4.7: Derivados en el Espacio

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Hasta el momento, cuando hemos pensado en aplicar derivados, siempre hemos pensado en términos de tiempo. Así que nos hemos centrado en tarifas como metros por segundo, grados Celsius por segundo, litros por minuto, y así sucesivamente, todo por unidad de tiempo. Sin embargo, no siempre obtenemos derivados con respecto al tiempo.

Por ejemplo, considere esta casilla:

Y consideremos la temperatura de la caja en cada punto. Podemos mostrar esto usando rojo para significar caliente y azul para significar frío:

Tenga en cuenta que la temperatura cambia, pero no a tiempo. En cambio, la temperatura cambia a medida que se mueve hacia abajo de la caja, es decir, la temperatura cambia en el espacio. Podemos mostrar lo mismo en la gráfica:

Y así como antes, la pendiente de esta gráfica en cualquier punto es la derivada. ¿Cuáles son las unidades? Bueno, ellos lo serían$\frac{\text{C$^\circ$}}{\text{cm}}$.

Sigamos con este ejemplo.

Temp en una caja

Supongamos que la ecuación$T(x) = -\frac{1}{16} x^2 + 100$ describe la temperatura, en Celsius, de la caja de los diagramas anteriores a una distancia de$x$ centímetros de la parte posterior.

¿Cuál es el derivado de la temperatura a mitad de la caja?
¿Cuál es el derivado de la temperatura a las tres cuartas partes del camino hacia abajo de la caja?
Volvamos a pensar en el tiempo. Según la ecuación del calor, un punto en el espacio tenderá a calentarse si la segunda derivada en el espacio es positiva, y más fría si la segunda derivada en el espacio es negativa. Con base en esta afirmación, ¿esta caja va a calentarse o enfriarse más? ¿Qué significa eso respecto a su derivada en el tiempo?

Podemos ver por la gráfica anterior que la caja mide$40$ centímetros de largo, por lo que a mitad de camino serían$x = 20$ cm. Lo sabemos$T'(x) = -\frac{1}{16} (2x) = -\frac{1}{8}x$. Entonces, si solo nos enchufamos$x = 20$, obtenemos
$T'(20) = -\frac{1}{8}(20) = -2.5$. Nuevamente, las unidades son$\frac{\text{C$^\circ$}}{\text{cm}}$. Entonces eso significa que por cada cm que viajas, la caja se pone$2.5^\circ$ C más fría.
Ahora solo nos conectamos$x = 30$ a la derivada que ya encontramos$T'(x) = -\frac{1}{8}x$, y vemos$T'(30) = -\frac{1}{8}(30) = -3.75$. Esto significa que, en este punto de la caja, la caja se está enfriando más rápido. Esto también se puede ver en la gráfica.
Para responder a esta pregunta, necesitamos la segunda derivada$T''(x)$. Esto es solo el derivado de$T'(x) = -\frac{1}{8}x$, y así que simplemente dejamos caer el$x$ y obtenemos$T''(x) = -\frac{1}{8}$. Dado que la segunda derivada con respecto al espacio es negativa, la ecuación de calor dice que la primera derivada con respecto al tiempo también es negativa. Entonces, si solo dejamos esta caja en paz, tendería a hacer más frío. Es decir, el también$T'(t)$ es negativo.

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