6.2: Técnicas de integración numérica

Este proceso de encontrar el área debajo de una curva se usa para mucho más que encontrar cuánta suciedad necesita ser arrastrada; de hecho, es vital para muchos problemas de física, ingeniería e incluso surge en problemas de ciencias ambientales y biología. Hagamos algunos ejemplos más para tener una idea de cómo funciona e introducir la notación para ello.

Dada una función\(f(x)\), el área bajo la curva de\(x = a\) a\(x = b\) se ve algo así:

Esta área es denotada por los matemáticos como

\(\int_a^b f(x)dx.\)

Aquí, los\(a\) e\(b\) indicamos los límites izquierdo y derecho de la zona que nos interesa. El\(\int\) y el se\(dx\) puede pensar en como solo parte de la notación por ahora, aunque se relacionan con cómo los matemáticos escriben sumas finitas (siendo la integral una especie de suma infinita). A veces a esto se le llama integral definida para separarla de una integral indefinida. Una integral definida es un área bajo una curva, y la integral indefinida es una anti-derivada.

Una extraña peculiarización de integrales definitivas como área es que a veces el área se vuelve negativa! Esto sucede siempre que la función cae por debajo del\(x\) eje -axis.

Aquí hay algunos ejemplos.

Riemann Suma I

Aproximado\(\int_4^{14} \frac{1}{16}x^2dx\) usando cinco rectángulos.

Primero, si graficamos esta función, vemos que se ve algo así como (no a escala)

Aproximaremos el área en este caso con cinco rectángulos:

A esto se le llama la “regla del rectángulo derecho”, ya que es la parte superior derecha de los rectángulos que coinciden con la altura de la función.

Solo necesitamos encontrar las áreas de estos rectángulos, sumarlas, y estar hechas. Vemos el ancho de cada rectángulo es\(2\), ya que la distancia de\(a\) a\(b\) es\(10\), y hay\(5\) rectángulos. Las alturas se pueden encontrar enchufando\(x = 6, 8, 10, 12, 14\) a la función. Vemos que las alturas son\(2.25 + 4 + 6.25 + 9 + 12.25 = 33.75\).

Lista de fórmulas de integración numérica

Podemos escribir una fórmula para aproximar con\(n\) rectángulos u otras formas. Dejar\(\Delta x\) ser el ancho de las formas, y\(x_0 = a\),,\(x_1\),\(x_2\),\(x_3\),\(\ldots\)\(x_{n-1}\),\(x_n = b\) ser los valores a lo largo del\(x\) eje. Parece lo siguiente para\(n = 4\):

Lo que sigue son diversos métodos para aproximar el área. Primero, hay tres aproximaciones basadas en rectángulos:

\(n\)aproximación del rectángulo izquierdo =\(\Delta x( f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{n-1}))\)

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\(n\)aproximación del rectángulo derecho =\(\Delta x( f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + \cdots + f(x_{n}))\)

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\(n\)aproximación de rectángulo de punto medio =\(\Delta x\left( f\left( \frac{x_0 + x_1}{2} \right) + \cdots + f\left( \frac{x_{n-1} + x_n}{2} \right) \right)\)

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Si en cambio usamos trapecios para aproximar el área, lo cual es más preciso, obtenemos esta fórmula

\(n\)aproximación trapezoidal =\(\frac{\Delta x}{2}( f(x_0) + 2 f(x_1) + 2 f(x_2) + \cdots + 2 f(x_{n-1}) + f(x_n))\)

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Por último, si\(n\) es par, entonces podemos aproximarnos con curvas cuadráticas, lo cual es aún más preciso. Tenemos

La regla de Simpson =\(\frac{\Delta x}{3}( f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + 4 f(x_3) + \cdots + 2 f(x_{n-2}) + 4 f(x_{n-1}) + f(x_n))\)

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Aquí hay un ejemplo.

Ejemplo de técnicas de integración numérica

Use rectángulos izquierdos, trapecios y la regla de Simpson para aproximarse\(\int_{0}^8 \frac{1}{x + 1}\). En cada caso uso\(n = 4\).

Si\(n = 4\), entonces necesitaremos saber\(f(x_0)\),,\(f(x_1)\)\(f(x_2)\),\(f(x_3)\), y\(f(x_4)\). Los cinco puntos\(x_0, \ldots, x_4\) están espaciados uniformemente en el intervalo de\(0\) a\(8\). Para encontrar el espaciado, tomamos\(\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{8 - 0}{4} = 2\). Esto hace\(\Delta x = 2\), y por lo tanto\(x_0 = 0\)\(x_1 = 2\),\(x_2 = 4\),,\(x_3 = 6\), y\(x_4 = 8\). Entonces podemos calcular cada\(f\) valor. Por ejemplo,\(f(x_3) = f(6) = \frac{1}{6 + 1} = \frac{1}{7}\). Los otros\(f\) valores son

\(f(x_0) = 1, \quad f(x_1) = \frac{1}{3}, \quad f(x_2) = \frac{1}{5}, \quad f(x_3) = \frac{1}{7}, \quad f(x_4) = \frac{1}{9}.\)

Ahora sólo tenemos que usar las diversas fórmulas. Usando rectángulos, tenemos

\[\begin{align*} \int_0^8 \frac{1}{x+1}& \approx \Delta x( f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)) \\ & = 2\left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} \right) \\ & = 2 \left( \frac{176}{105} \right) \\ & = \frac{352}{105} \approx \boxed{3.35} \end{align*}\]

Por cierto, por favor use una calculadora para ayudar con estos cálculos, ¡son muy tediosos de hacer a mano!

Usando trapecios, tenemos

\[\begin{align*} \int_0^8 \frac{1}{x+1}& \approx \frac{\Delta x}{2}( f(x_0) + 2 f(x_1) + 2 f(x_2) + 2 f(x_3) + f(x_4)) \\ & = \frac{2}{2} \left( 1 + \frac{2}{3} + \frac{2}{5} + \frac{2}{7} + \frac{1}{9} \right) \\ & = 1 \left( \frac{776}{315} \right) \\ & = \frac{776}{315} \approx \boxed{2.46} \end{align*}\]

Usando la regla de Simpson (que se aproxima con las parábolas),

\[\begin{align*} \int_0^8 \frac{1}{x+1}& \approx \frac{\Delta x}{3}( f(x_0) + 4 f(x_1) + 2 f(x_2) + 4 f(x_3) + f(x_4)) \\ & = \frac{2}{3} \left( 1 + \frac{4}{3} + \frac{2}{5} + \frac{4}{7} + \frac{1}{9} \right) \\ & = \frac{2}{3} \left( \frac{1076}{315} \right) \\ & = \frac{2152}{945} \approx \boxed{2.28} \end{align*}\]

(Por cierto, el valor exacto es\(\ln(9) \approx 2.20\))