3.13: Derivados multiregla

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Bien, hablemos de\(\frac{d}{dx} \ e^{x^2 + x} \sin(x)\). Si estás pensando que esto parece una regla de producto, pero también parece una regla de cadena, tienes razón. Para calcular esta derivada, necesitamos hacer la regla de cadena y la regla del producto. Esto se debe a que es un problema multiregla. Hagamos este ejemplo

Multirule

Cómputos\(\frac{d}{dx} \ e^{x^2 + x} \sin(x)\).

La forma en que me gusta desglosar esto es considerar una pequeña regla y una regla grande. En este caso, la pequeña regla es el problema de la regla de la cadena\(\frac{d}{dx} \ e^{x^2 + x}\). Si hacemos este problema, vemos que\(f = e^x\),\(f' = e^x\),\(g = x^2 + x\) y\(g' = 2x + 1\). Así que tenemos

\[\begin{equation*} \frac{d}{dx} \ e^{x^2 + x} = {\color{red} e^{x^2 + x} (2x + 1)}. \end{equation*}\]

Ahora estamos listos para hacer la regla grande, que es la regla del producto. En este punto volvemos al problema original\(\frac{d}{dx} \ e^{x^2 + x} \sin(x)\). Para esta regla de producto, vemos\(f = e^{x^2 + x}\),\(g = \sin(x)\),\(g' = \cos(x)\). ¿Qué es\({\color{red} f'}\)? ¡Por qué, eso es lo que acabamos de calcular en la ecuación anterior! Entonces\({\color{red} f' = e^{x^2 + x}(2x+1)}\). Armando todo esto con la regla del producto\(f g' + g f'\), tenemos

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \ e^{x^2 + x} \sin(x) & = f g' + g {\color{red} f'} \\ & = \boxed{e^{x^2 + x} \cos(x) + \sin(x) {\color{red} e^{x^2 + x} (2x + 1)}} . \end{align*}\]

Multirule

Cómputos\(\frac{d}{dx} \frac{x}{\sin(x^2 + x)}\).

pequeña regla de la cadena:\(\frac{d}{dx} \sin(x^2 + x)\)

\(\begin{array}{ll} f = \sin(x) & g = x^2 + x \\ f' = \cos(x) & g' = 2x + 1 \end{array}\)

Resultado:\({\color{red} \cos(x^2 + x) \cdot (2x+1)}\)

Regla del cociente grande (también conocido como todo el problema):\(\frac{d}{dx} \frac{x}{\sin(x^2 + x)}\)

\(\begin{array}{ll} f = x & g = \sin(x^2 + x) \\ f' = 1 & g' = {\color{red} \cos(x^2 + x) \cdot (2x+1)} \end{array}\)

Resultado:\(\boxed{\frac{\sin(x^2 + x) \cdot 1 - x \cos(x^2 + x) \cdot (2x+1)}{(\sin(x^2+x))^2}}\)