Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

1.5: Ecuaciones de Líneas en 3d

  • Page ID
    118859
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Al igual que en dos dimensiones, se puede especificar una línea en tres dimensiones dando un punto\((x_0,y_0,z_0)\) en la línea y un vector\(\textbf{d}=\left \langle  d_x,d_y,d_z \right \rangle \) cuya dirección es paralela a la de la línea. Si\((x,y,z)\) hay algún punto en la línea entonces el vector\(\left \langle  x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right \rangle \text{,}\) cuya cola está en\((x_0,y_0,z_0)\) y cuya flecha está en\((x,y,z)\text{,}\) debe ser paralelo a\(\textbf{d}\) y\(\textbf{d}\text{.}\) por lo tanto un múltiplo escalar de Al traducir esta declaración en una ecuación vectorial obtenemos

    Ecuación 1.5.1. Ecuaciones paramétricas de una línea

    \[\begin{gather*} \left \langle  x-x_0,y-y_0,z-z_0 \right \rangle =t \textbf{d} \end{gather*}\]

    o las tres ecuaciones escalares correspondientes

    \[\begin{gather*} x-x_0 = t d_x\qquad y-y_0 = t d_y\qquad z-z_0 = t d_z \end{gather*}\]

    Estas se llaman las ecuaciones paramétricas de la línea. Resolver las tres ecuaciones para el parámetro\(t\) (asumiendo que\(d_x\text{,}\)\(d_y\) y\(d_z\) son todas distintas de cero)

    \[\begin{gather*} t=\frac{x-x_0}{d_x}=\frac{y-y_0}{d_y}=\frac{z-z_0}{d_z} \end{gather*}\]

    y borrar el “\(t=\)” nuevamente da las (llamadas) ecuaciones simétricas para la línea.

    Aquí un ejemplo en el que encontramos las ecuaciones paramétricas de una línea que viene dada por la intersección de dos planos.

    Ejemplo 1.5.2

    El conjunto de puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(x+y+z=2\) forman un plano. El conjunto de puntos\((x,y,z)\) que obedecen\(x-y=0\) forman un segundo plano. El conjunto de puntos\((x,y,z)\) que obedecen a ambos\(x+y+z=2\) y\(x-y=0\) se encuentran en la intersección de estos dos planos y de ahí forman una línea. Encontraremos las ecuaciones paramétricas para esa línea.

    Para bosquejar\(x+y+z=2\) observamos que si dos cualesquiera de\(x,y,z\) son cero, entonces el tercero es\(2\text{.}\) Así que todos\((0,0,2)\text{,}\)\((0,2,0)\) y\((2,0,0)\) están en\(x+y+z=2\text{.}\) El plano\(x-y=0\) contiene todo el\(z\) -eje, ya que\((0,0,z)\) obedece\(x-y=0\) para todos\(z\text{.}\) Aquí están separados bocetos de (partes de) los dos planos.

    planeIntA.svgplaneIntB.svg

    Y aquí hay un boceto de su intersección

    planeInt.svg

    Método 1. Cada punto de la línea tiene un valor diferente de\(z\text{.}\) Vamos a utilizar\(z\) como parámetro. (También podríamos usar\(x\) o\(y\text{.}\)) No hay ninguna ley que nos obligue a usar el nombre del parámetro\(t\text{,}\) pero eso es lo que hemos hecho hasta ahora, así que establece\(t=z\text{.}\) Si\((x,y,z)\) está en la línea entonces\(z=t\) y

    \[\begin{align*} x+y+t&=2\\ x-y\phantom{\ \,+t}&=0 \end{align*}\]

    Las fuerzas de la segunda ecuación\(y=x\text{.}\) Sustituir esto en la primera ecuación da

    \[\begin{gather*} 2x+t=2 \implies x=y=1-\tfrac{t}{2} \end{gather*}\]

    Entonces las ecuaciones paramétricas son

    \[\begin{gather*} x=1-\frac{t}{2},\ y=1-\frac{t}{2},\ z=t\qquad\text{or}\qquad \left \langle  x-1,y-1,z \right \rangle = t\left \langle  -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right \rangle \end{gather*}\]

    Método 2. Primero encontramos un punto en la línea. Hay muchos de ellos. Encontraremos el punto con\(z=0\text{.}\) (También podríamos usar z=123.4, pero podría decirse que\(z=0\) es un poco más fácil.) Si\((x,y,z)\) está en la línea y\(z=0\text{,}\) luego

    \[\begin{align*} x+y&=2\\ x-y&=0 \end{align*}\]

    La segunda ecuación fuerza nuevamente\(y=x\text{.}\) Sustituir esto en la primera ecuación da

    \[\begin{gather*} 2x=2 \implies x=y=1 \end{gather*}\]

    Así\((1,1,0)\) está en la línea. Ahora encontraremos un vector de dirección,\(\textbf{d}\text{,}\) para la línea.

    • Dado que la línea está contenida en el plano\(x+y+z=2\text{,}\) cualquier vector que se encuentre en la línea, como también\(\textbf{d}\text{,}\) está completamente contenido en ese plano. Así que\(\textbf{d}\) debe ser perpendicular al vector normal del\(x+y+z=2\text{,}\) cual es\(\left \langle  1,1,1\right \rangle \text{.}\)
    • De igual manera, dado que la línea está contenida en el plano\(x-y=0\text{,}\) cualquier vector que se encuentre en la línea, como también\(\textbf{d}\text{,}\) está completamente contenido en ese plano. Así que\(\textbf{d}\) debe ser perpendicular al vector normal del\(x-y=0\text{,}\) cual es\(\left \langle  1,-1,0\right \rangle \text{.}\)

    Así que podemos elegir para\(\textbf{d}\) cualquier vector que sea perpendicular a ambos\(\left \langle  1,1,1\right \rangle \) y\(\left \langle  1,-1,0\right \rangle\text{,}\) como, por ejemplo,

    \[\begin{align*} \textbf{d}&=\left \langle  1,-1,0 \right \rangle\times\left \langle  1,1,1\right \rangle\\ & =\det\left[ \begin{matrix}\hat{\imath } &\hat{\jmath }&\hat{k}\\ 1&-1&0\\ 1&1&1\end{matrix}\right] =\hat{\imath }\det\left[\begin{matrix}-1&0\\ 1&1\end{matrix}\right] -\hat{\jmath }\det\left[\begin{matrix}1&0\\ 1&1\end{matrix}\right] +\hat{k}\det\left[\begin{matrix}1&-1\\ 1&1\end{matrix}\right]\\ &=-\hat{\imath }-\hat{\jmath }+2\hat{k} \end{align*}\]

    Ahora tenemos tanto un punto en la línea (es decir\((1,1,0)\)) como un vector de dirección para la línea (es decir\(\left \langle  -1,-1,2\right \rangle\)), así que, como de costumbre, las ecuaciones paramétricas para la línea son

    \[\begin{gather*} \left \langle x-1,y-1,z\right \rangle =t\left \langle  -1,-1,2\right \rangle \qquad\text{or}\qquad x=1-t,\ y=1-t,\ z=2t \end{gather*}\]

    Esto se ve un poco diferente a la solución del método 1, pero veremos en un momento que realmente son los mismos. Antes de eso, hagamos un método más.

    Método 3. Encontraremos dos puntos en la línea. Ya encontramos que\((1,1,0)\) está en la línea. De la imagen de arriba, parece que también\((0,0,2)\) está en la línea. Este es efectivamente el caso ya que\((0,0,2)\) obedece tanto\(x+y+z=2\) y\(x-y=0\text{.}\) Observe que también podríamos haber adivinado\((0,0,2)\) fijando\(x=0\) y luego resolviendo\(y+z=x+y+z=2\text{,}\)\(-y=x-y=0\) para\(x\) y\(y\text{.}\) Como ambos\((1,1,0)\) y\((0,0,2)\) están en la línea, el vector con la cabeza en \((1,1,0)\)y cola en la\((0,0,2)\text{,}\) que\(\left \langle  1-0,1-0,0-2\right \rangle =\left \langle  1,1,-2\right \rangle \text{,}\) es un vector de dirección para la línea. Como\((0,0,2)\) es un punto en la línea y\(\left \langle  1,1,-2\right \rangle \) es un vector de dirección para la línea, las ecuaciones paramétricas para la línea son

    \[\begin{gather*} \left \langle  x-0,y-0,z-2\right \rangle =t\left \langle  1,1,-2\right \rangle \qquad\text{or}\qquad x=t,\ y=t,\ z=2-2t \end{gather*}\]

    Esto también se ve similar, pero no del todo idéntico, a nuestras respuestas anteriores. Tiempo para una comparación.

    Comparando las respuestas. Las ecuaciones paramétricas dadas por los tres métodos son diferentes. Eso es solo porque realmente hemos usado diferentes parámetros en los tres métodos, a pesar de que hemos llamado al parámetro\(t\) en cada caso. Para aclarar la relación entre las tres respuestas, renombrar el parámetro del método 1\(t_1\text{,}\) al parámetro del método 2 a\(t_2\) y el parámetro del método 3 a\(t_3\text{.}\) Las ecuaciones paramétricas luego se convierten

    \[\begin{alignat*}{4} &\text{Method 1:}\qquad & x&=1-\frac{t_1}{2}\qquad & y&=1-\frac{t_1}{2}\qquad & z&=t_1\\ &\text{Method 2:}\qquad & x&=1-t_2\qquad & y&=1-t_2\qquad & z&=2t_2\\ &\text{Method 3:}\qquad & x&=t_3\qquad & y&=t_3\qquad & z&=2-2t_3 \end{alignat*}\]

    La sustitución\(t_1=2t_2\) en las ecuaciones del Método 1 da las ecuaciones del Método 2, y la sustitución\(t_3=1-t_2\) en las ecuaciones del Método 3 da las ecuaciones del Método 2. Entonces los tres realmente dan la misma línea, solo parametrizados un poco diferente.

    Advertencia 1.5.3. Una línea en tres dimensiones tiene infinitamente muchos vectores normales

    Por ejemplo, la línea

    \[ \left \langle  x-1,y-1,z\right \rangle=t\left \langle  1,2,-2\right \rangle \nonumber \]

    tiene vector de dirección\(\left \langle  1,2,-2\right \rangle\text{.}\) Cualquier vector perpendicular a\(\left \langle  1,2,-2\right \rangle \) es perpendicular a la línea. El vector\(\left \langle  n_1,n_2,n_3\right \rangle\) es perpendicular a\(\left \langle  1,2,-2\right \rangle\) si y solo si

    \[ 0= \left \langle 1,2,-2\right \rangle \cdot \left \langle  n_1,n_2,n_3\right \rangle = n_1+2n_2-2n_3 \nonumber \]

    Hay todo el plano de\(\left \langle  n_1,n_2,n_3\right \rangle\)'s obedeciendo esta condición, de los cuales\(\left \langle  2,-1,0\right \rangle\text{,}\)\(\left \langle  0,1,1\right \rangle\) y\(\left \langle  2,0,1\right \rangle\) son sólo tres ejemplos.

    Los siguientes dos ejemplos ilustran dos métodos diferentes para encontrar la distancia entre un punto y una línea.

    Ejemplo 1.5.4

    En este ejemplo, encontramos la distancia entre el punto\((2,3,-1)\) y la línea

    \[\begin{align*} L&:\ \left \langle  x-1,y-2,z-3 \right \rangle=t\left \langle  1,1,2 \right \rangle\\ &\quad \text{or, equivalently,}\quad x=1+t,\ y=2+t,\ z=3+2t \end{align*}\]

    El vector desde\((2,3,-1)\) hasta el punto\((1+t\,,\,2+t\,,\,3+2t)\) en\(L\) es\(\left \langle  t-1\,,\,t-1\,,\,2t+4 \right \rangle\text{.}\) El cuadrado de la distancia entre\((2,3,-1)\) y el punto\((1+t\,,\,2+t\,,\,3+2t)\) encendido\(L\) es el cuadrado de la longitud de ese vector, a saber

    \[ d(t)^2 = (t-1)^2 +(t-1)^2 +(2t+4)^2 \nonumber \]

    El punto sobre\(L\) eso es más cercano\((2,3,-1)\) es aquel cuyo valor de\(t\) obedece

    \[\begin{gather*} 0= \frac{d}{dt} d(t)^2 = 2(t-1) +2(t-1) + 2(2)(2t+4) \tag{\(*\)} \end{gather*}\]

    Antes de resolver esta ecuación para\(t\) y terminar nuestro cómputo, observamos que esta ecuación (dividida por\(2\)) dice que

    \[ \left \langle  1\,,\,1\,,\,2 \right \rangle\cdot\left \langle  t-1\,,\,t-1\,,\, 2t+4 \right \rangle = 0 \nonumber \]

    Es decir, el vector desde\((2,3,-1)\) el punto\(L\) más cercano\((2,3,-1)\) es perpendicular al vector\(L\) de dirección's.

    Ahora volvamos a nuestro cómputo. La ecuación\((*)\) simplifica a\(12t+12=0\text{.}\) Así que el óptimo\(t=-1\) y la distancia es

    \[\begin{gather*} d(-1) =\sqrt{(-1-1)^2+(-1-1)^2+(-2+4)^2} =\sqrt{12} \end{gather*}\]

    Ejemplo 1.5.5. Ejemplo 1.5.4 revisitado

    En este ejemplo, nuevamente encontramos la distancia entre el punto\((2,3,-1)\) y la línea

    \[ L:\ \left \langle  x-1,y-2,z-3 \right \rangle=t\left \langle  1,1,2 \right \rangle \nonumber \]

    pero utilizamos un método diferente. En la siguiente figura,\(Q\) se encuentra el punto\((2,3,-1)\text{.}\)

    pointDistProjB.svg

    Si dejamos caer una perpendicular de\(Q\) a la línea,\(L\text{,}\) golpea la línea\(L\) en el punto\(N\text{,}\) que es el punto en el\(L\) que está más cercano\(Q\text{.}\) Así que la distancia de\(Q\) a\(L\) es exactamente la distancia desde\(Q\) la\(N\text{,}\) que es exactamente la longitud del vector de\(Q\) a\(N\text{.}\) En la figura anterior,\(\vec{w}\) es el vector de\(Q\) a\(N\text{.}\) Ahora el vector\(\vec{w}\) tiene que ser perpendicular a la dirección vector para Es\(L\text{.}\) decir,\(\vec{w}\) tiene que ser perpendicular a\(\vec{d}=\left \langle  1,1,2 \right \rangle\text{.}\) Sin embargo, como vimos en Advertencia 1.5.3, hay una gran cantidad de vectores en diferentes direcciones que son perpendiculares a\(\vec{d}\text{.}\) Así que podrías pensar que es muy difícil incluso determinar la dirección de\(\vec{w}\text{.}\)

    Afortunadamente, no lo es. Aquí está la estrategia.

    • Elige cualquier punto\(L\) y llámalo\(P\text{.}\)
    • Es muy fácil encontrar el vector de\(P\) a\(N\) — es solo la proyección del vector de\(P\) a\(Q\) (llamado\(\vec{v}\) en la figura anterior) en\(\vec{d}\text{.}\)
    • Una vez\({\rm proj}_{\vec{d}}\,\vec{v}\text{,}\) que sepamos podremos calcular

      \[ \vec{w} = {\rm proj}_{\vec{d}}\,\vec{v} -\vec{v} \nonumber \]

    • y luego la distancia de\(Q\) a la línea\(L\) es solo\(|\vec{w}|\text{.}\)

    Aquí está el cómputo. Vamos\(P\) a elegir ser el punto en\(L\) que tiene\(t=0\text{,}\) que es\((1,2,3)\text{.}\) Así que el vector de\(P=(1,2,3)\) a\(Q=(2,3,-1)\) es

    \[ \vec{v} = \left \langle  2-1,3-2,-1-3\right \rangle=\left \langle  1,1,-4 \right \rangle \nonumber \]

    La proyección de\(\vec{v}=\left \langle  1,1,-4\right \rangle\) on\(\vec{d}=\left \langle  1,1,2 \right \rangle\) es

    \[ {\rm proj}_{\vec{d}}\,\vec{v} =\frac{\left \langle  1,1,-4 \right \rangle\cdot\left \langle 1,1,2 \right \rangle}{|\left \langle  1,1,2 \right \rangle|^2}\left \langle  1,1,2 \right \rangle =\frac{-6}{6}\left \langle  1,1,2 \right \rangle =\left \langle  -1,-1,-2 \right \rangle \nonumber \]

    y luego

    \[ \vec{w} = {\rm proj}_{\vec{d}}\,\vec{v} -\vec{v} = \left \langle  -1,-1,-2 \right \rangle -\left \langle  1,1,-4 \right \rangle = \left \langle  -2,-2,2 \right \rangle \nonumber \]

    y finalmente la distancia de\(Q\) a la línea\(L\) es

    \[ |\vec{w}| = |\left \langle  -2,-2,2 \right \rangle| =|2\left \langle  -1,-1,1 \right \rangle| =2\sqrt{3} \nonumber \]

    Los siguientes dos ejemplos (opcionales) ilustran dos métodos diferentes para encontrar la distancia entre dos líneas.

    Ejemplo 1.5.6. (Opcional) Distancia entre líneas

    En este ejemplo, encontramos la distancia entre las líneas

    \[\begin{align*} L&:\ \left \langle  x-1,y-2,z-3 \right \rangle = t \left \langle  1,0,-1  \right \rangle\\ L'&:\ \left \langle  x-1,y-2,z-1 \right \rangle = t \left \langle  1,-2,1  \right \rangle \end{align*}\]

    Podemos reescribir las ecuaciones de las líneas como

    \[\begin{align*} L&:\ x=1+t,\ y=2,\ z=3-t\\ L'&:\ x=1+t,\ y=2-2t,\ z=1+t \end{align*}\]

    Por supuesto el valor de\(t\) en la ecuación paramétrica para no\(L\) necesita ser el mismo que el valor de\(t\) en la ecuación paramétrica para\(L'\text{.}\) Así que denotemos por\(\vec{x}(s) = (1+s\,,\,2\,,\,3-s)\) y\(\vec{y}(t) = (1+t\,,\,2-2t\,,\,1+t)\) los puntos en\(L\) y\(L'\text{,}\) respectivamente, que están más cerca juntos. Obsérvese que el vector de\(\vec{x}(s)\) a\(\vec{y}(t)\) es\(\left \langle  t-s\,,\,-2t\,,\,-2+s+t  \right \rangle\text{.}\) Entonces, en particular,

    • \(\vec{x}(s)\)es el punto sobre el\(L\) que está más cerca del punto\(\vec{y}(t)\text{,}\) y
    • \(\vec{y}(t)\)es el punto en el\(L'\) que está más cerca del punto\(\vec{x}(s)\text{.}\)

    Entonces, como vimos en el Ejemplo 1.5.4, el vector,\(\left \langle  t-s\,,\,-2t\,,\,-2+s+t  \right \rangle\text{,}\) que se une\(\vec{x}(s)\) y\(\vec{y}(t)\text{,}\) debe ser perpendicular tanto al vector de dirección de como al vector de\(L\) dirección de\(L'\text{.}\) Consecuentemente

    \[\begin{alignat*}{2} 0&= \left \langle  1,0,-1 \right \rangle\cdot\left \langle  t-s\,,\,-2t\,,\,-2+s+t  \right \rangle &&= \phantom{-}2-2s\\ 0&= \left \langle  1,-2,1 \right \rangle\cdot\left \langle  t-s\,,\,-2t\,,\,-2+s+t  \right \rangle &&=-2+6t \end{alignat*}\]

    Así\(s=1\) y\(t=\frac{1}{3}\) y la distancia entre\(L\) y\(L'\) es

    \[\begin{align*} \big|\left \langle  t-s\,,\,-2t\,,\,-2+s+t  \right \rangle\big|_{s=1,\ t=1/3} &=\big|\left \langle  -2/3\,,\,-2/3\,,\,-2/3  \right \rangle\big|\\ &=\frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*}\]

    Ejemplo 1.5.7. Ejemplo 1.5.6 revisado, de nuevo opcional

    En este ejemplo, nuevamente encontramos la distancia entre las líneas

    \[\begin{align*} L&:\ \left \langle  x-1,y-2,z-3 \right \rangle = t \left \langle  1,0,-1  \right \rangle\\ L'&:\ \left \langle  x-1,y-2,z-1 \right \rangle = t \left \langle  1,-2,1  \right \rangle \end{align*}\]

    esta vez usando una proyección, tanto como en el Ejemplo 1.4.5. El procedimiento, que se justificará a continuación, es

    • primero formar un vector\(\vec{n}\) que es perpendicular a los vectores de dirección de ambas líneas tomando el producto cruzado de los dos vectores de dirección. En este ejemplo,

      \[\begin{align*} \left \langle  1,0,-1 \right \rangle \times\left \langle  1,-2,1 \right \rangle & = \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}}&\hat{\pmb{\jmath}}&\hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 &-2 & 1\end{matrix}\right] = -2\hat{\pmb{\imath}} -2 \hat{\pmb{\jmath}} -2\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

      Como solo queremos\(\hat{\mathbf{n}}\) ser perpendiculares a ambos vectores de dirección, podemos simplificar nuestros cálculos dividiendo este vector por\(-2\text{,}\) y tomar\(\vec{n} = \left \langle  1,1,1  \right \rangle\text{.}\)
    • A continuación, encuentra un punto encendido\(L\) y un punto encendido\(L'\) y resta para formar un vector\(\vec{v}\) cuya cola está en un punto y cuya cabeza está en el otro punto. Este vector va de una línea a la otra línea. En este ejemplo, el punto\((1,2,3)\) está encendido\(L\) (solo establecido\(t=0\) en la ecuación para\(L\)) y el punto\((1,2,1)\) está encendido\(L'\) (solo establecido\(t=0\) en la ecuación para\(L'\)), para que podamos tomar

      \[ \vec{v} = \left \langle  1-1\,,\,2-2\,,\,3-1 \right \rangle = \left \langle  0,0,2 \right \rangle \nonumber \]

    • La distancia entre las dos líneas es la longitud de la proyección de\(\vec{v}\) on\(\vec{n}\text{.}\) En este ejemplo, por 1.2.14, la distancia es

      \[\begin{align*} \big|{\rm proj}_{\vec{n}}\,\vec{v}\big| &=\left|\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|^2}\,\vec{n}\right| =\frac{|\vec{v}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\\ &= \frac{|\left \langle  0,0,2 \right \rangle\cdot\left \langle  1,1,1 \right \rangle|}{|\left \langle  1,1,1 \right \rangle|}\\ &= \frac{2}{\sqrt{3}} \end{align*}\]

      tal como encontramos en el Ejemplo 1.5.6

    Ahora bien, aquí está la justificación del procedimiento.

    • Como hicimos en el Ejemplo 1.5.6, denotan por\(\vec{x}(s)\) y\(\vec{y}(t)\) los puntos sobre\(L\) y\(L'\text{,}\) respectivamente, que están más próximos entre sí. Obsérvese que, como observamos en el Ejemplo 1.5.6, el vector de\(\vec{x}(s)\) a\(\vec{y}(t)\) es perpendicular a los vectores de dirección de ambas líneas, y por lo tanto es paralelo a\(\vec{n}\text{.}\)
    • Denote por\(P\) el plano\(\vec{x}(s)\) que es perpendicular a\(\vec{n}\text{.}\) As\(\vec{x}(s)\) está encendido\(L\) y el vector de dirección de\(L\) es perpendicular a\(\vec{n}\text{,}\) la línea\(L\) está contenido en\(P\text{.}\)
    • Denote por\(P'\) el plano\(\vec{y}(t)\) que es perpendicular a\(\vec{n}\text{.}\) As\(\vec{y}(t)\) está encendido\(L'\) y el vector de dirección de\(L'\) es perpendicular a\(\vec{n}\text{,}\) la línea\(L'\) está contenido en\(P'\text{.}\)
    • Los planos\(P\) y\(P'\) son paralelos entre sí. Como\(\vec{x}(s)\) está encendido\(P\) y\(\vec{y}(t)\) está encendido\(P'\text{,}\) y el vector de\(\vec{x}(s)\) a\(\vec{y}(t)\) es perpendicular a ambos\(P\) y\(P'\text{,}\) la distancia de\(P\) a\(P'\) es exactamente la longitud del vector de\(\vec{x}(s)\) a\(\vec{y}(t)\text{.}\) Esa es también la distancia de\(L\) a\(L'\text{.}\)
    • El vector\(\vec{v}\) construido en el procedimiento anterior es un vector entre\(L\)\(L'\) y y así también es un vector entre\(P\) y\(P'\text{.}\) Mirando la figura de abajo 1, vemos que el vector de\(\vec{x}(s)\) a\(\vec{y}(t)\) es (hasta un signo) la proyección de\(\vec{v}\) en\(\vec{n}\text{.}\)
      planeDistB.svg
    • Entonces, la distancia de\(P\) a\(P'\text{,}\) y por lo tanto la distancia de\(L\) a\(L'\text{,}\) es exactamente la longitud de\({\rm proj}_{\vec{n}}\vec{v}\text{.}\)

    Ejercicios

    Etapa 1

    1

    ¿Qué tiene de malo el siguiente ejercicio?

    “Dar una ecuación para la línea que pasa por el punto\((3,1,3)\) que es normal a los vectores\(\left \langle  4,-6,2  \right \rangle\) y\(\left \langle \frac13,-\frac12,\frac16  \right \rangle\text{.}\)

    2

    Encuentra, si es posible, cuatro líneas en 3d con

    • no hay dos de las líneas paralelas entre sí y
    • no hay dos de las líneas que se cruzan.

    Etapa 2

    3

    Encuentre una ecuación paramétrica vectorial para la línea de intersección de los planos dados.

    1. \(x-2z=3\)y\(y+\frac{1}{2} z=5\)
    2. \(2x-y-2z=-3\)y\(4x-3y-3 z=-5\)
    4

    Determinar una ecuación vectorial para la línea de intersección de los planos

    1. \(x+y+z=3\)y\(x+2y+3z=7\)
    2. \(x+y+z=3\)y\(2x+2y+2z=7\)
    5

    En cada caso, determine si el par de líneas dado se cruzan o no. También encuentra todos los planos que contienen el par de líneas.

    1. \(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  -3,2,4 \right \rangle+t\left \langle  -4,2,1 \right \rangle\)y\(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  2,1,2 \right \rangle+t\left \langle  1,1,-1 \right \rangle\)
    2. \(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  -3,2,4 \right \rangle+t\left \langle  -4,2,1 \right \rangle\)y\(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  2,1,-1 \right \rangle+t\left \langle  1,1,-1 \right \rangle\)
    3. \(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  -3,2,4 \right \rangle+t\left \langle  -2,-2,2 \right \rangle\)y\(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  2,1,-1 \right \rangle+t\left \langle  1,1,-1 \right \rangle\)
    4. \(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  3,2,-2 \right \rangle+t\left \langle  -2,-2,2 \right \rangle\)y\(\left \langle  x,y,z \right \rangle = \left \langle  2,1,-1 \right \rangle+t\left \langle  1,1,-1 \right \rangle\)
    6

    Encuentra la ecuación de la línea pasante\((2,-1,-1)\) y paralela a cada uno de los dos planos\(x+y=0\) y\(x-y+2z=0\text{.}\) expresa las ecuaciones de la línea en formas paramétricas vectoriales y escalares y en forma simétrica.

    7.

    Dejar\(L\) ser la línea dada por las ecuaciones\(x + y = 1\) y\(x + 2y + z = 3\text{.}\) Escribir una ecuación paramétrica vectorial para\(L\text{.}\)

    8
    1. Buscar una ecuación paramétrica vectorial para la línea\(x+2y+3z=11,\ x-2y+z=-1\text{.}\)
    2. Encuentra la distancia desde\((1,0,1)\) la línea\(x+2y+3z=11,\ x-2y+z=-1\text{.}\)
    9

    Dejar\(L_1\) ser la línea que pasa a través\((1,-2,-5)\) en la dirección de\(\vec{d}_1=\left \langle  2,3,2 \right \rangle\text{.}\) Let\(L_2\) be la línea que pasa a través\((-3,4,-1)\) en la dirección\(\vec{d}_2=\left \langle  5,2,4 \right \rangle\text{.}\)

    1. Encuentra la ecuación del plano\(P\) que contiene\(L_1\) y es paralela a\(L_2\text{.}\)
    2. Encuentra la distancia de\(L_2\) a\(P\text{.}\)
    10.

    Dejar\(L\) ser una línea que es paralela al plano\(2x + y - z = 5\) y perpendicular a la línea\(x = 3 - t\text{,}\)\(y = 1 - 2t\) y\(z = 3t\text{.}\)

    1. Encuentra un vector paralelo a la línea\(L\text{.}\)
    2. Encuentra ecuaciones paramétricas para la línea\(L\) si\(L\) pasa por un punto\(Q(a, b, c)\) donde\(a \lt 0\text{,}\)\(b \gt 0\text{,}\)\(c \gt 0\text{,}\) y las distancias desde\(Q\) el\(xy\) plano —, el\(xz\) plano —y el\(yz\) plano —son\(2\text{,}\)\(3\) y\(4\) respectivamente.
    11.

    Dejar\(L\) ser la línea de intersección de los planos\(x + y + z = 6\) y\(x - y + 2z = 0\text{.}\)

    1. Encuentra los puntos en los que la línea\(L\) intersecta los planos de coordenadas.
    2. Buscar ecuaciones paramétricas para la línea a través del punto\((10, 11, 13)\) que es perpendicular a la línea\(L\) y paralelo al plano\(y = z\text{.}\)
    12.

    La línea\(L\) tiene ecuación paramétrica vectorial\(\vec{r}(t) = (2 + 3t)\hat{\pmb{\imath}} + 4t\hat{\pmb{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

    1. Escribe las ecuaciones simétricas para\(L\text{.}\)
    2. Dejar\(\alpha \) ser el ángulo entre la línea\(L\) y el plano dado por la ecuación\(x - y + 2z = 0\text{.}\) Find\(\alpha \text{.}\)
    13.

    Encontrar la ecuación paramétrica para la línea de intersección de los planos

    \[ x + y + z = 11\qquad \text{and}\qquad x - y - z = 13. \nonumber \]

    14.
    1. Encontrar un punto en el eje y equidistante de\((2, 5, -3)\) y\((-3, 6, 1)\text{.}\)
    2. Encuentra la ecuación del plano que contiene el punto\((1, 3, 1)\) y la línea\(\vec{r}(t) = t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\,\hat{\pmb{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)

    Etapa 3

    15.

    Let\(A=(0,2,2)\text{,}\)\(B=(2,2,2)\text{,}\)\(C=(5,2,1)\text{.}\)

    1. Encuentra las ecuaciones paramétricas para la línea que contiene\(A\) y es perpendicular al triángulo\(ABC\text{.}\)
    2. Encuentra la ecuación del conjunto de todos los puntos\(P\) tal que\(\overrightarrow{PA}\) sea perpendicular a\(\overrightarrow{PB}\text{.}\) Este conjunto forma un Plano/Línea/Esfera/Cono/Paraboloide/Hiperboloide (círculo uno) en el espacio.
    3. Una fuente de luz en el origen brilla en el triángulo\(ABC\) haciendo una sombra en el plano\(x+7y+z=32\text{.}\) (Ver el diagrama.) Encuentra\(\tilde A\text{.}\)

    OE16D_1.svg

    16

    Dejar\(P,\ Q,\ R\) y\(S\) ser los vértices de un tetraedro. Denotar por\(\vec{p},\ \vec{q},\ \vec{r}\) y\(\vec{s}\) los vectores desde el origen hasta\(P,\ Q,\ R\) y\(S\) respectivamente. Se dibuja una línea desde cada vértice hasta el centroide de la cara opuesta, donde se encuentra el centroide de un triángulo con vértices\(\vec{a},\ \vec{b}\) y\(\vec{c}\) es\(\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\text{.}\) Mostrar que estas cuatro líneas se encuentran en\(\frac{1}{4}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}+\vec{s}\)).

    17

    Calcular la distancia entre las líneas\(\frac{x+2}{3}=\frac{y-7}{-4}=\frac{z-2}{4}\) y\(\frac{x-1}{-3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z+1}{1}\text{.}\)

    1. y posiblemente revisando la Definición 1.2.13 de proyección

    This page titled 1.5: Ecuaciones de Líneas en 3d is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.