2.2: Posición a velocidad

La idea de posición de un objeto frente a la velocidad de un objeto abarca todas las grandes ideas del cálculo. ¡Así que ahí es donde vamos a empezar!

Rumbo a un lago

Supongamos que te dan una gráfica de tu distancia desde casa durante un viaje al lago. Podría verse algo como esto:

Esta gráfica podría representarte caminando a un lago a dos millas de distancia, pasando el rato media hora y luego caminando a casa. La primera parte de la gráfica que se incline hacia arriba representa tu caminata hacia el lago, ya que tu distancia desde casa va en aumento (más arriba en la gráfica). La segunda parte de la gráfica te representa pasando el rato en el lago. Es plano ya que tu distancia de casa no está cambiando. Por último, la parte de la gráfica que se incline hacia abajo representa a ti caminando a casa. Tu distancia a casa está disminuyendo, por lo que la línea baja en la gráfica.

Ahora aquí está la pregunta: ¿cuál es tu velocidad durante este viaje?

La velocidad es una medida de la velocidad, y esencialmente se reduce a esta ecuación:

\(\text{Velocity} = \frac{\text{change in distance}}{\text{change in time}}.\)

Mientras caminas hacia el lago, viajas a razón de 2 millas cada media hora (tu cambio de distancia es de dos, durante el cambio de tiempo de media hora). Por lo tanto tu velocidad es\(\cfrac{2}{\frac{1}{2}}\). Podemos simplificar esta fracción multiplicando arriba e abajo por\(2\), y vemos

\(\text{Velocity to the lake} = \cfrac{2}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} = \cfrac{4}{1} = 4. \)

Entonces estabas caminando a 4 millas por hora hasta el lago. Esta velocidad no cambia a medida que caminas hacia el lago, y así llamamos a esto una velocidad constante. Gráficamente, representamos la velocidad constante con una línea horizontal:

Mientras estás en el lago, tu posición no está cambiando realmente porque solo estás pasando el rato. Entonces tu velocidad es cero. Para relacionar esto de nuevo con la fórmula, tu cambio de distancia es cero mientras que tu cambio en el tiempo lo es. Así que por la fórmula tenemos

\(\text{Velocity at the lake} = \cfrac{0}{\frac{1}{2}} = 0,\)

pero en realidad no necesitábamos hacer la fórmula ya que sabíamos que no íbamos a ninguna parte. Gráficamente, una velocidad de cero se ve así:

Por último, al volver a casa, nuevamente tenemos un cambio en la distancia de\(2\) millas a lo largo de media hora. Entonces se podría pensar que la velocidad es\(4\) otra vez, pero en realidad es muy natural llamar a esto una velocidad negativa, ya que la distancia va bajando. Entonces decimos que el cambio en la distancia es en realidad\(-2\), y por lo tanto:

\(\text{Velocity returning home} = \cfrac{-2}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} = \frac{-4}{1} = -4,\)

Gráficamente:

Bien, ahora veamos juntos los gráficos de posición y velocidad. Colorearé cada segmento para enfatizar cómo corresponden las diferentes partes.

Pendiente

Otra forma de pensar en la velocidad es que es lo mismo que la pendiente de una línea. Recordemos que la pendiente de una línea es una medida de cuán empinada es la línea, y la fórmula sigue la frase “subir sobre carrera”. Volvamos a ver los gráficos de posición y velocidad de la última subsección:

¿Cuál es la pendiente de la línea roja? Bueno, elevarse sobre atropello sería\(\frac{2}{0.5}\), que es\(4\). ¡Eso es lo mismo que el gráfico de velocidad! Lo mismo para la línea verde: tiene una pendiente de cero, y el gráfico de velocidad está en cero. Por último, la pendiente de la línea azul es\(\frac{-2}{0.5}\) cuál es\(-4\), y eso es lo que tenemos para el gráfico de velocidad.

Entonces “pendiente” y “velocidad” son lo mismo. Pero hay otro nombre para este concepto que vamos a utilizar mucho: derivado. Derivada, pendiente y velocidad significan lo mismo.

Otros Ejemplos de Derivados

Veamos algunos otros ejemplos. Tenga en cuenta para cada uno de estos, los gráficos de posición siempre son lineales por tramos, o están compuestos por segmentos de línea. Esto hace que sea más fácil encontrar la velocidad, o pendiente.

Posición a velocidad

Encuentra la gráfica de velocidad (es decir, la derivada) correspondiente a la siguiente gráfica de posición.

Para resolver este problema, necesitamos encontrar la velocidad, o pendiente, de cada una de las líneas en la gráfica. La primera línea tiene un cambio de distancia de\(60\), y un cambio de tiempo de\(5\) segundos, por lo que la velocidad es\(-40\) ya que la gráfica va de\(60\) a\(20\). Esto también ocurre en\(5\) segundos, por lo que la velocidad está\(20\) en la línea final a lo largo de cinco segundos, por lo que la velocidad es.

Si graficamos estas velocidades, tenemos

Integrales

También podemos ir en la dirección inversa: tomar un gráfico de velocidad y crear un gráfico de posición. A esto se le llama integración o tomar una integral. Esto puede ser complicado pero podemos hacerlo en este punto si la función es lo que se llama una función de paso, que es básicamente una función que consiste en un montón de partes planas.

Integración

Dado el siguiente gráfico de velocidad, cree un gráfico de posición.

Dadas estas velocidades, queremos graficar por dónde viaja la persona, y la persona puede comenzar donde queramos. Para mayor comodidad iniciaremos a la persona en la ubicación cero. Si nos enfocamos en la primera sección, vemos que la persona viaja a 5 millas por hora durante tres horas. Esto corresponde a la persona que recorre el total de\(15\) millas durante las tres primeras horas. Se vería algo así:

Observe cómo va la posición de\(0\) a\(15\). De\(3\) a\(6\), la persona se mueve a\(-10\) millas por hora durante\(3\) horas: esto sería un total de\(-30\) millas recorridas. Como la persona ya está en posición\(15\), acabará en posición\(15 + (-30) = -15\).

De\(6\) a\(9\), la persona se mueve a\(-5\) millas por hora durante\(3\) horas, que son otras\(-15\) millas cubiertas. Comenzando desde la posición\(-15\) y sumando otra\(-15\), la persona terminará en\(-30\).

Finalmente, aquí hay versiones coloreadas de los mapas de velocidad y posición.

Pasar de la velocidad de regreso a la posición se llama integral. Aquí hay otro ejemplo.

Integración

Dado el siguiente gráfico de velocidad, cree el gráfico de posición.

Para conocer la posición, tenga en cuenta que utilizamos la multiplicación. Por ejemplo, en las primeras 3 horas, se mueven a 4 millas por hora, así que multiplicamos:\(3 \cdot 4 = 12\) millas. En el siguiente tramo de\(4\) hora, estamos a\(-5\) mph, así que multiplicamos\(4 \cdot (-5) = -20\). El último bit es de dos horas de duración a 12 mph, así que multiplicamos\(2 \cdot 12 = 24\). Tenga en cuenta que TAMBIÉN multiplicamos cuando encontramos área, por lo que podemos pensar en estos cálculos (velocidad a posición) como cálculos de área:

Así que básicamente hacemos saltos de\(12\),\(-20\), y\(24\) como se muestra:

Aumentando y disminuyendo

Las siguientes gráficas no están compuestas por líneas rectas —pero aún podemos decir si la derivada es positiva o negativa. Una derivada positiva significa que una cantidad está aumentando, y gráficamente que se representa mediante una gráfica las subidas a medida que avanzas de izquierda a derecha. Una derivada negativa significa que una cantidad es cada vez más pequeña, yendo gráficamente hacia abajo de izquierda a derecha.

¿Cuáles de las siguientes tienen derivados positivos? ¿Cuáles tienen derivados negativos?

a)	b)
c)	d)

Así es: (a) y (b) tienen derivados negativos, y (c) y (d) tienen derivados positivos.