3.1: Consejos y trucos de álgebra Parte V (Exponentes)

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Exponentes

Al simplificar exponentes, recuerda que la exponenciación es solo multiplicaciones repetidas. Así que si tienes algo como

\(x^3 x^7\)

Esto es tres\(x\) s multiplicado por siete\(x\) s, así que eso es diez\(x\) s todos multiplicados juntos.

\(x^3 x^7 = x^{10}\)

De igual manera, todas estas otras reglas ni siquiera tienen que ser memorizadas si solo piensas en cómo funcionaría la multiplicación repetida. Pero aquí están de todos modos.

\[\begin{align*} A^x A^y & = A^{x + y} \\ \frac{A^x}{A^y} & = A^{x - y} \\ \left( A^x \right)^y & = A^{xy} \\ A^{-x} & = \frac{1}{A^x} \\ A^0 & = 1 \end{align*}\]

Algunos ejemplos:

\(\frac{e^{11}}{e^5 e^4}\).

Aquí tenemos once\(e\) s, y estamos quitando vía división cinco de ellos luego cuatro de ellos. De ahí que nos queden dos\(e\) s:\(\frac{e^{11}}{e^5 e^4} = \boxed{e^2}\). Tenga en cuenta que\(e\) es una constante fundamental en matemáticas\(\pi\), como, igual a\(2.718281828459045\ldots\) aproximadamente, pero solo usamos\(e\) para el valor exacto.
\(\frac{(A^4 B)^3}{(A B^4)^2}\).

Vemos\((A^4 B)^3 = A^{12} B^3\). En la parte inferior, tenemos\((A B^4)^2 = A^2 B^8\). Esto da\(\frac{A^{12} B^3}{A^2 B^8}\). Una vez que conseguimos cancelar dos de las As y tres de las Bs, tenemos\(\boxed{\frac{A^{10}}{B^5}}\).
\(\left(\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{7}}{\sqrt[4]{104942}} \right)^{x - x}\).

Esto se ve feo\(x - x = 0\), pero, y cualquier cosa a la potencia cero es\(1\). De ahí que la respuesta sea\(\boxed{1}\).
\(a^{-5}a^2\).

Esto combina como\(a^{-5 + 2} = a^{-3}\), que también podemos escribir como\(\boxed{\frac{1}{a^3}}\).

Exponentes fraccionarios

Una regla más antes de ir:. Es decir, una fracción en el exponente es lo mismo que tomar una raíz cuadrada, raíz cubo, 4ta raíz, etc, dependiendo de cuál sea el denominador. Algunos ejemplos:

.

Vemos que esto es lo mismo que\(\sqrt{25}\), que es\(\boxed{5}\).
.

Esto es lo mismo que\(\left( \sqrt[3]{8}\right)^2\). Eso lo vemos\(\sqrt[3]{8} = 2\), y de ahí lo hacemos\(2^2 = 4\). Entonces.