Método C.1 Newton

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

El método ¹ de Newton, también conocido como el método Newton-Raphson, es otra técnica para generar soluciones numéricas aproximadas a ecuaciones de la forma$f(x)=0\text{.}$ Por ejemplo, uno puede obtener fácilmente una buena aproximación a$\sqrt{2}$ aplicando el método de Newton a la ecuación$x^2-2=0\text{.}$ Esto hacerse en el Ejemplo C.1.2, a continuación.

Aquí está la derivación del método de Newton. Comenzamos simplemente haciendo una conjetura para la solución. Por ejemplo, podríamos basar la conjetura en un boceto de la gráfica de$f(x)\text{.}$ Call the initial guess$x_1\text{.}$ Next recordar, del Teorema 2.3.4, que la línea tangente a$y=f(x)$ at$x=x_1$ es$y=F(x)\text{,}$ donde

\[ F(x) = f(x_1) + f'(x_1)\,(x-x_1) \nonumber \]

Por lo general$F(x)$ es una aproximación bastante buena a$f(x)$ para$x$ cerca$x_1\text{.}$ Así, en lugar de tratar de resolver$f(x)=0\text{,}$ resolvemos la ecuación lineal$F(x)=0$ y llamamos a la solución$x_2\text{.}$

\ begin {alinear*} 0=F (x) =f (x_1) + f' (x_1)\, (x-x_1) &\ iff x-x_1=-\ frac {f (x_1)} {f' (x_1)}\\ &\ iff x= x_2= x_1 -\ frac {f (x_1)} {f= '(x_1)}\ end {alinear*}

Tenga en cuenta que si$f(x)$ fuera una función lineal, entonces$F(x)$ sería exactamente$f(x)$ y$x_2$ resolvería$f(x)=0$ exactamente.

Ahora repetimos, pero comenzando con la (segunda) conjetura$x_2$ más que$x_1\text{.}$ Esto da la (tercera) suposición$x_3= x_2 -\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}\text{.}$ Y así sucesivamente. A modo de resumen, el método de Newton es

Hacer una conjetura preliminar$x_1\text{.}$
Definir$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}\text{.}$
Iterar. Es decir, para cada número natural$n\text{,}$ una vez que haya calculado$x_n\text{,}$ definir

Ecuación C.1.1 (método de Newton).

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \nonumber \]

Ejemplo C.1.2 (Aproximación$\sqrt{2}$).

En este ejemplo calculamos, aproximadamente, la raíz cuadrada de dos. Por supuesto vamos a pretender que no lo sabemos ya$\sqrt{2}=1.41421\cdots\text{.}$ Así que no podemos encontrarlo resolviendo, aproximadamente, la ecuación$f(x)=x-\sqrt{2}=0\text{.}$ En cambio aplicamos el método de Newton a la ecuación

\[ f(x)=x^2-2=0 \nonumber \]

Dado que el método de$f'(x)=2x\text{,}$ Newton dice que debemos generar soluciones aproximadas aplicando iterativamente

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} =\frac{x_n}{2} +\frac{1}{x_n} \nonumber \]

Necesitamos un punto de partida. Ya$1^2=1\lt 2$ y$2^2=4\gt 2\text{,}$ la raíz cuadrada de dos debe estar entre$1$ y$2\text{,}$ así comencemos el método de Newton con la suposición inicial$x_1=1.5\text{.}$ Aquí va ² Los siguientes cálculos se han realizado en doble precisión, que es computadora hablan por alrededor de 15 dígitos significativos. Estamos mostrando cada uno$x_n$ rounded to 10 significant digits (9 decimal places). So each displayed $x_n$ has not been impacted by roundoff error, and still contains more decimal places than are usually needed.:

\ begin {alinear*} x_1& =1.5\\ x_2& =\ frac {1} {2} x_1+\ frac {1} {x_1} =\ frac {1} {2} (1.5) +\ frac {1} {1.5}\ & =1.416666667\\ x_3& =\ frac {1} {2} x_2+\ frac {1} {x_2} =\ frac {1} {2} (1.416666667) +\ frac {1} {1.416666667}\\ & =1.414215686\\ x_4& =\ frac {1} {2} x_3+\ frac {1} {x_3} =\ frac {1} {2} (1.414215686) +\ frac {1} {1.414215686}\\ & =1.414213562\\ x_5& =\ frac {1} {2} x_4+\ frac {1} {x_4} =\ frac {1} {2} (1.414213562) +\ frac {1} {1.414213562}\ & =1.414213562\ end {align*}

Parece que los$x_n$'s, redondeados a nueve decimales, se han estabilizado a$1.414213562\text{.}$ Así que es razonable adivinar que$\sqrt{2}\text{,}$ redondeado a nueve decimales, es exactamente$1.414213562\text{.}$ Recordando que todos los números$1.4142135615 \le y \lt 1.4142135625$ redondos a$1.414213562\text{,}$ podemos verificar nuestra conjetura evaluando$f(1.4142135615)$ y $f(1.4142135625)\text{.}$Dado que$f(1.4142135615)=-2.5\times 10^{-9}\lt 0$ y$f(1.4142135625)=3.6\times 10^{-10}\gt 0$ la raíz cuadrada de dos debe estar de hecho entre$1.4142135615$ y$1.4142135625\text{.}$

Ejemplo C.1.3 (Aproximación$\pi$).

En este ejemplo calculamos, aproximadamente,$\pi$ aplicando el método de Newton a la ecuación

\[ f(x)=\sin x=0 \nonumber \]

comenzando con$x_1=3\text{.}$ Desde el método de$f'(x)=\cos x\text{,}$ Newton dice que debemos generar soluciones aproximadas aplicando iterativamente

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{\sin x_n}{\cos x_n} =x_n-\tan x_n \nonumber \]

Aquí va

\ begin {align*} x_1& =3\\ x_2& =x_1-\ tan x_1 =3-\ tan 3\\ & =3.142546543\\ x_3& =3.142546543-\ tan 3.142546543\\ & =3.141592653\\ x_4& =3.141592653-\ tan 3.141592653 53\\ & =3.141592654\\ x_5& =3.141592654-\ tan 3.141592654\\ & =3.141592654\ end {align*}

Ya que$f(3.1415926535)=9.0\times 10^{-11}\gt 0$ y$f(3.1415926545)=-9.1\times 10^{-11}\lt 0\text{,}$$\pi$ debe estar entre$3.1415926535$ y Por$3.1415926545\text{.}$ supuesto para computar de esta$\pi$ manera, nosotros (o al menos nuestras computadoras) tenemos que ser capaces de evaluar$\tan x$ para diversos valores de$x\text{.}$ Taylor las expansiones nos pueden ayudar a hacer eso. Ver Ejemplo 3.4.22.

Ejemplo C.1.4 inestabilidad salvaje.

Este ejemplo ilustra cómo el método de Newton puede salir mal si tu suposición inicial no es lo suficientemente buena. Intentaremos resolver la ecuación

\[ f(x)=\arctan x=0 \nonumber \]

comenzando con$x_1=1.5\text{.}$ (Por supuesto, la solución a$f(x)=0$ es solo$x=0\text{;}$ que$x_1=1.5$ elegimos con fines de demostración.) Dado que el método derivado de$f'(x)=\frac{1}{1+x^2} \text{,}$ Newton da

\[ x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-(1+x_n^2)\arctan x_n \nonumber \]

Entonces ³ Una vez más, se han realizado los siguientes cómputos en doble precisión. Esta vez, es claro que el$x_n$'s are growing madly as $n$ increases. So there is not much point to displaying many decimal places and we have not done so.

\ begin {align*} x_1& =1.5\\ x_2& =1.5- (1+1.5^2)\ arctan 1.5=-1.69\\ x_3& =-1.69- (1+1.69^2)\ arctan (-1.69) =2.32\ x_4& =2.32- (1+2.32^2)\ arctan (2.32) =-5.11\ x_5& =-5.11- (1+5.11^2)\ arctan (-5.11) =32.3\\ x_6& =32.3- (1+32.3^2)\ arctan (32.3) =-1575\\ x_7& =3.894.976\ end {align*}

¡Se ve bastante mal! $x_n$¡Los nuestros no se están asentando en absoluto!

La siguiente figura muestra lo que salió mal. En esta figura,$y=F_1(x)$ es la línea tangente a$y=\arctan x$ en el método de$x=x_1\text{.}$ Bajo Newton, esta línea tangente cruza el$x$ -eje en$x=x_2\text{.}$ Entonces$y=F_2(x)$ es la tangente a$y=\arctan x$ en$x=x_2\text{.}$ Bajo el método de Newton, esta línea tangente cruza el$x$ -eje en$x=x_3\text{.}$ Y así sucesivamente.

El problema surgió porque los$x_n$'s estaban lo suficientemente lejos de la solución,$x=0\text{,}$ que las aproximaciones de la línea tangente, mientras que las buenas aproximaciones a$f(x)$ for$x\approx x_n\text{,}$ eran aproximaciones muy pobres a$f(x)$ para$x\approx 0\text{.}$ En particular,$y=F_1(x)$ (es decir, la línea tangente at$x=x_1$) fue una aproximación suficientemente mala$y=\arctan x$ para$x\approx0$ que$x=x_2$ (es decir, el valor de$x$ donde$y=F_1(x)$ cruza el$x$ eje) está más lejos de la solución$x=0$ que nuestra suposición original$x=x_1\text{.}$

Si hubiéramos empezado con$x_1=0.5$ en lugar del método de$x_1=1.5\text{,}$ Newton habría tenido éxito muy bien:

\ begin {reunir*} x_1=0.5\ qquad x_2=-0.0796\ qquad x_3=0.000335\ qquad x_4=-2.51\ times 10^ {-11}\ end {reunir*}

Ejemplo C.1.5 tasa de interés.

Un concesionario de autos vende un auto nuevo por $23,520. También ofrece financiar el mismo auto por pagos de 420 dólares mensuales durante cinco años. ¿Qué tasa de interés cobra este distribuidor?

Solución. A modo de preparación, comenzaremos con un problema más sencillo. Supongamos que en el futuro tendrás que hacer un solo pago de $420$n$ meses. El problema más sencillo es determinar cuánto dinero tienes que depositar ahora en una cuenta que paga una tasa de$100 r\%$ interés mensual, compuesta mensualmente ⁴ “Mensual compuesta”, significa que, cada mes, se pagan intereses sobre los intereses acumulados que se pagaron en todos los meses anteriores . , a fin de poder realizar el pago de $420 en$n$ meses.

Denotemos por$P$ el depósito inicial. Debido a que la tasa de interés es$100 r\%$ por mes, compuesto mensualmente,

el interés del primer mes es$P\times r\text{.}$ Así que al final del mes #1, el saldo de la cuenta es$P+P\,r=P(1+r)\text{.}$
El interés del segundo mes es$[P(1+r)]\times r\text{.}$ Así que al final del mes #2, el saldo de la cuenta es$P(1+r)+P(1+r)\,r=P(1+r)^2\text{.}$
Y así sucesivamente.
Entonces, al final de los$n$ meses, el saldo de la cuenta es$P(1+r)^n\text{.}$

Para que el saldo al final de los$n$ meses,$P(1+r)^n\text{,}$ sea $420, el depósito inicial tiene$P=420(1+r)^{-n}\text{.}$ que ser Eso es lo que se entiende por el comunicado “El valor presente ⁵ La inflación significa que los precios de los bienes (típicamente) aumentan con el tiempo, y de ahí $100 ahora vale más de $100 en 10 años. El término “valor presente” es ampliamente utilizado en economía y finanzas para significar “la cantidad actual de dinero que tendrá un valor especificado en un momento determinado en el futuro”. Toma en cuenta la inflación. Si se invierte el dinero, toma en cuenta la tasa de retorno de la inversión. Recomendamos que el lector interesado haga algunos buscadores para obtener más información. de un pago de $420$n$ meses realizados en el futuro, cuando la tasa de interés es$100 r\%$ por mes, compuesta mensualmente, es$420(1+r)^{-n}\text{.}$”

Ahora volvamos al problema original. Estaremos realizando 60 pagos mensuales de $420. El valor actual de los 60 pagos es ⁶ No te preocupes si no sabes cómo evaluar dichas sumas. Se denominan sumas geométricas, y serán cubiertas en el texto CLP-2. (Véase (1.1.3) en el texto CLP-2. En cualquier caso, se puede comprobar que esto es correcto, multiplicando toda la ecuación por$1-(1+r)^{-1}\text{.}$ When you simplify the left hand side, you should get the right hand side.

\ begin {alinear*} & 420 (1+r) ^ {-1} +420 (1+r) ^ {-2} +\ cdots +420 (1+r) ^ {-60}\\ &\ hskip1in =420\ frac {(1+r) ^ {-1} - (1+r) ^ {-61}} {1- (1+r) ^ {-1}}\\ &\ hskip1in=420\ frac {1- (1+r) ^ {-60}} {(1+r) -1}\\ &\ hskip1in =420\ frac {1- (1+r) ^ {-60}} {r}\ end {align*}

La tasa de interés$100r\%$ que cobra el concesionario de autos es tal que el valor actual de 60 pagos mensuales de $420 es de $23520. Es decir, la tasa de interés mensual que cobra el concesionario de automóviles es la solución de

\ begin {align*} 23520=420\ frac {1- (1+r) ^ {-60}} {r}\ qquad&\ text {o}\ qquad 56=\ frac {1- (1+r) ^ {-60}} {r}\\ &\ texto {o}\ qquad 56r=1- (1+r) ^ {-60}\\ &\ texto {o}\ qquad 56r (1+r) ^ {60} = (1+r) ^ {60} -1\\ &\ texto {o}\ qquad (1-56r) (1+r) ^ {60} =1\ final {alinear*}

Establecer$f(r)=(1-56r)(1+r)^{60}-1\text{.}$ Entonces

\[ f'(r)=-56(1+r)^{60}+60(1-56r)(1+r)^{59} \nonumber \]

\[ f'(r)=\big[-56(1+r)+60(1-56r)\big](1+r)^{59} =(4-3416r)(1+r)^{59} \nonumber \]

Aplica el método de Newton con una suposición inicial de$r_1=.002\text{.}$ (Eso es$0.2$% por mes o 2.4% anual.) Entonces

\ begin {align*} r_2& =r_1-\ frac {(1-56r_1) (1+r_1) ^ {60} -1} {(4-3416r_1) (1+r_1) ^ {59}} =0.002344\\\ r_3& =r_2-\ frac {(1-56r_2) (1+r_2) ^ {60} -1} {(4-3416r_2) (1+r_2) ^ {59}} =0.002292\\ r_4& =r_3-\ frac {(1-56r_3) (1+r_3) ^ {60} -1} {(4-3416r_3) (1+r_3) ^ {59}} =0.002290\\ r_5& =r_4-\ frac {(1-56r_4) (1+r_4) ^ {60} -1} {(4-3416r_ 4) (1+r_4) ^ {59}} =0.002290\ final {alinear*}

Por lo que la tasa de interés es de 0.229% por mes o 2.75% anual.

Ecuación C.1.1 (método de Newton).

Ejemplo C.1.2 (Aproximación\(\sqrt{2}\)).

Ejemplo C.1.3 (Aproximación\(\pi\)).

Ejemplo C.1.4 inestabilidad salvaje.

Ejemplo C.1.5 tasa de interés.