4.3: Segunda Derivada e Interpretación de la Derivada

Entendemos velocidad versus posición en este punto, pero ¿qué pasa con la derivada de otras cantidades cambiantes? ¿Qué significa? Veamos un ejemplo.

Pérdida Glacial

\(M(t)\)Sea la masa en toneladas métricas de un glaciar durante un tiempo determinado\(t\), donde\(t\) se mide en años. ¿Cómo crees que se\(M(t)\) ve la gráfica de? Dado el calentamiento global, probablemente esté bajando, así:

Pregunta: ¿Qué mide ahora el derivado? ¿Cómo sería la gráfica de la derivada?

Respuestas: ¡Buenas preguntas! Al igual que la derivada de la posición es la velocidad, o lo rápido que cambia la posición, la derivada de\(M(t)\) va a ser la rapidez con la que cambia la masa del glaciar. En este caso, es lo rápido que se está derritiendo.

Podemos asignar automáticamente unidades a la derivada. Dado que la gráfica original es toneladas métricas en el\(y\) eje -y años en el\(x\) eje -eje, sabemos que la unidad de la derivada (a menos que queramos convertir) va a ser toneladas métricas por año. Entonces podríamos hablar del ser derivado\(-15 \ \frac{\text{metric tonnes}}{\text{year}}\).

Aviso que asumí que la derivada era negativa. ¿Por qué hice eso? Eso se debe a que la gráfica va hacia abajo, y el glaciar está perdiendo masa.

Obsérvese además que no es sólo bajar como una línea bajando. Es una curva hacia abajo. ¿Qué significa esto para el derivado? Bueno, el derivado empieza negativo ya que va bajando, y sigue siendo negativo a medida que va bajando. Pero baja cada vez más rápido a medida que te mueves hacia la derecha, eso significa que la derivada se está volviendo cada vez más negativa. Me gusta esto:

Entonces podemos ver que este derivado es negativo, pero es peor que eso —es negativo y va hacia abajo. Esa no es una buena noticia para el glaciar. Mirar si la derivada va hacia arriba o hacia abajo se conoce como la segunda derivada. Veremos en la siguiente sección esto es fácil de calcular.

Como vimos en el ejemplo anterior, a veces necesitamos repetir el proceso de tomar derivados. Esto da la segunda derivada, la tercera derivada, y así sucesivamente. La notación es

\(f''(x), \quad \text{or} \quad \frac{d^2}{dx^2}f\)

También puedes tomar tres, cuatro o más derivados. En lugar de escribir varios primos, escribimos\(f^{(4)}\) para la cuarta derivada,\(f^{(5)}\) para la quinta derivada, y así sucesivamente. Hagamos un par de ejemplos.

Derivadas múltiples

Vamos\(f(x) = x^3 + x^2\). Encuentra

1. \(f'(x)\)
2. \(f''(x)\)
3. \(f'''(x)\)
4. \(f^{(4)}(x)\)

Para (1), usamos la regla de poder y vemos eso\(f'(x) = \boxed{3x^2 + 2x}\).

Para (2), utilizamos de nuevo la regla de poder aplicada a\(3x^2 + 2x\). Así que tenemos

\(f''(x) = 3 \frac{d}{dx} x^2 + 2 \frac{d}{dx} x = 3(2x) + 2(1) = \boxed{6x + 2}\)

Para (3), tomamos la derivada de\(6x + 2\). Esto es\(\boxed{6}\).

Para (4), tomamos la derivada de\(6\) y es decir\(\boxed{0}\).

Múltiples Derivados otra vez

Encuentra\(\frac{d^2}{dx^2} \ln(x)\).

Para obtener una segunda derivada, primero necesitamos tomar una derivada. Vemos la derivada de\(\ln(x)\) es\(\frac{1}{x}\). Luego volvemos a tomar la derivada, y vemos

\[\begin{align*} \frac{d^2}{dx^2} \ln(x) & = \frac{d}{dx} \frac{1}{x} \\ & = \frac{d}{dx} x^{-1} \\ & = -1 x^{-2} \\ & = \boxed{-\frac{1}{x^2}} \end{align*}\]

Más derivados con\(\cos(x)\)

Encuentra las primeras cuatro derivadas de\(f(x) = \cos(x)\).

Aquí, vemos que\(f'(x) = -\sin(x)\),\(f''(x) = -\cos(x)\),\(f'''(x) = \sin(x)\), y\(f^{(4)}(x) = \cos(x)\). ¡De ahí que comencemos a repetir respuestas después de tomar cuatro derivadas!