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# 1.4: Ecuaciones de planos en 3d

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Especificar un punto$$(x_0,y_0,z_0)$$ en un plano y un vector$$\textbf{d}$$ paralelo al plano no determina de manera única el plano, ya que es libre de rotar alrededor$$\textbf{d}\text{.}$$ Por otro lado, dando un punto

en el plano y un vector$$\textbf{n}=\left \langle n_x,n_y, n_z \right \rangle$$ con dirección perpendicular a la del plano determina de manera única el plano. Si$$(x,y,z)$$ hay algún punto en el plano entonces el vector$$\left \langle x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right \rangle \text{,}$$ cuya cola está en$$(x_0,y_0,z_0)$$ y cuya cabeza está en$$(x,y,z)\text{,}$$ yace completamente dentro del plano y así debe ser perpendicular a Es$$\textbf{n}\text{.}$$ decir,

##### Ecuación 1.4.1. La ecuación de un plano

$\begin{gather*} \textbf{n}\cdot\left \langle x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right \rangle =0 \end{gather*}$

Escribiendo en componentes

$\begin{gather*} n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0 \quad\text{or}\quad n_xx+n_yy+n_zz= d \end{gather*}$

donde$$d=n_xx_0+n_yy_0+n_zz_0\text{.}$$

Nuevamente, los coeficientes$$n_x,n_y,n_z$$ de$$x,\ y$$ y$$z$$ en la ecuación del plano son los componentes de un vector$$\left \langle n_x,n_y,n_z \right \rangle$$ perpendicular al plano. El vector a menudo$$\textbf{n}$$ se denomina vector normal para el plano. Cualquier múltiplo distinto de cero también$$\textbf{n}$$ será perpendicular al plano y también se denomina vector normal.

##### Ejemplo 1.4.2

Acabamos de ver que si escribimos la ecuación de un plano en la forma estándar

$ax+by+cz=d \nonumber$

entonces es fácil leer un vector normal para el avión. Es justo$$\left \langle a,b,c \right \rangle\text{.}$$ Así que por ejemplo los aviones

$P:\ x+2y+3z=4 \qquad P':\ 3x+6y+9z=7 \nonumber$

tienen vectores normales$$\textbf{n}=\left \langle 1,2,3 \right \rangle$$ y$$\textbf{n}'=\left \langle 3,6,9 \right \rangle\text{,}$$ respectivamente. Dado que$$\textbf{n}'=3\textbf{n}\text{,}$$ los dos vectores normales$$\textbf{n}$$ y$$\textbf{n}'$$ son paralelos entre sí. Esto nos dice que los planos$$P$$ y$$P'$$ son paralelos entre sí.

Cuando los vectores normales de dos planos son perpendiculares entre sí, decimos que los planos son perpendiculares entre sí. Por ejemplo, los aviones

$P:\ x+2y+3z=4 \qquad P'':\ 2x-y=7 \nonumber$

tienen vectores normales$$\textbf{n}=\left \langle 1,2,3 \right \rangle$$ y$$\textbf{n}''=\left \langle 2,-1,0 \right \rangle\text{,}$$ respectivamente. Desde

$\textbf{n}\cdot\textbf{n}'' = 1\times 2+2\times(-1)+3\times 0 = 0 \nonumber$

los vectores normales$$\textbf{n}$$ y$$\textbf{n}''$$ son mutuamente perpendiculares, por lo que los planos correspondientes$$P$$ y$$P''$$ son perpendiculares entre sí.

Aquí hay un ejemplo que ilustra cómo se puede esbozar un plano, dada la ecuación del plano.

##### Ejemplo 1.4.3

En este ejemplo, vamos a bosquejar el plano

$P:\ 4x + 3y + 2z = 12 \nonumber$

Una buena manera de prepararse para el boceto de un plano es encontrar los puntos de intersección del plano con$$z$$ los ejes$$x$$$$y$$ -, - y -tal como está acostumbrado a hacer al esbozar líneas en el$$xy$$ plano. Por ejemplo, cualquier punto en el$$x$$ eje debe ser de la forma$$(x,0,0)\text{.}$$$$(x,0,0)$$ Para estar también en$$P$$ necesitamos$$x=\frac{12}{4}=3\text{.}$$ Así$$P$$ intersecta el$$x$$ -eje en$$(3,0,0)\text{.}$$ De manera similar,$$P$$ intersecta el$$y$$ -eje en$$(0,4,0)$$ y el$$z$$ -eje en $$(0,0,6)\text{.}$$Ahora trazar los puntos$$(3,0,0)\text{,}$$$$(0,4,0)$$ y$$(0,0,6)\text{.}$$$$P$$ es el plano que contiene estos tres puntos. A menudo, una forma visualmente efectiva de esbozar una superficie en tres dimensiones es

• solo esbozar la parte de la superficie en el primer octante. Es decir, la parte con$$x\ge0\text{,}$$$$y\ge 0$$ y$$z\ge 0\text{.}$$
• Para ello, dibuje la curva de intersección de la superficie con la parte del$$xy$$ plano en el primer octante y,
• de manera similar, esbozar la curva de intersección de la superficie con la parte del$$xz$$ plano -en el primer octante y la curva de intersección de la superficie con la parte del$$yz$$ plano en el primer octante.

Eso es lo que vamos a hacer. La intersección del plano$$P$$ con el$$xy$$ -plano es la línea recta a través de los dos puntos$$(3,0,0)$$ y$$(0,4,0)\text{.}$$ Así la parte de esa intersección en el primer octante es el segmento de línea de$$(3,0,0)$$ a$$(0,4,0)\text{.}$$ Similarmente la parte de la intersección de$$P$$ con el $$xz$$-plano que está en el primer octante es el segmento de línea de$$(3,0,0)$$ a$$(0,0,6)$$ y la parte de la intersección de$$P$$ con el$$yz$$ -plano que está en el primer octante es el segmento de línea de$$(0,4,0)$$ a$$(0,0,6)\text{.}$$ Así que solo tenemos que bosquejar los tres segmentos de línea uniendo los tres ejes intercepta$$(3,0,0)\text{,}$$$$(0,4,0)$$ y$$(0,0,6)\text{.}$$ Eso es todo.

Aquí hay dos ejemplos que ilustran cómo se puede encontrar la distancia entre un punto y un plano.

##### Ejemplo 1.4.4

En este ejemplo, calcularemos la distancia entre el punto

$\textbf{x} = (1,-1,-3) \qquad\text{and the plane}\qquad P:\ x+2y+3z=18 \nonumber$

Por la “distancia entre$$\textbf{x}$$ y el avión$$P$$” nos referimos a la distancia más corta entre$$\textbf{x}$$ y cualquier punto$$\textbf{y}$$$$P\text{.}$$ en De hecho, evaluaremos la distancia de dos maneras diferentes. En el siguiente Ejemplo 1.4.5, usaremos proyección. En este ejemplo, nuestra estrategia para encontrar la distancia será

• primero observe que el vector$$\textbf{n}=\left \langle 1,2,3 \right \rangle$$ es normal a$$P$$ y luego
• comenzar a caminar 1 lejos de$$\textbf{x}$$ en la dirección del vector normal$$\textbf{n}$$ y
• seguir caminando hasta que golpeemos$$P\text{.}$$ Llamar al punto en$$P$$ donde golpeamos,$$\textbf{y}\text{.}$$ Entonces la distancia deseada es la distancia entre$$\textbf{x}$$ y$$\textbf{y}\text{.}$$ De la figura de abajo de hecho parece distancia entre$$\textbf{x}$$ y$$\textbf{y}$$ es la distancia más corta entre$$\textbf{x}$$ y cualquier punto en$$P\text{.}$$ Esto es de hecho cierto, aunque no lo vamos a probar.

Así que imagina que empezamos a caminar, y que empezamos a tiempo$$t=0$$ en$$\textbf{x}$$ y caminamos en dirección$$\textbf{n}\text{.}$$ Entonces en el momento$$t$$ podríamos estar en

$\textbf{x}+t\textbf{n} = (1,-1,-3) +t\,\left \langle 1,2,3 \right \rangle = (1+t, -1+2t, -3+3t) \nonumber$

Golpeamos el avión exactamente$$P$$ en el momento$$t$$ para el cual$$(1+t, -1+2t, -3+3t)$$ satisface la ecuación para la$$P\text{,}$$ cual es$$x+2y+3z=18\text{.}$$ Así que estamos en el$$P$$ momento único$$t$$ obedeciendo

\begin{align*} (1+t)+2(-1+2t)+3(-3+3t)=18 &\iff 14t = 28 \iff t=2 \end{align*}

Entonces el punto en el$$P$$ que está más cerca$$\textbf{x}$$ es

$\begin{gather*} \textbf{y} = \big[\textbf{x}+t\textbf{n}\big]_{t=2} = (1+t, -1+2t, -3+3t)\big|_{t=2} = (3, 3, 3) \end{gather*}$

y la distancia de$$\textbf{x}$$ a$$P$$ es la distancia desde$$\textbf{x}$$ la$$\textbf{y}\text{,}$$ cual es

$\begin{gather*} |\textbf{y}-\textbf{x}| = 2|\textbf{n}| = 2\sqrt{1^2+2^2+3^2} =2\sqrt{14} \end{gather*}$

##### Ejemplo 1.4.5. Ejemplo 1.4.4, revisitado

De nuevo vamos a encontrar la distancia desde el punto

$\textbf{x} = (1,-1,-3) \qquad\text{to the plane}\qquad P:\ x+2y+3z=18 \nonumber$

Pero esta vez usaremos la siguiente estrategia.

• Primero encontraremos cualquier punto$$\textbf{z}$$$$P$$ y luego
• denotaremos por$$\textbf{y}$$ el punto$$P$$ más cercano$$\textbf{x}\text{,}$$ y denotaremos por$$\textbf{v}$$ el vector de$$\textbf{x}$$ a$$\textbf{z}$$ (vea la figura a continuación) y luego
• nos daremos cuenta, al mirar la figura, que el vector de$$\textbf{x}$$ a$$\textbf{y}$$ es exactamente la proyección 2 del vector$$\textbf{v}$$ encendido$$\textbf{n}$$ para que
• la distancia de$$\textbf{x}$$ a$$P\text{,}$$, es decir, la longitud del vector de$$\textbf{x}$$ a$$\textbf{y}\text{,}$$ es exactamente$$\left|\text{proj}_\textbf{n}\textbf{v} \right|\text{.}$$

Ahora vamos a encontrar un punto en$$P\text{.}$$ El plano$$P$$ viene dado por una sola ecuación, a saber

$x+2y+3z=18 \nonumber$

en las tres incógnitas,$$x\text{,}$$$$y\text{,}$$$$z\text{.}$$ La forma más fácil de encontrar una solución a esta ecuación es asignarle a dos de las incógnitas el valor cero y luego resolver para la tercera desconocida. Por ejemplo, si establecemos$$x=y=0\text{,}$$ entonces la ecuación se reduce a$$3z=18\text{.}$$ Así que podemos tomar$$\textbf{z}=(0,0,6)\text{.}$$

Entonces$$\textbf{v}\text{,}$$ el vector de$$\textbf{x}=(1,-1,-3)$$ a$$\textbf{z}=(0,0,6)$$ es$$\left \langle 0-1\,,\,0-(-1)\,,\,6-(-3) \right \rangle=\left \langle -1,1,9 \right \rangle$$ tal que, por la Ecuación 1.2.14,

\begin{align*} {\rm proj}_{\textbf{n}}\,\textbf{v}&=\frac{\textbf{v}\cdot\textbf{n}}{|\textbf{n}|^2}\,\textbf{n}\\ &= \frac{\left \langle -1,1,9 \right \rangle\cdot\left \langle 1,2,3 \right \rangle}{|\left \langle 1,2,3 \right \rangle|^2}\, \left \langle 1,2,3 \right \rangle\\ &= \frac{28}{14} \left \langle 1,2,3 \right \rangle\\ &= 2 \left \langle 1,2,3 \right \rangle \end{align*}

y la distancia de$$\textbf{x}$$ a$$P$$ es

$\begin{gather*} \left|{\rm proj}_{\textbf{n}}\,\textbf{v}\right| = \big|2 \left \langle 1,2,3 \right \rangle\big| =2\sqrt{14} \end{gather*}$

tal como encontramos en el Ejemplo 1.4.4.

En el siguiente ejemplo, encontramos la distancia entre dos planos.

##### Ejemplo 1.4.6

Ahora aumentaremos un poquito el grado de dificultad y calcularemos la distancia entre los planos

$P:\ x+2y+2z=1 \qquad\text{and}\qquad P':\ 2x+4y+4z=11 \nonumber$

Por la “distancia entre los planos$$P$$ y$$P'$$” nos referimos a la distancia más corta entre cualquier par de puntos$$\textbf{x}$$ y$$\textbf{x}'$$ con$$\textbf{x}$$ in$$P$$ y$$\textbf{x}'$$ en$$P'\text{.}$$ Primero observamos que los vectores normales

$\textbf{n}=\left \langle 1,2,2 \right \rangle \qquad\text{and}\qquad \textbf{n}'=\left \langle 2,4,4 \right \rangle=2\textbf{n} \nonumber$

$$P$$y$$P'$$ son paralelos entre sí. Entonces los planos$$P$$ y$$P'$$ son paralelos entre sí. Si no hubieran sido paralelos, habrían cruzado y la distancia entre ellos habría sido cero.

Nuestra estrategia para encontrar la distancia será

• primero encuentra un punto$$\textbf{x}$$$$P$$ y luego, como hicimos en el Ejemplo 1.4.4,
• comenzar a alejarse$$P$$ en la dirección del vector normal$$\textbf{n}$$ y
• seguir caminando hasta que golpeemos$$P'\text{.}$$ Llamar al punto sobre el$$P'$$ que golpeamos$$\textbf{x}'\text{.}$$ Entonces la distancia deseada es la distancia entre$$\textbf{x}$$ y$$\textbf{x}'\text{.}$$ De la figura de abajo sí parece distancia entre$$\textbf{x}$$ y$$\textbf{x}'$$ es la distancia más corta entre cualquier par de puntos con un punto encendido$$P$$ y un punto sobre$$P'\text{.}$$ Otra vez, esto es de hecho cierto, aunque no lo vamos a probar.

Podemos encontrar un punto sobre$$P$$ tal como lo hicimos en el Ejemplo 1.4.5. El plano$$P$$ viene dado por la ecuación única

$x+2y+2z=1 \nonumber$

en las tres incógnitas,$$x\text{,}$$$$y\text{,}$$$$z\text{.}$$ podemos encontrar una solución a esta ecuación asignando a dos de las incógnitas el valor cero y luego resolviendo para la tercera desconocida. Por ejemplo, si establecemos$$y=z=0\text{,}$$ entonces la ecuación se reduce a$$x=1\text{.}$$ Así que podemos tomar$$\textbf{x}=(1,0,0)\text{.}$$

Ahora imagina que empezamos a caminar, y que empezamos a tiempo$$t=0$$ en$$\textbf{x}$$ y caminamos en dirección$$\textbf{n}\text{.}$$ Entonces en el momento$$t$$ podríamos estar en

$\textbf{x}+t\textbf{n} = (1,0,0) +t\left \langle 1,2,2 \right \rangle = (1+t, 2t, 2t) \nonumber$

Golpeamos el segundo plano exactamente$$P'$$ en el momento$$t$$ para el cual$$(1+t, 2t, 2t)$$ satisface la ecuación para la$$P'\text{,}$$ cual es$$2x+4y+4z=11\text{.}$$ Así que estamos en el$$P'$$ momento único$$t$$ obedeciendo

\begin{align*} 2(1+t)+4(2t)+4(2t)=11 &\iff 18t = 9 \iff t=\frac{1}{2} \end{align*}

Entonces el punto en el$$P'$$ que está más cerca$$\textbf{x}$$ es

$\begin{gather*} \textbf{x}' = \big[\textbf{x}+t\textbf{n}\big]_{t=\frac{1}{2}} = (1+t, 2t, 2t)\big|_{t=\frac{1}{2}} = (\frac{3}{2}, 1, 1) \end{gather*}$

y la distancia de$$P$$ a$$P'$$ es la distancia desde$$\textbf{x}$$ la$$\textbf{x}'$$ cual es

$\begin{gather*} \sqrt{(1-\frac{3}{2})^2+(0-1)^2+(0-1)^2} =\sqrt{\frac{9}{4}} =\frac{3}{2} \end{gather*}$

Ahora encontraremos el ángulo entre dos planos que se cruzan.

##### Ejemplo 1.4.7

La orientación (es decir, dirección) de un plano está determinada por su vector normal. Entonces, por definición, el ángulo entre dos planos es el ángulo entre sus vectores normales. Por ejemplo, los vectores normales de los dos planos

\begin{alignat*}{2} P_1&:\quad & 2x+y-z&=3\\ P_2&: & x+y+z&=4 \end{alignat*}

son

\begin{align*} \textbf{n}_1&=\left \langle 2,1,-1 \right \rangle\\ \textbf{n}_2&=\left \langle 1,1,1 \right \rangle \end{align*}

Si usamos$$\theta$$ para denotar el ángulo entre$$\textbf{n}_1$$ y$$\textbf{n}_2\text{,}$$ luego

\begin{align*} \cos\theta &=\frac{\textbf{n}_1\cdot\textbf{n}_2}{|\textbf{n}_1|\,|\textbf{n}_2|}\\ &=\frac{\left \langle 2,1,-1 \right \rangle\cdot\left \langle 1,1,1 \right \rangle} {|\left \langle 2,1,-1 \right \rangle|\,|\left \langle 1,1,1 \right \rangle|}\\ &=\frac{2}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}} \end{align*}

para que

$\begin{gather*} \theta =\arccos\frac{2}{\sqrt{18}} =1.0799 \end{gather*}$

a cuatro decimales. Eso es en radianes. En grados, es$$1.0799\frac{180}{\pi}=61.87^\circ$$ a dos decimales.

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1

El vector$$\hat{\textbf{k}}$$ es un vector normal (es decir, es perpendicular) al plano$$z=0\text{.}$$ Encuentra otro vector distinto de cero que sea normal a$$z=0\text{.}$$

##### 2

Considera el plano$$P$$ con ecuación$$3x+\frac{1}{2}y+z=4\text{.}$$

1. Encuentra la intersección de$$P$$ con el$$y$$ eje.
2. Encuentra la intersección de$$P$$ con el$$z$$ eje.
3. Esbozar la parte de la intersección de$$P$$ con el$$yz$$ plano -que se encuentra en el primer octante. (Es decir, con$$x,y,z\ge 0\text{.}$$)
##### 3
1. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el origen y tiene vector normal$$\left \langle 1,2,3 \right \rangle\text{.}$$
2. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto$$(0,0,1)$$ y tiene vector normal$$\left \langle 1,1,3 \right \rangle\text{.}$$
3. Encontrar, si es posible, la ecuación de un plano que pasa por ambos$$(1,2,3)$$$$(1,0,0)$$ y tiene vector normal$$\left \langle 4,5,6 \right \rangle\text{.}$$
4. Encontrar, si es posible, la ecuación de un plano que pasa por ambos$$(1,2,3)$$$$(0,3,4)$$ y tiene vector normal$$\left \langle 2,1,1 \right \rangle\text{.}$$
##### 4. ✳

Encuentra la ecuación del plano que contiene$$(1,0,0)\text{,}$$$$(0,1,0)$$ y$$(0,0,1)\text{.}$$

##### 5
1. Encuentra la ecuación del plano que contiene los puntos$$(1,0,1)\text{,}$$$$(1,1,0)$$ y$$(0,1,1)\text{.}$$
2. ¿El punto está$$(1,1,1)$$ en el avión?
3. ¿El origen está en el avión?
4. ¿El punto está$$(4,-1,-1)$$ en el avión?
##### 6

¿Qué tiene de malo el siguiente ejercicio? “Encuentra la ecuación del plano que contiene$$(1,2,3)\text{,}$$$$(2,3,4)$$ y$$(3,4,5)\text{.}$$

### Etapa 2

##### 7

Encuentra el plano que contiene los tres puntos dados.

1. $$\displaystyle (1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1)$$
2. $$\displaystyle (1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3)$$
3. $$\displaystyle (1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)$$
##### 8

1. $$(-1,2,3)\text{,}$$plano de puntos$$x+y+z=7$$
2. $$(1,-4,3)\text{,}$$plano de puntos$$x-2y+z=5$$
##### 9. ✳

Un avión$$\Pi$$ pasa por los puntos$$A = (1, 1, 3)\text{,}$$$$B = (2, 0, 2)$$ y$$C = (2, 1, 0)$$ en$$\mathbb{R}^3\text{.}$$

1. Encontrar una ecuación para el plano$$\Pi\text{.}$$
2. Encuentra el punto$$E$$ en el plano de$$\Pi$$ tal manera que la línea$$L$$ a través$$D = (6, 1, 2)$$ y$$E$$ es perpendicular a$$\Pi\text{.}$$
##### 10. ✳

Dejar$$A = (2, 3, 4)$$ y dejar$$L$$ ser la línea dada por las ecuaciones$$x + y = 1$$ y$$x + 2y + z = 3\text{.}$$

1. Escribir una ecuación para el plano que contiene$$A$$ y perpendicular a$$L\text{.}$$
2. Escribe una ecuación para el plano que contiene$$A$$ y$$L\text{.}$$
##### 11. ✳

Considera el plano$$4x + 2y - 4z = 3\text{.}$$ Encuentra todos los planos paralelos que estén$$2$$ a distancia del plano anterior. Sus respuestas deben estar en la siguiente forma:$$4x + 2y - 4z = C\text{.}$$

##### 12. ✳

Encuentra la distancia desde el punto$$(1,2,3)$$ hasta el plano que pasa por los puntos$$(0,1,1)\text{,}$$$$(1,-1,3)$$ y$$(2,0,-1)\text{.}$$

### Etapa 3

##### 13. ✳

Considera dos planos$$W_1\text{,}$$$$W_2\text{,}$$ y una línea$$M$$ definida por:

\begin{align*} W_1\ &:\ -2x + y + z = 7\\ W_2\ &:\ -x + 3y + 3z = 6\\ M\ &:\ \frac{x}{2} = \frac{2y-4}{4} = z + 5 \end{align*}

1. Encontrar una ecuación paramétrica de la línea de intersección$$L$$ de$$W_1$$ y$$W_2\text{.}$$
2. Encuentra la distancia de L a M.
##### 14

Encuentra la ecuación de la esfera que tiene los dos planos$$x+y+z=3,\ x+y+z=9$$ como planos tangentes si el centro de la esfera está en los planos$$2x-y=0,\ 3x-z=0\text{.}$$

##### 15

Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto$$(-2,0,1)$$ y por la línea de intersección de$$2x+3y-z=0,\ x-4y+2z=-5\text{.}$$

##### 16

Encuentra la distancia desde el punto$$\textbf{p}$$ hasta el avión$$\textbf{n}\cdot \textbf{x}= c\text{.}$$

##### 17

Describir el conjunto de puntos equidistantes desde$$(1,2,3)$$ y$$(5,2,7)\text{.}$$

##### 18

Describir el conjunto de puntos equidistantes desde$$\textbf{a}$$ y$$\textbf{b}\text{.}$$

##### 19. ✳

Considerar un punto$$P(5,-10,2)$$ y el triángulo con vértices$$A(0,1,1)\text{,}$$$$B(1,0,1)$$ y$$C(1,3,0)\text{.}$$

1. Calcula el área del triángulo$$ABC\text{.}$$
2. Encuentra la distancia desde el punto$$P$$ hasta el plano que contiene el triángulo.
##### 20. ✳

$(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=2 \nonumber$
Supongamos que estás$$(2,2,0)$$ en el punto$$S\text{,}$$ y planeas seguir el camino más corto$$S$$ para$$(2,1,-1)\text{.}$$ expresar tu dirección inicial como producto cruzado.