6.4: Teorema Fundamental del Cálculo
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En las dos secciones anteriores, vimos que el área bajo una curva se puede encontrar usando cada vez más rectángulos. Sin embargo, este proceso puede ser tedioso y poco esclarecedor. Existe un teorema poderoso que nos permite calcular el área bajo la curva rápidamente en muchos casos.
Dada una función\(f(x)\) donde\(F(x)\) es un anti-derivado de\(f(x)\), tenemos
\(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)
Este es un teorema realmente notable. Al principio se ruboriza, encontrar el área bajo una curva y encontrar la pendiente de una línea tangente no tienen nada en común. Lo que dice este teorema es que éstas están íntimamente ligadas, y de hecho son exactamente operaciones inversas. Es decir, uno deshace al otro. Además, esto da una respuesta exacta a problemas integrales, algo que nos eludió en los apartados anteriores.
Por ejemplo, digamos que queríamos resolver lo siguiente:
Para utilizar el teorema fundamental, necesitamos un anti-derivado de\(f(x) = x^2\). El anti-derivado en este caso, por la regla de potencia inversa, es\(F(b) - F(a)\), que es
\[\begin{align*} \int_2^5 x^2dx & = \frac{5^3}{3} - \frac{2^3}{3} \\ & = \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \\ & = \frac{117}{3} \\ & = \boxed{39} \end{align*}\]
El área bajo la curva es\(39\). Tenga en cuenta que a veces\(F(b) - F(a)\) se denota\(F(x) \Big|_a^b.\) Veremos eso en los siguientes ejemplos.
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Encuentra\(\int_{-2}^1 3x^2dx\).
Para resolver esto, encontramos el anti-derivado de\(3x^2\), y luego tapamos los puntos finales y restamos el resultado. Primero tenga en cuenta que\(\int 3x^2dx = x^3 + C\).
\[\begin{align*} \int_{-2}^1 3x^2dx & = x^3 + C \Big|_{-2}^1 \\ & = (1^3 + C) - ((-2)^3 + C) \\ & = 1 + C - (-8 + C) \\ & = 1 + C + 8 - C \\ & = \boxed{9} \end{align*}\]
¿Observe cómo cancelan las constantes de integración? Por problemas integrales definidos, podemos ignorar esencialmente la constante de integración por esta razón.
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Encuentra\(\int_0^6 \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3} xdx\).
Nos integramos y luego evaluamos nuevamente.
\[\begin{align*} \int_0^6 \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3} xdx & = \frac{1}{2} \int_0^6 x^2 + \frac{1}{3} \int_0^6 xdx \\ & = \left( \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} \frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^6 \\ & = \left( \frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{6} \right) \Big|_0^6 \\ & = \frac{x^3 + x^2}{6} \Big|_0^6 \\ & = \left( \frac{6^3 + 6^2}{6} \right) - \left( \frac{0^3 + 0^2}{6} \right) \\ & = \frac{252}{6} - \frac{0}{6} \\ & = \boxed{42}. \end{align*}\]
¿Por qué funciona el teorema fundamental del cálculo? Como hemos visto antes, a veces es más fácil de ver en términos de posición versus velocidad. Dejar\(F(x)\) ser la función de posición de un carro, dejar\(f(x)\) ser la función de velocidad del carro, y dejar\(x\) ser el tiempo en horas. Por simplicidad, digamos que\(f(x)\) es constante de\(x = 2\) a\(x = 6\):
Entonces, si esta es la función de velocidad, ¿qué le está pasando a la función de posición? Como hemos visto, solo necesitamos multiplicar: es el\(10 \frac{\text{miles}}{\text{hour}}\) multiplicado por las cuatro horas, da un cambio de 40 millas. Eso significa que\(F(x)\) se ve algo así:
Tenga en cuenta que no necesita comenzar en\(5\) millas, pero esa es una posibilidad.
Ahora veamos de nuevo el teorema fundamental:
Dada una función\(f(x)\) donde\(F(x)\) es un anti-derivado de\(f(x)\), tenemos
\(\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)\)
¿Ves por qué funcionó el teorema fundamental en este caso? Vemos ver\(F(b) - F(a)\) es solo el cambio de posición entre hora\(2\) y hora\(6\), que es\(45-5\) o\(40\) millas. ¿Qué es\(\int_a^b f(x)dx\)? Bueno, esa es el área bajo la curva de velocidad. ¿Cómo encuentras área? Así es, ¡es multiplicación! En particular, es\(10 \frac{\text{miles}}{\text{hour}}\) veces las cuatro horas, nuevamente dando un cambio de\(40\) millas.
Se puede ver como tanto el área bajo la curva como los antiderivados bajan al mismo cálculo básico. Por eso el teorema fundamental del cálculo puede afirmar que son lo mismo.
Si la función de velocidad es más complicada, esto sigue funcionando. Podemos pensar en una función más complicada como una combinación de estas funciones constantes.