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4.6: Tarea- Optimización

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    1. Samantha tiene un poco de whisky en una fiesta, y (siendo una friki de las ciencias y las matemáticas) estima que su contenido de alcohol en sangre (BAC) sigue la función:

      \(BAC(t) = \frac{0.25 t}{e^t},\)

      donde\(t\) se mide en horas después de su primer trago. Grafique esta función y determine lo siguiente usando una derivada:

      1. ¿Qué tan rápido aumenta (o disminuye) su BAC 15 minutos después de su primer trago?
        \(BAC'(t) = \frac{0.25 - 0.25t}{e^t}\), (gramos por dL por hora).
        ans
      2. ¿Qué tan rápido aumenta (o disminuye) su BAC 1 hora después de su primer trago?
        \(0\)cambiar
        ans
      3. ¿Qué tan rápido aumenta (o disminuye) su BAC 2 horas después de su primer trago?
        \(\approx 0.034\)gramos por dL por hora
        ans
    2. Grafique cada función en el intervalo dado. Utilice el cálculo para determinar la ubicación de todos los minutos y máximos globales y locales.
      1. \(f(x) = -x^2 + 5x - 2\)en el intervalo\([0, 5]\).
        Mins locales y globales:\((0, -2), (5, -2)\), Local y global max:\((2.5, 4.25)\)
        ans
      2. \(f(x) = x^2 - 6x + 10\)en el intervalo\([2, 6]\).
        Local min:\((2, 2)\), global y local min:\((3, 1)\), local y global max:\((6, 10)\)
        ans
      3. \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)en el intervalo\([0, 3]\).
        Máximo local y global en\((1.42, 0.38 )\), Mín local:\((2.58,-0.38 )\), mínimo local y global:\((0, -6)\), máximo local:\((3, -2)\)
        ans
      4. \(f(x) = x^3-5 x^2+8 x-4\)en el intervalo\([0, 2.5]\).
        Máximo local a\(x = 0.75\), min local a\(x = 2\), máximo global a\(x = 2.5\), mínimo global a\(x = 0\).
        ans
      5. \(f(x) = x^4 - 16x\)en el intervalo\([0, 3]\).
        Máximo local a\(x = 0\), mínimo global a\(x = \sqrt[3]{4}\), máximo global en\(x = 3\)
        ans
      6. \(f(x) = \frac{x^2}{x + 1}\)en el intervalo\([-3, 3]\).
        Local min at\(x = -3\), local max at\(x = -2\), local min at\(x = 0\), local max at\(x = 3\)
        ans
    3. Usando un medicamento de quimioterapia en una placa de Petri de células cancerosas, se encuentra que\(P(x)\) por ciento más de las células cancerosas se matan usando\(x\) miligramos de fármaco por centímetro cuadrado que las células sanas, donde\(x\) varía de\(0\) a\(4\). Se piensa

      \(P(x) = x^3-8 x^2+16 x\)

      ¿Para qué valor de\(x\) se\(P(x)\) maximiza?

      ans
    4. ¡Los plátanos como los conocemos pueden estar condenados! Supongamos que el hongo Tropical Race 4 mencionado en el artículo está matando plátanos en una isla de Jamaica. El número de granjas bananeras viables comienza en\(16000\), con\(800\) verse obligadas a cerrar por año. Pero las nuevas granjas bananeras están de acuerdo a la función\(20e^{0.3t}\) con nuevas variedades inmunes al hongo (\(t\)medidas en años). Entonces el número total de fincas bananeras viables es

      \(V(t) = 16000- 800t + 20e^{0.3t}\)

      en el intervalo\([0, 20]\). ¿En qué momento se minimiza el número de granjas bananeras? ¿Cuál es el número de granjas bananeras viables en este momento?

      Esta función se minimiza\(t \approx 16.3\) con el número de granjas bananeras en\(5619\)
      ans
    5. El área de un rectángulo es largo por ancho. Un granjero necesita construir un corral de cerdo contra el costado del granero usando\(20\) metros de barda. ¿Cuál es la cantidad máxima de área que puede encerrar?
    6. Vea los videos de KhanAcademy sobre cómo maximizar el área de una caja:
      Optimizar el volumen de la caja gráficamente y
      optimizar el volumen de la caja analíticamente
    7. Una caja abierta con la parte superior se forma quitando las esquinas cuadradas de la longitud lateral\(x\) de un\(40\) en un trozo de cartón, y doblando cada lado hacia arriba.\(80\) ¿Qué valor de\(x\) maximiza el volumen de la caja?
      \(x \approx 8.45\)
      ans
    8. La altura y el radio de un cono juntos se suman a\(5\) pulgadas. ¿Qué valor del radio maximiza el volumen? El volumen viene dado por\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\).
      en
      ans

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