3.5: Exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas
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La función\(e^x\)
Recordemos que las funciones exponenciales como\(2^x\),\(3^x\), y\(e^x\). Tenga en cuenta que\(e\) es solo un número, igual a aproximadamente\(2.718\), y es muy especial cuando es la base de una función exponencial. Todas estas funciones exponenciales crecen extremadamente rápido. Aquí está\(e^x\), y mira lo rápido que sale volando de la imagen.
Podemos modificarlo para que no crezca tan rápido. Considerar\(e^{0.1x}\):
Pero incluso esto empieza a crecer muy rápido cuando se\(x\) hace grande. Aquí está de\(e^{0.1x}\) nuevo para valores más grandes de\(x\).
¡Oye, eso se parece mucho a la gráfica de\(e^x\) did! ¿Por qué es eso?
Los exponenciales a diversas tasas de crecimiento modelan una amplia gama de fenómenos, incluyendo el crecimiento de la población, el crecimiento económico, la desintegración radiactiva y más. Y la razón\(e^x\) es que una función muy especial es una de las fórmulas más sorprendentes en matemáticas:
\(\boxed{\cfrac{d}{dx} e^x = e^x}\)
Así es; ¡\(e^x\)no cambia cuando tomas el derivado!
La función\(\ln(x)\)
Los logaritmos, por otro lado, son algunas de las funciones de crecimiento más lento. Aquí está\(\ln(x)\), que es\(\log_e(x)\), para grandes valores de\(x\):
Observe incluso para valores grandes de\(x\), la función no se hace más grande que\(4\) en esta imagen. El tronco natural\(\ln(x)\), que de nuevo es el tronco con base\(e\), también tiene un derivado especial.
\(\boxed{\cfrac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}}\)
Aquí está\(\ln(x)\) en azul trazado con su derivada\(\frac{1}{x}\) en verde.
Encuentra las siguientes derivadas.
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\(\frac{d}{dx} (e^x + \ln(x))\)
Sólo tenemos que tomar la derivada de cada término. El\(e^x\) permanece igual cuando tomas el derivado, así que solo dejamos esa pieza. El\(\ln(x)\), como vimos anteriormente, tiene derivado\(\frac{1}{x}\). De ahí
\(\frac{d}{dx} (e^x + \ln(x)) = \boxed{e^x + \frac{1}{x}}.\)
-
\(\frac{d}{dx} (5x^2 + 3e^x)\)
Podemos usar la regla de poder on\(5x^2\) — multiplicar por los dos, y restar uno de los dos, para obtener\(10x\). Entonces vemos que\(e^x\) es\(e^x\), y las\(3\) estancias a lo largo para el paseo. Entonces
\(\frac{d}{dx} (5x^2 + 3e^x) = \boxed{10x + 3e^x}.\)
-
\(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + 4\ln(x) \right) \)
Recuerda que para tomar la derivada de\(\frac{1}{x}\), reescribimos como\(x^{-1}\) y usamos la regla de poder, y tenemos\(-1 x^{-2}\). Porque\(4 \ln(x)\), el\(\ln(x)\) se convierte\(\frac{1}{x}\), y los cuatro se multiplica. Por lo tanto tenemos
\(\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} + 4 \ln(x) \right) = -1 x^{-2} + 4\left(\frac{1}{x} \right)\)
Pero espera — estas fracciones en realidad se pueden sumar juntas. Primero, cambia la\(x^{-2}\) espalda a\(\frac{1}{x^2}\). Entonces obtendremos un denominador común, y simplificaremos.
\[\begin{align*} -1 x^{-2} + 4\left(\frac{1}{x} \right) & = \frac{-1}{x^2} + \frac{4}{x} \\ & = \frac{-1}{x^2} + \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} \\ & = \frac{-1}{x^2} + \frac{4x}{x^2} \\ & = \frac{4x - 1}{x^2} \end{align*}\]
De ahí que tengamos
\(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x} + 4 \ln(x)\right) = \boxed{\frac{4x - 1}{x^2}}.\)
Dos fórmulas más rápidas.
\(\boxed{\cfrac{d}{dx} a^x= \ln(a) \cdot a^x}\)
\(\boxed{\cfrac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{\ln(a) \cdot x}}\)
Demostraremos la primera regla una vez que tengamos la regla de la cadena en funcionamiento. Para la segunda regla, la prueba sólo requiere la fórmula de cambio de base.
- \(\cfrac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{\ln(a) \cdot x}\)
Utilizamos la fórmula de cambio de base, que establece
\(\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} = \frac{1}{\ln(a)} \ln(x)\)
A partir de esto vemos
\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \ \log_a(x) & = \frac{d}{dx} \ \frac{1}{\ln(a)} \ln(x) \\ & = \frac{1}{\ln(a)} \frac{d}{dx} \ \ln(x) \\ & = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} \\ & = \frac{1}{\ln(a) \cdot x}. \end{align*}\]
Ahora bien, esta prueba demuestra algo complicado en el cálculo: a veces podemos simplemente “sacar cosas” de la derivada como hicimos con\(\frac{1}{\ln(a)}\), y otras veces no podemos. La razón por la que podríamos\(\frac{1}{\ln(a)}\) sacar la salida es que se considera una constante. La derivada sólo\(\frac{d}{dx}\) mide el cambio como\(x\) cambios, no como\(a\) cambios. Así\(\frac{1}{\ln(a)}\) es un valor constante, o inmutable como\(x\) cambios. Por lo tanto, por la regla múltiple constante, podemos simplemente sacarla de la derivada.
Ahora para usar las nuevas reglas.
Compute las siguientes derivadas.
-
\(\frac{d}{dx} \ (2^x + 3^x)\)
Usamos la fórmula en\(2^x\) y vemos que el derivado es\(\ln(2) \cdot 2^x\). Lo mismo va para\(\frac{d}{dx} \ 3^x = \ln(3) \cdot 3^x\). Entonces el resultado final es\(\boxed{\ln(2)\cdot 2^x + \ln(3) \cdot 3^x}\).
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\(\frac{d}{dx} \ 3\log_2(x)\)
Usamos la fórmula para obtener\(\frac{d}{dx} \log_2(x) = \frac{1}{\ln(2) x}\), y multiplicar la respuesta por\(3\) y obtener\(\boxed{\frac{3}{\ln(2) x}}\).
-
Tenemos
\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \frac{5^x}{\ln(5)} & = \frac{1}{\ln(5)} \frac{d}{dx} 5^x \\ & = \frac{1}{\ln(5)} \ln(5) \cdot 5^x \\ & = \boxed{5^x} \end{align*}\]
Las funciones\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\)
La función sinusoidal, denotada\(\sin(x)\), captura el comportamiento oscilante de ondas, círculos, péndulos y más. El coseno, denotado\(\cos(x)\), es una función similar que hace lo mismo. Aquí están\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\) en una gráfica.
Algunos valores importantes a conocer\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\) están dados por la siguiente tabla.
Primero tenga en cuenta que los\(x\) valores tienen una\(\pi\) en ellos — esta es en realidad una forma de medir ángulos llamados radianes. También puedes usar\(\sin\) y\(\cos\) con mediciones de ángulo de grados, pero para cálculo, funciona mucho mejor en radianes. Asegúrate de que tu calculadora esté en modo radianes para esta clase. Observe también que las salidas para\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\) con\(x = 0\) son las mismas que con\(x = 2 \pi\). Eso no es una coincidencia —\(\sin\) y\(\cos\) las funciones se repiten una y otra vez cada\(\Delta x = 2 \pi\).
Las funciones\(\sin(x)\) y\(\cos(x)\) funcionan muy bien con el cálculo, como lo demuestran estas importantes fórmulas:
\(\boxed{\cfrac{d}{dx} \ \sin(x) = \ \ \cos(x)}\)
\(\boxed{\cfrac{d}{dx} \ \cos(x) = - \sin(x)}\)
Compute lo siguiente:
-
\(\frac{d}{dx} \ -2 \cos(x)\)
Usando las fórmulas de esta sección y anteriores en el capítulo, vemos
\(\frac{d}{dx} \ -2 \cos(x) = -2 (-\sin(x)) = \boxed{2 \sin(x)}\)
-
\(\frac{d}{dx} (\sin(x) + \cos(x) + e^x + \ln(x))\)
\(\frac{d}{dx} (\sin(x) + \cos(x) + e^x + \ln(x)) = \boxed{\cos(x) - \sin(x) + e^x + \frac{1}{x}}.\)