4.5: Optimización

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A veces tenemos una función y solo queremos realmente saber cuál es su punto alto o punto bajo en términos de$y$ -valor. El punto alto se llama máximo, y el punto bajo se llama mínimo. Para la mayoría de las funciones, estos puntos ocurren cuando la derivada es cero o indefinida (hablamos de por qué esto es brevemente en una sección anterior).

Optimización

La altura de una pelota de béisbol sigue la función$h(t) = -5t^2 + 20t + 10$, donde$h$ se mide en metros y$t$ se mide en segundos.. ¿Qué valor de$t$ maximiza la altura?

Seguiremos la máxima “la optimización ocurre cuando la derivada es cero”. Primero encontramos la derivada usando la regla de poder$h'(t) = -10t + 20$. Entonces establecemos esto igual a cero, así resolvemos

\[\begin{align*} -10t + 20 & = 0 \\ -10t & = - 20 \\ t & = \boxed{2} \end{align*}\]

De ahí que la altura se maximice cuando el tiempo es igual a$2$ segundos. En este punto, la altura de la pelota es de$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 10 = -20 + 40 + 10 = 30$ metros. Aquí hay un boceto aproximado basado en lo que sabemos sobre esta función:

Hagamos un ejemplo de optimización de anteras:

Optimización 2

El costo por artículo de producir figuras de acción de superhéroes, si$x$ se producen, viene dado por

$C(x) = \frac{500}{x} + 0.001x.$

¿A qué valor$x$ se minimiza el costo por artículo? ¿Cuál es el costo a este valor de$x$?

Para resolver este problema, encontramos$C'(x)$:

$C'(x) = \frac{d}{dx} 500 x^{-1} + 0.001 x = -500x^{-2} + 0.001$

Luego establecemos esto igual a cero y resolvemos:

\[\begin{align*} -500x^{-2} + 0.001 & = 0 \\ -500x^{-2} & = -0.001 \\ x^{-2} & = 0.000002 \\ 1 & = 0.000002 x^2 \\ 500,000 & = x^2 \\ \sqrt{500,000} & = x \approx \boxed{707.10} \end{align*}\]

Por lo que vemos acerca de las figuras de$707$ acción es el mejor número para elegir. El costo en este punto (al$x = 707$ enchufarse a la ecuación original) es justo$\boxed{\$1.41}$. ¡No tan mal!