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7.5: Aplicaciones Integrales

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    116772
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    En los problemas derivados de la historia, a menudo se le da una función que describe la cantidad de algo, y se le pide que encuentre la tasa de cambio. Con problemas integrales de historia, lo contrario suele ser cierto. Se le dará una función que describe la tasa de cambio a lo largo del tiempo, y se le pedirá que obtenga la cantidad.

    En\(t = 0\) segundos de tiempo, el tren comienza con\(0\) metros de velocidad por segundo, y eventualmente alcanza una velocidad de\(40\) metros por segundo en\(t = 800\) segundos de tiempo. ¿Qué tan lejos ha ido de\(t = 0\) a\(t = 800\)?

    Discusión: Sabemos que la distancia es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo. Entonces, si podemos averiguar la velocidad del tren, podemos simplemente multiplicar por\(800\) segundos y obtener una respuesta. Así que aquí hay algunas respuestas potenciales:

    ¿Por qué no podemos simplemente ir con\(40\) metros por segundo? Porque el tren “eventualmente” sube a\(40\) metros por segundo no significa que iba\(40\) metros por segundo todo el tiempo — la mayor parte del viaje pudo haber ido más lento. Entonces la respuesta de\(32,000\) metros (o\(32\) kilómetros) es un límite superior, pero no es la respuesta final. Necesitamos más información.

    (Información adicional) La velocidad del tren viene dada por la función\(f(t) = \sqrt{2t}\) metros por segundo.

    Lo que esta información adicional nos está diciendo es que no hay una sola velocidad que podamos usar y multiplicar por los\(800\) segundos, sino que la velocidad está cambiando todo el tiempo así que hay muchas velocidades. Dado que el tren va de\(0\) a\(40\) metros por segundo, ¿podemos simplemente usar el “promedio” que es\(20\) metros por segundo? Bueno, veamos las velocidades a lo largo del tiempo:

    Se puede ver que el tren pasa mucho más tiempo por encima de los 20 m/s que por debajo, de manera que el tren probablemente va más allá de\(800 \cdot 20 = 16000\) metros (\(16\)km).

    ¿Qué pasa con la velocidad en el tiempo\(t = 400\) que es\(28.3\) m/s? ¿Podemos usar este valor? Bueno, veamos qué significaría eso visualmente. Eso es básicamente tratar la velocidad en el punto medio como si fuera una velocidad constante:

    Entonces, si usamos una velocidad de\(28.3\) metros por segundo, eso daría una distancia final de\(800 \cdot 28.3 \approx 22600\) metros (22.6 km). Pero incluso esto no está del todo bien. El tren pasa igual cantidad de tiempo más lento que\(28.3\) y más rápido que\(28.3\), pero la región lenta (de vez\(0\) en cuando\(400\)) es más lenta que la región rápida (de vez\(400\) en cuando\(800\)) es rápida. No cancelan exactamente, así que probablemente el tren no llegue del todo al\(22.6\) km. De alguna manera, en cambio, necesitamos tener en cuenta la velocidad del tren a cada instante. ¿Te suena familiar? Aquí es donde va a llegar una integral. Básicamente si tomamos la velocidad del tren en un marco de tiempo pequeño, y multiplicamos por el tiempo que va a esa velocidad, se obtiene una imagen que se ve así:

    ¡Esta es, por supuesto, solo el área bajo la curva! Entonces usamos el teorema fundamental del cálculo para encontrar la respuesta real:

    Un chequeo rápido para ver si esto es razonable: estamos diciendo que el tren pasó 21.3 km en esos 13 minutos. Parece un poco rápido para un tren pero no imposible. Es menos que nuestro máximo de 32 km, pero más que la suposición de 16 km que pensamos que vencería. ¡Parece razonable!


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