1.1: Consejos y trucos de álgebra Parte I (Combinar términos, distribuir, funciones, gráficos)

Aquí hay algunos consejos y trucos de álgebra para comenzar. En capítulos posteriores, tendremos alguna revisión de álgebra “justo a tiempo”, por lo que revisará un concepto de álgebra justo antes de que lo necesite.

Combinando términos Like

Un término es una o más cosas multiplicadas entre sí: por ejemplo,\(xyz\) es un término ya que es\(x\)\(y\) tiempos tiempos\(z\),\(b^2\) es un término, ya que es\(b\) tiempos\(b.\) y\(x\) es un término. Si también hay un número multiplicado frente a un término, eso se denomina coeficiente (si no hay coeficiente presente, el coeficiente es\(1\)). Dos términos son como términos si tienen las mismas variables multiplicadas (pero pueden tener coeficientes diferentes). Si se suman dos términos similares, se pueden combinar en un término sumando los coeficientes.

Combina términos similares:\(ab - a^2 + 2ab - 3a^2\).

\[\begin{align*} ab - a^2 + 2ab - 3a^2 & = 1ab + (-1)a^2 + 2ab + (-3)a^2 \qquad \text{(Clarify coefficients)} \\ & = 1ab + 2ab + (-1)a^2 + (-3)a^2 \qquad \text{(Group like terms)} \\ & = (1+2)ab + (-1+-3)a^2 \qquad \text{(Add coefficients)} \\ & = \boxed{3ab - 4a^2} \end{align*}\]

Distribuyendo

Si está multiplicando por una suma entre paréntesis, la regla es distribuir

\(a(b + c) = ab + ac\)

Aquí hay otra versión en forma de “tabla”.

\(\begin{array}{c|cc} & b & +c \\ \hline a & ab & +ac \end{array}\)

Funciona, échale un vistazo:

\[\begin{align*} 3(4 + 5) & = 3(4) + 3(5) \\ 3(9) & = 12 + 15 \\ 27 & = 27 \end{align*}\]

Aquí hay un ejemplo:

Distribuir y combinar términos similares:\(3a(2a - b) - (b-a^2)\).

\[\begin{align*} 3a(2a - b) - (b-a^2) & = 3a(2a - b) + -1(b - a^2) \\ & = 6a^2 - 3ab - b + a^2 \qquad \text{(Notice the $\mathbf{+a^2}$)}\\ & = \boxed{7a^2 - 3ab - b} \end{align*}\]

Foiling

Al multiplicar dos sumas, cada término de la primera debe multiplicarse por cada término del segundo. Así, si hay dos términos en la primera suma y dos en el segundo, hay cuatro términos totales en el producto: los (f) primeros dos términos, los términos (o) utside, los (i) nside términos, y los (l) ast dos términos. Podemos usar el acrónimo “foil”:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)

Aquí está el mismo cálculo en forma de tabla:

\(\begin{array}{c|cc} & c & +d \\ \hline a & ac & +ad \\ +b & +bc & +bd \end{array}\)

Aquí hay un ejemplo:

Lámina:\((3a + 4b)(a^2 - ab)\).

\[\begin{align*} (3a + 4b)(a^2 - ab) & = (3a)(a^2) + (3a)(-ab) + (4b)(a^2) + (4b)(-ab) \\ & = 3a^3 - 3a^2b +4a^2b - 4ab^2 \\ & = \boxed{3a^3 + a^2b - 4ab^2} \end{align*}\]

Distribuyendo con tres términos

Cuando tienes tres expresiones multiplicadas juntas, las cosas se ponen un poco más complicadas. Hagamos algunos ejemplos.

Encuentra\((x - 2)(x + 1)(x + 3)\).

Para ello, primero multiplicamos el\((x - 2)(x + 1)\). Esto es\(x^2 +x - 2x - 2 = x^2 - x - 2\). Entonces nos multiplicamos\((x^2 - x - 2)(x + 3)\). Esto se hace combinando cada término en el primer producto con cada término en el último producto. Una forma de hacer esto es\(x\) veces todo en\(x^2 - x - 2\), más\(3\) veces todo en\(x^2 - x - 2\).

\[\begin{align*} (x - 2)(x + 1)(x + 3) & = (x^2 - x - 2)(x + 3) \\ & = (x^2 - x - 2)(x) + (x^2 - x - 2)(3) \\ & = x^3 - x^2 - 2x + 3x^2 - 3x - 6 \\ & = \boxed{x^3 + 2x^2 - 5x - 6} \end{align*}\]

Ahí vas.

Alternativamente, podemos usar el método table. Empezamos por frustrar dos de los términos juntos

\(\begin{array}{c|cc} & x & - 2 \\ \hline x & \color{blue}{x^2} & \color{blue}{-2x} \\ +1 & \color{blue}{+1x} & \color{blue}{-2} \end{array}\)

Añadiendo los términos azules, obtenemos una respuesta intermedia de\(\color{blue}{x^2 - x -2}\). Ahora podemos multiplicar esto por\(x+3\).

\(\begin{array}{c|ccc} & \color{blue}{x^2} & \color{blue}{-x} & \color{blue}{-2} \\ \hline x & \color{red}{x^3} & \color{red}{-x^2} & \color{red}{-2x} \\ +3 & \color{red}{+3x^2} & \color{red}{-3x} & \color{red}{+6} \end{array}\)

Combinar términos similares da la respuesta\(\boxed{\color{red}{x^3 + 2x^2 - 5x + 6}}\), ¡la misma respuesta que obtuvimos antes!

Encuentra\((x + 4)^3\).

Vemos que esto es lo mismo que\((x + 4)(x + 4)(x + 4)\). Entonces podemos hacer

\[\begin{align*} (x + 4)(x + 4)(x + 4) & = (x^2 + 8x + 16)(x + 4) \\ & = (x^2 + 8x + 16)(x) + (x^2 + 8x + 16)(4) \\ & = x^3 + 8x^2 + 16x + 4x^2 + 32x + 64 \\ & = \boxed{x^3 + 12x^2 + 48x + 64} \end{align*}\]

No lo haré esta vez, ¡pero podrías usar el método de la tabla si lo prefieres!

Funciones

Una función es cualquier cosa que produzca una salida para cada entrada posible. Entonces, por ejemplo,\(f(x) = 2x\) es la función que toman en una entrada\(x\), y salidas dobles\(x\) (es decir\(f(3) = 6\)\(f(4) = 8\),\(f(5) = 10\),, etc.).

Aquí hay algunos ejemplos:

Si\(g(x) = 2^x\), encontrar\(g(3)\) y\(g(4)\).

Eso lo vemos\(g(3) = 2^3 = \boxed{8}\), y\(g(4) = 2^4 = \boxed{16}\).

Si\(h(x) = 2x + 3\), encontrar\(h(5)\),\(h(y)\), y\(h(x + 1)\).

En cada caso, simplemente reemplace el\(x\) con la entrada a la función. Por ejemplo,\(h(5) = 2(5) + 3 = 13\), y\(h(y) = 2(y) + 3 = \boxed{2y + 3}\).

Uno complicado lo es\(h(x + 1)\). Aquí, reemplazamos el\(x\) con\((x + 1)\) en la fórmula.

Consejo: Siempre haga sustituciones o reemplazos como este entre paréntesis para mantenerlo todo junto.

Así es como se vería:

\[\begin{align*} h({\color{red} x}) & = 2{\color{red} x} + 3 \\ h({\color{blue} x+1}) & = 2{\color{blue} (x+1)} + 3 \\ & = 2x + 2 + 3 \\ & = \boxed{2x+5}. \end{align*}\]

Si\(m(x) = 3x - 1\), encuentra\(m(4x + 1)\).

Tenemos que sustituir el por\(x\)\(4x+1\) en la fórmula. Así que tenemos

\[\begin{align*} m(x) & = 3x - 1 \\ m(4x+1) & = 3(4x+1) - 1 \\ & = 12x + 3 - 1 \\ & = \boxed{12x + 2}. \end{align*}\]

Si\(f(x) = x^2 - 4x\) y\(g(x) = 2x+5\), ¿qué es\(f(g(x))\)?

Aquí, la idea es sustituir\(x\) con\(g(x)\) en la fórmula. En otras palabras,\(x\) se convierte en\(2x+5\):

\[\begin{align*} f(x) & = x^2 - 4x \\ f(g(x)) = f(2x+5) & = (2x+5)^2 - 4(2x+5) \\ & = 4x^2 + 10x + 10x + 25 - 8x - 20 \\ & = \boxed{4x^2 + 12x + 5}. \end{align*}\]

Funciones de Graficar

Graficar es una excelente manera de visualizar una función. Por ejemplo, considere la gráfica de\(f(x) = x^2\).

Elija cualquier punto de la curva. Si baja al\(x\) eje -obtendrá el valor de entrada, y si va directamente a la izquierda (o derecha) al\(y\) eje -obtendrá el valor de salida. Por ejemplo,

Esto refleja el hecho de que\(f(2) = 2^2 = 4\).

Nota: Cualquier cosa con múltiples salidas para una entrada no se considera una función. Una forma práctica de determinar esto es la “prueba de línea vertical”: cualquier línea vertical debería golpear una función solo una vez.

Método de tabla para graficar

Si quieres graficar una función a mano, una manera que funciona para prácticamente cualquier función es el método table. Digamos que queremos hacer lo siguiente:

Gráfica\(g(x) = x^2 + 2x\) usando el método de tabla.

Simplemente podemos comenzar enchufando algunos valores como\(x = -2\),\(x = -1\),\(x = 0\), etc., y llenar toda una tabla. Por ejemplo, para\(x = -2\), podemos calcular\(g(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 -4 = 0\). Ya que\(g(-2) = 0\), sabemos que el punto\((x, y) = (-2, 0)\) se encuentra en la gráfica. Llenando el resto de la mesa, obtenemos

\[\[\begin{array}{cccc} \mathbf{x} & \mathbf{x^2 + 2x} & \mathbf{g(x)} & \mathbf{(x, y)} \\ -2 & (-2)^2 + 2(-2) & 0 & (-2, 0) \\ -1 & (-1)^2 + 2(-1) & -1 & (-1, -1) \\ 0 & (0)^2 + 2(0) & 0 & (0, 0) \\ 1 & (1)^2 + 2(1) & 3 & (1, 3) \\ 2 & (2)^2 + 2(2) & 8 & (2, 8) \end{array}\]\]

Luego podemos trazar estos pares entrada-salida en la gráfica, y trazan una curva. (Tenga en cuenta que el par\((2, 8)\) no encajaba en la gráfica.)