6.1: Introducción a Integrales

Supongamos que los trabajadores de la construcción necesitaban eliminar la suciedad en un cerro para poder recorrer una carretera a través de ella. La franja que se necesita excavar tiene\(10\) metros de ancho, y el cerro tiene forma de parábola. Aquí hay una foto:

¿Cuánta suciedad hay que eliminar? ¿Qué necesitamos saber para resolver el problema?

Así es, necesitamos saber el volumen de la región que estamos excavando. Aquí hay una imagen de la región que estamos eliminando:

Tal objeto se llama “prisma” — es básicamente una forma bidimensional a la que se le ha dado un poco de grosor. Encontrar el volumen implica encontrar el área de la forma multiplicada por su grosor:

En este caso, el área está etiquetada\(A\) en el diagrama, y el ancho es\(10\). Entonces la cantidad de suciedad que se está arrastrando es\(10A\). Pero ¿qué es? ¿Cómo lo encontramos? Ahí es donde entra la integración.

\(A\)es una forma parecida a una parábola, pero digamos que está delimitada en la parte superior por la función. Así obtienes una imagen como esta:

¿Cómo encontramos el área de una forma curva como esta? Bueno, no sabemos cómo encontrar el área de una forma curva arbitraria. Pero SÍ sabemos encontrar el área de un rectángulo: es altura veces ancho. Entonces usemos rectángulos:

Entonces aún no es una gran aproximación, pero tengan cuidado conmigo. El área de las cajas sí aproxima al área bajo la curva en cierta medida. Pero, ¿cómo averiguamos el área de los rectángulos? Bueno, eso es altura veces ancho, y podemos ver que el ancho de cada caja es\(10\). Entonces solo necesitamos la altura de cada rectángulo.

Cuando dibujé cada rectángulo, lo hice para que el lado derecho del rectángulo fuera exactamente la altura de la función. ¡La altura de la función es algo que podemos encontrar! Eso es porque sabemos que el cerro sigue la función\(x = 10\) dentro de nuestra función. Entonces la altura es. La altura del segundo rectángulo es. El tercer rectángulo tiene altura, el cuarto rectángulo tiene altura y el quinto tiene altura.

Si tomamos estas alturas y multiplicamos por el ancho, obtenemos el área de cada rectángulo.

Sumando toda el área de todos los rectángulos, tenemos\(32 + 48 + 48 + 32 + 0 = 160\) m\(^2\). Esta es una aproximación del área.

Ahora podrías decir que esta aproximación podría no ser muy buena, y tienes razón. Ciertamente da la idea aproximada, que podría ser todo lo que necesitamos. Pero si necesitamos una respuesta muy precisa,\(160\) no es suficiente. Entonces, ¿qué podemos hacer? ¡Usemos más rectángulos!

La idea de usar rectángulos como este para obtener mejores y mejores aproximaciones de área se llama una Suma de Riemann. Ahora, podríamos encontrar la altura y anchura de cada uno de esos rectángulos, pero sería un poco tedioso. Dado que los matemáticos son perezosos, muchas veces tenemos una computadora que hace el trabajo por nosotros. Por ejemplo, el sitio web “MathWorld” tiene una calculadora de suma de Riemann: http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html. Usando esta calculadora, podemos ver que al usar\(20\) rectángulos, la suma se vuelve\(166.25\). Esto se llama integración numérica (Si usa cada vez más rectángulos, en realidad puede encontrar una respuesta muy precisa de\(166.667\) — así es como el programa computa el “área real”. Sin embargo, esto sigue siendo una aproximación, no un valor exacto.)

¿Qué tiene esto que ver con el problema de la suciedad? Recuerden, estábamos tratando de encontrar el volumen de esta porción:

Lo que hemos hecho con las sumas de Riemann es encontrar\(A = 166.667\). Para encontrar cuánta suciedad se arrastra, solo necesitamos multiplicar por el ancho del prisma, que es\(10\) m. De ahí que los metros\(1666.67\) cúbicos de tierra deben ser arrastrados.