1.9: Superficies cuádricas

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Otra clase nombrada de superficies relativamente simples, pero que ocurren comúnmente, son las superficies cuádricas.

Definición 1.9.1. Cuadricos

Una superficie cuádrica es la superficie que consiste en todos los puntos que obedecen$Q(x,y,z)=0\text{,}$ al$Q$ ser un polinomio de grado dos ¹.

Técnicamente, también debemos exigir que el polinomio no pueda ser factorizado en el producto de dos polinomios de grado uno.

$Q(x,y,z)$Para ser un polinomio de grado dos, debe ser de la forma

\[\begin{gather*} Q(x,y,z) = Ax^2 +By^2 +Cz^2 +Dxy +Eyz +Fxz +Gx +Hy +Iz +J \end{gather*}\]

para algunas constantes$A\text{,}$$B\text{,}$$\cdots\text{,}$$J\text{.}$ Cada sección$z$ transversal constante de una superficie cuádrica tiene una ecuación de la forma

\[\begin{gather*} Ax^2 + Dxy +By^2 +gx +hy +j =0,\quad z=z_0 \end{gather*}\]

Si$A=B=D=0$ pero$g$ y no$h$ son ambos cero, esta es una línea recta. Si$A\text{,}$$B\text{,}$ y no$D$ son todos cero, entonces al rotar y traducir nuestro sistema de coordenadas la ecuación de la sección transversal se puede llevar a una de las formas ²

$\alpha x^2 + \beta y^2 =\gamma $con$\alpha ,\beta \gt 0\text{,}$ el cual, si$\gamma \gt 0\text{,}$ es una elipse (o un círculo),
$\alpha x^2 - \beta y^2 =\gamma $con$\alpha ,\beta \gt 0\text{,}$ lo cual, si$\gamma \ne0\text{,}$ es una hipérbola, y si$\gamma =0$ es de dos líneas,
$x^2 = \delta y\text{,}$que, si$\delta\ne 0$ es una parábola, y si$\delta=0$ es una línea recta.

Existen declaraciones similares para las secciones$x$ transversales constantes y las secciones$y$ transversales constantes. De ahí que las superficies cuadráticas se construyan apilando estos tres tipos de curvas.

Ya hemos visto una serie de superficies cuádricas en el último par de secciones.

Vimos la superficie cuádrica$4x^2+y^2-z^2=1$ en el Ejemplo 1.7.1.
$hyperboloid1.svg$

Sus secciones$z$ transversales constantes son elipses$x=0$ y sus secciones$y=0$ transversales son hipérbolas. Se llama hiperboloide de una hoja.
Vimos la superficie cuádrica$x^2+y^2=1$ en el Ejemplo 1.8.2.
$cylinder.svg$

Sus secciones$z$ transversales constantes son círculos$x=0$ y sus secciones$y=0$ transversales son líneas rectas. Se llama cilindro circular derecho.

El Apéndice A.8 contiene otras superficies cuádricas.

Técnicamente, también debemos exigir que el polinomio no pueda ser factorizado en el producto de dos polinomios de grado uno.
Esta afirmación puede justificarse utilizando un análisis de álgebra lineal de valores propios y vectores propios. Está más allá de lo que podemos cubrir aquí, pero no es demasiado difícil para un curso estándar de álgebra lineal.