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# 1.1: Puntos

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Cada punto en dos dimensiones puede ser etiquetado por dos coordenadas 1$$(x,y)$$ que especifican la posición del punto en algunas unidades con respecto a algunos ejes como en la siguiente figura.

Es por ello que el$$xy$$ -plano se llama “bidimensional” — el nombre de cada punto consiste en dos números reales.

El conjunto de todos los puntos en dos dimensiones se denota 2$$\mathbb{R}^2\text{.}$$ Observe que

• la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el$$x$$ eje es$$|y|$$
• si$$y\gt 0\text{,}$$ entonces$$(x,y)$$ está por encima del$$x$$ eje y si$$y\lt 0\text{,}$$ entonces$$(x,y)$$ está por debajo del$$x$$ eje
• la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el$$y$$ eje es$$|x|$$
• si$$x\gt 0\text{,}$$ entonces$$(x,y)$$ está a la derecha del$$y$$ eje -y si$$x\lt 0\text{,}$$ entonces$$(x,y)$$ está a la izquierda del$$y$$ eje -eje
• la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el origen$$(0,0)$$ es$$\sqrt{x^2+y^2}$$

De igual manera, cada punto en tres dimensiones puede ser etiquetado por tres coordenadas$$(x,y,z)\text{,}$$ como en las dos figuras siguientes.

El conjunto de todos los puntos en tres dimensiones se denota$$\mathbb{R}^3\text{.}$$ El plano que contiene, por ejemplo, los$$y$$ ejes$$x$$ - y -se llama$$xy$$ -plano.
• El$$xy$$ -plano es el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que satisfacen$$z=0\text{.}$$
• El$$xz$$ -plano es el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que satisfacen$$y=0\text{.}$$
• El$$yz$$ -plano es el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que satisfacen$$x=0\text{.}$$

De manera más general,

• El conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$z=c$$ es un plano que es paralelo al$$xy$$ plano y está a una$$|c|$$ distancia de él. Si$$c \gt 0\text{,}$$ el avión$$z=c$$ está por encima del$$xy$$ plano. Si$$c \lt 0\text{,}$$ el avión$$z=c$$ está por debajo del$$xy$$ plano. Decimos que el avión$$z=c$$ es una distancia$$c$$ señalizada del$$xy$$ -avión.
• El conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$y=b$$ es un plano que es paralelo al$$xz$$ plano y es una distancia firmada$$b$$ de él.
• El conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ que obedecen$$x=a$$ es un plano que es paralelo al$$yz$$ plano y es una distancia firmada$$a$$ de él.

Observe que nuestras distancias 2d se extienden con bastante facilidad a 3d.

• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el$$xy$$ plano es$$|z|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el$$xz$$ plano es$$|y|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el$$yz$$ plano es$$|x|$$
• la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el origen$$(0,0,0)$$ es$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Para ver que la distancia desde el punto$$(x,y,z)$$ hasta el origen$$(0,0,0)$$ es efectivamente$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{,}$$

• aplicar Pitágoras al triángulo rectángulo con vértices$$(0,0,0)\text{,}$$$$(x,0,0)$$ y$$(x,y,0)$$ para ver que la distancia de$$(0,0,0)$$ a$$(x,y,0)$$ es$$\sqrt{x^2+y^2}$$ y luego
• aplicar Pitágoras al triángulo rectángulo con vértices$$(0,0,0)\text{,}$$$$(x,y,0)$$ y$$(x,y,z)$$ para ver que la distancia de$$(0,0,0)$$ a$$(x,y,z)$$ es$$\sqrt{{\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)}^2+z^2} =\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{.}$$

De manera más general, la distancia del punto$$(x,y,z)$$ al punto$$(x',y',z')$$ es

$\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2} \nonumber$

Observe que esto nos da la ecuación para una esfera de manera bastante directa. Todos los puntos de una esfera son equidistantes del centro de la esfera. Entonces, por ejemplo, la ecuación de la esfera centrada en$$(1,2,3)$$ con radio es$$4\text{,}$$ decir, el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ cuya distancia desde$$(1,2,3)$$ es$$4\text{,}$$ es

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=16 \nonumber$

Aquí hay un ejemplo en el que esbozamos una región en el$$xy$$ plano -que se especifica usando desigualdades.

##### Ejemplo 1.1.1

En este ejemplo, esbozamos la región

$\left \{ \left ( x,y \right )|-12\le x^2-6x +y^2-4y \le -9,\ \ y\ge 1 \right \} \nonumber$

en el$$xy$$ -avión.

Lo hacemos en dos pasos. En el primer paso, esbozamos las curvas$$x^2-6x +y^2-4y=-12\text{,}$$$$x^2-6x +y^2-4y=-9\text{,}$$ y$$y=1\text{.}$$

• Al completar cuadrados, vemos que la ecuación$$x^2-6x +y^2-4y=-12$$ es equivalente a la$$(x-3)^2 +(y-2)^2 =1\text{,}$$ que es el círculo de radio$$1$$ centrado en$$(3,2)\text{.}$$ Se esboza en la siguiente figura.
• Al completar cuadrados, vemos que la ecuación$$x^2-6x +y^2-4y=-9$$ es equivalente a la$$(x-3)^2 +(y-2)^2 =4\text{,}$$ que es el círculo de radio$$2$$ centrado en$$(3,2)\text{.}$$ Se esboza en la siguiente figura.
• El punto$$(x,y)$$ obedece$$y=1$$ si y sólo si es una distancia$$1$$ verticalmente por encima del$$x$$ eje -eje. Así$$y=1$$ es la línea que es paralela al$$x$$ eje -y está una unidad por encima de él. Esta línea también se esboza en la siguiente figura.

En el segundo paso determinamos el impacto que tienen las desigualdades.

• La desigualdad$$x^2-6x +y^2-4y\ge -12$$ es equivalente a$$(x-3)^2 +(y-2)^2 \ge 1$$ y por lo tanto es equivalente a$$\sqrt{(x-3)^2 +(y-2)^2} \ge 1\text{.}$$ Entonces el punto$$(x,y)$$ satisface$$x^2-6x +y^2-4y\ge -12$$ si y solo si la distancia de$$(x,y)$$ a$$(3,2)$$ es al menos es$$1\text{,}$$ decir, si y solo si$$(x,y)$$ está fuera (o sobre) del círculo$$(x-3)^2 +(y-2)^2 = 1\text{.}$$
• La desigualdad$$x^2-6x +y^2-4y\le -9$$ es equivalente a$$(x-3)^2 +(y-2)^2 \le 4$$ y por lo tanto es equivalente a$$\sqrt{(x-3)^2 +(y-2)^2} \le 2\text{.}$$ Entonces el punto$$(x,y)$$ satisface la desigualdad$$x^2-6x +y^2-4y\le -9$$ si y solo si la distancia de$$(x,y)$$ a$$(3,2)$$ es como máximo es$$2\text{,}$$ decir, si y solo si$$(x,y)$$ está dentro (o sobre) del círculo$$(x-3)^2 +(y-2)^2 = 4\text{.}$$
• El punto$$(x,y)$$ obedece$$y\ge 1$$ si y solo si$$(x,y)$$ es una distancia vertical al menos$$1$$ por encima del$$x$$ eje, es decir, está por encima (o sobre) la línea$$y=1\text{.}$$
• Así que la región

$\left \{ \left ( x,y \right )|-12\le x^2-6x +y^2-4y \le -9,\ \ y\ge 1 \right \} \nonumber$

consta de todos los puntos$$(x,y)$$ que

• están dentro o en el círculo$$(x-3)^2 +(y-2)^2 = 4$$ y
• también están afuera o en el círculo$$(x-3)^2 +(y-2)^2 = 1$$ y
• también están por encima o en la línea$$y=1\text{.}$$

Es la región sombreada en la siguiente figura.

Aquí hay un par de ejemplos que involucran esferas.

##### Ejemplo 1.1.2

En este ejemplo, vamos a encontrar la curva formada por la intersección del$$xy$$ -plano y la esfera de radio$$5$$ centrada en$$(0,0,4)\text{.}$$

El punto$$(x,y,z)$$ se encuentra en el$$xy$$ -plano si y solo si$$z=0\text{,}$$ y se encuentra en la esfera de radio$$5$$ centrada en$$(0,0,4)$$ si y solo si$$x^2+y^2+(z-4)^2=25\text{.}$$ Así el punto$$(x,y,z)$$ se encuentra en la curva de intersección si y solo si ambos$$z=0$$ y$$x^2+y^2+(z-4)^2=25\text{,}$$ o equivalentemente

$z=0,\quad x^2+y^2+(0-4)^2=25 \iff z=0,\quad x^2+y^2 = 9 \nonumber$

Este es el círculo en el$$xy$$ -plano que se centra en el origen y tiene radio$$3\text{.}$$ Aquí hay un boceto que muestra las partes de la esfera y el círculo de intersección que se encuentran en el primer octante. Es decir, que tienen$$x\ge 0\text{,}$$$$y\ge 0$$ y$$z\ge 0\text{.}$$

##### Ejemplo 1.1.3

En este ejemplo, vamos a encontrar todos los puntos$$(x,y,z)$$ para los que la distancia de$$(x,y,z)$$ a$$(9,-12,15)$$ es el doble de la distancia desde$$(x,y,z)$$ el origen$$(0,0,0)\text{.}$$

La distancia de$$(x,y,z)$$ a$$(9,-12,15)$$ es$$\sqrt{(x-9)^2+(y+12)^2+(z-15)^2}\text{.}$$ La distancia de$$(x,y,z)$$ a$$(0,0,0)$$ es$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{.}$$ Así que queremos encontrar todos los puntos$$(x,y,z)$$ para los cuales

$\sqrt{(x-9)^2+(y+12)^2+(z-15)^2} =2\sqrt{x^2+y^2+z^2} \nonumber$

$x^2-18x+81 +y^2+24y+144 +z^2-30z+225 = 4\big(x^2+y^2+z^2) \nonumber$

Recogiendo términos da

\begin{alignat*}{1} 3x^2+18x +3y^2-24y +3z^2+30z &= 450\ \text{and, dividing by 3,} \\ x^2+6x +y^2-8y +z^2+10z &= 150\ \text{and, completing squares,}\\ x^2+6x +9 +y^2-8y +16 +z^2+10z +25 &= 200\ \text{or}\\ (x+3)^2+(y-4)^2+(z+5)^2 &=200 \end{alignat*}

Esta es la esfera de radio$$10\sqrt{2}$$ centrada en$$(-3,4,-5)\text{.}$$

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1

Describir el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ en$$\mathbb{R}^3$$ que satisfacer

1. $$\displaystyle x^2 +y^2+z^2= 2x-4y+4$$
2. $$\displaystyle x^2 +y^2+z^2 \lt 2x-4y+4$$
##### 2

Describir y esbozar el conjunto de todos los puntos$$(x,y)$$ en$$\mathbb{R}^2$$ que satisfacen

1. $$\displaystyle x=y$$
2. $$\displaystyle x+y=1$$
3. $$\displaystyle x^2+y^2=4$$
4. $$\displaystyle x^2+y^2=2y$$
5. $$\displaystyle x^2+y^2 \lt 2y$$
##### 3

Describir el conjunto de todos los puntos$$(x,y,z)$$ en$$\mathbb{R}^3$$ que cumplan las siguientes condiciones. Dibuja la parte del conjunto que se encuentra en el primer octante.

1. $$\displaystyle z = x$$
2. $$\displaystyle x + y + z = 1$$
3. $$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = 4$$
4. $$x^2 + y^2 + z^2 = 4\text{,}$$$$z = 1$$
5. $$\displaystyle x^2+y^2=4$$
6. $$\displaystyle z = x^2 + y^2$$
##### 4

Que$$A$$ sea el punto$$(2,1,3)\text{.}$$

1. Encuentra la distancia$$A$$ desde el$$xy$$ avión.
2. Encuentra la distancia$$A$$ desde el$$xz$$ avión.
3. Encuentra la distancia$$A$$ desde el punto$$(x,0,0)$$ en el$$x$$ eje.
4. Encuentra el punto en el$$x$$ eje que está más cerca$$A\text{.}$$
5. ¿Cuál es la distancia desde$$A$$ el$$x$$ eje -axis?

### Etapa 2

##### 5

Considera cualquier triángulo. Elija un sistema de coordenadas para que un vértice esté en el origen y un segundo vértice esté en el$$x$$ eje positivo. Llama a las coordenadas del segundo vértice$$(a,0)$$ y las del tercer vértice$$(b,c)\text{.}$$ Encuentra el círculo circunscrito (el círculo que atraviesa los tres vértices).

##### 6. ✳

Una cierta superficie consta de todos los puntos de$$P=(x,y,z)$$ tal manera que la distancia desde$$P$$ el punto$$(0,0,1)$$ es igual a la distancia desde$$P$$ el plano$$z+1=0\text{.}$$ Encuentra una ecuación para la superficie, bosquéala y describa verbalmente.

##### 7

Demostrar que el conjunto de todos los puntos$$P$$ que están dos veces más lejos$$(3,-2,3)$$ que de$$(3/2,1,0)$$ es una esfera. Encuentra su centro y radio.

### Etapa 3

##### 8

La presión$$p(x,y)$$ en el punto$$(x,y)$$ es al menos cero y está determinada por la ecuación$$x^2-2px+y^2=3p^2\text{.}$$ Esbozar varias isobarras. Una isobarra es una curva con ecuación$$p(x,y)=c$$ para alguna constante$$c\ge 0\text{.}$$

1. Es por ello que el$$xy$$ -plano se llama “bidimensional” — el nombre de cada punto consiste en dos números reales.
2. No es sorprendente que el$$2$$ in$$\mathbb{R}^2$$ signifique que cada punto está etiquetado con dos números y el$$\mathbb{R}$$ in$$\mathbb{R}^2$$ significa que los números en cuestión son números reales. Existen aplicaciones más avanzadas (por ejemplo en análisis de señales y en mecánica cuántica) donde se utilizan números complejos. Se denota el espacio de todos los pares$$(z_1,z_2)\text{,}$$ con$$z_1$$ y números$$z_2$$ complejos$$\mathbb{R}^2\text{.}$$

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