2.12: Consejos y trucos de álgebra IV (Consejos para tratar fracciones)

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Una rápida sugerencia de fracción

Un par de ideas mientras se trabaja con fracciones. Tenga en cuenta que si distribuye un número por fracción, se multiplica en la parte superior:

\(x \left( \frac{1}{2} + y \right) = \frac{x}{2} + xy\)

La razón es cuando multiplicamos fracciones, nos multiplicamos directamente, y siempre podemos pensar en\(x\) como\(\frac{x}{1}\). De ahí\(x \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{x}{2}\).

Fracciones Complejas

Si tienes “fracciones dentro de fracciones”, esto llama a ser simplificado. Una forma de hacerlo es multiplicar la parte superior e inferior de la fracción externa por el mismo número para que las fracciones internas desaparezca. Por ejemplo,

\(\cfrac{\cfrac{1}{3} - \cfrac{\sqrt{3}}{3} }{ \cfrac{1}{9} }\)

Si multiplicamos arriba e abajo por\(9\) en el siguiente ejemplo, eso se deshace de los\(3\) y los\(9\) denominadores:

\[\begin{align*} \left(\cfrac{\cfrac{1}{3} - \cfrac{\sqrt{3}}{3} }{ \cfrac{1}{9} } \right) \cdot \cfrac{9}{9} & = \cfrac{9 \cdot \cfrac{1}{3} - 9 \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{3} }{ 9 \cdot \cfrac{1}{9} } \\ & = \frac{3 - 3 \sqrt{3}}{1} \\ & = 3 - 3 \sqrt{3} \end{align*}\]

También se puede multiplicar por el recíproco en lugar de dividir. Me gusta esto:

\[\begin{align*} \left(\cfrac{\cfrac{1}{3} - \cfrac{\sqrt{3}}{3} }{ \cfrac{1}{9} } \right) & = \left(\cfrac{1}{3} - \cfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{9}{1} \\ & = 9 \cdot \cfrac{1}{3} - 9 \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{3} \\ & = 3 - 3 \sqrt{3} \end{align*}\]

Lo mismo sucede con las variables. Considera este problema:

\(\cfrac{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{y}}{x}\)

Podemos simplificar esto multiplicando por\(xy\) para deshacernos de los\(x\) y\(y\) denominadores en la parte superior.

\[\begin{align*} \cfrac{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{y}}{x} & = \cfrac{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{y}}{x} \cdot \frac{xy}{xy} \\ & = \cfrac{\cfrac{xy}{x} + \cfrac{xy}{y}}{xxy} \\ & = \cfrac{y + x}{x^2y} \end{align*}\]

Aquí hay un ejemplo más.

Simplificar\(\cfrac{\cfrac{1}{x+1} - \cfrac{1}{x-1}}{\cfrac{1}{x}}\).

Para simplificar este, necesitamos borrar todos los denominadores multiplicando por\(x\),\((x+1)\) y\((x-1)\). No es fácil, pero podemos hacerlo.

\[\begin{align*} \cfrac{\cfrac{1}{x+1} - \cfrac{1}{x-1}}{\cfrac{1}{x}} \cdot \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} & = \cfrac{\cfrac{x(x+1)(x-1)}{x+1} - \cfrac{x(x+1)(x-1)}{x-1}}{\cfrac{x(x+1)(x-1)}{x}}\\ & = \cfrac{x(x-1) - x(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\ & = \cfrac{x^2 - x - (x^2 + x)}{x^2 - 1} \\ & = \cfrac{x^2 - x - x^2 - x}{x^2 - 1} \\ & = \cfrac{-2x}{x^2 - 1} \end{align*}\]