5.12: Proyecto- Modelado con Ecuaciones Diferenciales

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Propósito: Introducir al concepto de modelado con ecuaciones diferenciales

En este proyecto, elegirás un conocido modelo de ecuaciones diferenciales de biología, intentarás entender las ecuaciones diferenciales y explorarás soluciones gráficas.

Elija uno de los siguientes temas:

Modelo de ranavirus SIR. El ranavirus es una enfermedad que afecta a reptiles, anfibios y peces; “Se cree que el ranavirus es la causa de varios eventos recientes de mortalidad masiva en poblaciones de anfibios en todo el mundo” (enlace). Dada una población, dejar\(S(t)\) ser el número de ranas suseptibles al ranavirus, dejar\(I(t)\) ser el número de ranas actualmente infectadas con la enfermedad, y dejar\(R(t)\) ser el número de ranas que han muerto. Tenga en cuenta que en cualquier momento,\(S(t) + I(t) + R(t)\) es el igual a la población total.Entonces
\[\begin{align*} \frac{dS}{dt} & = -a S(t) \cdot I(t) \\ \frac{dI}{dt} & = a S(t) \cdot I(t) - b I(t) \\ \frac{dR}{dt} & = b I(t) \end{align*}\]

Aquí,\(a\) y\(b\) se desconocen parámetros que afectan la dinámica de este problema.

Haga clic aquí para ver el grafo DifFEQ para el modelo Ranavirus SIR.
Ecuaciones de Lotka-Volterra para modelar simple la dinámica de depredadores y presas, como las poblaciones de alces y lobos en el Parque Nacional Isle Royale (enlace). Dada\(M\) es una población de presas (alces), y\(W\) es la población de depredadores (lobos), tenemos
\[\begin{align*} \frac{dM}{dt} & = a M(t) - b M(t) \cdot W(t) \\ \frac{dW}{dt} & = - c W(t) + d M(t) \cdot W(t) \end{align*}\]

Aquí,\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) son constantes desconocidas, pero son parámetros que afectan la interacción entre las dos especies.

Haga clic aquí para ver el gráfico de DifFEQ para las ecuaciones de Lotka-Volterra.
Concurso de protozoos: Paramecium aurelia y Paramecium caudatum son dos especies de protozoos unicelulares, los cuales fueron estudiados por G.F. Gause cuando formuló su famoso principio de exclusión de competencia (enlace). Dejar\(A(t)\) ser miligramos de Paramecium aurelia, y\(C(t)\) ser miligramos de Paramecium caudatum. Supongamos\(A\) y\(C\) satisfaga:
\[\begin{align*} \frac{dA}{dt} & = a A(t) - b(A(t) + C(t)) A(t) \\ \frac{dC}{dt} & = c C(t) - d(A(t) + C(t)) C(t) \end{align*}\]

Aquí,\(a, b, c, d\) están los parámetros que afectan a este problema.

Haga clic aquí para ver el gráfico de DifFEQ para las ecuaciones de Protozoos.

Una vez que hayas elegido un tema, esto es lo que debes hacer:

Siga los pasos de la sección sobre comprensión de ecuaciones diferenciales para entender lo que dice la ecuación diferencial.
Utilizando la página web “DiFFEQ” suministrada, explore soluciones gráficas a la ecuación diferencial.
1. ¿Qué representan los parámetros\(a\)\(b\), etc.?
2. ¿Qué configuración para los parámetros crean gráficos de aspecto realista?
3. ¿Cómo se puede “romper” el modelo y crear gráficas poco realistas?
4. ¿Cuáles son algunas formas diferentes de crear un resultado relativamente bueno (es decir, pocas personas padecen la enfermedad)?
Intenta pensar en algo que este sencillo modelo no toma en cuenta.
1. ¿Cómo se podrían modificar las ecuaciones diferenciales para dar cuenta de este factor?
2. Usando la página web de DifFEQ, explore soluciones gráficas para sus nuevas ecuaciones diferenciales. ¿Sientes que tuviste éxito en implementar el nuevo factor? ¿Qué lecciones se pueden aprender de las gráficas?