4.1: Introducción a los Antiderivados
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En lo que va del curso hemos aprendido a determinar la tasa de cambio (es decir, la derivada) de una función dada. Eso es
\ begin {gather*}\ text {dada una función} f (x)\ text {find}\ dfrac {df} {dx}. \ end {reunir*}
En el camino desarrollamos una comprensión de los límites, lo que nos permitió definir tasas de cambio instantáneas, la derivada. Luego desarrollamos una serie de aplicaciones de derivados a la modelización y aproximación. En esta última sección sólo queremos introducir la idea de antiderivados. Eso es
\ begin {gather*}\ text {dado un derivado}\ dfrac {df} {dx}\ text {encuentra la función original} f (x). \ end {reunir*}
Por ejemplo, digamos que sabemos que
\ begin {align*}\ dfrac {df} {dx} &= x^2\ end {align*}
y queremos encontrar\(f(x)\text{.}\) De nuestra experiencia previa diferenciando sabemos que los derivados de polinomios vuelven a ser polinomios. Entonces suponemos que nuestra función desconocida\(f(x)\) es un polinomio. Además sabemos que cuando\(x^n\) diferenciamos obtenemos\(n x^{n-1}\) —multiplicamos por el exponente y reducimos el exponente por 1. Entonces para terminar con un derivado de\(x^2\) necesitamos haber diferenciado un\(x^3\text{.}\) Pero\(\dfrac{d}{dx} x^3 = 3x^2\text{,}\) entonces necesitamos dividir ambos lados por 3 para obtener la respuesta que queremos. Eso es
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {1} {3} x^3\ derecha) &= x^2\ end {align*}
Sin embargo sabemos que la derivada de una constante es cero, así que también tenemos
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {1} {3} x^3 +1\ derecha) &= x^2\\ final {alinear*}
y
\ begin {alinear*}\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {1} {3} x^3 -\ pi\ derecha) &= x^2\ end {align*}
En este punto realmente ayudará a la discusión darle nombre a lo que estamos haciendo.
Una función\(F(x)\) que satisface
\ comenzar {alinear*}\ dfrac {d} {dx} F (x) &= f (x)\ final {alinear*}
se llama un antiderivado de\(f(x)\text{.}\)
Observe el uso del artículo indefinido ahí —un antiderivado. Esto es precisamente porque siempre podemos sumar o restar una constante a una antiderivada y cuando diferenciemos obtendremos la misma respuesta. Podemos escribir esto como un lema, pero en realidad es solo Corolario 2.13.13 (de atrás en la sección sobre el teorema del valor medio) disfrazado.
\(F(x)\)Sea un antiderivado de\(f(x)\text{,}\) entonces para cualquier constante\(c\text{,}\) la función\(F(x)+c\) es también un antiderivado de\(f(x)\text{.}\)
Debido a este lema normalmente escribimos antiderivados con “\(+c\)” tachado al final. Es decir, si sabemos que\(F'(x)=f(x)\text{,}\) entonces declararíamos que el antiderivado de\(f(x)\) es
\ comenzar {reunir*} F (x) +c\ final {reunir*}
donde este “\(+c\)” está ahí para recordarnos que siempre podemos sumar o restar alguna constante y seguirá siendo un antiderivado de\(f(x)\text{.}\) De ahí el antiderivado de\(x^2\) es
\ comenzar {reunir*}\ frac {1} {3} x^3 + c\ fin {reunir*}
Del mismo modo, el antiderivado de\(x^4\) es
\ comenzar {reunir*}\ frac {1} {5} x^5 + c\ fin {reunir*}
y para\(\sqrt{x} = x^{1/2}\) ello es
\ comenzar {reunir*}\ frac {2} {3} x^ {3/2} + c\ end {reunir*}
Este último es complicado (a primera vista) — pero siempre podemos comprobar nuestra respuesta diferenciando.
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {2} {3} x^ {3/2} + c\ derecha) &=\ frac {2} {3}\ cdot\ frac {3} {2} x^ {1/2} + 0 &\ marca de verificación\ end {align*}
Ahora para determinar el valor de\(c\) necesitamos más información. Por ejemplo, se nos podría preguntar
Teniendo en cuenta que\(g'(t) = t^2\) y\(g(3)=7\) encontrar\(g(t)\text{.}\)
Se nos da la derivada y una pieza de información adicional y a partir de estos dos hechos necesitamos encontrar la función original. De nuestro trabajo anterior sabemos que
\ begin {alinear*} g (t) &=\ frac {1} {3} t^3 + c\ end {alinear*}
y podemos encontrar\(c\) de la otra pieza de información
\ begin {align*} 7 = g (3) &=\ frac {1} {3}\ cdot 27 + c = 9+c\ end {align*}
De ahí\(c=-2\) y así
\ begin {align*} g (t) &=\ frac {1} {3} t^3 -2\ end {alinear*}
Entonces podemos verificar muy fácilmente nuestra respuesta recalculando\(g(3)\) y\(g'(t)\text{.}\) Este es un buen hábito para entrar.
Encontrar antiderivados de polinomios generalmente no es demasiado difícil. Solo necesitamos usar la regla
\ comenzar {reunir*}\ texto {si} f (x) = x^n\ texto {entonces} F (x) =\ frac {1} {n+1} x^ {n+1} + c.\ fin {reunir*}
Por supuesto esto se descompone cuando\(n=-1\text{.}\) Para poder encontrar un antiderivado para\(f(x)=\frac{1}{x}\) necesitamos recordar eso\(\dfrac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}\text{,}\) y de manera más general eso\(\dfrac{d}{dx}\log |x| = \frac{1}{x}\text{.}\) Ver Ejemplo 2.10.4. Entonces
\ comenzar {reunir*}\ texto {si} f (x) =\ frac {1} {x}\ texto {entonces} F (x) =\ log|x| + c\ end {reunir*}
Deja\(f(x) = 3x^5-7x^2+2x+3 + x^{-1} - x^{-2}\text{.}\) Entonces el antiderivado de\(f(x)\) es
\ begin {alinear*} F (x) &=\ frac {3} {6} x^6 -\ frac {7} {3} x^3 +\ frac {2} {2} x^2 + 3x +\ log|x| -\ frac {1} {-1} x^ {-1} + c &\ text {limpiarlo}\\ &=\ frac {1} 2} x^6 -\ frac {7} {3} x^3 + x^2 + 3x +\ log|x| + x^ {-1} + c\ end {align*}
Ahora para comprobar debemos diferenciarnos y ojalá volvamos a donde empezamos
\ begin {align*} F' (x) &=\ frac {6} {2} x^5 -\ frac {7} {3}\ cdot 3 x^2 + 2 x + 3 +\ frac {1} {x} - x^ {-2}\\ &= 3 x^5 - 7 x^2 + 2 x + 3 +\ frac {1} {x} - x^ {-2} &\ marca de verificación\ end {align*}
En tu próximo curso de cálculo desarrollarás mucha maquinaria para ayudarte a encontrar antiderivados. En esta etapa sobre todo lo que podemos hacer es continuar el tipo de cosas que hemos hecho. Pensar en las derivadas que conocemos y trabajamos al revés. Entonces, por ejemplo, podemos tomar una lista de derivados
| \(F(x)\) | \(1\) | \(x^n\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) | \(\tan x\) | \(e^x\) | \(\ln |x|\) | \(\arcsin x\) | \(\arctan x\) |
| \(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)\) | \(0\) | \(nx^{n-1}\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\sec^2 x\) | \(e^x\) | \(\frac{1}{x}\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) |
y darle la vuelta para dar las tablas de antiderivados.
| \(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)\) | \(0\) | \(nx^{n-1}\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) | \(\sec^2 x\) | \(e^x\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(F(x)\) | \(c\) | \(x^n+c\) | \(\sin x+c\) | \(\cos x+c\) | \(\tan x+c\) | \(e^x+c\) | \(\ln |x|+c\) |
| \(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) |
| \(F(x)\) | \(\arcsin x+c\) | \(\arctan x+c\) |
Aquí solo\(c\) hay una constante, cualquier constante. Pero podemos hacer un poco más; limpiar dividiendo\(x^n\) por\(n\) y luego reemplazando\(n\) por\(n+1\text{.}\) Similarmente podemos retocar\(\sin x\) multiplicando por\(-1\text{:}\)
| \(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)\) | \(0\) | \(x^{n}\) | \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\sec^2 x\) | \(e^x\) | \(\frac{1}{x}\) |
| \(F(x)\) | \(c\) | \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}+c\) | \(\sin x+c\) | \(-\cos x+c\) | \(\tan x+c\) | \(e^x+c\) | \(\ln |x|+c\) |
| \(f(x)=\dfrac{d}{dx}F(x)\) | \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\frac{1}{1+x^2}\) |
| \(F(x)\) | \(\arcsin x+c\) | \(\arctan x+c\) |
Aquí hay un par de ejemplos más.
Considerar las funciones
\ begin {alinear*} f (x) &=\ sin x +\ cos 2x & g (x) &=\ frac {1} {1+4x^2}\ end {align*}
Encuentra sus antiderivados.
Solución La primera casi podemos simplemente mirar nuestra mesa. \(F\)Sea el antiderivado de\(f\text{,}\) entonces
\ begin {align*} F (x) &= -\ cos x +\ sin 2x + c &\ text {no es del todo correcto}. \ end {alinear*}
Cuando diferenciamos para verificar las cosas, obtenemos un factor de dos proveniente de la regla de la cadena. De ahí para compensar eso multiplicamos\(\sin2x\) por\(\frac{1}{2}\text{:}\)
\ begin {align*} F (x) &= -\ cos x +\ frac {1} {2}\ sin 2x + c\ end {align*}
Diferenciar esto demuestra que tenemos la respuesta correcta.
Del mismo modo, si usamos\(G\) para denotar el antiderivado de\(g\text{,}\) entonces parece que\(G\) es casi\(\arctan x\text{.}\) Para obtener este factor extra de\(4\) necesitamos sustituirlo\(x \mapsto 2x\text{.}\) Así intentamos
\ begin {align*} G (x) &=\ arctan (2x) +c &\ text {que es casi correcto}. \ end {alinear*}
Diferenciar esto nos da
\ begin {align*} G' (x) &=\ frac {2} {1+ (2x) ^2} = 2g (x)\ end {align*}
De ahí que debemos multiplicar por\(\frac{1}{2}\text{.}\) Esto nos da
\ begin {align*} G (x) &=\ frac {1} {2}\ arctan (2x) + c.\ end {align*}
Entonces podemos comprobar que esto es, de hecho, correcto simplemente diferenciando.
Ahora hagamos un ejemplo más sustancial.
Supongamos que estamos conduciendo a clase. Empezamos\(x=0\) a la hora\(t=0\text{.}\) Nuestra velocidad es\(v(t) = 50\sin(t)\text{.}\) La clase está en ¿\(x=25\text{.}\)Cuándo llegamos ahí?
Solución Denotemos por\(x(t)\) nuestra posición en el momento\(t\text{.}\) Nos dicen que
- \(x(0) = 0\)
- \(x'(t) = 50\sin t\)
Tenemos que determinar\(x(t)\) y luego encontrar el tiempo\(T\) que obedece\(x(T)=25\text{.}\) Ahora armado con nuestra tabla anterior sabemos que el antiderivado de\(\sin t\) es justo\(-\cos t\text{.}\) Podemos comprobar esto:
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dt}\ left (-\ cos t\ right) &=\ sin t\ end {align*}
Entonces podemos obtener el factor de\(50\) multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por 50:
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dt}\ izquierda (-50\ cos t\ derecha) &= 50\ sin t\ end {align*}
Y claro, esto es solo un antiderivado de\(50\sin t\text{;}\) para anotar el antiderivado general solo agregamos una constante\(c\text{:}\)
\ start {alinear*}\ dfrac {d} {dt}\ izquierda (-50\ cos t + c\ derecha) &= 50\ sin t\ end {align*}
Dado que\(v(t) = \dfrac{d}{dt}x(t)\text{,}\) este antiderivado es\(x(t)\text{:}\)
\ begin {alinear*} x (t) &= -50\ cos t + c\ end {alinear*}
Para determinar\(c\) hacemos uso de la otra pieza de información que se nos da, a saber
\ begin {align*} x (0) &= 0.\\\ end {alinear*}
Sustituir esto en nos da
\ comenzar {alinear*} x (0) &= -50\ cos 0 + c = -50+c\ final {alinear*}De ahí que debemos tener\(c=50\) y así
\ begin {alinear*} x (t) &= -50\ cos t + 50 = 50 (1-\ cos t). \ end {alinear*}
Ahora que tenemos nuestra posición en función del tiempo, podemos determinar cuánto tiempo nos lleva llegar allí. Es decir, podemos encontrar el tiempo\(T\) para que\(x(T)=25\text{.}\)
\ begin {alinear*} 25 = x (T) &= 50 (1-\ cos T) &\ text {so}\\\ frac {1} {2} &= 1-\ cos T\ -\ frac {1} {2} &= -\ cos T\\ frac {1} {2} &=\ cos T.\ end {align*}
Recordando nuestros triángulos especiales, vemos que\(T=\frac{\pi}{3}\text{.}\)
El siguiente ejemplo muestra cómo los antiderivados surgen naturalmente al estudiar ecuaciones diferenciales.
De vuelta en la Sección 3.3 encontramos una ecuación diferencial simple, a saber, la ecuación 3.3.1. Pudimos resolver esta ecuación adivinando la respuesta y luego verificándola cuidadosamente. Podemos derivar la solución de manera más sistemática mediante el uso de antiderivados.
Ecuación de recuperación 3.3.1:
\ begin {align*}\ dfrac {dQ} {dt} &= -k Q\ end {align*}
donde\(Q(t)\) esta la cantidad de material radiactivo en el momento\(t\) y asumimos\(Q(t) \gt 0\text{.}\) Toma esta ecuación y divide ambos lados por\(Q(t)\) para obtener
\ begin {align*}\ frac {1} {Q (t)}\ dfrac {dQ} {dt} &= -k\ end {align*}
En este punto debemos 1 pensar que el lado izquierdo es familiar. Ahora es un buen momento para mirar hacia atrás a la diferenciación logarítmica en la Sección 2.10.
El lado izquierdo es solo el derivado de\(\log Q(t)\text{:}\)
\ begin {align*}\ dfrac {d} {dt}\ left (\ log Q (t)\ derecha) &=\ frac {1} {Q (t)}\ dfrac {dQ} {dt}\\ &= -k\ end {align*}
Entonces para resolver esta ecuación, realmente se nos está pidiendo que encontremos todas las funciones\(\log Q(t)\) teniendo derivada Es\(-k\text{.}\) decir, necesitamos encontrar todos los antiderivados\(-k\text{.}\) de Por supuesto que es justo\(-kt + c\text{.}\) De ahí que debemos tener
\ begin {align*}\ log Q (t) &= -kt +c\ end {alinear*}
y luego tomar el exponencial de ambos lados da
\ begin {alinear*} Q (t) &= e^ {-kt+c} = e^c\ cdot e^ {-kt} = C e^ {-kt}\ end {align*}
donde\(C = e^c\text{.}\) Esto es precisamente el Teorema 3.3.2.
Lo anterior es un pequeño ejemplo de la interacción entre las ecuaciones antiderivadas y diferenciales.
Aquí hay otro ejemplo de cómo podríamos usar la antidiferenciación para calcular áreas o volúmenes.
Sabemos (especialmente si se ha revisado el material del apéndice y el Apéndice B.5.2 en particular) que el volumen de un cono circular derecho es
\ begin {align*} V &=\ frac {\ pi} {3} r^2h\ end {alinear*}
donde\(h\) está la altura del cono y\(r\) es el radio de su base. Ahora bien, la derivación de esta fórmula dada en el Apéndice B.5.2 no es demasiado sencilla. Presentamos aquí una prueba alternativa que utiliza antiderivados.
Considera cortar una porción del cono para que su nueva altura sea\(x\) (en lugar de\(h\)). Llamar al volumen del cono menor resultante\(V(x)\text{.}\) Vamos a determinar\(V(x)\) para todos\(x\ge 0\text{,}\) incluyendo\(x=h\text{,}\) primero evaluando\(V'(x)\) y\(V(0)\) (que obviamente es\(0\)).
Llame al radio de la base del nuevo cono más pequeño\(y\) (en lugar de\(r\)). Por triángulos similares sabemos que
\ begin {alinear*}\ frac {r} {h} &=\ frac {y} {x}. \ end {alinear*}
Ahora mantén\(x\) y\(y\) fija y considera cortar un poco más del cono así que su altura es\(X\text{.}\) Cuando lo hacemos, el radio de la base cambia de\(y\) a\(Y\) y otra vez por triángulos similares sabemos que
\ begin {align*}\ frac {Y} {X} &=\ frac {y} {x} =\ frac {r} {h}\ end {align*}
El cambio de volumen es entonces
\ comenzar {reunir*} V (x) - V (X)\ fin {reunir*}
Por supuesto si conociéramos la fórmula para el volumen de un cono, entonces podríamos calcular exactamente lo anterior. Sin embargo, incluso sin conocer el volumen de un cono, es fácil derivar límites superiores e inferiores en esta cantidad. La pieza quitada tiene radio inferior\(y\) y radio superior\(Y\text{.}\) De ahí que su volumen esté delimitado arriba y abajo por los cilindros de altura\(x-X\) y con radio\(y\) y\(Y\) respectivamente. De ahí
\ comenzar {alinear*}\ pi Y^2 (X-x) &\ leq V (x) -V (X)\ leq\ pi y^2 (X-x)\ final {alinear*}
ya que el volumen de un cilindro es solo el área de su base multiplicada por su altura. Ahora masajea un poco esta expresión
\ begin {alinear*}\ pi Y^2 &\ leq\ frac {V (x) -V (X)} {x-X}\ leq\ pi y^2\ end {alinear*}
El término medio ahora parece un derivado; todo lo que tenemos que hacer es tomar el límite como\(X \to x\text{:}\)
\ begin {alinear*}\ lim_ {X\ a x}\ pi Y^2 &\ leq\ lim_ {X\ a x}\ frac {V (x) -V (X)} {x-X}\ leq\ lim_ {X\ a x}\ pi y^2\ end {alinear*}
El término más a la derecha es independiente de\(X\) y así es justo\(\pi y^2\text{.}\) En el término más a la izquierda, ya que\(X \to x\text{,}\) debemos tener eso\(Y \to y\text{.}\) De ahí que el término más a la izquierda es justo\(\pi y^2\text{.}\) Entonces por el teorema squeeze (Teorema 1.4.18) sabemos que
\ begin {alinear*}\ dfrac {dV} {dx} =\ lim_ {X\ a x}\ frac {V (x) -V (X)} {x-X} &=\ pi y^2. \ end {alinear*}
Pero sabemos que
\ comenzar {alinear*} y &=\ frac {r} {h}\ cdot x\ final {alinear*}
por lo
\ begin {align*}\ dfrac {dV} {dx} &=\ pi\ izquierda (\ frac {r} {h}\ derecha) ^2 x^2\ end {align*}
Ahora podemos antidiferenciarnos para volver a\(V\text{:}\)
\ begin {align*} V (x) &=\ frac {\ pi} {3}\ izquierda (\ frac {r} {h}\ derecha) ^2 x^3 + c\ end {alinear*}
Para determinar\(c\) notar que cuando\(x=0\) el volumen del cono es apenas cero y así\(c=0\text{.}\) Así
\ begin {align*} V (x) &=\ frac {\ pi} {3}\ izquierda (\ frac {r} {h}\ derecha) ^2 x^3\ end {align*}
y así cuando\(x=h\) nos quedamos con
\ begin {align*} V (h) &=\ frac {\ pi} {3}\ izquierda (\ frac {r} {h}\ derecha) ^2 h^3 =\ frac {\ pi} {3} r^2 h\ end {align*}
según sea necesario.
Ejercicios
Etapa 1
Dejar\(f(x)\) ser una función con derivada\(f'(x)\text{.}\) Cuál es la antiderivada más general de\(f'(x)\text{?}\)
En la gráfica de abajo, la curva negra es ¿\(y=f(x)\text{.}\)Cuál de las curvas coloreadas es una antiderivada de\(f(x)\text{?}\)
Etapa 2
En las Preguntas 4.1.2.3 a 4.1.2.12, se le pide que encuentre la antiderivada de una función. Dicho así, nos referimos al antiderivado más general. Todos estos incluirán alguna constante agregada. La tabla posterior al Ejemplo 4.1.3 podría ser de ayuda.
En las Preguntas 4.1.2.13 a 4.1.2.16, se le pide que encuentre un antiderivado específico de una función. En este caso, debería ser capaz de resolver para toda la función, sin constantes desconocidas flotando alrededor.
En las Preguntas 4.1.2.17 a 4.1.2.19, exploraremos algunas situaciones simples en las que podrían surgir antiderivados.
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=3x^2+5x^4+10x-9\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{3}{5}x^7-18x^4+x\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=4\sqrt[3]{x}-\dfrac{9}{2x^{2.7}}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{1}{7\sqrt{x}}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=e^{5x+11}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=3\sin(5x)+7\cos(13x)\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\sec^2(x+1)\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{1}{x+2}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{7}{\sqrt{3-3x^2}}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{1}{1+25x^2}\)
Encuentra la función\(f(x)\) con\(f'(x)=3x^2-9x+4\) y\(f(1)=10\text{.}\)
Encuentra la función\(f(x)\) con\(f'(x)=\cos(2x)\) y\(f(\pi)=\pi\text{.}\)
Encuentra la función\(f(x)\) con\(f'(x)=\dfrac{1}{x}\) y\(f(-1)=0\text{.}\)
Encuentra la función\(f(x)\) con\(f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}+1\) y\(f(1)=-\dfrac{\pi}{2}\text{.}\)
Supongamos que una población de bacterias a la vez\(t\) (medida en horas) está creciendo a un ritmo de\(100e^{2t}\) individuos por hora. A partir del tiempo,\(t=0\text{,}\) ¿cuánto tiempo tardará la colonia inicial en aumentar en 300 individuos?
Su cuenta bancaria en el momento\(t\) (medida en años) está creciendo a una tasa de
\[ 1500e^{\tfrac{t}{50}} \nonumber \]
dólares al año. Cuánto dinero hay en tu cuenta en el momento\(t\text{?}\)
A tiempo\(t\) durante un día en particular,\(0 \leq t \leq 24\text{,}\) su casa consume energía a un ritmo de
\[ 0.5\sin\left(\frac{\pi}{24}t\right)+0.25 \nonumber \]
kW. (Tu consumo era menor a mitad de la noche, y alcanzó su punto máximo al mediodía). ¿Cuánta energía consumió su casa en ese día?
Etapa 3
Para las Preguntas 4.1.2.21 a 4.1.2.26, nuevamente se le pide que encuentre los antiderivados de ciertas funciones. En general, encontrar antiderivados puede ser extremadamente difícil, de hecho, formará el tema principal del curso de cálculo del próximo semestre. Sin embargo, puedes elaborar los antiderivados de las siguientes funciones usando lo que has aprendido hasta ahora sobre derivados.
Deje\(f(x)=2\sin^{-1}\sqrt{x}\) y\(g(x)=\sin^{-1}(2x-1)\text{.}\) encuentre la derivada de\(f(x)-g(x)\) y simplifique su respuesta. ¿Qué implica la respuesta sobre la relación entre\(f(x)\) y\(g(x)\text{?}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=2\cos(2x)\cos(3x)-3\sin(2x)\sin(3x)\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{(x^2+1)e^x-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=3x^2e^{x^3}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=5x\sin(x^2)\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=e^{\log x}\text{.}\)
Encuentra el antiderivado de\(f(x)=\dfrac{7}{\sqrt{3-x^2}}\text{.}\)
Imagínese formar un sólido girando la parábola\(y=x^2+1\) alrededor del\(x\) eje -eje, como en la imagen de abajo.
Usa el método del Ejemplo 4.1.7 para encontrar el volumen de tal objeto si el segmento de la parábola que giramos corre de\(x=-H\) a\(x=H\text{.}\)