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1.7: Croquizar superficies en 3d

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    118860
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En la práctica, los estudiantes que toman cálculos multivariables regularmente tienen grandes dificultades para visualizar superficies en tres dimensiones, a pesar de que todos vivimos en tres dimensiones. Ahora desarrollaremos alguna técnica que nos ayude a bosquejar superficies en tres dimensiones 1.

    Todos tenemos bastante experiencia dibujando curvas en dos dimensiones. Normalmente, la intersección de una superficie (en tres dimensiones) con un plano es una curva que se encuentra en el plano (bidimensional). Tal intersección generalmente se llama sección transversal. En el caso especial de que el plano sea uno de los planos de coordenadas, la intersección a veces se denomina traza. A menudo se puede tener una idea bastante buena de cómo se ve una superficie dibujando un montón de secciones transversales. Aquí hay algunos ejemplos.

    Ejemplo 1.7.1. \(4x^2+y^2-z^2=1\)

    Croquis de la superficie que satisface\(4x^2+y^2-z^2=1\text{.}\)

    Solución

    Comenzaremos fijando cualquier número\(z_0\) y dibujando la parte de la superficie que se encuentra en el plano horizontal\(z=z_0\text{.}\)

    zedzeroPlane.svg

    La intersección de nuestra superficie con ese plano horizontal es una sección transversal horizontal. Cualquier punto que\((x,y,z)\) se encuentre en esa sección transversal horizontal satisface tanto

    \[\begin{align*} &z=z_0\ \ \text{and}\ \ 4x^2+y^2-z^2=1\\ \iff &z=z_0\ \ \text{and}\ \ 4x^2+y^2=1+z_0^2 \end{align*}\]

    Piense\(z_0\) en como una constante. Entonces\(4x^2+y^2=1+z_0^2\) es una curva en el\(xy\) plano -. Como\(1+z_0^2\) es una constante, la curva es una elipse. Para determinar sus semiejes 2, observamos que cuando\(y=0\text{,}\) tenemos\(x=\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+z_0^2}\) y cuando\(x=0\text{,}\) tenemos\(y=\pm\sqrt{1+z_0^2}\text{.}\) Así que la curva es solo una elipse con\(x\) semieje\(\frac{1}{2}\sqrt{1+z_0^2}\) y\(y\) semieje\(\sqrt{1+z_0^2}\text{.}\) Es fácil de bosquejar.

    ellipse.svg

    Recuerda que esta elipse es la parte de nuestra superficie que se encuentra en el plano\(z=z_0\text{.}\) Imagina que el boceto de la elipse está en una sola hoja de papel. Levante la hoja de papel hacia arriba, muévala para que los\(y\) ejes\(x\) - y -apunten en las direcciones de los\(y\) ejes tridimensionales\(x\) - y -y coloque la hoja de papel en el boceto tridimensional a la altura\(z_0\text{.}\) Esto da una sola elipse horizontal en 3d, como en el figura a continuación.

    hyperboloidZX.svg

    Podemos construir toda la superficie apilando muchas de estas elipses horizontales —una por cada altura posible\(z_0\text{.}\) Así que ahora dibujamos algunas de ellas como en la figura de abajo. Para reducir la cantidad de desorden en el boceto, solo hemos dibujado el primer octante (es decir, la parte de tres dimensiones que tiene\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\) y\(z\ge 0\)).

    hyperboloidZXB.svg

    He aquí por qué está bien, en este caso, simplemente esbozar el primer octante. Reemplazar\(x\) por\(-x\) en la ecuación\(4x^2+y^2-z^2=1\) no cambia la ecuación. Eso significa que un punto\((x,y,z)\) está en la superficie si y sólo si el punto\((-x,y,z)\) está en la superficie. Entonces la superficie es invariante bajo reflexión en el\(yz\) plano. De igual manera, la ecuación\(4x^2+y^2-z^2=1\) no cambia cuando\(y\) es reemplazada por\(-y\) o\(z\) es reemplazada por\(-z\text{.}\) Nuestra superficie también es reflexión invariante en los\(yz\) planos\(xz\) - y -. Una vez que tenemos la parte en el primer octante, los octantes restantes se pueden obtener simplemente reflexionando sobre los planos de coordenadas.

    Podemos obtener un boceto más significativo visualmente agregando algunas secciones transversales verticales. \(y=0\)Las secciones transversales\(x=0\) y (también llamadas trazas — son las partes de nuestra superficie que están en los\(xz\) planos\(yz\) - y -respectivamente) son

    \[ x=0,\ y^2-z^2=1\qquad\text{and}\qquad y=0,\ 4x^2-z^2=1 \nonumber \]

    Estas ecuaciones describen las hipérbolas 3. Si no recuerdas cómo bosquejarlos, no te preocupes. Ya lo haremos. Primero los esbozaremos en 2d. Desde

    \[\begin{alignat*}{2} y^2&=1+z^2 & \quad\implies\quad &|y|\ge 1\\ &&&\text{ and }\quad y=\pm 1\text{ when }z=0\\ &&&\text{ and }\quad\text{for large } z,\ y\approx\pm z\\ 4x^2&=1+z^2 & \quad\implies\quad &|x|\ge \tfrac{1}{2}\\ &&&\text{ and }\quad x=\pm\tfrac{1}{2}\text{ when }z=0\\ &&&\text{ and }\quad\text{for large } z,\ x\approx\pm \tfrac{1}{2}z \end{alignat*}\]

    los bocetos son

    hyperbolaXa.svghyperbolaYa.svg

    Ahora los incorporaremos al boceto 3d. Una vez más imagina que cada uno es una sola hoja de papel. Recoge cada uno y muévelo al boceto 3d, haciendo coincidir cuidadosamente los ejes. Las partes rojas (azules) de las hipérbolas de arriba se convierten en las partes rojas (azules) del boceto 3d a continuación (asumiendo, por supuesto, que estás viendo esto en una pantalla a color).

    hyperboloidBa.svg

    Ahora que tenemos una idea bastante buena de cómo se ve la superficie podemos limpiar y simplificar el boceto. Aquí hay un par de posibilidades.

    hyperboloidC.svghyperboloidD.svg

    Aquí hay dos figuras creadas por software gráfico.

    hyperboloid1sheet.svghyperboloid1sheetDD.svg

    Este tipo de superficie se llama hiperboloide de una hoja.

    También hay hiperboloides de dos láminas. Por ejemplo, reemplazando el\(+1\) en el lado derecho de\(x^2+y^2-z^2=1\) da\(x^2+y^2-z^2=-1\text{,}\) que es un hiperboloide de dos hojas. Lo esbozaremos rápidamente en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 1.7.2. \(4x^2+y^2-z^2=-1\)

    Croquis de la superficie que satisface\(4x^2+y^2-z^2=-1\text{.}\)

    Solución

    Como en el último ejemplo, comenzaremos fijando cualquier número\(z_0\) y esbozando la parte de la superficie que se encuentra en el plano horizontal\(z=z_0\text{.}\) La intersección de nuestra superficie con ese plano horizontal es

    \[\begin{align*} &z=z_0\ \ \text{and}\ \ 4x^2+y^2=z_0^2-1 \end{align*}\]

    Piense\(z_0\) en como una constante.

    • Si\(|z_0| \lt 1\text{,}\) entonces\(z_0^2-1 \lt 0\) y no hay soluciones para\(x^2+y^2=z_0^2-1\text{.}\)
    • Si\(|z_0|=1\) hay exactamente una solución, a saber\(x=y=0\text{.}\)
    • Si\(|z_0| \gt 1\) entonces\(4x^2+y^2=z_0^2-1\) es una elipse con\(x\) semieje\(\frac{1}{2}\sqrt{z_0^2-1}\) y\(y\) semieje\(\sqrt{z_0^2-1}\text{.}\) Estos semiejes son pequeños cuando\(|z_0|\) está cerca\(1\) y crecen a medida que\(|z_0|\) aumenta.

    Las primeras partes octante de algunas de estas secciones transversales horizontales se dibujan en la siguiente figura.

    hyperboloidZXBB.svg

    A continuación agregamos en las\(y=0\) secciones transversales\(x=0\) y (es decir, las partes de nuestra superficie que están en los\(xz\) planos\(yz\) - y -respectivamente)

    \[ x=0,\ z^2=1+y^2\qquad\text{and}\qquad y=0,\ z^2=1+4x^2 \nonumber \]

    hyperboloidBaa.svg

    Ahora que tenemos una idea bastante buena de cómo se ve la superficie, limpiamos y simplificamos el boceto.

    Aquí hay dos figuras creadas por software gráfico.

    hyperboloid2sheet.svghyperboloid2sheetDD.svg

    Este tipo de superficie se llama hiperboloide de dos láminas.

    Ejemplo 1.7.3. \(yz=1\)

    Croquizar la superficie\(yz=1\text{.}\)

    Solución

    Esta superficie tiene una propiedad especial que hace que sea relativamente fácil de dibujar. No\(x\) hay hay en la ecuación\(yz=1\text{.}\) Eso significa que si algunos\(y_0\) y\(z_0\) obedecen\(y_0z_0=1\text{,}\) entonces el punto\((x,y_0,z_0)\) se encuentra en la superficie\(yz=1\) para todos los valores de\(x\text{.}\) As\(x\) corre desde\(-\infty\) hasta\(\infty\text{,}\) el punto\((x,y_0,z_0)\) barre una recta línea paralela al\(x\) eje -. Entonces la superficie\(yz=1\) es una unión de líneas paralelas al\(x\) eje -eje. Es invariante bajo traducciones paralelas al\(x\) eje -eje. Para bosquejar solo\(yz=1\text{,}\) necesitamos bosquejar su intersección con el\(yz\) plano y luego trasladar la curva resultante paralela al\(x\) eje -para barrer la superficie.

    Comenzaremos con un boceto de la hipérbola\(yz=1\) en dos dimensiones.

    hyperbola3.svg

    A continuación moveremos este boceto 2d al\(yz\) plano -plano, es decir, el plano\(x=0\text{,}\) en 3d, excepto que solo dibujaremos en la parte en el primer octante.

    hyperbolicCylinderA.svg

    El dibujaremos en\(x=x_0\) secciones transversales para un par de valores más de\(x_0\)

    hyperbolicCylinderB.svg

    y limpiar un poco el boceto

    Aquí hay dos figuras creadas por software gráfico.

    hypCylinder.svghypCylinderDD.svg

    Ejemplo 1.7.4. \(xyz=4\)

    Croquizar la superficie\(xyz=4\text{.}\)

    Solución

    Dibujaremos esta superficie usando casi el mismo procedimiento que usamos en los Ejemplos 1.7.1 y 1.7.2. Sólo esbozaremos la parte de la superficie en el primer octante. Las partes restantes (en los octantes\(x,y \lt 0\text{,}\)\(z\ge 0\text{,}\) con\(x,z \lt 0\text{,}\)\(y\ge 0\) y con\(y,z \lt 0\text{,}\)\(x\ge0\)) son solo reflejos de la primera parte octante.

    Como es habitual, comenzamos fijando cualquier número\(z_0\) y esbozando la parte de la superficie que se encuentra en el plano horizontal\(z=z_0\text{.}\) La intersección de nuestra superficie con ese plano horizontal es la hipérbola

    \[\begin{align*} &z=z_0\ \ \text{and}\ \ xy=\frac{4}{z_0} \end{align*}\]

    Obsérvese que\(x\rightarrow\infty\) as\(y\rightarrow 0\) y eso\(y\rightarrow\infty\) como\(x\rightarrow 0\text{.}\) Así la hipérbola tiene tanto el\(x\) eje -eje como el\(y\) -eje como asíntotas, cuando se dibuja en el\(xy\) plano -. Las primeras partes octantes de algunas de estas secciones transversales horizontales (es decir,\(z_0=4\text{,}\)\(z_0=2\) y\(z_0=\frac{1}{2}\)) se dibujan en la siguiente figura.

    seatB.svg

    A continuación agregamos algunas secciones transversales verticales. No podemos usar\(x=0\) o\(y=0\) porque cualquier punto\(xyz=1\) debe tener todo\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\) distinto de cero. Entonces usamos

    \[ x=4,\ yz=1\qquad\text{and}\qquad y=4,\ xz=1 \nonumber \]

    en su lugar. De nuevo son hipérbolas.

    seatC.svg

    Por último, limpiamos y simplificamos el boceto.

    seatA.svg

    Aquí hay dos figuras creadas por software gráfico.

    xyzSurfB.svgxyzSurfDD.svg

    Superficies y curvas de nivel

    Muchas veces la razón por la que te interesa una superficie en 3d es que es la gráfica\(z=f(x,y)\) de una función de dos variables\(f(x,y)\text{.}\) Otra buena forma de visualizar el comportamiento de una función\(f(x,y)\) es bosquejar lo que se llama sus curvas de nivel. Por definición, una curva de nivel de\(f(x,y)\) es una curva cuya ecuación es\(f(x,y)=C\text{,}\) para alguna constante\(C\text{.}\) Es el conjunto de puntos en el\(xy\) plano -donde\(f\) toma el valor\(C\text{.}\) Debido a que es una curva en 2d, suele ser más fácil de esbozar que la gráfica de\(f\text{.}\) Aquí hay una par de ejemplos.

    Ejemplo 1.7.5. \(f(x,y) = x^2+4y^2-2x+2\)

    Esbozar las curvas de nivel de\(f(x,y) = x^2+4y^2-2x+2\text{.}\)

    Solución

    Fijar cualquier número real\(C\text{.}\) Entonces, para la función especificada\(f\text{,}\) la curva de nivel\(f(x,y)=C\) es el conjunto de puntos\((x,y)\) que obedecen

    \[\begin{align*} x^2+4y^2-2x+2=C &\iff x^2-2x+1 + 4y^2 +1 =C\\ &\iff (x-1)^2 + 4y^2 = C-1 \end{align*}\]

    Ahora\((x-1)^2 + 4y^2\) es la suma de dos cuadrados, y así es siempre al menos cero. Entonces\(C-1 \lt 0\text{,}\), si es decir, si no\(C \lt 1\text{,}\) hay curva\(f(x,y)=C\text{.}\) Si\(C-1=0\text{,}\) es decir,\(f(x,y)=C-1=0\) si\(C=1\text{,}\) entonces si y solo si ambos\((x-1)^2=0\) y\(4y^2=0\) y así la curva de nivel consiste en el único punto\((1,0)\text{.}\) Si\(C \gt 1\text{,}\) entonces\(f(x,y)=C\) se convierte en el\((x-1)^2+4y^2=C-1 \gt 0\) que describe una elipse centrado en\((1,0)\text{.}\) Se cruza con el\(x\) eje -cuando\(y=0\) y

    \[ (x-1)^2 = C-1 \iff x-1=\pm\sqrt{C-1} \iff x=1\pm \sqrt{C-1} \nonumber \]

    e intersecta la línea\(x=1\) (es decir, la línea vertical a través del centro) cuando

    \[ 4y^2 = C-1 \iff 2y=\pm\sqrt{C-1} \iff y=\pm\tfrac{1}{2} \sqrt{C-1} \nonumber \]

    Entonces, cuando\(C \gt 1\text{,}\)\(f(x,y)=C\) se centra la elipse\((1,0)\) con\(x\) semieje\(\sqrt{C-1} \) y\(y\) semieje\(\tfrac{1}{2}\sqrt{C-1}\text{.}\) Aquí hay un boceto de algunas curvas de nivel representativas de\(f(x,y) = x^2+4y^2-2x+2\text{.}\)

    ellipseLevelB.svg

    A menudo es más fácil desarrollar una comprensión del comportamiento de una función\(f(x,y)\) mirando un boceto de sus curvas de nivel, que mirando un boceto de su gráfica. Por otro lado, también se puede utilizar un boceto de las curvas de nivel de\(f(x,y)\) como primer paso en la construcción de un boceto de la gráfica\(z=f(x,y)\text{.}\) El siguiente paso sería volver a dibujar, para cada una\(C\text{,}\) la curva de nivel\(f(x,y)=C\text{,}\) en el plano\(z=C\text{,}\) como hicimos en el Ejemplo 1.7.1.

    Ejemplo 1.7.6. \(e^{x+y+z}=1\)

    La función\(f(x,y)\) viene dada implícitamente por la ecuación\(e^{x+y+z}=1\text{.}\) Esbozar las curvas de nivel de\(f\text{.}\)

    Solución

    Este no es tan desagradable como parece. Que “\(f(x,y)\)se da implícitamente por la ecuación\(e^{x+y+z}=1\)” significa que, para cada\(x,y\text{,}\) la solución\(z\) de\(e^{x+y+z}=1\) es\(f(x,y)\text{.}\) Así, para la función especificada\(f\) y cualquier número real fijo\(C\text{,}\) la curva de nivel\(f(x,y)=C\) es el conjunto de puntos\((x,y)\) que obedecen

    \[\begin{align*} e^{x+y+C}=1 &\iff x+y+C = 0\qquad\text{(by taking the logarithm of both sides)}\\ &\iff x+y = -C \end{align*}\]

    Esto es, por supuesto, una línea recta. Se cruza con el\(x\) -eje cuando\(y=0\) y\(x=-C\) y se cruza con el\(y\) -eje cuando\(x=0\) y\(y=-C\text{.}\) Aquí hay un boceto de algunas curvas de nivel.

    planeLevel.svg

    Acabamos de ver que esbozar las curvas de nivel de una función\(f(x,y)\) puede ayudarnos a entender el comportamiento de\(f\text{.}\) Podemos generalizar esto a funciones\(F(x,y,z)\) de tres variables. Una superficie nivelada de\(F(x,y,z)\) es una superficie cuya ecuación es de la forma\(F(x,y,z)=C\) para alguna constante\(C\text{.}\) Es el conjunto de puntos\((x,y,z)\) en los que\(F\) toma el valor\(C\text{.}\)

    Ejemplo 1.7.7. \(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)

    Dejar\(F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\text{.}\) Si\(C \gt 0\text{,}\) entonces la superficie nivelada\(F(x,y,z)=C\) es la esfera de radio\(\sqrt{C}\) centrada en el origen. Aquí hay un boceto de las partes de las superficies niveladas\(F=1\) (radio\(1\)),\(F=4\) (radio\(2\)) y\(F=9\) (radio\(3\)) que se encuentran en el primer octante.

    spherA.svg

    Ejemplo 1.7.8. \(F(x,y,z)=x^2+z^2\)

    Dejar\(F(x,y,z)=x^2+z^2\) y\(C \gt 0\text{.}\) Considerar la superficie nivelada\(x^2+z^2=C\text{.}\) La variable\(y\) no aparece en esta ecuación. Entonces para cualquier fijo\(y_0\text{,}\) la intersección de la nuestra superficie\(x^2+z^2=C\) con el plano\(y=y_0\) es el círculo de radio\(\sqrt{C}\) centrado en\(x=z=0\text{.}\) Aquí hay un boceto de la primera parte del cuadrante de uno de esos círculos.

    cylB.svg

    La superficie completa es la pila horizontal de todos esos círculos con\(y_0\)\(\mathbb{R}\text{.}\) atropello Es el cilindro de radio\(\sqrt{C}\) centrado en el\(y\) eje -eje. Aquí hay un boceto de las partes de las superficies niveladas\(F=1\) (radio\(1\)),\(F=4\) (radio\(2\)) y\(F=9\) (radio\(3\)) que se encuentran en el primer octante.

    cylA.svg

    Ejemplo 1.7.9. \(F(x,y,z)=e^{x+y+z}\)

    Dejar\(F(x,y,z)=e^{x+y+z}\) y\(C \gt 0\text{.}\) Considerar la superficie nivelada\(e^{x+y+z}=C\text{,}\) o equivalentemente,\(x+y+z=\ln C\text{.}\) Es el plano que contiene las intercepciones\((\ln C,0,0)\text{,}\)\((0,\ln C,0)\) y\((0,0,\ln C)\text{.}\) Aquí hay un boceto de las partes de las superficies niveladas

    • \(F=e\)(intercepta\((1,0,0)\text{,}\)\((0,1,0)\text{,}\)\((0,0,1)\)),
    • \(F=e^2\)(intercepta\((2,0,0)\text{,}\)\((0,2,0)\text{,}\)\((0,0,2)\)) y
    • \(F=e^3\)(intercepta\((3,0,0)\text{,}\)\((0,3,0)\text{,}\)\((0,0,3)\))

    que están en el primer octante.

    rampABC.svg

    Ejercicios

    Etapa 1

    1.

    Coincidir las siguientes ecuaciones y expresiones con las imágenes correspondientes. Las coordenadas cartesianas son coordenadas\((x, y, z)\text{,}\) cilíndricas\((r, \theta, z)\text{,}\) y las coordenadas esféricas son\((\rho, \theta, \vec{a}rphi)\text{.}\)

    surface1.svg
    A)
    surface2.svg
    B)
    surface3.svg
    C)
    surface4.svg
    D)
    surface5.svg
    E)
    surface6a.svg
    F)

    \[\begin{alignat*}{7} &\text{(a)}\quad& \vec{a}rphi&=\pi/3 & &\text{(b)}\quad& r&=2\cos\theta & &\text{(c)}\quad& x^2+y^2&=z^2+1\\ &\text{(d)}& y&=x^2+z^2\qquad & &\text{(e)}& \rho&=2\cos\vec{a}rphi\qquad & &\text{(f)}& z&=x^4+y^4-4xy & \end{alignat*}\]

    2

    En cada una de las (a) y (b) siguientes, se le proporciona un boceto de las partes del primer cuadrante de algunas curvas de nivel de alguna función\(f(x,y)\text{.}\) Dibujar la primera parte octante de la gráfica correspondiente\(z=f(x,y)\text{.}\)

    planeLevelA.svg
    a)
    paraboloidLevelA.svg
    b)
    3

    Esboce algunas curvas de nivel para la función\(f(x,y)\) cuya gráfica\(z=f(x,y)\) se esboza a continuación.

    hyperCylinderGraph.svg

    Etapa 2

    4

    Dibuje algunas de las curvas de nivel de

    1. \(\displaystyle f(x,y)=x^2+2y^2\)
    2. \(\displaystyle f(x,y)=xy\)
    3. \(\displaystyle f(x,y)=xe^{-y}\)
    5.

    Esbozar las curvas de nivel de\(f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\text{.}\)

    6.

    Dibuja un “mapa de contorno” de\(f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}\), mostrando todos los tipos de curvas de nivel que ocurren.

    7.

    Una superficie viene dada implícitamente por

    \[ x^2 + y^2 - z^2 + 2z = 0 \nonumber \]

    1. Esbozar varias curvas de nivel\(z = \) constantes.
    2. Dibuja un boceto rugoso de la superficie.
    8.

    Croquis del hiperboloide\(z^2=4x^2+y^2-1\text{.}\)

    9

    Describir las superficies niveladas de

    1. \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)
    2. \(\displaystyle f(x,y,z)=x+2y+3z\)
    3. \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2\)
    10

    Dibuja las gráficas de

    1. \(\displaystyle f(x,y)=\sin x\qquad 0\le x\le 2\pi,\ 0\le y\le 1\)
    2. \(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\)
    3. \(\displaystyle f(x,y)=|x|+|y|\)
    11

    Esboce y describa las siguientes superficies.

    1. \(\displaystyle 4x^2+y^2=16\)
    2. \(\displaystyle x+y+2z=4\)
    3. \(\displaystyle \frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{4}=1+\frac{x^2}{16}\)
    4. \(\displaystyle y^2=x^2+z^2\)
    5. \(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{12}+\frac{z^2}{9}=1\)
    6. \(x^2+y^2+z^2+4x-by+9z-b=0\)donde\(b\) es una constante.
    7. \(\displaystyle \frac{x}{4}=\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\)
    8. \(\displaystyle z=x^2\)

    Etapa 3

    12

    La superficie de abajo tiene curvas de nivel circulares, centradas a lo largo del\(z\) eje. Las líneas dadas son la intersección de la superficie con la mitad derecha del\(yz\) plano. Dar una ecuación para la superficie.

    image-253.svg

    1. Por supuesto, podrías usar algún software de gráficos elegante, pero parte del punto es construir la intuición. Sin mencionar que no puedes usar un software de gráficos elegante en tu examen.
    2. Los semiejes de una elipse son los segmentos de línea desde el centro de la elipse hasta los puntos más alejados de la elipse y hasta los puntos más cercanos de la elipse. Para un círculo, las longitudes de todos estos segmentos de línea son solo el radio.
    3. ¡No es sólo una figura de discurso!

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