2.15: Tareas- Ejemplos de la Definición del Derivado
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- \((x+1) \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{x}{x+1} \right)\)
\(=\frac{x+1}{3} + x = \frac{4x+1}{3}\)ans
- \(\cfrac{\cfrac{1}{3} + 1}{1-\cfrac{1}{3}}\)
\(2\)ans
- \(\cfrac{x + 1}{\cfrac{1}{x}}\)
\(x^2 + x\)ans
- \(\cfrac{\cfrac{1}{x} - \cfrac{1}{x+1}}{\cfrac{1}{x} + \cfrac{1}{x+1}}\)
\(\frac{1}{2x+1}\)ans
- \(\cfrac{\cfrac{2}{x} - \cfrac{1}{x}}{\cfrac{1 - y}{y}}\)
\(\frac{y}{x - xy}\)ans
- \((x+1) \cdot \left( \frac{1}{3} + \frac{x}{x+1} \right)\)
- En cada caso, usa la definición de la derivada para encontrar\(f'(x)\) (en otras palabras, ¡toma la derivada!)
- \(f(x) = 3x - 5 \)
\(3\)ans
- \(f(x) = \frac{1}{2} x + 1 \)
ans - \(f(x) = 2 x^2\)
\(4x\)ans
- \(f(x) = (x^2 + x)\)
\(2x + 1\)ans
- \(\frac{d}{dx} (e^x)\)(pista: de la tarea de ayer, tenemos\(\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\))
\(e^x\)ans
- \(f(x) = x^3\)
\(x^3\)ans
- \(f(x) = 3x - 5 \)
- En cada caso, usa la definición de la derivada para encontrar\(f'(x)\) (en otras palabras, ¡toma la derivada!). Cada uno de estos es como uno de los “problemas duros” (haga clic aquí)
- \(f(x) = 2x^4\)
\(8x^3\)ans
- \(f(x) = \sqrt{2x}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2x}}\)ans
- \(f(x) = \frac{2}{x} \)
\(-\frac{2}{x^2}\)ans
- \(f(x) = \sqrt{x+1}\)
\(\frac{1}{2 \sqrt{x+1}}\)ans
- \(f(x) = \frac{1}{x+1} \)
\(-\frac{1}{(x+1)^2}\)ans
- \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(\frac{-1}{2 x \sqrt{x}}\)ans
- \(f(x) = 2x^4\)
- Recordemos la derivada de\(f(x) = x^2\) está dada por\(2x\).
- Demostrar que la derivada de\(g(x) = x^2+1\) está\(2x\) utilizando la definición de la derivada. ¿Se puede encontrar una razón intuitiva por la que\(f(x)\) y\(g(x)\) tendría el mismo derivado?
Agregar una constante mueve la curva hacia arriba o hacia abajo, pero ese desplazamiento no afecta la pendiente de la línea tangenteans
- Encuentra otra función cuya derivada sea\(2x\), distinta de\(f(x)\) y\(g(x)\).
\(x^2 + c\)por cualquier valor\(c\)ans
- Demostrar que la derivada de\(g(x) = x^2+1\) está\(2x\) utilizando la definición de la derivada. ¿Se puede encontrar una razón intuitiva por la que\(f(x)\) y\(g(x)\) tendría el mismo derivado?