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# 7.7: Integración por Partes

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Recuérdese la regla del producto:

$$\cfrac{d}{dx} f \cdot g = f g' + g f'$$

Si usamos$$u$$ y$$v$$ en lugar de$$f$$ y$$g$$, esto se convierte

$$\frac{d}{dx} u \cdot v = u v' + v u'.$$

Ahora integremos ambos lados y resolvamos$$u v'$$

\begin{align*} \frac{d}{dx} u \cdot v & = u v' + v u' \\ \int \frac{d}{dx} uvdx & = \int u v' + v u'dx \\ uv & = \int u v'dx + \int v u' dx \\ uv - \int v u'dx & = \int u v'dx, \end{align*}

Volteando esto, tenemos la regla inversa del producto, también llamada integración por partes.

$$\boxed{\int u v'dx = uv - \int u' v}$$

La parte complicada es qué usar como$$u$$, y qué usar como$$v'$$. Aquí hay algunos pasos y pautas a seguir, pero se necesita algo de construcción de intuición antes de saber cómo usarlo a veces, y algunas integrales de productos no se pueden resolver con la integración por partes.

Integración por partes:
1. Piense en su integral original como un producto. Identificar una función que sea fácil de integrar y establecerla igual a$$v'$$. La otra función debería ser algo que simplifique muy bien una vez que tomes la derivada.
2. Buscar$$u'$$ (tomar la derivada de$$u$$) y encontrar$$v$$ (integrar$$v'$$)
3. Usando la sustitución, conecte los valores para$$u$$$$v$$,$$v$$ y$$u'$$ en la fórmula de integración por partes.
4. Esto te da otra integral — ojalá esta sea más fácil. Si no, es posible que necesite usar$$u$$ -sustitución, o incluso integración por partes por segunda vez.

## Integración por partes

Encuentra$$\int_0^2 x e^xdx$$.

Sigamos los pasos de integración por partes:

1. La función que estamos integrando es$$x e^x$$, que es un producto en dos piezas:$$x$$ y$$e^x$$. Si bien$$x$$ es fácil de integrar,$$e^x$$ es aún más agradable. Empezaremos con$$v' = e^x$$, y$$u = x$$.
2. Vemos$$u' = \frac{d}{dx} x = 1$$, y$$v = \int e^xdx = e^x$$ (no hace falta que te preocupes por el$$+ C$$ por ahora).
3. Usando la fórmula con$$u = x$$$$u' = 1$$,$$v = e^x$$,, y$$v' = e^x$$, tenemos

\begin{align*} \int_0^2 x e^xdx & = uv - \int u' vdx \\ & = (x)(e^x) - \int_0^2 (1)(e^x)dx \\ & = x e^x - \int_0^2 e^xdx \\ \end{align*}

4. Ahora tenemos reducir el problema a uno más fácil:$$\int e^xdx$$. Seguimos:

\begin{align*} \int_0^2 x e^xdx & = x e^x - \int_0^2 e^xdx \\ & = x e^x - e^x \Big|_0^2 \\ & = (2 e^2 - e^2) - (0e^0 - e^0) \\ & = (e^2) - (0 - 1) \\ & = e^2 + 1 \end{align*}

Entonces la respuesta es$$e^2 + 1 \approx \boxed{8.389}$$.

Observe si el problema contiene una$$x$$ variable, entonces esta suele ser una buena opción para$$u$$ ya que desaparecerá una vez que tome la derivada$$u'$$.

## Integración por partes

Cómputos$$\int (2x + 3) \cos(x)dx$$.

Seguimos los pasos de integración por partes.

1. Set$$u = (2x + 3)$$, lo que simplifica muy bien con el derivado, y deja$$v' = \cos(x)$$ que sea fácil de integrar.
2. Tenemos$$u' = 2$$, y$$v = \sin(x)$$.
3. Aplicando la fórmula, tenemos

\begin{align*} \int (2x + 3) \cos(x)dx & = uv - \int u' vdx \\ & = (2x + 3) \sin(x) - \int 2 \sin(x)dx \\ \end{align*}

4. Continuando...

\begin{align*} \int (2x + 3) \cos(x)dx & = (2x + 3) \sin(x) - \int 2 \sin(x)dx \\ & = (2x + 3) \sin(x) - 2 (-\cos(x)) \\ & = \boxed{(2x + 3) \sin(x) + 2 \cos(x) + C}. \end{align*}

## Integración por partes

Utilice la integración por partes para encontrar$$\int x \sqrt{2x + 1}dx$$

Este implicará la integración por partes y un atajo de$$u$$ -sustitución. Estos son los pasos de integración por partes:

1. Podemos integrar cualquiera de las funciones, pero al igual que en el caso anterior es mejor configurarlo$$u = x$$. Esto deja$$v' = \sqrt{2x + 1}$$.
2. Vemos$$u' = \frac{d}{dx} x = 1$$. $$v = \int \sqrt{2x + 1}dx$$El aviso es un poco más difícil, aunque este es un atajo$$u$$ -sub. Vamos a escribirlo como$$\frac{1}{m}$$ factor desde el atajo$$u$$ -sub, tenemos

3. Aplicando la fórmula con$$u = x$$$$u' = 1$$,$$v' = \sqrt{2x + 1}$$,, vemos

En este punto, haciendo el problema integral de$$u$$ -sub atajo. Reloj.

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