1.3: Ecuaciones de líneas en 2d

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Una línea en dos dimensiones se puede especificar dando un punto$(x_0,y_0)$ en la línea y un vector$\textbf{d}=\left \langle d_x,d_y \right \rangle $ cuya dirección es paralela a la línea.

$twodLine.svg$

Si$(x,y)$ hay algún punto en la línea, entonces el vector$\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle \text{,}$ cuya cola está en$(x_0,y_0)$ y cuya cabeza está en$(x,y)\text{,}$ debe ser paralelo$\textbf{d}$ y por lo tanto debe ser un múltiplo escalar de$\textbf{d}\text{.}$ So

Ecuación 1.3.1. Ecuaciones paramétricas

\[\begin{gather*} \left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle =t \textbf{d} \end{gather*}\]

o, escribiendo en componentes,

\[\begin{align*} x-x_0&=t d_x\\ y-y_0&=t d_y \end{align*}\]

Estas se llaman las ecuaciones paramétricas de la línea, porque contienen un parámetro libre, es decir$t\text{.}$ As$t$ varía de$-\infty$ a que$\infty\text{,}$ el punto$(x_0+td_x,y_0+td_y)$ atraviesa toda la línea.

Es fácil eliminar el parámetro$t$ de las ecuaciones. Simplemente multiplicar$x-x_0=t d_x$ por$d_y\text{,}$ multiplicar$y-y_0=t d_y$ por$d_x$ y restar para dar

\[\begin{gather*} (x-x_0)d_y-(y-y_0)d_x=0 \end{gather*}\]

En el caso de que$d_x$ y ambos$d_y$ sean distintos de cero, podemos reescribir esto como

Ecuación 1.3.2. Ecuación simétrica

\[\begin{gather*} \frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y} \end{gather*}\]

A esto se le llama la ecuación simétrica para la línea.

Una segunda forma de especificar una línea en dos dimensiones es dar un punto$(x_0,y_0)$ en la línea y un vector$\textbf{n}=\left \langle n_x,n_y \right \rangle $ cuya dirección es perpendicular a la de la línea.

$twodLineNormal.svg$

Ecuación 1.3.3

\[\begin{gather*} \textbf{n}\cdot\left \langle x-x_0,y-y_0 \right \rangle =0 \end{gather*}\]

Redactar en componentes

\[\begin{gather*} n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)=0\qquad\text{or}\qquad n_xx+n_yy= n_xx_0+n_yy_0 \end{gather*}\]

Observe que los coeficientes$n_x,n_y$ de$x$ y$y$ en la ecuación de la línea son los componentes de un vector$\left \langle n_x,n_y \right \rangle $ perpendicular a la línea. Esto nos permite leer un vector perpendicular a cualquier línea dada directamente de la ecuación de la línea. Dicho vector se denomina vector normal para la línea.

Ejemplo 1.3.4

Consideremos, por ejemplo, la línea$y=3x+7\text{.}$ Para reescribir esta ecuación en la forma

\[ n_xx+n_yy= n_xx_0+n_yy_0 \nonumber \]

tenemos que mover términos alrededor de manera que$x$ y$y$ están en un lado de la ecuación y$7$ está en el otro lado:$3x-y=-7\text{.}$ Entonces$n_x$ es el coeficiente de$x\text{,}$ saber$3\text{,}$ y$n_y$ es el coeficiente de$y\text{,}$ saber$-1\text{.}$ Un vector normal para $y=3x+7$es$\left \langle 3,-1 \right \rangle \text{.}$

Por supuesto, si$\left \langle 3,-1 \right \rangle $ es perpendicular a$y=3x+7\text{,}$ así es$-5\left \langle 3,-1 \right \rangle =\left \langle -15,5 \right \rangle \text{.}$ De hecho, si primero multiplicamos la ecuación$3x-y=-7$ por$-5$ para obtener$-15x+5y=35$ y luego establecer$n_x$ y$n_y$ a los coeficientes de$x$ y$y$ respectivamente, obtenemos$\textbf{n}=\left \langle -15,5 \right \rangle \text{.}$

Ejemplo 1.3.5

En este ejemplo, encontramos el punto en la línea$y=6-3x$ (llamar a la línea$L$) que está más cerca del punto$(7,5)\text{.}$

Empezaremos por bosquejar la línea. Para ello, adivinamos dos puntos sobre$L$ y luego dibujamos la línea que pasa por los dos puntos.

Si$(x,y)$ está encendido$L$ y$x=0\text{,}$ luego$y=6\text{.}$ Así$(0,6)$ está encendido$L\text{.}$
Si$(x,y)$ está encendido$L$ y$y=0\text{,}$ luego$x=2\text{.}$ Así$(2,0)$ está encendido$L\text{.}$

$closestA.svg$ $closestB.svg$

Denotar por$P$ el punto sobre el$L$ que está más cercano a$(7,5)\text{.}$ Se caracteriza por la propiedad que la línea de$(7,5)$ a$P$ es perpendicular a$L\text{.}$ Este es el caso solo porque si$Q$ es cualquier otro punto en$L\text{,}$ entonces, por Pitágoras, la distancia de $(7,5)$a$Q$ es mayor que la distancia de$(7,5)$ a$P\text{.}$ Ver la figura a la derecha arriba.

Vamos$N$ a usar para denotar la línea que pasa a través$(7,5)$ y que es perpendicular a$L\text{.}$

$closest.svg$

Ya que$L$ tiene la ecuación$3x+y=6\text{,}$ un vector perpendicular a$L\text{,}$ y por lo tanto paralelo a$N\text{,}$ es$\left \langle 3,1 \right \rangle \text{.}$ Así que si$(x,y)$ hay algún punto en$N\text{,}$ el vector$\left \langle x-7,y-5 \right \rangle $ debe ser de la forma$t\left \langle 3,1 \right \rangle \text{.}$ Así que las ecuaciones paramétricas de$N$ son

\[\begin{gather*} \left \langle x-7,y-5 \right \rangle =t\left \langle 3,1 \right \rangle \qquad\text{or}\qquad x=7+3t,\ y=5+t \end{gather*}\]

Ahora dejemos$(x,y)$ ser las coordenadas de$P\text{.}$ Ya que$P$ está encendido$N\text{,}$ tenemos$x=7+3t\text{,}$$y=5+t$ para algunos$t\text{.}$ Ya que también$P$ está encendido también$L\text{,}$ tenemos$3x+y=6\text{.}$ So

\[\begin{alignat*}{2} & & 3(7+3t)+(5+t)&= 6\\ & \iff\qquad& 10t+26&= 6\\ & \iff\qquad& t&=-2\\ & \implies\qquad& x&= 7+3\times (-2)=1,\ y=5+(-2)=3 \end{alignat*}\]

y$P$ es$(1,3)\text{.}$

Ejercicios

Etapa 1

1

Una línea en$\mathbb R^2$ tiene dirección$\mathbf d$ y pasa a través del punto$\mathbf c\text{.}$

Cuál de los siguientes da su ecuación paramétrica:$\left \langle x,y \right \rangle =\mathbf c + t\mathbf d \text{,}$ o$\left \langle x,y \right \rangle =\mathbf c - t\mathbf d \text{?}$

2

Una línea en$\mathbb R^2$ tiene dirección$\mathbf d$ y pasa a través del punto$\mathbf c\text{.}$

Cuál de los siguientes da su ecuación paramétrica:$\left \langle x,y \right \rangle =\mathbf c + t\mathbf d \text{,}$ o$\left \langle x,y \right \rangle =-\mathbf c +t \mathbf d\text{?}$

3

Dos puntos determinan una línea. Verificar que las ecuaciones

\[ \left \langle x-1,y-9 \right \rangle=t\left \langle 8,4 \right \rangle \nonumber \]

\[ \left \langle x-9,y-13 \right \rangle=t\left \langle 1,\tfrac12 \right \rangle \nonumber \]

describir la misma línea encontrando dos puntos diferentes que se encuentran en ambas líneas.

4

Una línea en$\mathbb R^2$ tiene ecuaciones paramétricas

\[ \begin{array}{lcl} x-3&=&9t\\ y-5&=&7t \end{array} \nonumber \]

Hay muchas formas diferentes de escribir las ecuaciones paramétricas de esta línea. Si reescribimos las ecuaciones como

\[ \begin{array}{lcl} x-x_0&=&d_xt\\ y-y_0&=&d_yt \end{array} \nonumber \]

cuáles son todos los valores posibles de$\left \langle x_0,y_0 \right \rangle$ y$\left \langle d_x,d_y \right \rangle\text{?}$

Etapa 2

5

Encuentra las ecuaciones vectoriales paramétricas, paramétricas escalares y simétricas para la línea que contiene el punto dado y con la dirección dada.

$(1,2)\text{,}$dirección del punto$\left \langle 3,2 \right \rangle $
$(5,4)\text{,}$dirección del punto$\left \langle 2,-1 \right \rangle $
$(-1,3)\text{,}$dirección del punto$\left \langle -1,2 \right \rangle $

6

Encuentra las ecuaciones vectoriales paramétricas, paramétricas escalares y simétricas para la línea que contiene el punto dado y con la normal dada.

punto$(1,2)\text{,}$ normal$\left \langle 3,2 \right \rangle $
punto$(5,4)\text{,}$ normal$\left \langle 2,-1 \right \rangle $
punto$(-1,3)\text{,}$ normal$\left \langle -1,2 \right \rangle $

7

Usa una proyección para encontrar la distancia desde el punto$(-2,3)$ hasta la línea$3x-4y=-4\text{.}$

8

Dejar$\textbf{a} \text{,}$$\textbf{b} $ y$\textbf{c} $ ser los vértices de un triángulo. Por definición, una mediana de un triángulo es una línea recta que pasa por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto.

Encuentra las ecuaciones paramétricas de las tres medianas.
¿Las tres medianas se encuentran en un punto común? Si es así, ¿qué punto?

9

Dejar$C$ ser el círculo de radio 1 centrado en$(2,1)\text{.}$ Buscar una ecuación para la línea tangente a$C$ en el punto$\left(\frac{5}{2},1+\frac{\sqrt3}{2}\right)\text{.}$