7.7: Integración por Partes

Recuérdese la regla del producto:

\(\cfrac{d}{dx} f \cdot g = f g' + g f'\)

Si usamos\(u\) y\(v\) en lugar de\(f\) y\(g\), esto se convierte

\(\frac{d}{dx} u \cdot v = u v' + v u'.\)

Ahora integremos ambos lados y resolvamos\(u v'\)

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} u \cdot v & = u v' + v u' \\ \int \frac{d}{dx} uvdx & = \int u v' + v u'dx \\ uv & = \int u v'dx + \int v u' dx \\ uv - \int v u'dx & = \int u v'dx, \end{align*}\]

Volteando esto, tenemos la regla inversa del producto, también llamada integración por partes.

\(\boxed{\int u v'dx = uv - \int u' v}\)

La parte complicada es qué usar como\(u\), y qué usar como\(v'\). Aquí hay algunos pasos y pautas a seguir, pero se necesita algo de construcción de intuición antes de saber cómo usarlo a veces, y algunas integrales de productos no se pueden resolver con la integración por partes.

Integración por partes:

1. Piense en su integral original como un producto. Identificar una función que sea fácil de integrar y establecerla igual a\(v'\). La otra función debería ser algo que simplifique muy bien una vez que tomes la derivada.
2. Buscar\(u'\) (tomar la derivada de\(u\)) y encontrar\(v\) (integrar\(v'\))
3. Usando la sustitución, conecte los valores para\(u\)\(v\),\(v\) y\(u'\) en la fórmula de integración por partes.
4. Esto te da otra integral — ojalá esta sea más fácil. Si no, es posible que necesite usar\(u\) -sustitución, o incluso integración por partes por segunda vez.

Integración por partes

Encuentra\(\int_0^2 x e^xdx\).

Sigamos los pasos de integración por partes:

1. La función que estamos integrando es\(x e^x\), que es un producto en dos piezas:\(x\) y\(e^x\). Si bien\(x\) es fácil de integrar,\(e^x\) es aún más agradable. Empezaremos con\(v' = e^x\), y\(u = x\).
2. Vemos\(u' = \frac{d}{dx} x = 1\), y\(v = \int e^xdx = e^x\) (no hace falta que te preocupes por el\(+ C\) por ahora).
3. Usando la fórmula con\(u = x\)\(u' = 1\),\(v = e^x\),, y\(v' = e^x\), tenemos

   \[\begin{align*} \int_0^2 x e^xdx & = uv - \int u' vdx \\ & = (x)(e^x) - \int_0^2 (1)(e^x)dx \\ & = x e^x - \int_0^2 e^xdx \\ \end{align*}\]

4. Ahora tenemos reducir el problema a uno más fácil:\(\int e^xdx\). Seguimos:

   \[\begin{align*} \int_0^2 x e^xdx & = x e^x - \int_0^2 e^xdx \\ & = x e^x - e^x \Big|_0^2 \\ & = (2 e^2 - e^2) - (0e^0 - e^0) \\ & = (e^2) - (0 - 1) \\ & = e^2 + 1 \end{align*}\]

   Entonces la respuesta es\(e^2 + 1 \approx \boxed{8.389}\).

Observe si el problema contiene una\(x\) variable, entonces esta suele ser una buena opción para\(u\) ya que desaparecerá una vez que tome la derivada\(u'\).

Integración por partes

Cómputos\(\int (2x + 3) \cos(x)dx\).

Seguimos los pasos de integración por partes.

1. Set\(u = (2x + 3)\), lo que simplifica muy bien con el derivado, y deja\(v' = \cos(x)\) que sea fácil de integrar.
2. Tenemos\(u' = 2\), y\(v = \sin(x)\).
3. Aplicando la fórmula, tenemos

   \[\begin{align*} \int (2x + 3) \cos(x)dx & = uv - \int u' vdx \\ & = (2x + 3) \sin(x) - \int 2 \sin(x)dx \\ \end{align*}\]

4. Continuando...

   \[\begin{align*} \int (2x + 3) \cos(x)dx & = (2x + 3) \sin(x) - \int 2 \sin(x)dx \\ & = (2x + 3) \sin(x) - 2 (-\cos(x)) \\ & = \boxed{(2x + 3) \sin(x) + 2 \cos(x) + C}. \end{align*}\]

Integración por partes

Utilice la integración por partes para encontrar\(\int x \sqrt{2x + 1}dx\)

Este implicará la integración por partes y un atajo de\(u\) -sustitución. Estos son los pasos de integración por partes:

1. Podemos integrar cualquiera de las funciones, pero al igual que en el caso anterior es mejor configurarlo\(u = x\). Esto deja\(v' = \sqrt{2x + 1}\).
2. Vemos\(u' = \frac{d}{dx} x = 1\). \(v = \int \sqrt{2x + 1}dx\)El aviso es un poco más difícil, aunque este es un atajo\(u\) -sub. Vamos a escribirlo como\(\frac{1}{m}\) factor desde el atajo\(u\) -sub, tenemos

   

3. Aplicando la fórmula con\(u = x\)\(u' = 1\),\(v' = \sqrt{2x + 1}\),, vemos

   

   En este punto, haciendo el problema integral de\(u\) -sub atajo. Reloj.