3.7: Regla del producto

Bien, pero ¿y qué pasa\(\frac{d}{dx} x \cdot e^x\)? ¿Podemos simplemente tomar la derivada de cada uno así?

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} x \cdot e^x & = \left( \frac{d}{dx} x \right) \cdot \left( \frac{d}{dx} e^x \right) \\ & = 1 \cdot e^x = e^x \end{align*}\]

Desafortunadamente, no. Solo para que quede claro: ¡el cálculo anterior es falso!

Piense en\(\frac{d}{dx} x \cdot x\). Sabemos\(\frac{d}{dx} x = 1\), así que por lo tanto se podría pensar

\(\frac{d}{dx} x \cdot x = 1 \cdot 1 = 1\)

Pero eso también lo sabemos\(\frac{d}{dx} x \cdot x = \frac{d}{dx} x^2 = 2x\). Entonces, ¿qué hacemos de esto? Bueno, sólo tenemos que renunciar a la idea de “tomar el derivado de cada uno” con productos. Por suerte, hay una regla llamada regla del producto que funciona muy bien:

\(\boxed{\cfrac{d}{dx} f \cdot g = f g' + g f'}\)

El lema de esta regla es “las primeras veces la derivada de la segunda, más la segunda veces la derivada de la primera”.

¿De dónde viene esta regla? Bueno, considera esta imagen:

Aquí tenemos un rectángulo. La altura es\(f\), la anchura es\(g\). El área del rectángulo es\(f \cdot g\). Si tuviéramos que hacer\(f\) más grande un poco, digamos\(\Delta f\), y\(g\) más grande por\(\Delta g\), entonces el rectángulo también se haría más grande. Queremos saber qué tan rápido está aumentando el área. Entonces, ¿qué tan rápido está aumentando? Puedes ver en la imagen agregamos tres secciones sobre:\(f \cdot \Delta g\),\(g \cdot \Delta f\), y\(\Delta f \cdot \Delta g\). Si piensas en\(\Delta f\) y\(\Delta g\) como siendo realmente pequeño, sin embargo, los\(\Delta f \cdot \Delta g\) términos son increíblemente pequeños —tan pequeños que no afecta la respuesta en el límite. Por lo tanto, la nueva zona es\(f \cdot \Delta g + g \cdot \Delta f\). De aquí viene la regla del producto: así es como cambia un área a medida que cambias la longitud de cada lado.

Veamos esta regla en acción.

Regla de producto con\(x e^x\)

Encuentra\(\frac{d}{dx} x e^x\).

En este caso, podemos atacar esto usando la regla del producto con\({\color{blue} f = x}\), y\({\color{red} g = e^x}\). Podemos tomar fácilmente la derivada de cada parte:\({\color{blue} f' = 1}\), y\({\color{red} g' = e^x}\). Por lo tanto, usando la fórmula\(\frac{d}{dx} {\color{blue} f} {\color{red} g} = {\color{blue} f} {\color{red} g'} + {\color{red} g} {\color{blue} f'}\), tenemos

\({\color{blue} f} {\color{red} g'} + {\color{red} g} {\color{blue} f'} = {\color{blue} x} {\color{red} e^x} + {\color{red} e^x} {\color{blue} (1)} = \boxed{x e^x + e^x}.\)

Otra regla de producto

Encuentra\(\frac{d}{dx} x^2 \cos(x)\).

Vemos\({\color{red} f = x^2, f' = 2x}\) y\({\color{blue} g = \cos(x), g' = -\sin(x)}\). Por lo tanto, tenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} {\color{red} x^2} {\color{blue} \cos(x)} & = {\color{red} f} {\color{blue} g'} + {\color{blue} g} {\color{red} f'} \\ & = {\color{red} x^2} {\color{blue} (-\sin(x))} + {\color{blue} \cos(x)} {\color{red} 2x} \\ & = \boxed{-2x^2 \sin(x) + 2x \cos(x)}. \end{align*}\]

Regla de producto con\(x \cdot x\)

Encuentra de dos\(\frac{d}{dx} x \cdot x\) maneras diferentes: una vía usando la regla del producto, una vía usando la regla de poder.

Usando la regla de poder, vemos\(\frac{d}{dx} x \cdot x = \frac{d}{dx} x^2 = 2x\). Usando la regla del producto, establecemos\(f = x\) y\(g = x\). En cuyo caso,\(f' = 1\) y\(g' = 1\). Así

\(f g' + g f' = (x)(1) + (x)(1) = \boxed{2x}.\)

¡Hurra! ¡La misma respuesta! ¿No es genial cuando las matemáticas simplemente funcionan?

Otra regla de producto

Encuentra\(\frac{d}{dx} \sqrt{x} \ln(x)\).

Vemos\(f = \sqrt{x}\),\(g = \ln(x)\). Para\(f'\), reescribimos\(f' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}\). Como vimos en la sección de exponentes y logaritmos,\(g' = \frac{1}{x}\). De ahí

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \sqrt{x} \ln(x) & = f g' + g f' \\ & = \sqrt{x} \frac{1}{x} + \ln(x) \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ & = \frac{\sqrt{x}}{x} + \frac{\ln(x)}{2 \sqrt{x}} \end{align*}\]

Ahora bien, si quieres ser un poco elegante con el álgebra, podemos simplificar\(\frac{\sqrt{x}}{x}\) usando exponentes racionales. Es igual a\(\frac{1}{\sqrt{x}}\). A partir de aquí, podemos encontrar un denominador común y sumar las dos fracciones.

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \sqrt{x} \ln(x) & = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln(x)}{2 \sqrt{x}} \\ & = \frac{2}{2 \sqrt{x}} + \frac{\ln(x)}{2 \sqrt{x}} \\ & = \boxed{\frac{\ln(x) + 2}{2 \sqrt{x}}}. \end{align*}\]

Ahí vas.