5.3: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

A veces no sabemos muy bien a qué tipo de función estamos tratando exactamente, pero sabemos algunas cosas básicas sobre su derivada. Por ejemplo, considere cuántas personas viven en un pueblo o ciudad. A esto lo llamaremos\(P(t)\). Un principio general que muchas veces es válido para la población es que la tasa que está creciendo es proporcional al tamaño de la población. Es decir, cuanto más grande es la ciudad, más rápido es el crecimiento. Esto es solo decir en términos de números brutos, una ciudad como Hong Kong tiene la capacidad de sumar gente mucho más rápido que Dillon, Montana, ya que Hong Kong es una ciudad mucho más grande. Ahora bien, esto no tiene que aguantar: algunas grandes ciudades en realidad se encogen, mientras que algunos pueblos pequeños explotan en población de la noche a la mañana. Pero en promedio, esto es cierto. Sigue la ecuación

\(\frac{dP}{dt} = 0.03 \cdot P\)

El lado izquierdo representa lo rápido\(P\) que está creciendo, y el lado derecho representa alguna fracción de\(P\). El valor\(0.03\) se llama tasa de crecimiento. Este es un ejemplo de una ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida y sus derivadas. Otra forma de escribir la misma ecuación diferencial es usar la notación de Newton.

\(P'(t) = 0.03 \cdot P(t)\)

Nuevamente, esto es sólo decir lo rápido que\(P(t)\) está creciendo es igual a algunas veces constantes el tamaño de\(P(t)\).

Aprenderemos a “resolver” una ecuación diferencial más adelante. Pero por ahora, tenga en cuenta que\({\color{red} P(t) = e^{0.03 t}}\) resuelve esta ecuación diferencial. ¿Por qué? Nosotros, notaremos que\({\color{blue} P'(t) = 0.03 e^{0.03 t}}\) por la regla de la cadena. De ahí que podamos verificar que\({\color{red} P(t) = e^{0.03t}}\) resuelve esta ecuación diferencial mediante el uso de la sustitución.

\[\begin{align*} {\color{blue} P'(t)} & = 0.03 \cdot {\color{red} P(t)} \\ ({\color{blue} 0.03 e^{0.03t}}) & = 0.03 \cdot ({\color{red} e^{0.03 t}}) \\ 0.03 e^{0.03t} & = 0.03 e^{0.03t} \end{align*}\]

Ya que obtenemos lo mismo en ambos lados vía sustitución, ¡sabemos que la ecuación diferencial está verificada! ¿Qué significa esto? Bueno, esto dice que la población sigue la función exponencial\(e^{0.03t}\). Esto significa que las poblaciones eventualmente comienzan a crecer extremadamente rápido.

Si bien las funciones exponenciales crecen cada vez más grandes para siempre, en la práctica, el crecimiento poblacional eventualmente se ralentizará o incluso se detendrá debido a limitaciones geográficas u otras limitaciones. ¡Ninguna función exponencial dura para siempre en la vida real!

Veamos un par de ejemplos más de creación de ecuaciones diferenciales.

Creación de ecuaciones diferenciales

• \(E(t)\)Dejen ser las ganancias de una gran empresa, medidas en millones de dólares. El crecimiento de utilidades de esta empresa es de 0.07 veces sus ganancias actuales. ¿Qué es una ecuación diferencial que modela esta situación?

  Vemos que el crecimiento de las ganancias es lo mismo que derivado. De ahí\(E'(t)\) es el crecimiento de las ganancias, y esto es igual a\(0.07\) veces sus ganancias actuales, entonces\(\boxed{E'(t) = 0.07 \cdot E(t)}\).

• El crecimiento de una función es\(2.5\) menor que\(0.3\) veces el valor de la función. ¿Cuál es ahora la ecuación diferencial?

  Vemos que esto puede traducirse como\(\boxed{f'(t) = 0.3 f(t) - 2.5}\).

Aquí hay algunos ejemplos de verificar que una solución dada es correcta.

Verifica que\(f(x) = e^x + x + 1\) resuelve la ecuación diferencial:

\(f'(x) = f(x) - x\)

Aquí, vemos que\({\color{red} f(x) = e^x + x + 1}\) se da, y podemos computar esto tomando la derivada de cada pieza.

\[\begin{align*} {\color{blue} f'(x)} & {\color{blue} = \frac{d}{dx} e^x + x + 1} \\ & {\color{blue} = e^x + 1} \ \end{align*}\]

Luego podemos verificar la ecuación diferencial mediante sustitución.

\[\begin{align*} {\color{blue} f'(x)} & = {\color{red} f(x)} - x \\ {\color{blue} e^x + 1} & = {\color{red} (e^x + x + 1)} - x \\ e^x + 1 & = e^x + 1 \end{align*}\]

Verifica que\(q(x) = \sqrt{2x}\) resuelve la ecuación diferencial:

\(q'(x) = \frac{1}{q(x)}\)

Aquí, vemos que\({\color{red} q(x) = \sqrt{2x}}\) se da, y podemos calcular usando la regla de la cadena

Luego podemos verificar la ecuación diferencial mediante sustitución.

\[\begin{align*} {\color{blue} q'(x)} & = \frac{1}

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\\ \left( {\color{blue} \frac{1}{\sqrt{2x}}} \right) & = \frac{1}{({\color{red} \sqrt{2x}})} \\ \frac{1}{\sqrt{2x}} & = \frac{1}{\sqrt{2x}} \end{align*}\]