2.5: Planos tangentes y líneas normales
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La línea tangente a la curva\(y=f(x)\) en el punto\(\big(x_0,f(x_0)\big)\) es la línea recta que mejor se ajusta a la curva 1 en ese punto. Encontrar líneas tangentes fue probablemente una de las primeras aplicaciones de derivados que viste. Véase, por ejemplo, el Teorema 2.3.2 en el texto CLP-1. El análogo de la línea tangente una cota hacia arriba es el plano tangente. El plano tangente a una superficie\(S\) en un punto\((x_0,y_0,z_0)\) es el plano que\(S\) mejor se ajusta en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Por ejemplo, el plano tangente al hemisferio
\[ S=\left \{(x,y,z)|x^2+y^2+(z-1)^2=1,\ 0\le z\le 1\right \} \nonumber \]
en el origen es el\(xy\) -plano,\(z=0\text{.}\)
Ahora vamos a determinar, como nuestra primera aplicación de derivadas parciales, el plano tangente a una superficie general\(S\) en un punto general\((x_0,y_0,z_0)\) tendido sobre la superficie. También determinaremos la línea por la que pasa\((x_0,y_0,z_0)\) y cuya dirección es perpendicular\(S\) a en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Se llama la línea normal a\(S\) at\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
Por ejemplo, la siguiente figura muestra la vista lateral del plano tangente (en negro) y la línea normal (en azul) a la superficie\(z=x^2+y^2\) (en rojo) en el punto\((0,1,1)\text{.}\)
Recordemos, de 1.4.1, que para especificar cualquier plano, necesitamos
- un punto en el avión y
- un vector perpendicular al plano, es decir, un vector normal,
y recordamos, de 1.5.1, que para especificar cualquier línea, necesitamos
- un punto en la línea y
- un vector de dirección para la línea.
Ya tenemos un punto que está tanto en el plano tangente de interés como en la línea normal de interés — a saber\(\big(x_0,y_0,z_0\big)\text{.}\) Además podemos usar cualquier vector (distinto de cero) que sea perpendicular a\(S\) at\((x_0,y_0,z_0)\) como tanto el vector normal al plano tangente como el vector de dirección de la línea normal.
Entonces nuestra tarea principal es determinar un vector normal a la superficie\(S\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Eso es lo que hacemos ahora, primero para superficies de la forma\(z=f(x,y)\) y luego, más generalmente, para superficies de la forma\(G(x,y,z)=0\text{.}\)
Superficies de la Forma\(z=f(x,y)\)
Construimos un vector perpendicular a la superficie\(z=f(x,y)\) en\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) por, primero, construyendo dos vectores tangentes a la superficie especificada en el punto especificado, y, segundo, tomando el producto cruzado de esos dos vectores tangentes. Considera la curva roja en la siguiente figura. Es la intersección de nuestra superficie\(z=f(x,y)\)
con el plano\(y=y_0\text{.}\) Aquí hay una vista lateral de la curva roja.
El vector desde el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\text{,}\) en la curva roja, hasta el punto\(\big(x_0+h\,,\,y_0\,,\,f(x_0+h,y_0)\big)\text{,}\) también en la curva roja, es casi tangente a la curva roja, si\(h\) es muy pequeño. Como\(h\) tiende a\(0\text{,}\) ese vector, que es
\[ \left \langle h\,,\, 0\,,\, f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0) \right \rangle \nonumber \]
se vuelve exactamente tangente a la curva. Sin embargo su longitud también tiende a\(0\text{.}\) Si dividimos por\(h\text{,}\) y luego tomamos el límite\(h\rightarrow 0\text{,}\) obtenemos
\[\begin{align*} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \left \langle h\,,\, 0\,,\, f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0) \right \rangle &=\lim_{h\rightarrow 0} \left \langle 1\,,\, 0\,,\, \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} \right \rangle \end{align*}\]
Dado que el límite\(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}\) es la definición de la derivada parcial\(f_x(x_0,y_0)\text{,}\) obtenemos que
\[\begin{align*} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \left \langle h\,,\, 0\,,\, f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0) \right \rangle &=\left \langle 1\,,\, 0\,,\, f_x(x_0,y_0) \right \rangle \end{align*}\]
es un vector distinto de cero que es exactamente tangente a la curva roja y por lo tanto también es tangente a nuestra superficie\(z=f(x,y)\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\text{.}\)
Para el segundo vector tangente, repetimos el proceso con la curva azul en la figura al inicio de esta subsección. Esa curva azul es la intersección de nuestra superficie\(z=f(x,y)\) con el plano\(x=x_0\text{.}\) Aquí hay una vista frontal de la curva azul.
Cuando\(h\) es muy pequeño, el vector
\[ \frac{1}{h} \left \langle 0\,,\, h\,,\, f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0) \right \rangle \nonumber \]
desde el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\text{,}\) en la curva azul, hasta\(\big(x_0\,,\,y_0+h\,,\,f(x_0,y_0+h)\big)\text{,}\) también en la curva azul, (y alargado por un factor\(\frac{1}{h}\)) es casi tangente a la curva azul. Tomando el límite\(h\rightarrow0\) da el vector tangente
\[\begin{align*} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{h} \left \langle 0\,,\, h\,,\, f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0) \right \rangle &=\lim_{h\rightarrow 0} \left \langle 0\,,\, 1\,,\, \frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h} \right \rangle\\ &=\left \langle 0\,,\, 1\,,\, f_y(x_0,y_0) \right \rangle \end{align*}\]
a la curva azul en el punto\(\big(a\,,\,b\,,\,f(a,b)\big)\text{.}\)
Ahora que tenemos dos vectores en el plano tangente a la superficie\(z=f(x,y)\) en\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\text{,}\) podemos encontrar un vector normal al plano tangente tomando su producto cruzado. Su producto cruzado es
\[\begin{align*} \left \langle 1\,,\, 0\,,\, f_x(x_0,y_0) \right \rangle\times\left \langle 0\,,\, 1\,,\, f_y(x_0,y_0) \right \rangle &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}& \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & f_x(x_0,y_0) \\ 0 & 1 & f_y(x_0,y_0)\end{matrix}\right]\\ &=-f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
y tenemos que el vector
\[ -f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
es perpendicular a la superficie\(z=f(x,y)\)\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\text{.}\)
El plano tangente a la superficie\(z=f(x,y)\) en\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) es el plano pasante\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) con vector normal\(-f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Este plano tiene ecuación
\[ -f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) - f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0) +\big(z-f(x_0,y_0)\big) =0 \nonumber \]
o, después de un pequeño reordenamiento,
\[ z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0) \nonumber \]
Ahora que tenemos el vector normal, encontrar la ecuación de la línea normal a la superficie\(z=f(x,y)\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) es sencillo. Escribirlo en forma paramétrica,
\[ \left \langle x,y,z \right \rangle = \left \langle x_0,y_0,f(x_0,y_0) \right \rangle +t\left \langle -f_x(x_0,y_0)\,,\, - f_y(x_0,y_0)\,,\, 1 \right \rangle \nonumber \]
A modo de resumen
- El vector
\[ -f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
es normal a la superficie\(z=f(x,y)\)\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\text{.}\) - La ecuación del plano tangente a la superficie\(z=f(x,y)\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) puede escribirse como
\[ z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0) \nonumber \]
- La ecuación paramétrica de la línea normal a la superficie\(z=f(x,y)\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,f(x_0,y_0)\big)\) es
\[ \left \langle x,y,z \right \rangle = \left \langle x_0,y_0,f(x_0,y_0) \right \rangle +t\left \langle -f_x(x_0,y_0)\,,\, - f_y(x_0,y_0)\,,\, 1 \right \rangle \nonumber \]
o, escribiéndolo componente por componente,\[\begin{align*} x&= x_0 - t\,f_x(x_0,y_0) \qquad y= y_0 - t\,f_y(x_0,y_0) \qquad z= f(x_0,y_0) + t \end{align*}\]
Como ejemplo de calentamiento, encontraremos el plano tangente y la línea normal a la superficie\(z=x^2+y^2\) en el punto\((1,0,1)\text{.}\) Para ello, solo aplicamos el Teorema 2.5.1 con\(x_0=1\text{,}\)\(y_0=0\) y
\[\begin{align*} f(x,y)&= x^2+y^2 & f(1,0)&=1\\ f_x(x,y)&=2x & f_x(1,0)&=2\\ f_y(x,y)&=2y & f_y(1,0)&=0 \end{align*}\]
Entonces el plano tangente es
\[\begin{align*} z&=f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0)\\ & = 1 +2(x-1) +0(y-0)\\ &= -1+2x \end{align*}\]
y la línea normal es
\[\begin{align*} \left \langle x,y,z \right \rangle &= \left \langle x_0,y_0,f(x_0,y_0) \right \rangle +t\left \langle -f_x(x_0,y_0)\,,\, - f_y(x_0,y_0)\,,\, 1 \right \rangle\\ &= \left \langle 1,0,1 \right \rangle +t\left \langle -2\,,\, 0\,,\, 1 \right \rangle\\ &= \left \langle 1-2t\,,\,0\,,\,1+t \right \rangle \end{align*}\]
Eso fue bastante simple — encontrar las derivadas parciales y sustituirlas en las coordenadas. Hagamos algo un poco más desafiante.
Opcional
Encuentra la distancia desde\((0,3,0)\) la superficie\(z=x^2+y^2\text{.}\)
Solución
Escribir\(f(x,y)=x^2+y^2\text{.}\) Vamos a denotar por\(\big(a,b,f(a,b)\big)\) el punto en\(z=f(x,y)\) que es más cercano\((0,3,0)\text{.}\) Antes de meternos realmente en el problema, hagamos un boceto simple y pensemos en cómo se ven las líneas desde\((0,3,0)\) la superficie y, en particular, los ángulos entre estas líneas y la superficie.
La línea desde\((0,3,0)\) hasta\(\big(a,b,f(a,b)\big)\text{,}\) el punto\(z=f(x,y)\) más cercano\((0,3,0)\text{,}\) se distingue de las otras líneas de\((0,3,0)\) a la superficie, por ser perpendicular a la superficie. A continuación, proporcionaremos una justificación detallada para esta reclamación.
Primero explotemos el hecho de que el vector de\((0,3,0)\) a\(\big(a,b,f(a,b)\big)\) debe ser perpendicular a la superficie para determinar\(\big(a,b,f(a,b)\big)\text{,}\) y en consecuencia la distancia de\((0,3,0)\) a la superficie. Por Teorema 2.5.1.a, con\(x_0=a\) y\(y_0=b\text{,}\) el vector
\[ -f_x(a,b)\,\hat{\pmb{\imath}} - f_y(a,b)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} =-2a\,\hat{\pmb{\imath}} -2b\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \tag{$*$} \nonumber \]
es normal a la superficie\(z=f(x,y)\) en\(\big(a,b,f(a,b)\big)\text{.}\) Así que el vector de\((0,3,0)\) a\(\big(a,b,f(a,b)\big)\text{,}\) saber
\[ a\,\hat{\pmb{\imath}} + (b-3)\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(a,b)\,\hat{\mathbf{k}} =a\,\hat{\pmb{\imath}} + (b-3)\,\hat{\pmb{\jmath}} + (a^2+b^2)\,\hat{\mathbf{k}} \tag{$**$} \nonumber \]
debe ser paralelo a\((*)\text{.}\) Esto no obliga al vector\((*)\) a igualar\((**)\text{,}\) pero sí fuerza la existencia de algún número\(t\) obedeciendo
\[ a\,\hat{\pmb{\imath}} + (b-3)\,\hat{\pmb{\jmath}} + (a^2+b^2)\,\hat{\mathbf{k}} =t\big(-2a\,\hat{\pmb{\imath}} -2b\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}}\big) \nonumber \]
o equivalentemente
\[ \left\{\begin{aligned} a&=-2a\,t\\ b-3 &= -2b\,t\\ a^2+b^2 &= t \end{aligned}\right. \nonumber \]
Ahora tenemos un sistema de tres ecuaciones en las tres incógnitas\(a\text{,}\)\(b\) y\(t\text{.}\) si las podemos resolver, habremos encontrado el punto en la superficie que queremos.
- La primera ecuación es\(a(1+2t)=0\) para que cualquiera\(a=0\) o\(t=-\frac{1}{2}\text{.}\)
- La tercera ecuación\(t\ge 0\text{,}\) lo fuerza\(a=0\text{,}\) y la última ecuación se reduce a\(t=b^2\text{.}\)
- Sustituyendo esto en la ecuación media da
\[ b-3=-2b^3\qquad\text{or equivalently}\qquad 2b^3+b-3 = 0 \nonumber \]
En general, las ecuaciones cúbicas son muy difíciles de resolver 2. Pero, en este caso, podemos adivinar una solución 3, a saber\(b=1\text{.}\) Así\((b-1)\) debe ser un factor de\(2b^3+b-3\) y un poco de división entonces nos da
\[ 0=2b^3+b-3 =(b-1)(2b^2 +2b +3) \nonumber \]
Ahora podemos encontrar las raíces del factor cuadrático usando la fórmula de la escuela secundaria
\[ \frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(2)(3)}}{4} \nonumber \]
Ya que\(2^2-4(2)(3) \lt 0\text{,}\) el factor no\(2b^2 +2b +3\) tiene raíces reales. Así que la única solución real a la ecuación cúbica\(2b^3+b-3 = 0\) es\(b=1\text{.}\)
En resumen,
- \(a=0\text{,}\)\(b=1\)y
- el punto\(z=x^2+y^2\) más cercano\((0,3,0)\) es\((0,1,1)\) y
- la distancia de\((0,3,0)\) a\(z=x^2+y^2\) es la distancia desde\((0,3,0)\) la\((0,1,1)\text{,}\) cual es\(\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}\text{.}\)
Finalmente volvamos a la afirmación de que, debido a que\(\big(a,b,f(a,b)\big)\) es el punto sobre el\(z=f(x,y)\) que está más próximo 4\((0,3,0)\text{,}\) el vector de\((0,3,0)\) a\(\big(a,b,f(a,b)\big)\) debe ser perpendicular a la superficie\(z=f(x,y)\) en\(\big(a,b,f(a,b)\big)\text{.}\) Tenga en cuenta que el cuadrado de la distancia desde\((0,3,0)\) a un punto general \(\big(x,y,f(x,y)\big)\)on\(z=f(x,y)\) es
\[ D(x,y) = x^2 + (y-3)^2 +f(x,y)^2 \nonumber \]
Si\(x=a\text{,}\)\(y=b\) se minimiza\(D(x,y)\) entonces, en particular,
- restringiendo nuestra atención a la rebanada\(y=b\) de la superficie,\(x=a\) minimiza\(g(x) = D(x,b) =x^2 + (b-3)^2 +f(x,b)^2\) para que
\[\begin{align*} 0 &= g'(a) =\frac{\partial }{\partial x}\Big[x^2 + (b-3)^2 +f(x,b)^2\Big]\bigg|_{x=a}\\ &=2a +2 f(a,b)\ f_x(a,b)\\ &=2 \left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\cdot\left \langle 1\,,\,0\,,\, f_x(a,b) \right \rangle \end{align*}\]
y - restringiendo nuestra atención a la rebanada\(x=a\) de la superficie,\(y=b\) minimiza\(h(y) = D(a,y) =a^2 + (y-3)^2 +f(a,y)^2\) para que
\[\begin{align*} 0 &= h'(b) =\frac{\partial }{\partial y}\Big[a^2 + (y-3)^2 +f(a,y)^2\Big]\bigg|_{y=b}\\ &=2 (b-3) +2 f(a,b)\ f_y(a,b)\\ &=2 \left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\cdot\left \langle 0\,,\,1\,,\, f_y(a,b) \right \rangle \end{align*}\]
Hemos expresado los lados finales de la mano derecha de ambas balas anteriores como el producto puntual del vector\(\left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\) con algo porque
- \(\left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\)es el vector desde\((0,3,0)\) el punto\((a\,,\,b\,,\, f(a,b)\big)\) en la superficie y
- la fuga del producto punto de dos vectores implica que los dos vectores son perpendiculares.
Por lo tanto, que
\[\begin{align*} \left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\cdot\left \langle 1\,,\,0\,,\, f_x(a,b) \right \rangle &=\left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\cdot\left \langle 0\,,\,1\,,\, f_y(a,b) \right \rangle\\ &=0 \end{align*}\]
nos dice que el vector\(\left \langle a\,,\,b-3\,,\, f(a,b) \right \rangle\) de\((0,3,0)\) a\(\big(a,b,f(a,b)\big)\) es perpendicular a ambos\(\left \langle 1\,,\,0\,,\, f_x(a,b) \right \rangle\) y\(\left \langle 0\,,\,1\,,\, f_y(a,b) \right \rangle\) y por lo tanto es paralelo a su producto cruzado\(\left \langle 1\,,\, 0\,,\, f_x(a,b) \right \rangle\times\left \langle 0\,,\, 1\,,\, f_y(a,b) \right \rangle\text{,}\) que ya sabemos que es un vector normal a la superficie\(z=f(x,y)\) en\(\big(a,b,f(a,b)\big)\text{.}\)
Esto demuestra que el punto en la superficie que minimiza la distancia a\((0,3,0)\) está unido\((0,3,0)\) por una línea que es paralela al vector normal —tal como requerimos.
Superficies de la Forma\(G(x,y,z)=0\)
Ahora usamos un poco de artimaña para construir un vector perpendicular a la superficie\(G(x,y,z)=0\) en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\text{.}\) Imagina que estás caminando sobre la superficie y que a la vez\(0\) estás en el punto\(\big(x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\text{.}\) Deja\(\vec{r}(t) =\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\) denotar tu posición a la vez\(t\text{.}\)
Porque estás caminando por la superficie, sabemos que\(\vec{r}(t)\) siempre se encuentra en la superficie y así
\[ G\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)=0 \nonumber \]
para todos\(t\text{.}\) Diferenciando esta ecuación con respecto a\(t\) da, por la regla de la cadena,
\[\begin{align*} \frac{\partial G}{\partial x}\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\ x'(t) &+\frac{\partial G}{\partial y}\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\ y'(t)\\ &+\frac{\partial G}{\partial z}\big( x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\ z'(t) = 0 \end{align*}\]
A continuación, el ajuste\(t=0\) da
\[ \frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ x'(0) +\frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ y'(0) +\frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\ z'(0) = 0 \nonumber \]
Expresar esto como un producto punto nos permite convertir esto en una declaración sobre vectores.
\[ \left \langle \frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big) \right \rangle \cdot \vec{r}'(0) = 0 \tag{$*$} \nonumber \]
El primer vector en este producto punto es lo suficientemente importante como para que se le dé su propio nombre.
El gradiente 5 de la función\(G(x,y,z)\) en el punto\(\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\) es
\[ \left \langle \frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big) \right \rangle \nonumber \]
Se denota\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
Así nos\((*)\) dice que el gradiente\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\text{,}\) es perpendicular al vector\(\vec{r}'(0)\text{.}\)
Ahora bien, si\(t\) está muy cerca de cero, el vector\(\vec{r}(t)-\vec{r}(0)\text{,}\) de\(\vec{r}(0)\) a\(\vec{r}(t)\text{,}\) es casi tangente al camino por el que estamos caminando. El límite
\[ \vec{r}'(0)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(0)}{t} \nonumber \]
es así exactamente tangente a nuestro camino, y consecuentemente a la superficie\(G(x,y,z)=0\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Esto es cierto para todos los caminos en la superficie que pasan a través\((x_0,y_0,z_0)\) en el tiempo\(t=0\text{,}\) lo que nos dice que\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\) es perpendicular a la superficie en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Acabamos de encontrar un vector normal!
El argumento anterior pasa sin cambios para superficies de la forma 6\(G(x,y,z)=K\text{,}\) para cualquier constante\(K\text{.}\) Así que tenemos
Dejar\(K\) ser una constante y\((x_0,y_0,z_0)\) ser un punto en la superficie\(G(x,y,z)=K\text{.}\) Supongamos que el gradiente
\[ \vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0) = \left \langle \frac{\partial G}{\partial x}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial y}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, \frac{\partial G}{\partial z}\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big) \right \rangle \nonumber \]
de\(G\) at\((x_0,y_0,z_0)\) es distinto de cero.
- El vector\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\) es normal a la superficie\(G(x,y,z)=K\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
- La ecuación del plano tangente a la superficie\(G(x,y,z)=K\) en\((x_0,y_0,z_0)\) es
\[ \vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\cdot\left \langle x-x_0\,,\,y-y_0\,,\,z-z_0 \right \rangle =0 \nonumber \]
- La ecuación paramétrica de la línea normal a la superficie\(G(x,y,z)=K\) en\((x_0,y_0,z_0)\) es
\[ \left \langle x,y,z \right \rangle = \left \langle x_0,y_0,z_0 \right \rangle +t\,\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0) \nonumber \]
Teorema 2.5.1 acerca de los planos tangentes y líneas normales a la superficie\(z=f(x,y)\) es en realidad una consecuencia muy simple del Teorema 2.5.5 acerca de los planos tangentes y líneas normales a la superficie\(G(x,y,z)=0\text{.}\) Esto es sólo porque siempre podemos reescribir la ecuación\(z=f(x,y)\) como\(z-f(x,y)=0\) y aplicar Teorema 2.5.5 con\(G(x,y,z)=z-f(x,y)\text{.}\) Since
\[ \vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0) = -f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} -f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Teorema 2.5.5 luego da 7 Teorema 2.5.1.
Aquí hay un par de ejemplos de rutina.
Encuentra el plano tangente y la línea normal a la superficie
\[ z= x^2+5xy-2y^2 \nonumber \]
en el punto\((1,2,3)\text{.}\)
Solución
Como comprobación preliminar, tenga en cuenta que
\[ 1^2+5\times 1\times 2-2(2)^2=3 \nonumber \]
lo que verifica que el punto efectivamente\((1,2,3)\) esté en la superficie. Esto es un buen chequeo de la realidad y además aumenta nuestra confianza de que la pregunta es preguntar lo que pensamos que está haciendo. Reescribe la ecuación de la superficie como\(G(x,y,z)=x^2+5xy-2y^2-z=0\text{.}\) Luego el gradiente
\[\begin{gather*} \vec{n}abla G(x,y,z) = (2x+5y)\,\hat{\pmb{\imath}} +(5x-4y)\,\hat{\pmb{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
de manera que, por Teorema 2.5.5
\[ \vec{n} = \vec{n}abla G(1,2,3) = 12\,\hat{\pmb{\imath}} -3\,\hat{\pmb{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
es un vector normal a la superficie en\((1,2,3)\text{.}\) Equipado 8 con la normal, es fácil elaborar una ecuación para el plano tangente.
\[ \vec{n}\cdot\left \langle x-1\,,\,y-2\,,\,z-3 \right \rangle =\left \langle 12\,,\,-3\,,\, -1 \right \rangle\cdot\left \langle x-1\,,\,y-2\,,\,z-3 \right \rangle =0 \nonumber \]
o
\[ 12x -3y -z = 3 \nonumber \]
Podemos comprobar rápidamente que el punto\((1,2,3)\) efectivamente se encuentra en el avión:
\[ 12\times 1 -3\times 2 -3 = 3 \nonumber \]
La línea normal es
\[ \left \langle x-1\,,\,y-2\,,\,z-3 \right \rangle =t\,\vec{n} = t\left \langle 12\,,\,-3\,,\, -1 \right \rangle \nonumber \]
o
\[ \frac{x-1}{12} = \frac{y-2}{-3} = \frac{z-3}{-1}\quad {\color{gray}{\Big(=t\Big)}} \nonumber \]
Otro ejemplo de calentamiento. Esta vez la superficie es un hiperboloide de una lámina.
Encuentra el plano tangente y la línea normal a la superficie
\[ x^2+y^2-z^2 = 4 \nonumber \]
en el punto\((2,-3,3)\text{.}\)
Solución
Como comprobación preliminar, tenga en cuenta que el punto\((2,-3,3)\) está efectivamente en la superficie:
\[ 2^2+(-3)^2-(3)^2=4 \nonumber \]
La ecuación de la superficie es\(G(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=4\text{.}\) Entonces el gradiente de\(G\) es
\[\begin{gather*} \vec{n}abla G(x,y,z) = 2x\,\hat{\pmb{\imath}} +2y\,\hat{\pmb{\jmath}}-2z\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]
de manera que, en\((2,-3,3)\text{,}\)
\[ \vec{n}abla G(2,-3,3) = 4\,\hat{\pmb{\imath}} -6\,\hat{\pmb{\jmath}}-6\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
y así, por Teorema 2.5.5
\[ \vec{n} = \frac{1}{2}\big(4\,\hat{\pmb{\imath}} -6\,\hat{\pmb{\jmath}}-6\,\hat{\mathbf{k}}\big)=2\,\hat{\pmb{\imath}}-3\,\hat{\pmb{\jmath}}-3\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
es un vector normal a la superficie en\((2,-3,3)\text{.}\) El plano tangente es
\[ \vec{n}\cdot\left \langle x-2\,,\,y+3\,,\,z-3 \right \rangle =\left \langle 2\,,\,-3\,,\, -3 \right \rangle\cdot\left \langle x-2\,,\,y+3\,,\,z-3 \right \rangle =0 \nonumber \]
o
\[ 2x -3y -3z = 4 \nonumber \]
Nuevamente, como cheque, podemos verificar que nuestro punto efectivamente\((2,-3,3)\) está en el avión:
\[ 2\times 2 - 3\times(-3) -3\times 3 = 4 \nonumber \]
La línea normal es
\[ \left \langle x-2\,,\,y+3\,,\,z-3 \right \rangle =t\,\vec{n} = t\left \langle 2\,,\,-3\,,\, -3 \right \rangle \nonumber \]
o
\[ \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{-3} = \frac{z-3}{-3}\quad {\color{gray}{\Big(=t\Big)}} \nonumber \]
El vector no\(\vec{n}abla G(x,y,z)\) es un vector normal a la superficie\(G(x,y,z)\!=\!K\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) El vector\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\) es un vector normal a\(G(x,y,z)\!=\!K\) at\((x_0,y_0,z_0)\) (proporcionado\(G(x_0,y_0,z_0)=K\)).
Como ejemplo de las consecuencias de no evaluar\(\vec{n}abla G(x,y,z)\) en el punto\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) considerar el problema
\[ \text{Find the tangent plane to the surface } x^2+y^2+z^2=1 \text{ at the point } (0,0,1). \nonumber \]
En este caso, la superficie es\(G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=1\text{.}\) El gradiente de\(G\) es\(\vec{n}abla G(x,y,z) = 2x\,\hat{\pmb{\imath}} +2y\,\hat{\pmb{\jmath}} +2z\,\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Para aplicar correctamente la parte (b) del Teorema 2.5.5, evaluamos\(\vec{n}abla G(0,0,1) = 2\,\hat{\mathbf{k}}\) y encontramos que el plano tangente en\((0,0,1)\) es
\[\begin{gather*} \vec{n}abla G(0,0,1)\cdot\left \langle x-0\,,\,y-0\,,\,z-1 \right \rangle =0 \quad\text{or}\quad 2(z-1)=0 \quad\text{or}\quad z=1 \end{gather*}\]
Esto es, por supuesto, correcto: el plano tangente a la esfera unitaria en el polo norte es ciertamente horizontal.
Pero si tuviéramos que aplicar incorrectamente la parte (b) del Teorema 2.5.5 al no evaluar\(\vec{n}abla G(x,y,z)\) en\((0,0,1)\text{,}\) encontraríamos que el “plano tangente” es
\[\begin{align*} &\vec{n}abla G(x,y,z)\cdot\left \langle x-0\,,\,y-0\,,\,z-1 \right \rangle =0\\ \qquad\text{or}\qquad &2x(x-0) +2y(y-0) + 2z(z-1)=0\\ \qquad\text{or}\qquad & x^2+y^2+z^2 -z = 0 \end{align*}\]
Esto está terriblemente mal. Ni siquiera es un plano, ya que cualquier plano tiene una ecuación de la forma\(ax+by+cz=d\text{,}\) con\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\) y\(d\) constantes.
Ahora pasaremos a algunos ejemplos más involucrados.
Supongamos que deseamos encontrar los puntos más altos y más bajos en la superficie Es\(G(x,y,z) = x^2-2x +y^2-4y + z^2-6z = 2\text{.}\) decir, deseamos encontrar los puntos en la superficie con el valor máximo de\(z\) y con el valor mínimo de 9 de\(z\text{.}\)
Completando tres cuadrados,
\[\begin{align*} G(x,y,z) &= x^2-2x +y^2-4y + z^2-6z\\ &=(x-1)^2 +(y-2)^2 +(z-3)^2 - 14. \end{align*}\]
Entonces la superficie\(G(x,y,z)=2\) es una esfera, cuyo punto más alto es el polo norte y cuyo punto más bajo es el polo sur. Pero pretendamos que\(G(x,y,z)=2\) es alguna superficie complicada que no podemos fácilmente imaginar.
Encontraremos sus puntos más altos y más bajos explotando el hecho de que el plano tangente a\(G=2\) es horizontal en los puntos más altos y más bajos. Equivalentemente, el vector normal a\(G=2\) es vertical en los puntos más altos y más bajos. Para ver que este es el caso, fíjese en la figura a continuación. Si el plano tangente en no\((x_0,y_0,z_0)\) es horizontal, entonces el plano tangente contiene puntos cercanos\((x_0,y_0,z_0)\) con\(z\) mayor que\(z_0\) y puntos cercanos\((x_0,y_0,z_0)\) con\(z\) más pequeños que\(z_0\text{.}\) Cerca\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) del plano tangente es una buena aproximación a la superficie. Por lo que la superficie también contiene 10 puntos de este tipo.
El gradiente es
\[ \vec{n}abla G(x,y,z) = (2x-2)\,\hat{\pmb{\imath}} + (2y-4)\,\hat{\pmb{\jmath}} + (2z-6)\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Es vertical cuando los\(\hat{\pmb{\jmath}}\) componentes\(\hat{\pmb{\imath}}\) y son ambos cero. Esto sucede cuando\(2x-2=0\) y\(2y-4=0\text{,}\) es decir, cuando\(x=1\) y\(y=2\text{.}\) Entonces el vector normal a la superficie\(G=2\) en el punto\((x,y,z)\) es vertical cuando\(x=1\text{,}\)\(y=2\) y (no olvides que\((x,y,z)\) tiene que estar encendido\(G=2\))
\[\begin{align*} &G(1,2,z) = 1^2-2\times 1 +2^2-4\times 2 + z^2-6z = 2\\ \iff & z^2-6z-7=0\\ \iff & (z-7)(z+1)=0\\ \iff & z=7,\ -1 \end{align*}\]
El punto más alto es\((1,2,7)\) y el punto más bajo es\((1,2,-1)\text{,}\) el esperado.
Podríamos haber atajado el último ejemplo usando que la superficie era una esfera. Aquí hay un ejemplo con el mismo espíritu para el que no tenemos un atajo fácil.
En el último ejemplo, encontramos los puntos en una superficie especificada que tienen los valores más grandes y más pequeños de Ahora\(z\text{.}\) aumentaremos un poco el nivel de dificultad y encontraremos los puntos en la superficie\(x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72\) que tengan los valores más grandes y más pequeños de\(x+y+3z\text{.}\)
Para desarrollar una estrategia para abordar este problema, considere el siguiente boceto.
La elipse roja en el boceto está destinada a representar (esquemáticamente) nuestra superficie
\[ x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72 \nonumber \]
que es un elipsoide. La línea diagonal media (negra) está destinada a representar (esquemáticamente) el plano\(x+y+3z=C\) para algún valor elegido más o menos aleatoriamente de la constante C. En cada punto de ese plano, la función,\(x+y+3z\text{,}\) (que estamos tratando de maximizar y minimizar) toma el valor\(C\text{.}\) En particular, para el \(C\)elegido en la figura,\(x+y+3z=C\) sí se cruza con nuestra superficie, lo que indica que\(x+y+3z\) efectivamente toma el valor en\(C\) algún lugar de nuestra superficie.
Para maximizar\(x+y+3z\text{,}\) imagina aumentar lentamente el valor de\(C\text{.}\) A medida que lo hacemos, el plano\(x+y+3z=C\) se mueve hacia la derecha. Queremos dejar de aumentar\(C\) al mayor valor\(C\) para el cual el plano\(x+y+3z=C\) intersecta nuestra superficie\(x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72\text{.}\) Para ese valor\(C\) del plano\(x+y+3z=C\text{,}\) que está representado por la línea azul derecha en el boceto, es tangente a nuestra superficie.
De igual manera, para minimizar\(x+y+3z\text{,}\) imagínense disminuyendo lentamente el valor de\(C\text{.}\) A medida que lo hacemos, el plano\(x+y+3z=C\) se mueve hacia la izquierda. Queremos dejar de disminuir\(C\) al menor valor de\(C\) para el cual el plano se\(x+y+3z=C\) cruza con nuestra superficie\(x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72\text{.}\) Para ese valor del\(C\) plano\(x+y+3z=C\text{,}\) que está representado por la línea azul de la izquierda en el boceto, vuelve a ser tangente a nuestra superficie. El anterior Ejemplo 2.5.10 fue similar, excepto que el avión era\(z=C\text{.}\)
Ya estamos listos para computar. Necesitamos encontrar los puntos\((a,b,c)\) (en el boceto, son los puntos negros de tangencia) para los cuales
- \((a,b,c)\)está en la superficie y
- el vector normal a la superficie\(x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72\) en\((a,b,c)\) es paralelo a\(\left \langle 1,1,3 \right \rangle\text{,}\) lo que es un vector normal al plano\(x+y+3z=C\)
Dado que el gradiente de\(x^2+ 2y^2 +3z^2\) es\(\left \langle 2x\,,\,4y\,,\,6z \right \rangle=2\left \langle x\,,\,2y\,,\,3z \right \rangle\text{,}\) estas dos condiciones son, en ecuaciones,
\[\begin{align*} a^2+ 2b^2 +3c^2 &= 72\\ \left \langle a\,,\,2b\,,\,3c \right \rangle &=t \left \langle 1,1,3 \right \rangle\qquad \text{for some number } t \end{align*}\]
La segunda ecuación dice eso\(a=t\text{,}\)\(b=\frac{t}{2}\) y\(c=t\text{.}\) Sustituyendo esto en la primera ecuación da
\[\begin{align*} t^2+ \frac{1}{2}t^2 +3t^2 &= 72 \iff \frac{9}{2}t^2=72 \iff t^2 = 16 \iff t=\pm 4 \end{align*}\]
Entonces
- el punto en la superficie\(x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72\) en el que\(x+y+3z\) toma su valor máximo es\((a,b,c) = \big(t,\frac{t}{2},t\big)\Big|_{t=4}=(4,2,4)\) y
- \(x+y+3z\)lleva\(4+2+3\times 4 =18\) ahí el valor.
- El punto en la superficie\(x^2+ 2y^2 +3z^2 = 72\) en el que\(x+y+3z\) toma su valor mínimo es\((a,b,c) =\big(t,\frac{t}{2},t\big)\Big|_{t=-4}= (-4,-2,-4)\) y
- \(x+y+3z\)lleva\(-4-2+3\times (-4) =-18\) ahí el valor.
Encuentra la distancia desde el punto\((1,1,1)\) hasta el avión\(x+2y+3z=20\text{.}\)
Solución 1
Primero tenga en cuenta que el punto no\((1,1,1)\) está en sí mismo en el avión\(x+2y+3z=20\) porque
\[ 1+2\times 1 +3\times 1 =6\ne 20 \nonumber \]
Denote por\((a,b,c)\) el punto en el plano\(x+2y+3z=20\) que está más cercano\((1,1,1)\text{.}\) Entonces el vector de\((1,1,1)\) a\((a,b,c)\text{,}\) es decir,\(\left \langle a-1\,,\,b-1\,,\,c-1 \right \rangle\text{,}\) debe ser perpendicular 11 al plano. Como el gradiente de\(x+2y+3z\text{,}\) a saber\(\left \langle 1\,,\,2\,,\,3 \right \rangle\text{,}\) es un vector normal al plano,\(\left \langle a-1\,,\,b-1\,,\,c-1 \right \rangle\) debe ser paralelo a\(\left \langle 1\,,\,2\,,\,3 \right \rangle\text{.}\) Así que debe haber algún número\(t\) para que
\[\begin{gather*} \left \langle a-1\,,\,b-1\,,\,c-1 \right \rangle = t \left \langle 1\,,\,2\,,\,3 \right \rangle \end{gather*}\]
o
\[\begin{gather*} a = t+1,\ b=2t+1,\ c=3t+1 \end{gather*}\]
Como\((a,b,c)\) debe estar en el avión, lo sabemos\(a+2b+3c=20\) y así
\[\begin{gather*} (t+1) +2(2t+1) +3(3t+1)=20 \implies 14t = 14 \implies t=1 \end{gather*}\]
La distancia desde\((1,1,1)\) el plano\(x+2y+3z=20\) es la longitud del vector\(\left \langle a-1\,,\,b-1\,,\,c-1 \right \rangle = t \left \langle 1\,,\,2\,,\,3 \right \rangle = \left \langle 1\,,\,2\,,\,3 \right \rangle\) que es\(\sqrt{14}\text{.}\)
Solución 2
Denote por\(P=(a,b,c)\) el punto en el plano\(x+2y+3z=20\) que está más cercano al punto\(Q=(1,1,1)\text{.}\) Escoge cualquier otro punto en el plano y llámalo\(R\text{.}\) Por ejemplo\((x,y,z) = (20,0,0)\) obedece\(x+2y+3z=20\) y así\(R=(20,0,0)\) es un punto en el plano.
El triángulo\(PQR\) está en ángulo recto. Denote por\(\theta\) el ángulo entre la hipotenusa\(QR\) y\(QP\text{.}\) el lado La distancia desde\(Q=(1,1,1)\) el plano es la longitud del segmento de línea\(QP\text{,}\) que es
\[\begin{align*} \text{distance} &= |QP| = |QR|\cos\theta \end{align*}\]
Ahora, el producto de punto entre el vector desde\(Q\) el\(R\text{,}\) que está\(\left \langle 19,-1,-1 \right \rangle\text{,}\) con el vector\(\left \langle 1,2,3 \right \rangle\text{,}\) que es normal al plano y por lo tanto paralelo al lado\(QP\) es
\[\begin{align*} \left \langle 19,-1,-1 \right \rangle\cdot \left \langle 1,2,3 \right \rangle &=14\\ &= |\left \langle 19,-1,-1 \right \rangle|\ |\left \langle 1,2,3 \right \rangle|\ \cos\theta\\ &= |QR|\ \sqrt{14}\ \cos\theta \end{align*}\]
para que, finalmente,
\[\begin{gather*} \text{distance} = |QR|\cos\theta =\frac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14} \end{gather*}\]
Dejar\(F(x,y,z)=0\) y\(G(x,y,z)=0\) ser dos superficies. Estas dos superficies se cruzan a lo largo de una curva. Encuentra un vector tangente a esta curva en el punto\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
Solución
Llamar al vector tangente\(\textbf{T}\text{.}\) Entonces\(\textbf{T}\) tiene que ser
- tangente a la superficie\(F(x,y,z)=0\) en\((x_0,y_0,z_0)\) y
- tangente a la superficie\(G(x,y,z)=0\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
En consecuencia\(\textbf{T}\) tiene que ser
- perpendicular al vector\(\vec{n}abla F(x_0,y_0,z_0)\text{,}\) que es normal a\(F(x,y,z)=0\) at\((x_0,y_0,z_0)\text{,}\) y al mismo tiempo tiene que ser
- perpendicular al vector\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\text{,}\) que es normal\(G(x,y,z)=0\) a\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
Recordemos que una manera fácil de construir un vector que sea perpendicular a otros dos vectores es tomar su producto cruzado. Así que tomamos
\[\begin{align*} \textbf{T} &= \vec{n}abla F(x_0,y_0,z_0)\times \vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0) =\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ F_x & F_y & F_z \\ G_x & G_y & G_z \end{matrix}\right]\\ & =\big(F_yG_z-F_z G_y\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(F_zG_x-F_x G_z\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\big(F_xG_y-F_y G_x\big)\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
donde todas las derivadas parciales se evalúan en\((x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
Pongamos en acción el Ejemplo 2.5.13.
Considera la curva que es la intersección de las superficies
\[ x^2+y^2+z^2=5\qquad\text{and}\qquad x^2+y^2=4z \nonumber \]
Encuentra un vector tangente a esta curva en el punto\(\big(\sqrt{3}\,,\,1\,,\,1\big)\text{.}\)
Solución
Como comprobación preliminar, verificamos que el punto\(\big(\sqrt{3}\,,\,1\,,\,1\big)\) realmente está en la curva. Para ello, comprobamos que\(\big(\sqrt{3}\,,\,1\,,\,1\big)\) satisface ambas ecuaciones:
\[ \big(\sqrt{3}\big)^2+1^2+1^2=5\qquad \big(\sqrt{3}\big)^2+1^2=4\times 1 \nonumber \]
Encontraremos el vector tangente especificado usando la estrategia del Ejemplo 2.5.13.
Escribe\(F(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\) y\(G(x,y,z) = x^2+y^2-4z\text{.}\) Luego
- el vector
\[ \vec{n}abla F(\sqrt{3},1,1) =\left \langle 2x\,,\,2y\,,\,2z \right \rangle\Big|_{(x,y,z)=(\sqrt{3},1,1)} = 2\left \langle \sqrt{3}\,,\,1\,,\,1 \right \rangle \nonumber \]
es normal a la superficie\(F(x,y,z)=5\) en\(\big(\sqrt{3}\,,\,1\,,\,1\big)\text{,}\) y - el vector
\[ \vec{n}abla G(\sqrt{3},1,1) =\left \langle 2x\,,\,2y\,,\,-4 \right \rangle\Big|_{(x,y,z)=(\sqrt{3},1,1)} = 2\left \langle \sqrt{3}\,,\,1\,,\,-2 \right \rangle \nonumber \]
es normal a la superficie\(G(x,y,z)=0\)\(\big(\sqrt{3}\,,\,1\,,\,1\big)\text{.}\)
Entonces un vector tangente es
\[\begin{align*} &\left \langle \sqrt{3}\,,\,1\,,\,1 \right \rangle\times \left \langle \sqrt{3}\,,\,1\,,\,-2 \right \rangle =\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \sqrt{3} & 1 & 1 \\ \sqrt{3} & 1 & -2 \end{matrix}\right]\\ &\hskip0.5in =\big(-2-1\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(\sqrt{3}+2\sqrt{3}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +\big(\sqrt{3}-\sqrt{3}\big)\,\hat{\mathbf{k}}\\ &\hskip0.5in= -3\,\hat{\pmb{\imath}} + 3\sqrt{3}\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]
Hay un factor común fácil de\(3\) en ambos componentes. Así podemos crear un vector tangente ligeramente más limpio dividiendo la longitud de\(-3\,\hat{\pmb{\imath}} + 3\sqrt{3}\,\hat{\pmb{\jmath}}\)\(3\text{,}\) dando\(\left \langle -1\,,\,\sqrt{3}\,,\,0 \right \rangle\text{.}\)
Cuando miras un objeto tridimensional sólido, no ves toda la superficie del objeto; partes de la superficie están ocultas a tu vista por otras partes del objeto. Por ejemplo, el siguiente boceto muestra, esquemáticamente, un rayo de luz dejando tu ojo y golpeando la superficie del objeto en el punto de luz. El objeto es sólido, por lo que la luz no puede penetrar más. Pero, si pudiera, seguiría la línea punteada, golpeando la superficie del objeto tres veces más. Tu ojo puede ver el punto claro, pero no puede ver los otros tres puntos oscuros.
La recreación de este efecto en gráficos generados por computadora se llama “eliminación de superficie oculta”. En general, implementar la eliminación de superficie oculta puede ser bastante complicado. A menudo se utiliza una técnica llamada “trazado de rayos” 12. Sin embargo, es fácil si conoces vectores y gradientes, y solo estás mirando un solo cuerpo convexo. Por definición, un sólido es convexo si, siempre que dos puntos estén en el sólido, entonces el segmento de línea que une los dos puntos también está contenido en el sólido.
Entonces supongamos que estamos viendo un sólido convexo, que la ecuación de la superficie del sólido es\(G(x,y,z)=0\text{,}\) y que nuestro ojo está en\((x_e,y_e,z_e)\text{.}\)
- Primero consideremos un rayo de luz que sale de nuestro ojo y luego apenas mella el sólido en el punto\((x,y,z)\text{,}\) como en la figura de la izquierda de abajo. El rayo de luz es una línea tangente a la superficie en\((x,y,z)\text{.}\) Así que el vector de dirección del rayo de luz,\(\left \langle x-x_e,y-y_e,z-z_e \right \rangle\text{,}\) es tangente a la superficie en\((x,y,z)\) y en consecuencia es perpendicular al vector normal,\(\vec{n}=\vec{n}abla G(x,y,z)\text{,}\) de la superficie en\((x,y,z)\text{.}\) Así
\[ \left \langle x-x_e,y-y_e,z-z_e \right \rangle\cdot \vec{n}abla G(x,y,z)=0 \nonumber \]
- Consideremos ahora un rayo de luz que sale de nuestro ojo y luego pasa por el sólido, como en la figura de arriba a la derecha. Llamar al punto en el que el rayo de luz entra primero en el sólido\((x,y,z)\) y el punto en el que el rayo de luz deja el sólido\((x',y,'z')\text{.}\)
- Dejar\(\vec{v}\) ser un vector que tiene la misma dirección que, es decir, es un múltiplo positivo de, el vector\(\left \langle x-x_e, y-y_e, z-z_e \right \rangle\text{.}\)
- Dejar\(\vec{n}\) ser un hacia afuera apuntando normal al sólido en\((x,y,z)\text{.}\) Será\(\vec{n}abla G(x,y,z)\) o\(-\vec{n}abla G(x,y,z)\text{.}\)
- Dejar\(\vec{n}'\) ser un hacia afuera apuntando normal al sólido en\((x',y',z')\text{.}\) Será\(\vec{n}abla G(x',y',z')\) o\(-\vec{n}abla G(x',y',z')\text{.}\)
Entonces
- en el punto\((x,y,z)\) donde el rayo ingresa al sólido, que es un punto visible, el vector de dirección\(\vec{v}\) apunta hacia el sólido. El ángulo\(\theta\) entre\(\vec{v}\) y la normal apuntando hacia afuera\(\vec{n}\) es mayor\(90^\circ\text{,}\) que para que el producto punto\(\vec{v}\cdot\vec{n}=|\vec{v}|\,|\vec{n}|\,\cos\theta \lt 0\text{.}\) Pero
- en el punto\((x',y',z')\) donde el rayo deja el sólido, que es un punto oculto, el vector de dirección\(\vec{v}\) apunta fuera del sólido. El ángulo\(\theta\) entre\(\vec{v}\) y la normal que apunta hacia afuera\(\vec{n}'\) es menor que\(90^\circ\text{,}\) para que el producto de punto\(\vec{v}\cdot\vec{n}'=|\vec{v}|\,|\vec{n}'|\,\cos\theta\gt 0\text{.}\)
Nuestra conclusión es que, si estamos mirando en la dirección\(\vec{v}\text{,}\) y si la normal que apunta hacia afuera 13 a la superficie del sólido en\((x,y,z)\) es\(\vec{n}abla G(x,y,z)\) entonces el punto\((x,y,z)\) está oculto si y solo si\(\vec{v}\cdot\vec{n}abla G(x,y,z)\gt 0\text{.}\)
Este método fue utilizado por el programa de gráficos por computadora que creó las figuras sombreadas 14 en los Ejemplos 1.7.1 y 1.7.2, las cuales se reproducen aquí.
Los planos tangentes, además de ser objetos geométricos, proporcionan una herramienta simple pero potente para aproximar funciones de dos variables cercanas a un punto especificado. Vimos algo muy similar en el texto CLP-1 donde aproximamos funciones de una variable por sus líneas tangentes. Esto nos lleva a nuestro siguiente tema: aproximar funciones.
Ejercicios
Etapa 1
¿Es razonable decir que las superficies\(x^2+y^2+(z-1)^2=1\) y\(x^2+y^2+(z+1)^2=1\) son tangentes entre sí en\((0,0,0)\text{?}\)
Dejar que el punto se\(\vec{r}_0= (x_0,y_0,z_0)\) encuentre sobre la superficie\(G(x,y,z)=0\text{.}\)\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\ne\textbf{0}\text{.}\) Supongamos que Supongamos que la curva parametrizada\(\vec{r}(t)=\big(x(t),y(t),z(t)\big)\) está contenida en la superficie y que\(\vec{r}(t_0)=\vec{r}_0\text{.}\) Mostrar que la línea tangente a la curva en\(\vec{r}_0\) se encuentra en el plano tangente a\(G=0\) at\(\vec{r}_0\text{.}\)
Dejar\(F(x_0,y_0,z_0)=G(x_0,y_0,z_0)=0\) y dejar que los vectores\(\vec{n}abla F(x_0,y_0,z_0)\) y\(\vec{n}abla G(x_0,y_0,z_0)\) sean distintos de cero y no sean paralelos entre sí. Encuentra la ecuación del plano normal a la curva de intersección de las superficies\(F(x,y,z)=0\) y\(G(x,y,z)=0\) en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\) Por definición, ese plano normal es el plano a través de\((x_0,y_0,z_0)\) cuyo vector normal es el vector tangente a la curva de intersección en\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
Let\(f(x_0,y_0)=g(x_0,y_0)\) y let\(\left \langle f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0) \right \rangle\ne \left \langle g_x(x_0,y_0), g_y(x_0,y_0) \right \rangle\text{.}\) Encuentra la ecuación de la línea tangente a la curva de intersección de las superficies\(z=f(x,y)\) y\(z=g(x,y)\) en\((x_0\,,\,y_0\,,\,z_0=f(x_0,y_0))\text{.}\)
Etapa 2
Dejar\(\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}\text{.}\) Encontrar el plano tangente a la superficie\(z = f(x,y)\) en el punto\(\left( -1\,,\,1\,,\,\frac{1}{3}\right)\text{.}\)
Encuentra el plano tangente a
\[ \frac{27}{\sqrt{x^2+y^2+z^2+3}}=9 \nonumber \]
en el punto\((2, 1, 1)\text{.}\)
Encuentra las ecuaciones del plano tangente y la línea normal a la gráfica de la función especificada en el punto especificado.
- \(f(x,y)=x^2-y^2\)en\((-2,1)\)
- \(f(x,y)=e^{xy}\)en\((2,0)\)
Considera la superficie\(z = f(x,y)\) definida implícitamente por la ecuación\(xyz^2 + y^2 z^3 = 3 + x^2\text{.}\) Usa un vector de gradiente tridimensional para encontrar la ecuación del plano tangente a esta superficie en el punto\((-1, 1, 2)\text{.}\) Escribe tu respuesta en la forma\(z = ax + by + c\text{,}\) donde\(a\text{,}\)\(b\) y\(c\) son constantes.
Una superficie viene dada por
\[ z = x^2 - 2xy + y^2 . \nonumber \]
- Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie en\(x = a\text{,}\)\(y = 2a\text{.}\)
- Para qué valor de\(a\) es el plano tangente paralelo al plano\(x - y + z = 1\text{?}\)
Encuentre el plano tangente y la línea normal a la superficie\(z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}\) en\((x,y)=(-1,2)\text{.}\)
Encuentra todos los puntos en la superficie\(x^2 + 9y^2 + 4z^2 = 17\) donde el plano tangente es paralelo al plano\(x - 8z = 0\text{.}\)
Dejar\(S\) ser la superficie\(z = x^2 + 2y^2 + 2y - 1\text{.}\) Encuentra todos\(P (x_0,y_0,z_0)\) los puntos\(S\) con\(x_0 \ne 0\) tal que la línea normal en\(P\) contiene el origen\((0,0,0)\text{.}\)
Encuentra todos los puntos en el hiperboloide\(z^2=4x^2+y^2-1\) donde el plano tangente es paralelo al plano\(2x-y+z=0\text{.}\)
Encuentre un vector de longitud\(\sqrt{3}\) que sea tangente a la curva de intersección de las superficies\(\ z^2=4x^2+9y^2\ \) y\(\ 6x+3y+2z=5\ \) en\(\ (2,1,-5)\text{.}\)
Etapa 3
Encuentra todos los planos horizontales que son tangentes a la superficie con ecuación
\[ z=xy e^{-(x^2+y^2)/2} \nonumber \]
¿Cuáles son los valores más grandes y más pequeños\(z\) en esta superficie?
Dejar\(S\) ser la superficie
\[ xy-2x+yz+x^2+y^2+z^3=7 \nonumber \]
- Encontrar el plano tangente y la línea normal a la superficie\(S\) en el punto\((0,2,1)\text{.}\)
- La ecuación que define\(S\) implícitamente define\(z\) como una función de\(x\) y\(y\) para\((x,y,z)\) cerca\((0,2,1)\text{.}\) Buscar expresiones para\(\frac{\partial z}{\partial x}\) y\(\frac{\partial z}{\partial y}\text{.}\) Evaluar\(\frac{\partial z}{\partial y}\) en\((x,y,z)=(0,2,1)\text{.}\)
- Encuentra una expresión para\(\frac{\partial^2 z \,}{\partial x\partial y}\text{.}\)
- Encuentra un vector perpendicular en el punto\((1,1,3)\) a la superficie con ecuación\(x^2+z^2=10\text{.}\)
- Encontrar una tangente vectorial en el mismo punto a la curva de intersección de la superficie en la parte (a) con la superficie\(y^2+z^2=10\text{.}\)
- Encuentre ecuaciones paramétricas para la línea tangente a esa curva en ese punto.
Dejar\(P\) ser el punto donde la curva
\[ \vec{r}(t) = t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + t\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad (0 \le t \lt \infty) \nonumber \]
intersecta la superficie
\[ z^3 + xyz -2 = 0 \nonumber \]
Encuentre el ángulo (agudo) entre la curva y la superficie en\(P\text{.}\)
Encuentra la distancia desde el punto\((1,1,0)\) hasta el paraboloide circular con ecuación\(z=x^2+y^2\text{.}\)
- Es posible, pero más allá del alcance de este texto, dar un significado preciso a “encaja mejor”.
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El método para resolver los cubiceros fue desarrollado en el siglo XV por Del Ferro, Cardano y Ferrari (estudiante de Cardano). Ferrari luego pasó a descubrir una fórmula para las raíces de un cuartico. Tanto la fórmula cúbica como la cuartica son extremadamente engorrosas, y no existe tal fórmula para polinomios de grado 5 y superior. Este es el famoso teorema de Abel-Ruffini.
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Véase el Apéndice A.16 en el texto CLP-2. Allí se muestra que cualquier raíz entera de un polinomio con coeficientes enteros debe dividir exactamente el término constante. Entonces en este caso sólo\(\pm 1\) y\(\pm 3\) podrían ser raíces enteras. Por lo que es bueno verificar para ver si alguna de estas son soluciones antes de pasar a técnicas más sofisticadas.
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Tenga en cuenta que estamos asumiendo que\(\big(a,b,f(a,b)\big)\) es el punto en la superficie que está más cercano\((0,3,0)\text{.}\) Que exista tal punto es intuitivamente obvio a partir de un boceto de la superficie. La prueba matemática de que existe tal punto está fuera del alcance de este texto.
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El gradiente también jugará un papel importante en la Sección 2.7.
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Alternativamente, uno podría reescribir\(G=K\) como\(G-K=0\) y reemplazar\(G\) por\(G-K\) en el argumento anterior.
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En efecto podríamos escribir el Teorema 2.5.1 como corolario del Teorema 2.5.5. Pero en un libro de texto se intenta comenzar con lo concreto y pasar a lo más general.
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La ortografía “equipt” es un poco arcaica. Debe haber una broma aquí sobre las bromas.
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Recordemos que “mínimo” significa el más negativo, no el más cercano a cero.
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Si bien esto es intuitivamente obvio, demostrando que está más allá del alcance de este texto.
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Vimos por qué este vector debe ser perpendicular al plano en el Ejemplo 2.5.3.
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Puede obtener más información al respecto enchufando “trazado de rayos” en el motor de búsqueda de su elección.
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Si\(\vec{n}abla G(x,y,z)\) es normal que apunta hacia adentro, simplemente reemplace\(G\) por\(-G\text{.}\)
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Esas figuras no son convexas. Pero aún así fue posible utilizar el método discutido anteriormente porque cualquier rayo de luz de nuestro ojo que pase por la figura cruza a la figura como máximo dos veces. Primero ingresa a la figura en un punto visible y luego sale de la figura en un punto oculto.