5.5: Comprensión de ecuaciones diferenciales
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- Entender lo que mide cada variable con las unidades correctas.
- Anote qué relación está describiendo la ecuación diferencial en un lenguaje común y sensato.
- Explique por qué esas relaciones parecen tener sentido.
Hagamos un ejemplo con la ecuación poblacional.
- Como se da en el problema,\(S(t)\) es número de serpientes a la vez\(t\),\(t\) se mide en años. Ya que\(S'(t)\) es una tasa de cambio de las serpientes, se trata de serpientes perdidas por año.
- La población de serpientes está disminuyendo, por el signo negativo, en proporción al número de serpientes. De ahí que una buena respuesta aquí es “Cuantas más serpientes tengas, más serpientes pierdes”.
- Por supuesto que no sabemos por qué se están muriendo las serpientes, pero tiene sentido que entre más serpientes tengas más pierdes, ya que hay más serpientes con el potencial de morir.
El siguiente ejemplo involucra un sistema de ecuaciones diferenciales que lo hace un poco más complicado. Un sistema de ecuaciones diferenciales es como un sistema de ecuaciones: ahora tienes quizás varias funciones desconocidas, y quieres encontrar todas las funciones desconocidas para que todas las ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo.
\[\begin{align*} D'(t) & = -0.1(W(t) - 30) \\ W'(t) & = 0.1(D(t) - 300). \end{align*}\]
Explique esta ecuación diferencial.
- Como se da en el problema,\(D(t)\) es el número de venados en un momento dado,\(W(t)\) el número de lobos, y\(t\) se mide en años. \(D'(t)\)es lo rápido que cambia la población de venados en venados por año, y lo mismo para\(W'(t)\) los lobos medidos en lobos por año.
- Vemos que una población de lobos más grande que\(30\) hace que la población de venados baje. Una población de ciervos superior a 300 hace que la población de lobos suba.
- Estas relaciones tienen sentido ya que si tenemos muchos lobos, cazan a los venados y la población de venados baja. Si tenemos muchos venados, hay mucha comida para los lobos, así que la población de lobos sube.
Veamos una ecuación de cohete.
\[\begin{align*} h''(t) & = \frac{-10000m'(t)}{50 + m(t)} - 9.8\\ m'(t) & = -0.1 \end{align*}\]
Usa los pasos para explicar esta ecuación diferencial.
- Como se da en el problema,\(h(t)\) es la altura medida en metros,\(m(t)\) es la masa de combustible en kg, y\(t\) es el tiempo medido en segundos. También tenemos\(h'(t)\) sería la velocidad en dirección ascendente en m/s, y\(h''(t)\) es aceleración ascendente del cohete en m/s\(^2\). \(m'(t)\)es el cambio en la masa del combustible para cohetes en kg/s.
- Vemos que la aceleración,\(h''(t)\), está relacionada con\(-10000m'(t)\). Eso significa que a medida que perdemos combustible para cohetes, ganamos aceleración más rápida. También tenemos\(50 + m(t)\) en la parte inferior de la fracción —eso significa que ganamos aceleración más lentamente ya que estamos dividiendo por esta cantidad. También perdemos 9.8 unidades adicionales de aceleración.
La segunda ecuación es mucho más simple —solo dice que estamos perdiendo combustible para cohetes a una tasa de 0.1 kg/s.
- Esto es más complicado, pero estas relaciones sí tienen sentido. Por ejemplo, las 9.8 unidades de aceleración perdidas se deben a la gravedad. Tiene sentido que ganemos aceleración a medida que perdemos combustible, ya que quemamos combustible para hacer que el cohete vaya más rápido. Por último, dividirlo\(50 + m(t)\) es dar cuenta de que cuanto más pesado sea el cohete, más lento acelerará.