sin embargo si arreglamos\(t\) y tomamos el límite como\(x \rightarrow a\text{,}\) entonces se vuelve

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a una}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ a una}\ frac {f' (c)} {g' (c)} +\ lim_ {x\ a una}\ frac {1} {g (x)}\ izquierda (f (t) -\ frac {f' (c)} {g' (c)}\ cdot g (t)\ derecha)\\\ final {alinear*}

Ya que\(g(x) \to \infty\) como\(x \to a\text{,}\) este último término va a cero

\ begin {align*} &=\ lim_ {x\ a}\ frac {f' (c)} {g' (c)} + 0\ end {align*}

Ahora toma el límite como\(t\to a\text{.}\) El lado izquierdo no cambia ya que es independiente\(t\text{.}\) del lado derecho, sin embargo, sí cambia; el número\(c\) está atrapado entre\(x\) y\(t\text{.}\) Como ya hemos tomado el límite\(x\to a\text{,}\) así que cuando tomamos el límite\(t \to a\text{,}\) estamos tomando efectivamente el límite\(c \to a\text{.}\) Por lo tanto

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {c\ a a}\ frac {f' (c)} {g' (c)}\ end {alinear*}

que es el resultado deseado.

\(0\cdot\infty\) indeterminate form

Cuándo\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = 0\) y\(\displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = \infty\text{.}\) Podemos usar un poco de álgebra para manipular esto en una\(\frac{0}{0}\) o\(\frac{\infty}{\infty}\) forma:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a}\ frac {f (x)} {1/g (x)} &&\ lim_ {x\ a una}\ frac {g (x)} {1/f (x)}\ end {alinear*}

Ejemplo 3.7.15\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} x \cdot \log x\)

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a 0^+} x\ cdot\ log x\ end {reunir*}

Aquí la función\(f(x)=x\) va a cero, mientras que\(g(x)=\log x\) va a\(-\infty\text{.}\) Si reescribimos esto como la fracción

\ begin {align*} x\ cdot\ log x &=\ frac {\ log x} {1/x}\ end {alinear*}

entonces la\(0 \cdot \infty\) forma se ha convertido en una\(\frac\infty\infty\) forma.

El resultado es entonces

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ underbrackets {x} _ {\ rightarrow 0}\ underbrackets {\ log x} _ {\ rightarrow-\ infty} & =\ lim_ {x\ rightarrow 0+}\ underbrackets {\ frac {\ log x} {\ frac {\ frac {1} {x}} _ {\ mathrm {num}\ fila derecha-\ infty}\\ {\ mathrm {den}\ fila derecha\ infty} =\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ frac {\ frac {1} {x}} {-\ frac {1} {-\ frac {1} {x^2}} =-\ lim_ {x\ fila derecha 0+} x =0\ final {alinear*}

Ejemplo 3.7.16 Computación\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^n e^{-x}\)

En este ejemplo evaluaremos\(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^n e^{-x}\text{,}\) para todos los números naturales\(n\text{.}\) Empezaremos con\(n=1\)\(n=2\) y luego, usando lo que hemos aprendido de esos casos, pasaremos a general\(n\text{.}\)

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {x} _ {\ rightarrow\ infty}\ underbrackets {e^ {-x}} _ {\ rightarrow 0} & =\ lim_ {x\ rightarrow +\ infty}\ underbrackets {\ frac {x} {e^x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[2]/span[1], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {1} {e^x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[2]/span[2], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty} e^ {-x} =0\ final {alinear*}

Aplicando L'hôpital dos veces,

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {x^2} _ {\ rightarrow\ infty}\ underbrackets {e^ {-x}} _ {\ rightarrow 0} & =\ lim_ {x\ rightarrow +\ infty}\ underbrackets {\ frac {x^2} {e^x} _ {\ mathrm {num}\ fila derecha+\ infty}\\ {\ mathrm {den}\ fila derecha+\ infty}} =\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {2x} {e^x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[4]/span[1], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {2} {e^x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[4]/span[2], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty} 2e^ {-x}\\ &=0\ final {alinear*}

En efecto, para cualquier número natural que\(n\text{,}\) aplique l'Hôpital\(n\) veces da

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {x^n} _ {\ rightarrow\ infty}\ underbrackets {e^ {-x}} _ {\ rightarrow 0} & =\ lim_ {x\ rightarrow +\ infty}\ hskip-5pt\ underbrackets {\ frac {x^n} {e^n} x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[6]/span[1], line 1, column 1

\\ & =\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {nx^ {n-1}} {e^x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[6]/span[2], line 1, column 1

\\ & =\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {n (n-1) x^ {n-2}} {e^x} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[6]/span[3], line 1, column 1

\\ &=\ cdots =\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {n!} {e^x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[4]/div/article[2]/div/p[6]/span[4], line 1, column 1

=0\ final {alinear*}

\(\infty-\infty\) indeterminate form

Cuándo\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \infty\) y\(\displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = \infty\text{.}\) Reescribimos la diferencia como una fracción usando un denominador común

\ begin {align*} f (x) - g (x) &=\ frac {h (x)} {\ ell (x)}\ end {align*}

que es entonces a\(\frac{0}{0}\) o\(\frac{\infty}{\infty}\) forma.

Ejemplo 3.7.17 Computación\(\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}^-} \left( \sec x - \tan x\right)\)

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ frac {\ pi} {2} ^-}\ izquierda (\ sec x -\ tan x\ derecha)\ end {reunir*}

Ya que el límite de ambos\(\sec x\) y\(\tan x\) es\(+\infty\) como\(x \to \frac{\pi}{2}^-\text{,}\) esta es una forma\(\infty-\infty\) indeterminada. Sin embargo podemos reescribir esto como

\ begin {alinear*}\ sec x -\ tan x &=\ frac {1} {\ cos x} -\ frac {\ sin x} {\ cos x} =\ frac {1-\ sin x} {\ cos x}\ end {alinear*}

que es entonces una forma\(\frac00\) indeterminada. Esto da entonces

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha\ frac {\ pi} {2} ^-}\ Grande (\ underbrackets {\ sec x} _ {\ fila derecha +\ infty} -\ underbrackets {\ tan x} _ _ {\ derecha+\ infty}\ Grande) & =\ lim_ {x\ fila derecha\ frac {\ pi} {2} ^-}\ underbrackets {\ frac {1-\ sin x} {\ cos x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[5]/div/article[1]/div/p[6]/span[1], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha\ frac {\ pi} {2} ^-}\ underbrackets {\ frac {-\ cos x} {-\ sin x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[5]/div/article[1]/div/p[6]/span[2], line 1, column 1

=0\ end {align*}

En el último ejemplo, Ejemplo 3.7.17, convertimos una forma\(\infty-\infty\) indeterminada en una forma\(\frac{0}{0}\) indeterminada explotando el hecho de que los dos términos,\(\sec x\) y\(\tan x\text{,}\) en la forma\(\infty-\infty\) indeterminada compartían un denominador común, a saber,\(\cos x\text{.}\) En el “mundo real” que será, de supuesto, casi nunca suceden. Sin embargo, como muestran los siguientes ejemplos, a menudo puedes masajear estas expresiones en formas adecuadas.

Aquí hay otro, mucho más complicado, ejemplo, donde no sucede.

Ejemplo 3.7.18 Un complicado\(\infty-\infty\) example

En este ejemplo, evaluamos la forma\(\infty-\infty\) indeterminada

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ Grande (\ underbrackets {\ frac {\ frac {1} {x}} _ {\ rightarrow\ pm\ infty} -\ underbrackets {\ frac {1} {\ log (1+x)}} _ {\ Rightarrow\ pm\ infty}\ Grande)\ end {reunir*}

Lo convertimos en una forma\(\frac{0}{0}\) indeterminada simplemente poniendo las dos fracciones,\(\frac{1}{x}\) y\(\frac{1}{\log(1+x)}\) sobre un denominador común.

\[ \lim_{x\rightarrow 0}\Big( \underbrace{\frac{1}{x}}_{\rightarrow \pm\infty} - \underbrace{\frac{1}{\log(1+x)}}_{\rightarrow\pm\infty}\Big) =\lim_{x\rightarrow 0}\underbrace{\frac{\log(1+x)-x}{x\log(1+x)}}_{ {\mathrm{num}\rightarrow 0}\\ {\mathrm{den}\rightarrow 0}} \tag{E1} \nonumber \]

Ahora aplicamos la regla de L'Hôpital, y simplificamos

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {\ log (1+x) -x} {x\ log (1+x)}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[5]/div/article[2]/div/p[6]/span[1], line 1, column 1

&=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac\ ac {1} {1+x} -1} {\ log (1+x) +\ frac {x} {1+x}}\\ &=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {1- (1+x)} {(1+x)\ log (1+x) +x}\\ &=-\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {x} {(1+x)\ log (1+x) +x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[5]/div/article[2]/div/p[6]/span[2], line 1, column 1

\ tag {E2}\ end {align*}

Entonces aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez

\ begin {alinear*} -\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {x} {(1+x)\ log (1+x) +x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[5]/div/article[2]/div/p[8]/span[1], line 1, column 1

&=-\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {1} {\ log (1+x) +\ frac {1+x} {1+x} +1}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[5]/div/article[2]/div/p[8]/span[2], line 1, column 1

\\ &=-\ frac {1} {2}\ tag {E3}\ end {align*}

Combinar (E1), (E2) y (E3) da nuestra respuesta final

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ Grande (\ frac {1} {x} -\ frac {1} {\ log (1+x)}\ Grande) =-\ frac {1} {2}\ end {reunir*}

El siguiente ejemplo lo puede hacer la regla de L'hôpital, pero en realidad es mucho más sencillo multiplicar por el conjugado y tomar el límite usando las herramientas del Capítulo 1.

Ejemplo 3.7.19 Computación\(\displaystyle \lim_{x\to \infty} \sqrt{x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x}\)

Considera el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ sqrt {x^2+4x} -\ sqrt {x^2-3x}\ end {reunir*}

Ninguno de los dos términos es una fracción, pero podemos escribir

\ begin {alinear*}\ sqrt {x^2+4x} -\ sqrt {x^2-3x} &= x\ sqrt {1+4/x} -x\ sqrt {1-3/x} &\ text {asumiendo} x\ gt 0\\ &= x\ izquierda (\ sqrt {1+4/x} -\ sqrt {1-3/x}\ derecha)\\ &=\ frac {rt {1+4/x} -\ sqrt {1-3/x}} {1/x}\ final {alinear*}

que ahora es una\(\frac00\) forma con\(f(x)=\sqrt{1+4/x}-\sqrt{1-3/x}\) y\(g(x)=1/x\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} f' (x) &=\ frac {-4/x^2} {2\ sqrt {1+4/x}} -\ frac {3/x^2} {2\ sqrt {1-3/x}} & g' (x) &= -\ frac {1} {x^2}\ end {align*}

De ahí

\ begin {align*}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &=\ frac {4} {2\ sqrt {1+4/x}} +\ frac {3} {\ sqrt {1-3/x}}\ end {align*}

Y así en el límite como\(x\to \infty\)

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a\ infty}\ frac {f' (x)} {g' (x)} &=\ frac {4} {2} +\ frac {3} {2} =\ frac {7} {2}\ end {align*}

y así nuestro límite original también es\(7/2\text{.}\)

En comparación, si multiplicamos por el conjugado tenemos

\ begin {alinear*}\ sqrt {x^2\! +\! 4x} -\ sqrt {x^2\! -\! 3x} &=\ izquierda (\ sqrt {x^2\! +\! 4x} -\ sqrt {x^2\! -\! 3x}\ derecha)\ cdot\ frac {\ sqrt {x^2\! +\! 4x} +\ sqrt {x^2\! -\! 3x}} {\ sqrt {x^2\! +\! 4x} +\ sqrt {x^2\! -\! 3x}}\\ &=\ frac {x^2+4x - (x^2-3x)} {\ sqrt {x^2+4x} +\ sqrt {x^2-3x}}\\ &=\ frac {7x} {\ sqrt {x^2+4x} +\ sqrt {x^2-3x}}\\ &=\ frac {7} {\ sqrt {1+4/x} +\ sqrt {1-3/x}}\ qquad\ texto {asumiendo} x\ gt 0\ end {alinear*}

Ahora tomando el límite como\(x\to\infty\) da\(7/2\) según se requiera. El hecho de que conozcamos la regla de L'hôpital, no significa que debamos usarla en todas partes en las que se pueda aplicar.

\(1^\infty\) indeterminate form

Podemos usar la regla de L'hôpital sobre los límites de la forma

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) ^ {g (x)} &\ texto {con}\\\ lim_ {x\ a} f (x) &= 1 &\ texto {y} &&\ lim_ {x\ a} g (x) &=\ infty\ end {align*}

al considerar el logaritmo del límite ⁵ Estamos utilizando el hecho de que el logaritmo es una función continua y Teorema 1.6.10. :

\ begin {align*}\ log\ left (\ lim_ {x\ a} f (x) ^ {g (x)}\ derecha) &=\ lim_ {x\ a una}\ log\ left (f (x) ^ {g (x)}\ derecha) =\ lim_ {x\ a}\ log\ izquierda (f (x)\ derecha)\ cdot g (x)\ end {align*}

que ahora es una\(0 \cdot \infty\) forma. Esto puede transformarse aún más en una\(\frac\infty\infty\) forma\(\frac00\) o:

\ begin {align*}\ log\ left (\ lim_ {x\ a} f (x) ^ {g (x)}\ derecha) &=\ lim_ {x\ a una}\ log\ izquierda (f (x)\ derecha)\ cdot g (x)\ &=\ lim_ {x\ a una}\ frac {\ log\ izquierda (f (x)\ derecha)} {1/g (x)}. \ end {alinear*}

Ejemplo 3.7.20 Buscar\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{a}{x}}\)

El siguiente límite aparece de manera bastante natural al considerar sistemas que muestran crecimiento exponencial o decaimiento.

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ rightarrow 0} (1+x) ^ {\ frac {a} {x}}\ qquad\ text {con la constante} a\ ne 0\ end {reunir*}

Ya que\((1+x) \to 1\) y\(a/x \to \infty\) esta es una forma\(1^\infty\) indeterminada.

Al considerar su logaritmo tenemos

\ begin {align*}\ log\ left (\ lim_ {x\ to 0} (1+x) ^ {\ frac {a} {x}}\ derecha) &=\ lim_ {x\ a 0}\ log\ left ((1+x) ^ {\ frac {a} {x}\ derecha)\\ &=\ lim_ {x\ a 0}\ frac {a} x}\ log (1+x)\\ &=\ lim_ {x\ a 0}\ frac {a\ log (1+x)} {x}\ end {align*}

que ahora es una\(\frac00\) forma. Aplicando la regla de L'hôpital da

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {a\ log (1+x)} {x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[6]/div/article[1]/div/p[7]/span[1], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {\ frac {a} {1+x}} {1}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[6]/div/article[1]/div/p[7]/span[2], line 1, column 1

=a\ final {reunir*}

Dado que\((1 + x)^{a/x} = \exp\left[\log\Big((1 + x)^{a/x}\Big)\right]\) y la función exponencial es continua, nuestro límite original es\(e^a\text{.}\)

Aquí hay un ejemplo más complicado de una forma\(1^\infty\) indeterminada.

Ejemplo 3.7.21 Un ejemplo más complicado

En el límite

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ rightarrow 0}\ Grande (\ frac {\ sin x} {x}\ Grande) ^ {\ frac {1} {x^2}}\ end {reunir*}

la base,\(\frac{\sin x}{x}\text{,}\) converge a\(1\) (ver Ejemplo 3.7.3) y el exponente,\(\frac{1}{x^2}\text{,}\) va a\(\infty\text{.}\) Pero si tomamos logaritmos entonces

\ begin {reunir*}\ log\ Grande (\ frac {\ sin x} {x}\ Grande) ^ {\ frac {1} {x^2}} =\ frac {\ log\ frac {\ sin x} {x} {x}} {x^2}\ end {reunir*}

entonces, en el límite\(x\rightarrow 0\text{,}\) tenemos una forma\(\frac{0}{0}\) indeterminada. Una aplicación de la regla de L'hôpital da

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {\ log\ frac {\ sin x} {x}} {x^2}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[6]/div/article[2]/div/p[6]/span, line 1, column 1

& =\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac\ frac {x} {\ sin x}\ frac {x\ cos x -\ sin x} {x^2}} {2x} =\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ frac {x\ cos x -\ sin x} {x\ sin x}} {2x} =\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {x\ cos x -\ sin x} {2x^2\ sin x}\ final {alinear*}

que es otra\(\frac00\) forma. Aplicar nuevamente la regla de L'hôpital da:

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {x\ cos x -\ sin x} {2x^2\ sin x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[6]/div/article[2]/div/p[8]/span, line 1, column 1

&=\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {cos\ x -x\ sin x-\ cos x} {4x\ sin x+2x^2\ cos x}\\ &=-\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {x\ sin x} {4x\ sin x+2x^2\ cos x} =-\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ frac {\ sin x} {4\ sin x+2x\ cos x}\ final {alinear*}

que es otra\(\frac00\) forma más. Una vez más con la regla de L'hôpital:

\ begin {alinear*} -\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {\ sin x} {4\ sin x+2x\ cos x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[6]/div/article[2]/div/p[10]/span[1], line 1, column 1

&=-\ lim_ {x\ fila derecha 0}\ underbrackets {\ frac {\ cos x} {4\ cos x+2\ cos x-2x\ sin x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[6]/div/article[2]/div/p[10]/span[2], line 1, column 1

\\ &=-\ frac {1} {6}\ end { alinear*}

¡Oof! Acabamos de demostrar que el logaritmo de nuestro límite original es\(-\frac{1}{6}\text{.}\) De ahí que el límite original en sí sea\(e^{-1/6}\text{.}\)

Este fue un ejemplo bastante complicado. Sin embargo sí ilustra la importancia de limpiar tus expresiones algebraicas. Esto reducirá tanto la cantidad de trabajo que tiene que hacer como también reducirá el número de errores que comete.

\(0^0\)indeterminate form

Al igual que la\(1^\infty\) forma, esto puede tratarse considerando su logaritmo.

Ejemplo 3.7.22 Computación\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0+}x^x\)

Por ejemplo, en el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha 0+} x^x\ final {reunir*}

tanto la base,\(x\text{,}\) como el exponente, también\(x\text{,}\) van a cero. Pero si consideramos el logaritmo entonces tenemos

\ begin {reunir*}\ log x^x = x\ log x\ end {reunir*}

que es una forma\(0\cdot\infty\) indeterminada, que ya sabemos tratar. De hecho, ya encontramos, en el Ejemplo 3.7.15, que

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha 0+} x\ log x=0\ end {reunir*}

Dado que lo exponencial es una función continua

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha 0+} x^x =\ lim_ {x\ fila derecha 0+}\ exp\ grande (x\ log x\ grande) =\ exp\ grande (\ lim_ {x\ rightarrow 0+} x\ log x\ grande) =e^0 =1\ end {reunir*}

\(\infty^0\) indeterminate form

Nuevamente, podemos tratar esta forma considerando su logaritmo.

Ejemplo 3.7.23 Buscar\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}x^{\frac{1}{x}}\)

Por ejemplo, en el límite

\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty} x^ {\ frac {1} {x}}\ fin {reunir*}

la base,\(x\text{,}\) va al infinito y el exponente,\(\frac{1}{x}\text{,}\) va a cero. Pero si tomamos logaritmos

\ comenzar {reunir*}\ log x^ {\ frac {1} {x}} =\ frac {\ log x} {x}\ fin {reunir*}

que es una\(\frac\infty\infty\) forma, que sabemos tratar.

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ underbrackets {\ frac {\ log x} {x}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[8]/div/article/div/p[6]/span[1], line 1, column 1

=\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ understrace {\ frac\ frac {1} {x}} {1}} _

ParseError: invalid DekiScript (click for details)

Callstack:
    at (Matematicas/Calculo_diferencial_CLP-1_(Feldman_Rechnitzer_y_Yeager)/04:_Aplicaciones_de_derivados/4.07:_Regla_de_L'Hôpital_y_formas_indeterminadas), /content/body/div[2]/section[8]/div/article/div/p[6]/span[2], line 1, column 1

=0\ final {reunir*}

Dado que lo exponencial es una función continua

\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty} x^ {\ frac {1} {x}} =\ lim_ {x\ fila derecha +\ infty}\ exp\ grande (\ frac {\ log x} {x}\ Grande) =\ exp\ grande (\ lim_ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {\ log x} {x}\ Grande) =e^0 =1\ end {reunir*}

Ejercicios

Etapa 1

En las Preguntas 3.7.4.1 a 3.7.4.3, se le pide que dé pares de funciones que se combinen para hacer formas indeterminadas. Recuerde que una forma indeterminada es indeterminada precisamente porque su límite puede asumir una serie de valores.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dar dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) con las siguientes propiedades:

1. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} g(x)=\infty\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=2.5\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dar dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) con las siguientes propiedades:

1. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} g(x)=\infty\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dar dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) con las siguientes propiedades:

1. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)=1\)
2. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} g(x)=\infty\)
3. \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} [f(x)]^{g(x)}=5\)

Etapa 2

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{x^3-e^{x-1}}{\sin(\pi x)}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\dfrac{\log x}{x}\text{.}\) (Recuerde: en estas notas,\(\log\) significa logaritmo base\(e\text{.}\))

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\log x)^2e^{-x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^2e^{-x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{x-x\cos x}{x-\sin x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x^6+4x^4}}{x^2\cos x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(\log x)^2}{x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1-\cos x}{\sin^2 x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x}{\sec x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Evaluar\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\csc x\cdot \tan x\cdot (x^2+5)}{e^x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\sqrt{2x^2+1}-\sqrt{x^2+x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin(x^3+3x^2)}{\sin^2x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\log(x^3)}{x^2-1}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{-1/x^2}}{x^4}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{xe^x}{\tan (3x)}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

Evaluar\(\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\sin^2 x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

Evaluar\(\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[x^2]{\cos x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} e^{x \log x}\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \left[-\log(x^2)\right]^x\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\) (✳)

Encuentra\(c\) así que eso\(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \dfrac{1+cx-\cos x}{ e^{x^2}-1}\) existe.

Ejercicio\(\PageIndex{24}\) (✳)

Evaluar\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{k\sin(x^2)}-(1+2x^2)}{x^4}\text{,}\) dónde\(k\) es una constante.

Etapa 3

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

Supongamos que un algoritmo, dado una entrada con\(n\) variables, terminará en la mayoría de los\(S(n)=5n^4-13n^3-4n+\log (n)\) pasos. Un investigador escribe que el algoritmo terminará aproximadamente en la mayoría de los\(A(n)=5n^4\) pasos. Mostrar que el porcentaje de error involucrado en el uso en\(A(n)\) lugar de\(S(n)\) tiende a cero ya que\(n\) se vuelve muy grande. ¿Qué pasa con el error absoluto?

Comentario: este es un tipo de aproximación muy común. Cuando las personas se ocupan de funciones que dan números muy grandes, a menudo no les importa el número exacto grande, solo quieren un estadio de béisbol. Entonces, una función complicada podría ser reemplazada por una función más fácil que no dé un error relativo grande. Si quieres saber más sobre las formas en que las personas describen funciones que dan números muy grandes, puedes leer sobre “Notación Big O” en la Sección 3.6.3 del libro de texto CLP2.