B.3 Funciones trigonométricas inversas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para construir funciones trigonométricas inversas primero tenemos que restringir sus dominios para hacerlos uno a uno (o inyectivos). Hacemos esto como se muestra a continuación

\[ \sin\theta \nonumber \]

Dominio:$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$

Rango:$-1 \leq \sin \theta \leq 1$

\[ \cos \theta \nonumber \]

Dominio:$0 \leq \theta \leq \pi$

Rango:$-1 \leq \cos \theta \leq 1$

\[ \tan \theta \nonumber \]

Dominio:$-\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$

Rango: todos los números reales

\[ \arcsin x \nonumber \]

Dominio:$-1 \leq x \leq 1$

Rango:$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}$

\[ \arccos x \nonumber \]

Dominio:$-1 \leq x \leq 1$

Rango:$0 \leq \arccos x \leq \pi$

\[ \arctan x \nonumber \]

Dominio: todos los números reales

Rango:$-\frac{\pi}{2} \lt \arctan x \lt \frac{\pi}{2}$

Como estas funciones son inversas unas de otras tenemos

\ begin {align*}\ arcsin (\ sin\ theta) &=\ theta & -\ frac {\ pi} {2}\ leq\ theta\ leq\ frac {\ pi} {2}\\\ arccos (\ cos\ theta) &=\ theta & 0\ leq\ theta\ leq\ leq\ pi\\ arctan (\ tan\ theta) &=\ theta & -\ frac {\ pi} {2}\ leq\ theta\ leq\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

y también

\ begin {align*}\ sin (\ arcsin x) &= x & -1\ leq x\ leq 1\\\ cos (\ arccos x) &= x & -1\ leq x\ leq 1\\\ tan (\ arctan x) &= x &\ texto {cualquier real $x$}\ end {align*}

Podemos leer otras combinaciones de funciones trigonométricas y sus inversos, como, por ejemplo,$\cos(\arcsin x)\text{,}$ fuera de triángulos como

Hemos elegido la hipotenusa y lados opuestos del triángulo para que sean de longitud 1 y$x\text{,}$ respectivamente, de manera$\sin(\theta)=x\text{.}$ que es decir,$\theta = \arcsin x\text{.}$ podamos luego leer fuera del triángulo que

\ begin {align*}\ cos (\ arcsin x) &=\ cos (\ theta) =\ sqrt {1-x^2}\ end {align*}

Podemos llegar a la misma conclusión usando identidades trigonométricas, de la siguiente manera.

Escribir Lo$\arcsin x=\theta\text{.}$ sabemos$\sin(\theta)=x$ y deseamos computar$\cos(\theta)\text{.}$ Así que solo necesitamos expresarnos$\cos(\theta)$ en términos de$\sin(\theta)\text{.}$
Para ello hacemos uso de una de las identidades pitagóricas
\ begin {alinear*}\ sin^2\ theta +\ cos^2\ theta &=1\\\ cos\ theta &=\ pm\ sqrt {1-\ sin^2\ theta}\ end {alinear*}
Así
\ begin {reunir*}\ cos (\ arcsin x) =\ cos\ theta =\ pm\ sqrt {1-\ sin^2\ theta}\ end {reunir*}
Para determinar qué rama debemos usar necesitamos considerar el dominio y el rango de$\arcsin x\text{:}$
\ begin {align*}\ text {Dominio:} -1\ leq x\ leq 1 &&\ text {Rango:} -\ frac {\ pi} {2}\ leq\ arcsin x\ leq\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}
Así estamos aplicando el coseno a un ángulo que siempre se encuentra entre$-\frac{\pi}{2}$ y$\frac{\pi}{2}\text{.}$ Coseno no es negativo en este rango. De ahí que debamos tomar la rama positiva y
\ begin {alinear*}\ cos (\ arcsin x) &=\ sqrt {1-\ sin^2\ theta} =\ sqrt {1-\ sen ^2 (\ arcsin x)}\\ &=\ sqrt {1-x^2}\ end {align*}

De una manera muy similar podemos simplificar$\tan(\arccos x)\text{.}$

Escribe$\arccos x=\theta\text{,}$ y luego
\ begin {align*}\ tan (\ arccos x) &=\ tan\ theta =\ frac {\ sin\ theta} {\ cos\ theta}\ end {align*}
Ahora el denominador es fácil ya que$\cos \theta = \cos \arccos x = x\text{.}$
El numerador es casi el mismo que el cómputo anterior.
\ begin {alinear*}\ sin\ theta &=\ pm\ sqrt {1-\ cos^2\ theta}\\ &=\ pm\ sqrt {1-x^2}\ end {align*}
Para determinar qué rama volvemos a considerar dominios y rangos:
\ begin {align*}\ text {Dominio:} -1\ leq x\ leq 1 &&\ text {Rango:} 0\ leq\ arccos x\ leq\ pi\ end {align*}
Así estamos aplicando seno a un ángulo que siempre se encuentra entre$0$ y$\pi\text{.}$ Sine no es negativo en este rango y así tomamos la rama positiva.
Poner todo de nuevo juntos da
\ begin {align*}\ tan (\ arccos x) &=\ frac {\ sqrt {1-x^2}} {x}\ end {align*}

Completar las 9 posibilidades da:

\ begin {align*}\ sin (\ arcsin x) &= x &\ sin (\ arccos x) &=\ sqrt {1-x^2} &\ sin (\ arctan x) &=\ frac {x} {\ sqrt {1+x^2}}\\ cos (\ arcsin x) &=\ sqrt {1-x^2} &\ cos (\ arcsin x) &=\ sqrt {1-x^2} &\ cos (\ arcsin x)) &= x &\ cos (\ arctan x) &=\ frac {1} {\ sqrt {1+x^2}}\\\ tan (\ arcsin x) &=\ frac {x} {\ sqrt {1-x^2 }} &\ tan (\ arccos x) &=\ frac {\ sqrt {1-x^2}} {x} &\ tan (\ arctan x) &= x\ end {alinear*}