B.2 Trigonometría
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Para las matemáticas, y sobre todo en el cálculo, es mucho mejor medir ángulos en unidades llamadas radianes en lugar de grados. Por definición, un arco de longitud\(\theta\) sobre un círculo de radio uno subtiende un ángulo de\(\theta\) radianes en el centro del círculo.
El círculo de la izquierda tiene radio 1, y el arco barrido por un ángulo de\(\theta\) radianes tiene longitud\(\theta\text{.}\) Porque un círculo de radio uno tiene circunferencia\(2\pi\) tenemos
\ begin {align*} 2\ pi\ text {radianes} &=360^\ circ &\ pi\ text {radianes} &=180^\ circ &\ frac {\ pi} {2}\ text {radianes} &=90^\ circ\\ frac {\ pi} {3}\ text {radianes} &=60^\ circ &\ frac {\ pi} {4}\ texto {radianes} &=45^\ circ &\ frac {\ pi} {6}\ texto {radianes} &=30^\ circ\ end {align*}
De manera más general, considerar un círculo de radio\(r\text{.}\) Let\(L(\theta)\) denotar la longitud del arco barrido por un ángulo de\(\theta\) radianes y dejar\(A(\theta)\) denotar el área del sector (o cuña) barrida por el mismo ángulo. Dado que el ángulo barre la fracción\(\frac{\theta}{2\pi}\) de un círculo completo, tenemos
\ begin {align*} L (\ theta) &= 2\ pi r\ cdot\ frac {\ theta} {2\ pi} =\ theta r &\ text {y}\\ A (\ theta) &=\ pi r^2\ cdot\ frac {\ theta} {2\ pi} =\ frac {\ theta} {2} r^2\ fin alinear*}
Definiciones de funciones Trig
Las funciones trigonométricas se definen como relaciones de las longitudes de los lados de un triángulo de ángulo recto como se muestra a la izquierda del diagrama a continuación. Estas relaciones dependen solo del ángulo\(\theta\text{.}\)
Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente se definen como relaciones de las longitudes de los lados
\ begin {alinear*}\ sin\ theta &=\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {hipotenusa}} &\ cos\ theta &=\ frac {\ texto {adyacente}} {\ texto {hipotenusa}} &\ tan\ theta &=\ frac {\ texto {opuesto}} {\ texto {adyacente}} =\ frac {\ sin\ theta}\ cos\ theta}.\\\ final {alinear*}
Estos se abrevian frecuentemente como
\ begin {align*}\ sin\ theta &=\ frac {\ text {o}} {\ text {h}} &\ cos\ theta &=\ frac {\ text {a}} {\ text {h}} &\ tan\ theta &=\ frac {\ text {o}} {\ text {a}}\ end {align*}
lo que da lugar al mnemotécnico
\ begin {align*}\ text {SOH} &&\ text {CAH} &&\ text {TOA}\ end {align*}
Si escalamos el triángulo para que la hipotenusa tenga longitud\(1\) entonces obtenemos el diagrama de la derecha. En ese caso,\(\sin \theta\) es la altura del triángulo,\(\cos \theta\) la longitud de su base y\(\tan \theta\) es la longitud de la línea tangente al círculo de radio 1 como se muestra.
Dado que el ángulo\(2\pi\) barre un círculo completo, los ángulos\(\theta\) y\(\theta+2\pi\) son realmente los mismos.
De ahí que todas las funciones trigonométricas sean periódicas con periodo\(2\pi\text{.}\) Eso es
\ begin {align*}\ sin (\ theta+2\ pi) &=\ sin (\ theta) &\ cos (\ theta+2\ pi) &=\ cos (\ theta) &\ tan (\ theta+2\ pi) &=\ tan (\ theta)\ end {align*}
Las gráficas de estas funciones se muestran a continuación
Los recíprocos (cosecantes, secantes y cotangentes) de estas funciones también juegan un papel importante en la trigonometría y el cálculo:
\ begin {align*}\ csc\ theta &=\ frac {1} {\ sin\ theta} =\ frac {\ text {h}} {\ text {o}} &\ sec\ theta &=\ frac {1} {\ cos\ theta} =\ frac {\ text {h}} {\ text {a}} &\ cot\ theta &=\ frac\ theta &= {1} {\ tan\ theta} =\ frac {\ cos\ theta} {\ sin\ theta} =\ frac {\ text {a}} {\ text {o}}\ end {align*}
Las gráficas de estas funciones se muestran a continuación
Estas funciones recíprocas también tienen interpretaciones geométricas:
Como todos estos son triángulos rectos podemos usar Pitágoras para obtener las siguientes identidades:
\ begin {align*}\ sin^2\ theta +\ cos^2\ theta &=1 &\ tan^2\ theta + 1 &=\ seg^2\ theta & 1 +\ cot^2\ theta &=\ csc^2\ theta\ end {align*}
De estos sólo es necesario recordar la primera
\ start {alinear*}\ sin^2\ theta +\ cos^2\ theta &=1\ end {alinear*}
El segundo se puede obtener dividiendo esto por\(\cos^2\theta\) y el tercero dividiendo por\(\sin^2\theta\text{.}\)
Triángulos Importantes
La computación de seno y coseno no es trivial para ángulos generales; necesitamos la serie Taylor (o herramientas similares) para hacer esto. Sin embargo hay algunos ángulos especiales (generalmente pequeñas fracciones enteras de\(\pi\)) para los cuales podemos usar un poco de geometría para ayudar. Considera los siguientes dos triángulos.
El primero resulta de cortar un cuadrado a lo largo de su diagonal, mientras que el segundo se obtiene cortando un triángulo equilátero de una esquina a la mitad del lado opuesto. Estos, junto con los ángulos\(0,\frac{\pi}{2}\) y\(\pi\) dan la siguiente tabla de valores
\(\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\tan\theta\) | \(\csc\theta\) | \(\sec\theta\) | \(\cot\theta\) |
\(0\)rad | 0 | 1 | 0 | DNE | 1 | DNE |
\(\tfrac{\pi}{2}\)rad | 1 | 0 | DNE | 1 | DNE | 0 |
\(\pi\)rad | 0 | -1 | 0 | DNE | -1 | DNE |
\(\tfrac{\pi}{4}\)rad | \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\) | \(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\) | 1 | \(\sqrt{2}\) | \(\sqrt{2}\) | 1 |
\(\tfrac{\pi}{6}\)rad | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) | 2 | \(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\) | \(\sqrt{3}\) |
\(\tfrac{\pi}{3}\)rad | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\tfrac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\) | 2 | \(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\) |
Algunas identidades más simples
Considera la siguiente figura
Los triángulos pares de la izquierda muestran que existe una relación simple entre las funciones trigonométricas evaluadas en\(\theta\) y en\(-\theta\text{:}\)
\ begin {align*}\ sin (-\ theta) &=-\ sin (\ theta) &\ cos (-\ theta) &=\ cos (\ theta)\ end {align*}
Es decir, el seno es una función impar, mientras que el coseno es par. Dado que las otras funciones trigonométricas se pueden expresar en términos de seno y coseno obtenemos
\ begin {align*}\ tan (-\ theta) &=-\ tan (\ theta) &\ csc (-\ theta) &=-\ csc (\ theta) &\ sec (-\ theta) &=\ sec (\ theta) &\ cot (-\ theta) &=-\ cot (\ theta)\ theta (\ theta)\ end {align*}
Ahora considere el triángulo de la derecha — si consideramos el ángulo\(\frac{\pi}{2}-\theta\) las longitudes laterales del triángulo permanecen sin cambios, pero los roles de “opuesto” y “adyacente” se intercambian. De ahí que tengamos
\ begin {align*}\ sin\ izquierda (\ tfrac {\ pi} {2} -\ theta\ derecha) &=\ cos\ theta &\ cos\ izquierda (\ tfrac {\ pi} {2} -\ theta\ derecha) &=\ sin\ theta\ end {align*}
Nuevamente estos implican que
\ begin {align*}\ tan\ left (\ tfrac {\ pi} {2} -\ theta\ derecha) &=\ cot\ theta &\ csc\ left (\ tfrac {\ pi} {2} -\ theta\ derecha) &=\ sec\ theta &\ sec\ izquierda (\ tfrac {\ pi} {2} -\ theta\ derecha) &=\ csc\ theta &\ cot\ izquierda (\ tfrac {\ pi} {2} -\ theta\ derecha) &=\ tan\ theta\ end {align*}
Podemos ir más allá. Considere el siguiente diagrama:
Esto implica que
\ begin {align*}\ sin (\ pi-\ theta) &=\ sin (\ theta) &\ cos (\ pi-\ theta) &= -\ cos (\ theta)\\ theta)\\ sin (\ pi+\ theta) &=-\ sin (\ theta) &\ cos (\ pi+\ theta) &=-\ cos (\ theta)\ fin {align*}
De donde podemos obtener las reglas para las otras cuatro funciones trigonométricas.
Identidades: adición de ángulos
Queremos explicar los orígenes de la identidad
\ begin {align*}\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ alpha)\ sin (\ beta). \ end {alinear*}
Una demostración muy geométrica utiliza la siguiente figura y una observación sobre áreas.
- La figura más a la izquierda muestra dos triángulos rectos con ángulos\(\alpha\)\(\beta\) y ambos con longitud de hipotenusa\(1\text{.}\)
- La siguiente figura simplemente reorganiza los triángulos, traduciendo y girando el triángulo inferior para que quede adyacente a la parte superior del triángulo superior.
- Ahora escala el triángulo inferior por un factor de\(q\) para que los bordes opuestos a los ángulos\(\alpha\) y\(\beta\) estén al ras. Esto significa que\(q \cos \beta = \cos \alpha\text{.}\) es decir
\ begin {align*} q &=\ frac {\ cos\ alfa} {\ cos\ beta}\ end {alinear*}
Ahora calcula las áreas de estos triángulos (azul y rojo)\ begin {alinear*} A_\ text {rojo} &=\ frac {1} {2} q^2\ sin\ beta\ cos\ beta\\ A_\ texto {azul} &=\ frac {1} {2}\ sin\ alfa\ cos\ alfa\\ final {alinear*}
Así que el doble de la superficie total es
\ begin {align*} 2 A_\ text {total} &=\ sin\ alfa\ cos\ alfa + q^2\ sin\ beta\ cos\ beta\ end {align*} - Pero también podemos calcular el área total usando el triángulo más a la derecha:
\ begin {align*} 2 A_\ text {total} &= q\ sin (\ alpha+\ beta)\ end {align*}
Dado que el área total debe ser la misma sin importar cómo la calculemos tenemos
\ begin {alinear*} q\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ sin\ alfa\ cos\ alfa + q^2\ sin\ beta\ cos\ beta\\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ frac {1} {q}\ sin\ alfa\ cos\ alfa + q\ sin\ beta\ cos\ beta\\ &=\ frac {\ cos\ beta}\ alfa}\ sin\ alfa\ cos\ alfa +\ frac {\ cos\ alfa} {\ cos\ beta}\ sin\ beta\ cos\ beta\ cos\ beta\\ &=\ sin \ alfa\ cos\ beta +\ cos\ alfa\ sin\ beta\ fin {alinear*}
según sea necesario.
Podemos obtener la fórmula de adición de ángulo para coseno sustituyendo\(\alpha \mapsto \pi/2-\alpha\) y\(\beta \mapsto -\beta\) en nuestra fórmula sinusoidal:
\ begin {alinear*}\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta) &\ text {se convierte en}\\\ underbrackets {\ sin (\ pi/2-\ alpha-\ beta)} _ {\ cos (\ alpha+\ beta)} &=\ underbrackets {\ sin (\ pi/2-\ alfa)} _ {\ cos (\ alpha)}\ cos (-\ beta) +\ underbrackets {\ cos (\ pi/2-\ alpha)} _ {\ sin (\ alpha)}\ sin (-\ beta)\\ cos (\ alpha+ \ beta) &=\ cos (\ alfa)\ cos (\ beta) -\ sin (\ alfa)\ sin (\ beta)\ fin {alinear*}
donde hemos usado\(\sin(\pi/2-\theta)=\cos(\theta)\) y\(\cos(\pi/2-\theta)=\sin(\theta)\text{.}\)
Es entonces un pequeño paso hacia las fórmulas para la diferencia de ángulos. De la relación
\ begin {alinear*}\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)\ end {align*}
podemos sustituir\(\beta \mapsto -\beta\) y así obtener
\ begin {align*}\ sin (\ alpha -\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (-\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (-\ beta)\\ &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)\ end {align*}
La fórmula para coseno se puede obtener de manera similar. Para resumir
\ begin {align*}\ sin (\ alpha\ pm\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta)\ pm\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)\\ cos (\ alpha\ pm\ beta) &=\ cos (\ alpha)\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta)\ mp\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta)\ end {align*}
Las fórmulas para tangente son un poco más de trabajo, pero
\ begin {align*}\ tan (\ alpha +\ beta) &=\ frac {\ sin (\ alpha +\ beta)} {\ cos (\ alpha +\ beta)}\\ &=\ frac {\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)} {\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ sin (\ alfa)\ sin (\ beta)}\\ &=\ frac {\ sin (\ alfa)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alfa)\ sin (\ beta)} {\ cos (\ alfa)\ cos (\ beta) -\ sin (\ alfa )\ sin (\ beta)}\ cdot\ frac {\ seg (\ alfa)\ seg (\ beta)} {\ seg (\ alfa)\ seg (\ beta)}\\ &=\ frac {\ sin (\ alfa)\ seg (\ alfa) +\ sin (\ beta)\ seg (\ beta)} {1 -\ sin (\ alfa)\ seg (\ alfa)\ sin (\ beta)\ sec (\ beta)}\\ &=\ frac {\ tan (\ alfa) +\ tan (\ beta)} {1 -\ tan (\ alfa)\ tan (\ beta)}\\\ final {alinear*}
y de manera similar obtenemos
\ begin {align*}\ tan (\ alpha -\ beta) &=\ frac {\ tan (\ alpha) -\ tan (\ beta)} {1 +\ tan (\ alpha)\ tan (\ beta)\ tan (\ beta)}\ end {alinear*}
Identidades — Fórmulas de doble ángulo
Si nos fijamos\(\beta=\alpha\) en las fórmulas de adición de ángulo obtenemos
\ begin {align*}\ sin (2\ alpha) &= 2\ sin (\ alpha)\ cos (\ alpha)\\\ cos (2\ alpha) &=\ cos^2 (\ alpha) -\ sen ^2 (\ alpha)\\ &= 2\ cos^2 (\ alpha) -1 &\ text {desde}\ sin^2\ theta = 1-\ cos^2\ theta\ &= 1-2\ sen ^2 (\ alpha) &\ text {desde}\ cos^2\ theta =1-\ sen ^2\ theta\\\ tan (2\ alpha) &=\ frac {2\ tan (\ alpha)} {1-\ tan^2 (\ alpha)}\\ &=\ frac {2} {\ cot (\ alpha) -\ tan (\ alpha)} &\ text {divide arriba e abajo por $\ tan (\ alpha) $}\ end {align*}
Identidades — Extras
Sumas a Productos
Considerar las identidades
\ begin {align*}\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta) &\ sin (\ alpha-\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)\ end {align*}
Si los sumamos juntos algunos términos en el lado derecho cancelamos:
\ begin {align*}\ sin (\ alpha+\ beta) +\ sin (\ alpha-\ beta) &= 2\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta). \ end {alinear*}
Si ahora establecemos\(u=\alpha+\beta\) y\(v = \alpha-\beta\) (es decir\(\alpha=\frac{u+v}{2}, \beta=\frac{u-v}{2}\)) entonces
\ begin {align*}\ sin (u) +\ sin (v) &= 2\ sin\ izquierda (\ frac {u+v} {2}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {u-v} {2}\ derecha)\ end {alinear*}
Esto transforma una suma en un producto. Del mismo modo:
\ begin {align*}\ sin (u) -\ sin (v) &= 2\ sin\ izquierda (\ frac {u - v} {2}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {u + v} {2}\ derecha)\\ cos (u) +\ cos (v) &= 2\ cos\ izquierda (\ frac {u + v} {2}\ derecha)\ cos\ izquierda (\ frac {u - v} {2}\ derecha)\\ cos (u) -\ cos (v) &= -2\ sin\ izquierda (\ frac {u + v} {2}\ derecha)\ sin\ izquierda (\ frac {u - v} {2}\ derecha)\ end {align*}
Productos a sumas
Una vez más considerar las identidades
\ begin {align*}\ sin (\ alpha+\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta) &\ sin (\ alpha-\ beta) &=\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ cos (\ alpha)\ sin (\ beta)\ end {align*}
y sumarlos juntos:
\ begin {align*}\ sin (\ alpha+\ beta) +\ sin (\ alpha-\ beta) &= 2\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta). \ end {alinear*}
Luego reorganice:
\ begin {align*}\ sin (\ alpha)\ cos (\ beta) &=\ frac {\ sin (\ alpha+\ beta) +\ sin (\ alpha-\ beta)} {2}\ end {align*}
De manera similar, comience con las identidades
\ begin {align*}\ cos (\ alpha+\ beta) &=\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) -\ sin (\ alpha)\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta) &\ cos (\ alpha-\ beta) &=\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) +\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta)\ end {align*}
Si sumamos estos juntos obtenemos
\ begin {align*} 2\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta) &=\ cos (\ alpha+\ beta) +\ cos (\ alpha-\ beta)\\ end {align*}
mientras toman su diferencia da
\ begin {align*} 2\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta) &=\ cos (\ alpha-\ beta) -\ cos (\ alpha+\ beta)\ end {align*}De ahí
\ begin {align*}\ sin (\ alpha)\ sin (\ beta) &=\ frac {\ cos (\ alpha-\ beta) -\ cos (\ alpha+\ beta)} {2}\\ cos (\ alpha)\ cos (\ beta)\ cos (\ beta) &=\ frac {\ cos (\ alpha-\ beta) +\ cos (\ alpha+\ beta)} {2}\ end align{ *}