5.11: Explorando gráficas de ecuaciones diferenciales

En esta sección nos centraremos en las ecuaciones diferenciales que modelan el cambio climático. Ahora en comparación con los sofisticados modelos climáticos utilizados por los científicos del clima, este es solo un modelo de juguete y no cubre todas las complejidades del clima real. Sin embargo, sí muestra cómo los bucles de retroalimentación pueden amplificar los efectos del cambio climático.

Foto por Ian Barbour

En cuanto a la temperatura global de la tierra, ¿qué gas de efecto invernadero se encarga de capturar la mayor cantidad de calor? Quizá te sorprenda saber que es H\(_2\) O, no CO\(_2\). El vapor de agua es un gas de efecto invernadero más efectivo que el dióxido de carbono, y también hay mucho más. Entonces, ¿por qué no más gente habla de H\(_2\) O en lo que respecta al calentamiento global? Es porque la cantidad de H\(_2\) O no es una fuerza impulsora detrás del cambio climático. El H\(_2\) O depende de la temperatura para empezar. Ya que no se puede aumentar el H\(_2\) O sin aumentar la temperatura, no se puede usar H\(_2\) O para aumentar la temperatura. Sin embargo, eso tampoco significa que H\(_2\) O pueda ser ignorado.

Considera el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales. \(T(t)\)es la temperatura global,\(W(t)\) es la cantidad de agua, y\(C(t)\) la cantidad de carbono.

\[\begin{align*} \frac{d}{dt} T & = c - d T+ e W + f C \\ \frac{d}{dt} W & = a (gT - W) \\ \frac{d}{dt} C & = b \end{align*}\]

Siga los pasos de la sección sobre comprensión de ecuaciones diferenciales para entender lo que dice esta ecuación diferencial

Bien, pasemos por los escalones.

1. No hay unidades listadas en el problema, así que vamos a hacer algunas conjeturas razonables para lo que son. En fin,\(t\) es una medida del tiempo como de costumbre, podríamos decir medido en años después de alguna fecha de inicio. \(T(t)\)es la temperatura global, diremos medida en Celsius. \(W(t)\)es la concentración promedio de vapor de agua globalmente en el momento\(t\), y\(C(t)\) es similar para el CO\(_2\). Vamos a asumir\(W(t)\) y\(C(t)\) se miden en partes por millón, o ppm. Entonces tenemos\(\frac{d}{dt} T\) es lo rápido que la temperatura está cambiando globalmente (en grados Celsius al año),\(\frac{d}{dt} W\) es el cambio de concentración de agua (en ppm por año), y\(\frac{d}{dt} C\) es el cambio en CO\(_2\) (en ppm por año). Tenga en cuenta que si bien “adiviné” las unidades para\(t\),\(W(t)\) y\(C(t)\), las unidades para un derivado están obligadas a partir de esas elecciones, así que no puedo simplemente hacer nuevas unidades por decir\(\frac{d}{dt} W\). Consulte este capítulo sobre la interpretación del derivado para mayor información.

   Entonces, ¿qué son\(a, b, c, d, e, f, g\)? Bueno, hablaremos más de estos en el siguiente paso pero básicamente son parámetros que relacionan cuánto de efecto tienen varias cantidades entre sí.

2. Empecemos con la ecuación más simple:\(\frac{d}{dt} C = b\). Esto es sólo decir que el carbono está aumentando (o disminuyendo) a un ritmo constante\(b\). Esto nos dice lo que\(b\) es también; asumiendo que\(b\) es positivo, es lo rápido que estamos poniendo carbono en la atmósfera.

   La siguiente ecuación más simple es\(\frac{d}{dt} W = a (gT - W)\). Ignorando\(a\) y\(g\) por un segundo, esto nos dice que el vapor de agua aumenta a una velocidad que parece la diferencia entre la temperatura y el vapor de agua. Por lo que una atmósfera caliente y seca tenderá a mojarse, mientras que una atmósfera fresca o húmeda podría significar una diferencia negativa por lo que se mojaría menos. Los valores de\(a\) y\(g\) afectan la severidad de estas tendencias.

   Por último, veamos la ecuación más complicada:\(\frac{d}{dt} T = c - d T+ e W + f C\). Rompamos eso en dos pedazos, empezando por\(c - dT\). Asumiendo que\(c\) es positivo, el\(c\) es básicamente una fuente constante de aumento de temperatura. No obstante, a medida que aumenta la temperatura, vemos que el\(-dT\) término tenderá a enfriar las cosas. Veremos en el siguiente paso lo que realmente significan estos términos. Pero por ahora, pasemos a\(+eW + fC\). Esto es decir que cuanto más grandes\(W\) y\(C\) son, más caliente se pondrá la tierra.

3. Acabamos de terminar de pensar en la ecuación\(\frac{d}{dt} T = c - d T+ e W + f C\), así que empecemos por ahí. Centrémonos en\(c - dT\). ¿Por qué estos términos están influyendo aquí en la temperatura? Bueno, dijimos que\(c\) era una fuente constante de aumento de temperatura — ¿eso suena una campana? ¡Sí, es el sol! Ignorando otros efectos, seguiremos absorbiendo energía solar hasta que estemos más calientes que Venus. Entonces ojalá haya algo que nos enfríe. En esta ecuación es el término\(-dT\). ¿Por qué está aquí este término? Bueno, resulta que cuanto más caliente se ponga la tierra, más energía térmica se irradiará. Generalmente no vemos esta energía con nuestros ojos, porque es infrarroja, pero está ahí. Este\(c - dT\) es el balance energético básico que determina la temperatura de la tierra. Una ecuación similar sería cierta para cualquier planeta.

   No obstante, a esto, le sumamos\(+eW + fC\). ¿Por qué? Así es — el agua y el carbono son gases de efecto invernadero, así que cuanto más\(W\) y\(C\), más caliente tenderá a ponerse la tierra. Ahora, técnicamente, estos en realidad solo están absorbiendo esa energía infrarroja de la tierra, así que en realidad no están separados del\(-dT\) término, sino que por simplicidad los acabo de enumerar como términos separados. Esta es una de las muchas simplificaciones en este modelo que un modelo climático real corregiría. Es importante señalar en este punto que, a pesar de que el carbono es el motor del calentamiento global, en realidad es el agua la que es el mejor gas de efecto invernadero y mucho más prevalente. Debido a esto, el\(e\) término debería ser mucho mayor que el\(f\) término.

   Centrémonos ahora en la\(\frac{d}{dt} W = a (gT - W)\) ecuación. Ya dijimos que esta ecuación implica que el aire caliente y seco tenderán a absorber más agua, mientras que el aire frío y húmedo perdería agua. Esto tiene sentido ya que el aire caliente solo retiene más agua. Además, el aire caliente calentará los océanos provocando la evaporación.

   Por último, ¿por qué tenemos la ecuación\(\frac{d}{dt} C = b\)? Bueno, la cantidad de carbono en la atmósfera es un sistema muy complejo. Pero por simplicidad podemos decir que está aumentando a un ritmo constante\(b\), debido principalmente a que la humanidad quema combustibles fósiles.

Bien, ahora entendemos algunas cosas de estas ecuaciones diferenciales, ¿qué nos dicen? Para ello, recurriremos a las computadoras para crear algunas gráficas para nosotros. Estas gráficas son todas soluciones a las ecuaciones diferenciales. Y aunque estos gráficos no representarán perfectamente la realidad, nos mostrarán algunos aspectos del cambio climático que quizás no te des cuenta. Utilizaremos este sitio web que grafica la solución para nosotros. Se ve así:

Echemos un vistazo más de cerca a esa gráfica. Tenga en cuenta que tenemos\(a = 0\)\(b = 0.001\),\(c = 0.01\),\(d = 0.1\),\(e = 0.1\), y\(f = 0.004\). Observe que\(f\) es mucho más pequeño que\(e\), reflejando cuánto menos efecto tiene el carbono en comparación con el agua.

Bien, todavía no pasa mucho. Pero puedes empezar a familiarizarte con la gráfica. Primero, notará que la temperatura global, el agua y los niveles de carbono están por todas partes\(1\). Tenga en cuenta que no significa que la temperatura sea\(1^\circ\) C, o que el Carbono sea\(1\) ppm. En cambio, esto representa algún tipo de valor “relativo” de estas cantidades en comparación con lo normal. Esto facilita poner estas cosas en la misma gráfica. Entonces\(1\) representa normal,\(2\) sería dos veces normal,\(0.5\) sería la mitad de lo normal, y así sucesivamente.

La cantidad de carbono en la atmósfera relacionada con el\(b\) valor. Entonces si aumento esto de\(0.001\) a aproximadamente\(0.02\), vemos el cambio en la gráfica de abajo.

Ahora el carbono está despegando, pero no le está pasando mucho a la temperatura global. ¿Por qué es esto? Bueno, fíjate que pusimos\(a = 0\). Esto tiene el efecto de mantener constante el valor del agua, aunque en realidad aumentaría a medida que aumenta la temperatura. Entonces veamos qué pasa cuando establecemos\(a = 0.1\):

Ahora podemos ver cómo la temperatura aumenta el vapor de agua, que además aumenta la temperatura, lo que aumenta aún más el vapor de agua, y así sucesivamente. Este es un ejemplo clásico de un ciclo de retroalimentación climática. El resultado final es una temperatura global mucho mayor con el mismo incremento básico de carbono. Esto es consistente con modelos más avanzados, que muestran que el agua duplica aproximadamente el efecto del carbono. Tenga en cuenta que no espero un aumento del 25% en la temperatura en los próximos\(100\) años —esto es exagerado para ilustrar las relaciones.
Un par de cosas más: Supongamos que ya no aumentamos el carbono, pero aún así tenemos ese efecto de vapor de agua. ¿Qué pasa? Aquí, me he ido\(a\) en\(0.1\), pero reducido\(b\) a\(0\).

Claramente, esto es mucho mejor que cuando estábamos aumentando el carbono tan rápido. No obstante, observe que todavía hay un aumento en la temperatura. Eso se debe a que estos bucles de retroalimentación continúan operando incluso después de que dejamos de aumentar el carbono. Como resultado, los científicos esperan que las temperaturas globales suban durante varias décadas incluso si logramos convertirnos en carbono neutros como planeta.

Por último, el peor de los casos es el siguiente. Tiene los mismos ajustes que el ejemplo anterior, solo con\(e\) (el efecto del vapor de agua) aumentado 10%

Este es el “efecto invernadero desbocado”, donde un bucle de retroalimentación se sale de control, e incluso sin carbono adicional la temperatura aumenta hasta el punto en que los mares hierven. La mayoría de los científicos piensan que esto no es posible para la tierra ni siquiera con grandes cantidades de carbono adicional, pero con las condiciones adecuadas este tipo de cosas es posible. Los científicos piensan que esto es lo que le pasó a Venus hace cientos de millones de años.

¡Por favor, siéntase libre de jugar con la modelo usted mismo!