3.15: Antiderivados

Veremos en un futuro capítulo que necesitaremos para poder deshacer un derivado. Es decir, dada la respuesta de un problema derivado, ¿cuál es la pregunta original?

Dada una función\(f(x)\),\(F(x)\) es la anti-derivada de\(f(x)\) if\(F'(x) = f(x)\). Denotamos esto por

\(\int f(x) \ dx = F(x).\)

Por ahora, solo considera\(\int\) y\(dx\) ser notación que te diga que tomes un anti-derivado.

Veamos algunos ejemplos con la regla del poder. A continuación se presenta una tabla de problemas derivados.

\(\begin{array}{cc} F(x) & F'(x) = f(x) \\ \hline 1 & 0 \\ x & 1 \\ x^2 & 2x \\ x^3 & 3x^2 \\ x^4 & 4x^3 \end{array}\)

Ahora veamos los antiderivados. Todo lo que hacemos es cuál era el problema original es ahora la respuesta, y lo que fue la respuesta es ahora el problema original.

\(\begin{array}{cc} f(x) & \int f(x) \ dx = F(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2x & x^2 \\ 3x^2 & x^3 \\ 4x^3 & x^4 \end{array}\)

Hay un giro que tenemos que tener en cuenta: los antiderivados no son únicos. Considere los siguientes derivados:

\(\begin{array}{cc} F(x) & F'(x) = f(x) \\ \hline 7 & 0 \\ x + 7 & 1 \\ x^2 + 7 & 2x \\ x^3 + 7 & 3x^2 \\ x^4 + 7 & 4x^3 \end{array}\)

Esto nos llevaría a los siguientes antiderivados

\(\begin{array}{cc} f(x) & \int f(x) \ dx = F(x) \\ \hline 0 & 7 \\ 1 & x + 7 \\ 2x & x^2 + 7 \\ 3x^2 & x^3 + 7 \\ 4x^3 & x^4 + 7 \end{array}\)

Entonces, supongamos que hago la pregunta “¿de qué es lo anti-derivado\(2x\)?” Hay muchas soluciones posibles, entre ellas\(x^2\)\(x^2 +7\),\(x^2 + 42\),, etc. Sin embargo, todas estas soluciones son básicamente lo mismo. Para sortear este problema, decimos que a menudo usan la notación\(x^2 + C\). Aquí,\(C\) se llama la constante de integración. En esta forma, la antiderivada se llama integral indefinida.

Si se trata de un polinomio, sabemos que la derivada sigue la regla de poder. Con anti-derivados, sigue la regla de potencia inversa:

\(\boxed{\int x^m \ dx = \frac{x^{m + 1}}{m+1} + C}\)

Tenga en cuenta que esto solo funciona si\(m \neq -1\). ¿Ves lo que sale mal en la fórmula si\(m = -1\)?

También tenemos las reglas del trabajo de linealidad a la inversa. Entonces, al tomar antiderivados, solo puedes mirar un término a la vez, y la constante se mantendrá durante el proceso antiderivado.

\(\boxed{\int c f \ dx = c \int f \ dx}\)

\(\boxed{\int f + g \ dx = \int f \ dx + \int g \ dx}\)

Aquí hay algunos ejemplos.

Ejemplos Antiderivados

• Encuentra\(\int x^7 \ dx\).

  Usando la regla de potencia inversa, tenemos\(\int x^7 \ dx = \boxed{\frac{x^8}{8} + C}\).

• Encuentra\(\int 6x^2 \ dx\).

  La constante “llegará para el paseo”, o no se verá afectada por el proceso antiderivado. De ahí que veamos

  \[\begin{align*} \int 6 x^2 \ dx & = 6 \int x^2 \ dx \\ & = 6 \left( \frac{x^3}{3} + C \right) \\ & = 6 \frac{x^3}{3} + 6C \\ & = 2x^3 + 6C. \end{align*}\]

  Tenga en cuenta que el\(6\) en la\(6C\) parte de la respuesta no es realmente necesario. Lo importante es que estamos indicando que puedes agregar cualquier constante de integración que nos gustaría. Por lo tanto, a menudo vamos a reemplazar el\(6C = D\), y tenemos la respuesta

  \(\int 6 x^2 \ dx = 2x^3 + D.\)

  De hecho, muchas veces solo vamos a esperar para agregar el\(C\) hasta el final. En ese caso, llegaríamos a una respuesta de\(2x^3\), luego agregaríamos la\(C\) en esa etapa, y obtendríamos una respuesta de

  \(\int 6 x^2 \ dx = \boxed{2x^3 + C}.\)

• Encuentra\(\int \frac{1}{2} x^3 \ dx\)

  El\(\frac{1}{2}\) es una constante que no afecta la integración, así vemos

  \[\begin{align*} \int \frac{1}{2} x^3 \ dx & = \frac{1}{2} \int x^3 \ dx \\ & = \frac{1}{2} \left( \frac{x^4}{4} \right) \\ & = \boxed{\frac{x^4}{8} + C}. \end{align*}\]

  Observe que no agregamos la constante de integración hasta el último paso, y eso está perfectamente bien.

• Encuentra\(\int 6x^5 + 6x \ dx\)

  En suma, podemos simplemente tratar cada término por separado. Y las constantes vienen para el paseo.

  \[\begin{align*} \int 6x^5 + 6x \ dx & = 6 \int x^5 \ dx + 6 \int x \ dx \\ & = 6 \left( \frac{x^6}{6} \right) + 6 \left(\frac{x^2}{2}\right) \\ & = \boxed{x^6 + 3x^2 + C}. \end{align*}\]

• Encuentra\(\int 4 e^x + \frac{3}{x} + \frac{\sin(x)}{5} \ dx\).

  Tratamos cada término por separado.

  • \(\int 4 e^x \ dx\). En este término, el\(4\) es un múltiplo constante, y el\(e^x\) no cambia, así obtenemos

    \(\int 4 e^x \ dx = 4 e^x.\)

  • \(\int \frac{3}{x} \ dx\). Bien, ahora un poco más difícil. Observe\(3\) que el es un múltiplo constante, así que saquemos eso:\(3 \int \frac{1}{x} \ dx\). Reconocemos esto como el derivado de\(\ln(x)\), por lo que la respuesta es

    \(\int \frac{3}{x} \ dx = 3 \ln(x).\)

  • \(\int \frac{\sin(x)}{5} \ dx\). Para este, la división por\(5\) es la misma un múltiplo constante de\(\frac{1}{5}\). Traemos esto afuera y conseguimos:\(\frac{1}{5} \int \sin(x) \ dx\). Eso lo sabemos\(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\), así lo sabemos\(\frac{d}{dx} -\cos(x) = \sin(x)\). Esto da la respuesta final de

    \(\int \frac{\sin(x)}{5} \ dx = -\frac{1}{5} \cos(x).\)

  Poniéndolo en conjunto, obtenemos una respuesta final de\(\boxed{4 e^x + 3 \ln(x) - \frac{1}{5} \cos(x) + C}\). ¡Buen trabajo!