2.7: Derivadas direccionales y el gradiente
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La interpretación principal de\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\) es la tasa de cambio de cambio\(f(x)\text{,}\) por unidad de\(x\text{,}\) al\(x=a\text{.}\) El análogo natural de esta interpretación para funciones multivariables es la derivada direccional, que ahora introducimos a través de una pregunta.
UNA PREGUNTA
Supongamos que está parado\((a,b)\) cerca de una fogata. La temperatura a la que\(f(x,y)\text{.}\) te sientes\((x,y)\) es Empiezas a moverte con velocidad\(\vec{v}=\left \langle v_1,v_2 \right \rangle \text{.}\) ¿Qué tasa de cambio de temperatura sientes?
La respuesta
Vamos a establecer el inicio de los tiempos,\(t=0\text{,}\) a la hora en la que te vas\((a,b)\text{.}\) Entonces
- en el momento en\(0\) que estás\((a, b)\) y sientes la temperatura\(f(a, b)\) y
- en el momento en\(t\) que te encuentras\((a+v_1t\,,\, b+v_2t)\) y sientes la temperatura\(f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\text{.}\) Así
- el cambio de temperatura entre el tiempo\(0\) y el tiempo\(t\) es\(f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)-f(a,b)\text{,}\)
- la tasa promedio de cambio de temperatura, por unidad de tiempo, entre tiempo\(0\) y tiempo\(t\) es\(\frac{f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)-f(a,b)}{t}\) y la
- tasa instantánea de cambio de temperatura por unidad de tiempo a medida que\((a,b)\) se va es\(\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)-f(a,b)}{t} \text{.}\)
Concéntrese en la\(t\) dependencia en este límite escribiendo\(f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)=g(t)\text{.}\) Entonces
\[\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)-f(a,b)}{t} &=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{g(t)-g(0)}{t}\\ &=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}(0)\\ &=\frac{d}{dt}\big[f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\big]\Big|_{t=0} \end{align*}\]
Por la regla de la cadena, podemos escribir el lado derecho en términos de derivadas parciales de\(f\text{.}\)
\[ \frac{d}{dt}\big[f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\big] =f_x(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\,v_1 + f_y(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\,v_2 \nonumber \]
Entonces, la tasa instantánea de cambio por unidad de tiempo a medida que te vas\((a,b)\) es
\[\begin{align*} &\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+v_1t\,,\, b+v_2t)-f(a,b)}{t}\\ &\hskip0.5in=\big[f_x(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\,v_1 + f_y(a+v_1t\,,\, b+v_2t)\,v_2 \big]\Big|_{t=0}\\ &\hskip0.5in=f_x(a,b)\,v_1+f_y(a,b)\,v_2\\ &\hskip0.5in=\left \langle f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b) \right \rangle \cdot\left \langle v_1,v_2 \right \rangle \end{align*}\]
Observe que hemos expresado la tasa de cambio como el producto puntual del vector de velocidad con un vector de derivadas parciales de\(f\text{.}\) Hemos visto tal vector de derivadas parciales de\(f\) antes; en la Definición 2.5.4, definimos el gradiente de la función de tres variables\(G(x,y,z)\) en la punto\(\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\) a ser\(\left \langle G_x\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, G_y\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big)\,,\, G_z\big( x_0\,,\,y_0\,,\,z_0\big) \right \rangle \text{.}\) Aquí vemos el análogo bidimensional natural.
El vector\(\left \langle f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b) \right \rangle \) se denota\(\vec{n}abla f(a,b)\) y se llama “el gradiente de la función\(f\) en el punto\((a,b)\)”.
En general, el gradiente de\(f\) es un vector con un componente para cada variable de\(f\text{.}\) El\(j^{\rm th}\) componente es la derivada parcial de\(f\) con respecto a la\(j^{\rm th}\) variable.
Ahora, debido a que el producto punto\(\vec{n}abla f(a,b)\cdot\vec{v}\) aparece frecuentemente, introducimos alguna notación práctica.
Dado cualquier vector\(\vec{v}=\left \langle v_1,v_2 \right \rangle\text{,}\) la expresión
\[ \left \langle f_x(a,b),f_y(a,b) \right \rangle \cdot\left \langle v_1,v_2 \right \rangle =\vec{n}abla f(a,b)\cdot\vec{v} \nonumber \]
se denota\(D_{\vec{v}}f(a,b)\text{.}\)
Armados con esta útil notación podemos responder a nuestra pregunta de manera muy sucinta.
La tasa de cambio de\(f\) por unidad de tiempo a medida que sale\((a,b)\) moviéndose con velocidad\(\vec{v}\) es
\[ D_{\vec{v}}f(a,b)=\vec{n}abla f(a,b)\cdot\vec{v} \nonumber \]
Podemos calcular la tasa de cambio de temperatura por unidad de distancia (a diferencia de por unidad de tiempo) de manera similar. El cambio de temperatura entre el tiempo\(0\) y el tiempo\(t\) es\(f(a+v_1t, b+v_2t)-f(a,b)\text{.}\) Entre tiempo\(0\) y tiempo\(t\text{,}\) has viajado una distancia\(|\vec{v}|t\text{.}\) Así que la tasa instantánea de cambio de temperatura por unidad de distancia a medida que sales\((a,b)\) es
\[\begin{gather*} \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+v_1t, b+v_2t)-f(a,b)}{t|\vec{v}|} \end{gather*}\]
Esto es exactamente los\(\frac{1}{|\vec{v}|}\) tiempos\(\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{f(a+v_1t, b+v_2t)-f(a,b)}{t}\) que calculamos anteriormente para ser\(D_{\vec{v}}f(a,b)\text{.}\) tan
Dado cualquier vector distinto de cero,\(\vec{v}\text{,}\) la tasa de cambio de distancia\(f\) por unidad a medida que sale\((a,b)\) moviéndose en dirección\(\vec{v}\) es
\[ \nabla f(a,b)\cdot\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} =D_{\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}}\ f(a,b) \nonumber \]
\(D_{\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}}\ f(a,b)\)se llama la derivada direccional de la función\(f(x,y)\) en el punto\((a,b)\) en la dirección 1\(\vec{v}\text{.}\)
Las Implicaciones
Acabamos de ver que la tasa instantánea de cambio de distancia\(f\) por unidad a medida que nos vamos\((a,b)\) moviendo en dirección\(\vec{v}\) es un producto punto, que podemos escribir como
\[ \nabla f(a,b)\cdot\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} =|\nabla f(a,b)| \cos \theta \nonumber \]
donde\(\theta\) está el ángulo entre el vector de gradiente\(\nabla f(a,b)\) y el vector de dirección\(\vec{v}\text{.}\) Escribirlo de esta manera nos permite hacer algunas observaciones útiles. Dado que siempre\(\cos \theta\) está entre\(-1\) y\(+1\)
- la dirección de la tasa máxima de incremento es que teniendo\(\theta=0\text{.}\) Así que para obtener la tasa máxima de incremento por unidad de distancia, a medida\((a,b)\text{,}\) que te vayas debes moverte en la misma dirección que el gradiente\(\nabla f(a,b)\text{.}\) Entonces la tasa de incremento por unidad de distancia es\(|\nabla f(a,b)|\text{.}\)
- La dirección de la tasa mínima (es decir, la más negativa) de aumento es que tener\(\theta=180^\circ\text{.}\) Para obtener tasa mínima de aumento por unidad de distancia debes moverte en la dirección opuesta\(\nabla f(a,b)\text{.}\) Entonces la tasa de aumento por unidad de distancia es\(-|\nabla f(a,b)|\text{.}\)
- Las direcciones que dan tasa cero de aumento son las perpendiculares a\(\nabla f(a,b)\text{.}\) Si te mueves en una dirección perpendicular a\(\nabla f(a,b)\text{,}\) entonces\(f(x,y)\) permanece constante a medida que te vas\((a,b)\text{.}\) En ese instante, te estás moviendo de manera que eso\(f(x,y)\) permanece constante y consecuentemente te estás moviendo a lo largo del nivel curva\(f(x,y)=f(a,b)\text{.}\) Así\(\nabla f(a,b)\) es perpendicular a la curva de nivel\(f(x,y)=f(a,b)\) en\((a,b)\text{.}\) La declaración correspondiente en tres dimensiones es que\(\nabla F(a,b,c)\) es perpendicular a la superficie de nivel\(F(x,y,z)=F(a,b,c)\) en\((a,b,c)\text{.}\) De ahí una buena manera de encontrar un vector normal a la superficie\(F(x,y,z)=F(a,b,c)\) en el punto \((a,b,c\)) es calcular el gradiente\(\nabla F(a,b,c)\text{.}\) Esto es precisamente lo que vimos de nuevo en el Teorema 2.5.5.
Ahora que hemos definido la derivada direccional, aquí hay algunos ejemplos.
Encuentra la derivada direccional de la función\(f(x,y)=e^{x+y^2}\) en el punto\((0,1)\) en la dirección\(-\hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)
Solución
Para calcular la derivada direccional, necesitamos el gradiente. Para calcular el gradiente, necesitamos algunas derivadas parciales. Entonces partimos con las derivadas parciales de\(f\) al\((0,1)\text{:}\)
\[\begin{alignat*}{2} f_x(0,1) &= e^{x+y^2}\Big|_{x=0\atop y=1} &&=e\\ f_y(0,1) &= 2ye^{x+y^2}\Big|_{x=0\atop y=1} &&=2e \end{alignat*}\]
Entonces el gradiente de\(f\) at\((0,1)\) es
\[ \nabla f(0,1) = f_x(0,1)\,\hat{\pmb{\imath}} + f_y(0,1)\,\hat{\pmb{\jmath}} = e\,\hat{\pmb{\imath}} + 2e\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
y la dirección derivada en la dirección\(-\hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}}\) es
\[ D_{\frac{-\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}}{|-\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}|}} f(0,1) = \nabla f(0,1)\cdot\frac{-\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}}{|-\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}|} = \big(e\,\hat{\pmb{\imath}} + 2e\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\cdot \frac{-\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}}{\sqrt{2}} = \frac{e}{\sqrt{2}} \nonumber \]
Encuentra la derivada direccional de la función\(w(x,y,z)=xyz +\ln(xz)\) en el punto\((1,3,1)\) en la dirección ¿\(\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle\text{.}\)En qué direcciones es cero la derivada direccional?
Solución
En primer lugar, las derivadas parciales de\(w\) at\((1,3,1)\) son
\[\begin{alignat*}{3} w_x(1,3,1) &= \left[yz+\frac{1}{x}\right]\bigg|_{(1,3,1)} &&=3\times 1+\frac{1}{1}&&=4\\ w_y(1,3,1) &= xz\bigg|_{(1,3,1)} &&=1\times 1&&=1\\ w_z(1,3,1) &= \left[xy+\frac{1}{z}\right]\bigg|_{(1,3,1)} &&=1\times 3 +\frac{1}{1} &&=4 \end{alignat*}\]
por lo que el gradiente de\(w\) at\((1,3,1)\) es
\[ \nabla w(1,3,1) = \left \langle w_x(1,3,1)\,,\,w_y(1,3,1)\,,\,w_z(1,3,1) \right \rangle = \left \langle 4\,,\,1\,,\,4 \right \rangle \nonumber \]
y la dirección derivada en la dirección\(\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle\) es
\[\begin{align*} D_{\frac{\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle}{|\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle|}} w(1,3,1) &= \nabla w(1,3,1)\cdot \frac{\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle}{|\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle|} = \left \langle 4\,,\,1\,,\,4 \right \rangle\cdot \frac{\left \langle 1\,,\,0\,,\,1 \right \rangle}{\sqrt{2}}\\ &= \frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2} \end{align*}\]
La derivada direccional de\(w\) at\((1,3,1)\) en la dirección\(\textbf{t} \ne\textbf{0} \) es cero si y solo si
\[ 0 = D_{\frac{\textbf{t}}{|\textbf{t}|}} w(1,3,1) = \nabla w(1,3,1)\cdot\frac{\textbf{t}}{|\textbf{t}|} = \left \langle 4\,,\,1\,,\,4 \right \rangle\cdot \frac{\textbf{t}}{|\textbf{t}|} \nonumber \]
que es el caso si y solo si\(\textbf{t}\) es perpendicular a\(\left \langle 4\,,\,1\,,\,4 \right \rangle\text{.}\) Así que si caminamos en la dirección de cualquier vector en el plano,\(4x+y+4z=0\) (que tiene vector normal\(\left \langle 4\,,\,1\,,\,4 \right \rangle\)) entonces la derivada direccional es cero.
Let
\[ f(x,y)=5-x^2-2y^2\qquad (a,b)=\big(-1,-1\big) \nonumber \]
En este ejemplo, exploraremos el comportamiento de la función\(f(x,y)\) cerca del punto\((a,b)\text{.}\)
Tenga en cuenta que para cualquier fijo\(f_0 \lt 5\text{,}\)\(f(x,y)=f_0\) es la elipse\(x^2+2y^2=5-f_0\text{.}\) Así que la gráfica\(z=f(x,y)\) consiste en un manojo de elipses horizontales apiladas una encima de la otra.
- Dado que la elipse\(x^2+2y^2=5-f_0\) tiene\(x\) -semieje\(\sqrt{5-f_0}\) y\(y\) -semieje\(\sqrt{\frac{5-f_0}{2}}\text{,}\)
- las elipses comienzan con un punto en el\(z\) eje cuando\(f_0=5\) y
- aumentar de tamaño a medida que\(f_0\) disminuye.
- La parte de la gráfica\(z=f(x,y)\) en el primer octante se esboza en la figura de la izquierda a continuación.
- Varias curvas de nivel,\(f(x,y)=f_0\text{,}\) se esbozan en la figura derecha de abajo.
- El vector de gradiente
\[ \nabla f(a,b)=\left \langle -2x,-4y \right \rangle \big|_{(-1,-1)}=\left \langle 2,4 \right \rangle =2\left \langle 1,2 \right \rangle \nonumber \]
at también\((-1,-1)\) se ilustra en el boceto de la derecha.
Tenemos eso, en\((a,b)=(-1,-1)\text{,}\)
- el vector unitario que da la dirección de la tasa máxima de aumento es el vector unitario en la dirección del vector de gradiente\(2\left \langle 1,2 \right \rangle\text{,}\) que es\(\frac{1}{\sqrt{5}}\left \langle 1,2 \right \rangle\text{.}\) La tasa máxima de aumento es\(|\left \langle 2,4 \right \rangle |=2\sqrt{5}\text{.}\)
- El vector unitario que da la dirección de la tasa mínima de incremento es\(-\frac{1}{\sqrt{5}}\left \langle 1,2 \right \rangle \) y esa tasa mínima es\(-|\left \langle 2,4 \right \rangle |=-2\sqrt{5}\text{.}\)
- Las direcciones que dan tasa cero de aumento son perpendiculares a\(\nabla f(a,b)\text{.}\) Un vector perpendicular 2 a\(\left \langle 1,2 \right \rangle\) es\(\left \langle 2,-1 \right \rangle\text{.}\) Así que los vectores unitarios que dan la dirección de tasa cero de aumento son las\(\pm\frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1)\text{.}\) Estas son las direcciones del vector tangente\((a,b)\) al nivel curva de\(f\) a través de la\((a,b)\text{,}\) cual es la curva\(f(x,y)=f(a,b)\text{.}\)
¿Cuál es la tasa de cambio de\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) al\((3,5,4)\) moverse en la\(x\) dirección positiva a lo largo de la curva de intersección de las superficies\(G(x,y,z)=25\) y\(H(x,y,z)=0\) dónde
\[ G(x,y,z)=2x^2-y^2+2z^2 \qquad\text{and}\qquad H(x,y,z)=x^2-y^2+z^2 \nonumber \]
Solución
Como primera nota de verificación que\((3,5,4)\) realmente se encuentra en ambas superficies porque
\[\begin{alignat*}{2} G(3,5,4)&= 2\big(3^2\big)-5^2+2\big(4^2\big) &&= 18-25+32=25\\ H(3,5,4)&=\phantom{2*\ }3^2-5^2+\phantom{2*}4^2&&=\phantom{1}9-25+16 =0 \end{alignat*}\]
Calculamos gradientes para obtener los vectores normales a las superficies\(G(x,y,z)=25\) y\(H(x,y,z)=0\) en\((3,5,4)\text{.}\)
\[\begin{align*} \nabla G(3,5,4) &=\Big[4x\,\hat{\pmb{\imath}}-2y\,\hat{\pmb{\jmath}}+4z\,\hat{\mathbf{k}}\Big]_{(3,5,4)}\\ &= 12\,\hat{\pmb{\imath}}-10\,\hat{\pmb{\jmath}}+16\,\hat{\mathbf{k}} = 2\big(6\,\hat{\pmb{\imath}}-5\,\hat{\pmb{\jmath}}+8\,\hat{\mathbf{k}}\big)\\ \nabla H(3,5,4) &=\Big[2x\,\hat{\pmb{\imath}}-2y\,\hat{\pmb{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}}\Big]_{(3,5,4)}\\ &= 6\,\hat{\pmb{\imath}}-10\,\hat{\pmb{\jmath}}+8\,\hat{\mathbf{k}} = 2\big(3\,\hat{\pmb{\imath}}-5\,\hat{\pmb{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big) \end{align*}\]
La dirección de interés es tangente a la curva de intersección. Entonces la dirección de interés es tangente a ambas superficies y por lo tanto es perpendicular a ambos gradientes. En consecuencia, un vector tangente a la curva en\((3,5,4)\) es
\[\begin{align*} \nabla G(3,5,4)\,\times \nabla H(3,5,4) &=4\big(6\,\hat{\pmb{\imath}}-5\,\hat{\pmb{\jmath}}+8\,\hat{\mathbf{k}}\big)\times\big(3\,\hat{\pmb{\imath}}-5\,\hat{\pmb{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}\big)\\ &=4\ \det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 6 & -5 & 8 \\ 3 & -5 & 4 \\ \end{matrix}\right]\\ &= 4\ \big(20\,\hat{\pmb{\imath}} -15\,\hat{\mathbf{k}}\big) = 20\ \big(4\,\hat{\pmb{\imath}} -3\,\hat{\mathbf{k}}\big) \end{align*}\]
y el vector tangente unitario a la curva en la\((3,5,4)\) que tiene\(x\) componente positivo es
\[ \frac{4\,\hat{\pmb{\imath}} -3\,\hat{\mathbf{k}}}{|4\,\hat{\pmb{\imath}} -3\,\hat{\mathbf{k}}|} =\frac{4}{5}\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{3}{5}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
La tasa de cambio deseada es
\[\begin{align*} D_{\frac{4}{5}\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{3}{5}\,\hat{\mathbf{k}}} f(3,5,4) &= \nabla f(3,5,4)\cdot\left(\frac{4}{5}\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{3}{5}\,\hat{\mathbf{k}}\right)\\ &= \overbrace{\big( 6\,\hat{\pmb{\imath}} +10\, \hat{\pmb{\jmath}} + 8\,\hat{\mathbf{k}}\big)}^ {[2x\,\hat{\pmb{\imath}}+2y\,\hat{\pmb{\jmath}}+2z\,\hat{\mathbf{k}}]_{(x,y,z)=(3,5,4)}}\hskip-0.15in\cdot\, \left(\frac{4}{5}\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{3}{5}\,\hat{\mathbf{k}}\right)\\ &=0 \end{align*}\]
En realidad, podríamos haber sabido que la tasa de cambio sería cero.
- indent=0.1in
- Cualquier punto\((x,y,z)\) en la curva obedece a ambos\(y^2=x^2+z^2\) y\(2x^2-y^2+2z^2=25\text{.}\)
- Sustituir\(y^2=x^2+z^2\) en\(2x^2-y^2+2z^2=25\) da\(x^2+z^2=25\text{.}\)
- Entonces, en cualquier punto de la curva,\(x^2+z^2=25\) y\(y^2=x^2+z^2=25\) para que\(x^2+y^2+z^2=50\text{.}\)
- Es decir,\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\) toma el valor 50 en cada punto de la curva.
- Entonces, por supuesto, la tasa de cambio de\(f\) a lo largo de la curva es\(0\text{.}\)
Cambiemos un poco las cosas. En el siguiente ejemplo, se nos dice las tasas de cambio en dos direcciones diferentes. A partir de esto estamos para determinar la tasa de cambio en una tercera dirección.
La tasa de cambio de una función dada\(f(x,y)\) en el punto\(P_0=(1,2)\) en la dirección hacia\(P_1=(2,3)\) es\(2\sqrt{2}\) y en la dirección hacia\(P_2=(1,0)\) es\(-3\text{.}\) ¿Cuál es la tasa de cambio de\(f\) al\(P_0\) hacia el origen\(P_3=(0,0)\text{?}\)
Solución
Podemos determinar fácilmente la tasa de cambio de\(f\) en el punto\(P_0\) en cualquier dirección una vez que conocemos el gradiente\(\vec{n}abla f(1,2) =a\,\hat{\pmb{\imath}}+b\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Así que primero usaremos las dos tasas de cambio dadas para determinar\(a\)\(b\text{,}\) y luego determinamos la tasa de cambio hacia\((0,0)\text{.}\)
Las dos tasas de cambio que se nos dan son las que están en las direcciones de los vectores
\[\begin{gather*} \overrightarrow{P_0P_1} = \left \langle 1,1 \right \rangle \qquad \overrightarrow{P_0P_2} = \left \langle 0,-2 \right \rangle \end{gather*}\]
Como puedes adivinar, la notación\(\overrightarrow{PQ}\) significa el vector cuya cola está en\(P\) y cuya cabeza está en\(Q\text{.}\) Así que las tasas de cambio dadas nos dicen que
\[\begin{alignat*}{3} \sqrt{2}&=D_{\frac{\left \langle 1,1 \right \rangle}{|\left \langle 1,1 \right \rangle|}} f(1,2) &&= \nabla f(1,2)\cdot\frac{\left \langle 1,1 \right \rangle}{|\left \langle 1,1 \right \rangle|} &&= \left \langle a,b \right \rangle\cdot\frac{\left \langle 1,1 \right \rangle}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{a}{\sqrt{2}} +\frac{b}{\sqrt{2}}\\ -3&=D_{\frac{\left \langle 0,-2 \right \rangle}{|\left \langle 0,-2 \right \rangle|}} f(1,2) &&= \nabla f(1,2)\cdot\frac{\left \langle 0,-2 \right \rangle}{|\left \langle 0,-2 \right \rangle|} &&= \left \langle a,b \right \rangle\cdot\frac{\left \langle 0,-2 \right \rangle}{2}\\ &=-b \end{alignat*}\]
Estas dos líneas nos dan dos ecuaciones lineales en las dos incógnitas\(a\) y\(b\text{.}\) La segunda ecuación nos da directamente\(b=3\text{.}\) Sustituir\(b=3\) en la primera ecuación da
\[\begin{gather*} \frac{a}{\sqrt{2}} +\frac{3}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \implies a+3=4 \implies a=1 \end{gather*}\]
Un vector de dirección desde\(P_0=(1,2)\) hacia\(P_3=(0,0)\) es
\[ \overrightarrow{P_0P_3} = \left \langle -1,-2 \right \rangle \nonumber \]
y la tasa de cambio (por unidad de distancia) en esa dirección es
\[\begin{align*} D_{\frac{\left \langle -1,-2 \right \rangle}{|\left \langle -1,-2 \right \rangle|}} f(1,2) &= \nabla f(1,2)\cdot\frac{\left \langle -1,-2 \right \rangle}{|\left \langle -1,-2 \right \rangle|} = \left \langle a,b \right \rangle\cdot\frac{\left \langle -1,-2 \right \rangle}{\sqrt{5}}\\ &= \left \langle 1,3 \right \rangle\cdot\frac{\left \langle -1,-2 \right \rangle}{\sqrt{5}} =-\frac{7}{\sqrt{5}} \end{align*}\]
Opcional
Encuentra todos los puntos\((a,b,c)\) para los que las esferas\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 =1\) y se\(x^2+y^2+z^2=1\) cruzan ortogonalmente. Es decir, los planos tangentes a las dos esferas deben ser perpendiculares en cada punto de intersección.
Solución
Dejar\((x_0,y_0,z_0)\) ser un punto de intersección. Eso es
\[\begin{align*} (x_0-a)^2+(y_0-b)^2+(z_0-c)^2 & = 1\\ x_0^2+y_0^2+z_0^2&=1 \end{align*}\]
Un vector normal a\(G(x,y,z)=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 =1\) at\((x_0,y_0,z_0)\) es
\[ \textbf{N} = \nabla G(x_0,y_0,z_0) = \left \langle 2(x_0-a)\,,\,2(y_0-b)\,,\,2(z_0-c) \right \rangle \nonumber \]
Un vector normal a\(g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 =1\) at\((x_0,y_0,z_0)\) es
\[ \vec{n} = \nabla g(x_0,y_0,z_0) = \left \langle 2x_0\,,\,2y_0\,,\,2z_0 \right \rangle \nonumber \]
Los dos planos tangentes son perpendiculares si y solo si\(\hat{\textbf{N}}\) y\(\hat{\mathbf{n}}\) son perpendiculares, que es el caso si y solo si
\[ 0=\hat{\textbf{N}}\cdot\hat{\mathbf{n}} = 4x_0(x_0-a) + 4y_0(y_0-b) +4z_0(z_0-c) \nonumber \]
o, dividiendo la ecuación por\(4\text{,}\)
\[ x_0(x_0-a) + y_0(y_0-b) +z_0(z_0-c)=0 \nonumber \]
Hagamos una pausa para hacer un balance. Tenemos que encontrar todo\((a,b,c)\) es tal que la declaración
\[ (x_0,y_0,z_0)\text{ is a point of intersection of the two spheres} \tag{S1} \nonumber \]
implica la declaración
\[ \text{the normal vectors $\hat{\textbf{N}}$ and $\hat{\mathbf{n}}$ are perpendicular} \tag{S2} \nonumber \]
En las ecuaciones, tenemos que encontrar todos\((a,b,c)\) es tal que la declaración
\[\begin{align*} (x_0,y_0,z_0)\quad\text{obeys}\quad &x_0^2+y_0^2+z_0^2 = 1\\ &\text{ and }(x_0-a)^2+(y_0-b)^2+(z_0-c)^2 = 1 \tag{S1} \end{align*}\]
implica la declaración
\[ (x_0,y_0,z_0)\quad\text{obeys}\quad x_0(x_0-a) + y_0(y_0-b) +z_0(z_0-c)=0 \tag{S2} \nonumber \]
Ahora bien, si expandimos (S2) entonces podemos, con un poco de cuidado, masajearlo en algo que se parezca más a (S1).
\[\begin{align*} &x_0(x_0-a) + y_0(y_0-b) +z_0(z_0-c) =x_0^2+y_0^2+z_0^2 -ax_0 -by_0 - cz_0\\ &=\frac{1}{2}\left\{\big[x_0^2+y_0^2+z_0^2\big] +\big[(x_0-a)^2+(y_0-b)^2+(z_0-c)^2\big] -a^2-b^2-c^2\right\} \end{align*}\]
Si (S1) es cierto,\(\big[(x_0-a)^2+(y_0-b)^2+(z_0-c)^2\big]=1\) entonces\(\big[x_0^2+y_0^2+z_0^2\big]=1\) y para que
\[ x_0(x_0-a) + y_0(y_0-b) +z_0(z_0-c) =\frac{1}{2}\left\{1 \ +\ 1\ -a^2-b^2-c^2 \right\} \nonumber \]
y la declaración (S2) es verdadera si y sólo si
\[ a^2+b^2+c^2=2 \nonumber \]
Nuestra conclusión es que el conjunto de puntos permitidos\((a,b,c)\) es la esfera de radio\(\sqrt{2}\) centrada en el origen.
¿Cuál es el gradiente de una función en coordenadas polares?
Solución
Como fue el caso en los Ejemplos 2.4.9 y 2.4.10, averiguar qué es lo que se plantea la pregunta es la mitad de la batalla. Por Definición 2.5.4, el gradiente de una función\(g(x,y)\) es el vector\(\left \langle g_x(x,y),g_y(x,y) \right \rangle\text{.}\) En esta pregunta nos dicen que se nos da alguna función\(f(r,\theta)\) de las coordenadas polares 3\(r\) y\(\theta\text{.}\) se supone que debemos convertir esta función a coordenadas cartesianas.
Esto quiere decir que debemos considerar la función
\[ g(x,y)=f\big(r(x,y),\theta(x,y)\big) \nonumber \]
con
\[\begin{align*} r(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2}\cr \theta(x,y)&= \arctan\,\frac{y}{x} \end{align*}\]
Entonces vamos a calcular el gradiente de\(g(x,y)\) y expresar la respuesta en términos de\(r\) y\(\theta\text{.}\) Por la regla de la cadena,
desde\(x=r\cos\theta\) y\(y=r\sin\theta\)
\ begin {align*} &=\ frac {\ parcial f} {\ r parcial}\\ cos\ theta -\ frac {\ parcial f} {\ parcial\ theta}\\ frac {\ sin\ theta} {r}\ end {align*}Del mismo modo
\[\begin{align*} \frac{\partial g}{\partial y} &=\frac{\partial f}{\partial r}\ \frac{\partial r}{\partial y} +\frac{\partial f}{\partial \theta}\ \frac{\partial \theta}{\partial y}\\ &=\frac{\partial f}{\partial r}\ \frac{1}{2}\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}} +\frac{\partial f}{\partial \theta}\ \frac{1/x}{1+(y/x)^2}\\ &=\frac{\partial f}{\partial r}\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} +\frac{\partial f}{\partial \theta}\ \frac{x}{x^2+y^2}\\ &=\frac{\partial f}{\partial r}\ \sin\theta +\frac{\partial f}{\partial \theta}\ \frac{\cos\theta}{r} \end{align*}\]
Entonces
\[ \left \langle g_x,g_y \right \rangle= f_r\ \left \langle \cos\theta,\sin\theta \right \rangle +\frac{f_\theta}{r}\left \langle -\sin\theta,\cos\theta \right \rangle \nonumber \]
o, con todos los argumentos escritos explícitamente,
\[\begin{align*} \left \langle g_x(x,y),g_y(x,y) \right \rangle &= f_r\big(r(x,y),\theta(x,y)\big)\ \left \langle \cos\theta(x,y)\,,\,\sin\theta(x,y) \right \rangle\\ &\ \ +\frac{1}{r(x,y)}f_\theta\big(r(x,y),\theta(x,y)\big)\ \left \langle -\sin\theta(x,y)\,,\,\cos\theta(x,y) \right \rangle \end{align*}\]
Ejercicios
Etapa 1
Encuentra la derivada direccional de\(f(x,y,z) = e^{xyz}\) en la\(\left \langle 0,1,1 \right \rangle\) dirección en el punto\((0,1,1)\text{.}\)
Encuentra\(\nabla\big(y^2 + \sin(xy)\big)\text{.}\)
Etapa 2
Encuentre la tasa de cambio de la función dada en el punto dado en la dirección dada.
- \(f(x,y)=3x-4y\)en el punto\((0,2)\) en la dirección\(-2\hat{\pmb{\imath}}\text{.}\)
- \(f(x,y,z)=x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\)\((2,-3,4)\)en la dirección\(\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\text{.}\)
¿En qué direcciones en el punto\((2,0)\) la función\(f(x,y)=xy\) tiene las tasas de cambio especificadas?
- \(\displaystyle -1\)
- \(\displaystyle -2\)
- \(\displaystyle -3\)
Encontrar\(\nabla f(a,b)\) dadas las derivadas direccionales
\[ D_{(\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}})/\sqrt{2}}f(a,b)=3\sqrt{2}\qquad D_{(3\hat{\pmb{\imath}}-4\hat{\pmb{\jmath}})/5}f(a,b)=5 \nonumber \]
Estás parado en un lugar donde la superficie de la tierra es lisa. La pendiente en dirección sur es\(4\) y la pendiente en dirección sureste es\(\sqrt{2}\text{.}\) Encontrar la pendiente en dirección este.
Supongamos que la derivada direccional de\(w = f(x,y,z)\) en un punto\(P\) es un máximo en la dirección del vector\(2\hat{\pmb{\imath}} - \hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}}\text{,}\) y el valor de la derivada direccional en esa dirección es\(3\sqrt{6}\text{.}\)
- Encuentra el vector de gradiente de\(w = f(x,y,z)\) at\(P\text{.}\)
- Encuentra la derivada direccional de\(w = f(x,y,z)\) at\(P\) en la dirección del vector\(\hat{\pmb{\imath}} + \hat{\pmb{\jmath}}\)
Un excursionista está caminando sobre una montaña con altura por encima del\(z = 0\) plano dada por
\[ z = f(x,y) = 6 - xy^2 \nonumber \]
El\(x\) eje positivo apunta al este y el\(y\) eje positivo apunta al norte, y el excursionista comienza desde el punto\(P(2, 1, 4)\text{.}\)
- ¿En qué dirección debe proceder el excursionista\(P\) para ascender por el camino más empinado? ¿Cuál es la pendiente del camino?
- Caminando hacia el norte desde\(P\text{,}\) ¿el excursionista comenzará a ascender o descender? ¿Cuál es la pendiente?
- ¿En qué dirección debe caminar el excursionista\(P\) para permanecer a la misma altura?
Dos excursionistas están escalando una (pequeña) montaña cuya altura es\(\ z=1000-2x^2-3y^2.\) Comienzan en\(\ (1,1,995)\ \) y siguen el camino de ascenso más empinado. Sus\((x,y)\) coordenadas obedecen\(\ y=ax^b\ \) para algunas constantes\(a, b\text{.}\) Determinar\(a\) y\(b\text{.}\)
Un mosquito está en la ubicación\((3, 2, 1)\) de\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Ella sabe que la temperatura\(T\) cerca de ahí viene dada por\(T = 2x^2 + y^2 - z^2\text{.}\)
- Ella desea mantenerse a la misma temperatura, pero debe volar en alguna dirección inicial. Encuentre una dirección en la que se encuentre la tasa inicial de cambio de la temperatura\(0\text{.}\)
- Si tú y otro alumno obtienen respuestas correctas en la parte (a), ¿deben ser las mismas las indicaciones que das? ¿Por qué o por qué no?
- ¿Qué dirección o direcciones iniciales se adaptarían al mosquito si quisiera enfriarse lo más rápido posible?
La temperatura del aire\(T(x,y,z)\) en una ubicación\((x,y,z)\) viene dada por:
\[ T(x,y,z) = 1 + x^2 + yz. \nonumber \]
- Un ave pasa\((2,1,3)\) viajando hacia\((4,3,4)\) con velocidad ¿\(2\text{.}\)A qué velocidad cambia la temperatura del aire que experimenta en este instante?
- Si en cambio el ave mantiene una altitud constante (\(z = 3\)) a medida que pasa\((2,1,3)\) mientras se mantiene a una temperatura fija del aire,\(T = 8\text{,}\) ¿cuáles son sus dos posibles direcciones de viaje?
Dejar\(f(x,y) = 2x^2 + 3xy + y^2\) ser una función de\(x\) y\(y\text{.}\)
- Encuentra la tasa máxima de cambio de\(f(x,y)\) en el punto\(P\left(1, -\frac{4}{3}\right)\text{.}\)
- Encuentra las direcciones en las que la derivada direccional de\(f(x,y)\) en el punto\(P\left(1, -\frac{4}{3}\right)\) tiene el valor\(\frac{1}{5}\text{.}\)
La\(T(x, y)\) temperatura en un punto del\(xy\) plano viene dada por
\[ T(x, y) = ye^{x^2} \nonumber \]
Un insecto viaja de izquierda a derecha a lo largo de la curva\(y = x^2\) a una velocidad de\(0.01\) m/seg. El bug monitorea\(T(x, y)\) continuamente. Cuál es la tasa de cambio de a\(T\) medida que el error pasa por el punto\((1, 1)\text{?}\)
Supongamos que la función\(T=F(x,y,z)=3+xy-y^2+z^2-x\) describe la temperatura en un punto\((x,y,z)\) en el espacio, con\(F(3,2,1)=3\text{.}\)
- Encuentra la derivada direccional de\(T\) at\((3, 2, 1)\text{,}\) en la dirección del punto\((0,1,2)\text{.}\)
- ¿En el punto\((3, 2, 1)\text{,}\) en qué dirección disminuye la temperatura más rápidamente?
- Moviéndose a lo largo de la curva dada por\(x=3e^t\text{,}\)\(y = 2 \cos t\text{,}\)\(z= \sqrt{1 + t}\text{,}\) encontrar\(\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\text{,}\) la tasa de cambio de temperatura con respecto a\(t\text{,}\) a\(t = 0\text{.}\)
- Supongamos que\(\hat{\pmb{\imath}}+5\hat{\pmb{\jmath}}+a\hat{\mathbf{k}}\) es un vector que es tangente a la superficie del nivel de temperatura\(T(x, y, z) = 3\) en\((3, 2, 1)\text{.}\) Qué es\(a\text{?}\)
Let
\[\begin{align*} f(x, y, z) &= (2x + y)e^{-(x^2 +y^2 +z^2)}\\ g(x, y, z) &= xz + y^2 + yz + z^2 \end{align*}\]
- Encuentra los gradientes de\(f\) y\(g\) en\((0,1,-1)\text{.}\)
- Un ave a\((0,1,-1)\) vuela a velocidad\(6\) en la dirección en la que\(f(x, y, z)\) aumenta más rápidamente. A medida que pasa a través de\((0,1,-1)\text{,}\) lo rápido que\(g(x, y, z)\) aparece (al pájaro) para estar cambiando?
- Un murciélago a\((0,1,-1)\) vuela en la dirección en la que\(f (x, y, z)\) y\(g(x, y, z)\) no cambian, sino que\(z\) aumenta. Encuentra un vector en esta dirección.
Una abeja está volando a lo largo de la curva de intersección de las superficies\(3z + x^2 + y^2 = 2\) y\(z = x^2 - y^2\) en la dirección para la cual\(z\) va en aumento. En\(t = 2\text{,}\) el momento la abeja pasa por el punto\((1, 1, 0)\) a velocidad\(6\text{.}\)
- Encuentra la velocidad (vector) de la abeja a la vez\(t = 2\text{.}\)
- La temperatura\(T\) en la posición\((x, y, z)\) en el momento\(t\) viene dada por\(T = xy - 3x+2yt+z\text{.}\) Encuentra la tasa de cambio de temperatura experimentada por la abeja en el momento\(t = 2\text{.}\)
La temperatura en un punto\((x, y, z)\) viene dada por\(T(x, y, z) = 5e^{-2x^2-y^2-3z^2}\text{,}\) donde\(T\) se mide en centígrados y\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\) en metros.
- Encuentra la tasa de cambio de temperatura en el punto\(P(1, 2, -1)\) en la dirección hacia el punto\((1, 1, 0)\text{.}\)
- ¿En qué dirección disminuye la temperatura más rápidamente?
- Encuentre la tasa máxima de disminución en\(P\text{.}\)
La derivada direccional de una función\(w = f(x, y, z)\) en un punto\(P\) en la dirección del vector\(\hat{\pmb{\imath}}\) es 2, en la dirección del vector\(\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}\) es\(-\sqrt{2}\text{,}\) y en la dirección del vector\(\hat{\pmb{\imath}}+\hat{\pmb{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\) es\(-\frac{5}{\sqrt{3}}\text{.}\) Encontrar la dirección en la que la función\(w = f(x, y, z)\) tiene el máximo tasa de cambio en el punto\(P\). ¿Cuál es esta tasa máxima de cambio?
Supongamos que se sabe que la dirección del incremento más rápido de la función\(f(x,y)\) en el origen viene dada por el vector\(\left \langle 1, 2 \right \rangle\text{.}\) Encuentra un vector unitario\(u\) que es tangente a la curva de nivel de\(f(x,y)\) que pasa por el origen.
La forma de un cerro viene dada por\(z = 1000 - 0.02x^2 - 0.01y^2\text{.}\) Supongamos que el\(x\) eje -está apuntando al Este, y el\(y\) -eje apunta al Norte, y todas las distancias están en metros.
- Cuál es la dirección del ascenso más empinado en el punto\((0, 100, 900)\text{?}\) (La respuesta debe ser en términos de direcciones de la brújula).
- ¿Cuál es la pendiente del cerro en el punto\((0, 100, 900)\) en la dirección de (a)?
- Si montas en bicicleta en este cerro en dirección al descenso más empinado a\(5\) m/s, ¿cuál es la tasa de cambio de tu altitud (con respecto al tiempo) a medida que pasas por el punto (0, 100, 900)?
Deje que la presión\(P\) y la\(T\) temperatura en un punto\((x, y, z)\)
\[ P(x,y,z) = \frac{x^2+2y^2}{1+z^2},\qquad T(x,y,z) = 5 + xy - z^2 \nonumber \]
- Si la posición de un avión en el momento\(t\) es
\[ (x(t), y(t), z(t)) = (2t, t^2 - 1, \cos t) \nonumber \]
encontrar\(\frac{d}{dt} (PT)^2\) en el momento\(t = 0\) como se observa desde el avión. - En qué dirección debe\((0,-1,1)\) volar un pájaro en el punto si quiere mantener ambos\(P\) y\(T\) constante. (Dar un vector de dirección posible. No necesita ser un vector unitario.)
- Una hormiga se arrastra sobre la superficie\(z^3 + zx + y^2 = 2\text{.}\) Cuando la hormiga está\((0,-1,1)\text{,}\) en el punto en que dirección debe ir para el aumento máximo de la temperatura\(T = 5 + xy - z^2\text{?}\) Tu respuesta debe ser un vector\(\left \langle a, b, c \right \rangle\text{,}\) no necesariamente de longitud unitaria. (Tenga en cuenta que la hormiga no puede arrastrarse en la dirección del gradiente porque eso conduce fuera de la superficie. El vector de dirección\(\left \langle a, b, c \right \rangle\) tiene que estar en el plano tangente a la superficie.)
Supongamos que\(f(x,y,z)\) es una función de tres variables y let\(\textbf{u} = \frac{1}{\sqrt{6}} \left \langle 1, 1, 2 \right \rangle\) y\(\textbf{v} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left \langle 1, -1, -1 \right \rangle\) y\(\textbf{w} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left \langle 1, 1, 1 \right \rangle\text{.}\) Supongamos que en un punto\((a,b,c)\text{,}\)
\[\begin{align*} D_\textbf{u} f&=0\\ D_\textbf{v} f&=0\\ D_\textbf{w} f&=4 \end{align*}\]
Encuentra\(\nabla f\) en\((a,b,c)\text{.}\)
La elevación de un cerro viene dada por la ecuación\(f(x,y)=x^2y^2e^{-x-y}\text{.}\) Una hormiga se sienta en el punto\((1,1,e^{-2})\text{.}\)
- Encuentra el vector de unidad\(\textbf{u}=\left \langle u_1,u_2 \right \rangle\) que maximiza
\[ \lim_{t\rightarrow 0}\frac{f\big((1,1)+t\textbf{u}\big)-f(1,1)}{t} \nonumber \]
- Encontrar un vector\(\textbf{v}=\left \langle v_1,v_2,v_3 \right \rangle\) apuntando en la dirección del camino que la hormiga podría tomar para mantenerse en el mismo nivel de elevación\(e^{-2}\text{.}\)
- Encontrar un vector\(\textbf{v}=\left \langle v_1,v_2,v_3 \right \rangle\) apuntando en la dirección del camino que la hormiga debe tomar para maximizar su tasa instantánea de aumento de nivel.
Dejar que la temperatura en una región del espacio esté dada por\(T(x,y,z)=3x^2+\frac{1}{2} y^2+2z^2\) grados.
- Un gorrión está volando a lo largo de la curva\(\vec{r}(s)=\big(\frac{1}{3}s^3,2s,s^2\big)\) a una velocidad constante de\(3{\rm ms}^{-1}\text{.}\) ¿Cuál es la velocidad del gorrión cuando\(s=1\text{?}\)
- ¿A qué ritmo siente el gorrión que la temperatura está cambiando en el punto\(A\big(\frac{1}{3},2,1\big)\) para el cual\(s=1\text{.}\)
- ¿En el punto\(A\big(\frac{1}{3},2,1\big)\) en qué dirección irá disminuyendo la temperatura a velocidad máxima?
- Un águila cruza el camino del gorrión en\(A\big(\frac{1}{3},2,1\big)\text{,}\) se mueve en ángulo recto con el camino del gorrión, y también se mueve en una dirección en la que la temperatura permanece constante. En qué direcciones podría estar volando el águila a medida que pasa por el punto\(A\text{?}\)
Supongamos que la\(T\) temperatura en un punto\((x,y,z)\) cercano a una llama en el origen viene dada por
\[ T(x,y,z)=\frac{200}{1+x^2+y^2+z^2} \nonumber \]
donde las coordenadas se dan en metros y la temperatura es en grados Celsius. Supongamos que en algún momento en el tiempo, una polilla está en el punto\((3,4,0)\) y está volando a una velocidad constante de\(1 {\rm m/s}\) en la dirección de aumento máximo de temperatura.
- Encuentra el vector\(\vec{v}\) de velocidad de la polilla en este momento.
- ¿Qué tasa de cambio de temperatura siente la polilla en ese momento?
Decimos que\(u\) es inversamente proporcional a\(v\) si hay una constante para\(k\) que\(u=k/v\text{.}\) Supongamos que la temperatura\(T\) en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la bola, que tomamos para ser el origen. La temperatura en el punto\((1,2,2)\) es\(120^\circ\text{.}\)
- Encuentra la constante de proporcionalidad.
- Encuentra la tasa de cambio de\(T\) at\((1,2,2)\) en la dirección hacia el punto\((2,1,3)\text{.}\)
- Demostrar que en la mayoría de los puntos de la pelota, la dirección de mayor incremento es hacia el origen.
La profundidad de un lago en el\(xy\) plano es igual a\(f(x, y) = 32-x^2-4x-4y^2\) metros.
- Esbozar la costa del lago en el\(xy\) plano.
Tu instructor de cálculo está en el agua en el punto\((-1, 1)\text{.}\) Encuentra un vector unitario que indique en qué dirección debe nadar para:
- [(b)] permanecer a una profundidad constante?
- [(c)] aumentar su profundidad lo más rápido posible (es decir, ¿es más probable que se ahogue)?
Etapa 3
La temperatura\(T(x,y)\) en los puntos del\(xy\) plano viene dada por\(T(x,y)=x^2-2y^2\text{.}\)
- Dibuja un diagrama de contorno para\(T\) mostrar algunas isotermas (curvas de temperatura constante).
- ¿En qué dirección debe\((2,-1)\) moverse una hormiga en posición si desea enfriarse lo más rápido posible?
- Si la hormiga se mueve en esa dirección\(v\) a velocidad ¿a qué velocidad disminuye su temperatura?
- ¿Cuál sería la tasa de disminución de temperatura de la hormiga si se moviera de\((2,-1)\) a velocidad\(v\) en dirección\(\left \langle -1,-2 \right \rangle\text{?}\)
- ¿A lo largo de qué curva\((2,-1)\) debe moverse la hormiga para seguir experimentando la velocidad máxima de enfriamiento?
Considera la función\(f(x,y,z) = x^2 + \cos(yz)\text{.}\)
- Dar la dirección en la que\(f\) está aumentando más rápido en el punto\((1, 0, \pi/2)\text{.}\)
- Dar una ecuación para el plano\(T\) tangente a la superficie
\[ S = \left \{(x,y,z)|f(x,y,z) = 1 \right \} \nonumber \]
en el punto\((1, 0, \pi/2)\text{.}\) - Encuentra la distancia entre\(T\) y el punto\((0, 1, 0)\text{.}\)
- Encuentra el ángulo entre el plano\(T\) y el plano
\[ P = \left \{(x,y,z)|x + z = 0 \right \}. \nonumber \]
Se sabe\(P = (2,1,1)\) que una función\(T(x,y,z)\) en tiene\(T(P) = 5\text{,}\)\(T_x (P) = 1\text{,}\)\(T_y(P) = 2\text{,}\) y\(T_z(P) = 3\text{.}\)
- Una abeja comienza a volar\(P\) y vuela a lo largo del vector unitario apuntando hacia el punto\(Q = (3,2,2)\text{.}\) ¿Cuál es la tasa de cambio de\(T(x,y,z)\) en esta dirección?
- Utilice la aproximación lineal de\(T\) en el punto\(P\) a aproximar\(T(1.9,1,1.2)\text{.}\)
- Que\(S(x,y,z) = x + z\text{.}\) Una abeja comience a volar a\(P\text{;}\) lo largo de qué unidad de dirección vectorial debería volar la abeja para que la tasa de cambio de\(T(x,y,z)\) y de\(S(x,y,z)\) sean ambos cero en esta dirección?
Considera las funciones\(F(x,y,z) = z^3 +xy^2 +xz\) y\(G(x,y,z)=3x-y+4z\text{.}\) estás parado en el punto\(P(0,1,2)\text{.}\)
- Saltas de\(P\) a\(Q(0.1\,,\,0.9\,,\,1.8)\text{.}\) Usa la aproximación lineal para determinar aproximadamente la cantidad por la que\(F\) cambia.
- Saltas desde\(P\) la dirección a lo largo de\(G\) la cual aumenta más rápidamente. ¿\(F\)Aumentará o disminuirá?
- Saltas desde\(P\) una dirección\(\left \langle a\,,\,b\,,\,c \right \rangle\) a lo largo de la cual las tasas de cambio de\(F\) y\(G\) son ambas cero. Dé un ejemplo de tal dirección (no necesita ser un vector unitario).
Un meteorito golpea el suelo en el corazón de Canadá. Utilizando fotografías satelitales, un modelo
\[ z=f(x,y)=-\frac{100}{x^2+2x+4y^2+11} \nonumber \]
del cráter resultante y se elabora un plan para convertir el sitio en un atractivo turístico. Se va a construir un aparcamiento\((4,5)\) y se va a hacer una ruta de senderismo. El sendero es para comenzar en el estacionamiento y tomar la ruta más empinada hasta el fondo del cráter.
- Esbozar un mapa del sitio propuesto marcando claramente el estacionamiento, algunas curvas de nivel para la función\(f\) y el sendero.
- ¿En qué dirección sale el rastro del estacionamiento?
Estás parado en una palmera solitaria en medio del Desierto Exponencial. La altura de las dunas de arena a tu alrededor está dada en metros por
\[ h(x,y)=100 e^{-(x^2+2y^2)} \nonumber \]
donde\(x\) representa el número de metros al este de la palmera (oeste si\(x\) es negativo) y\(y\) representa el número de metros al norte de la palmera (sur si\(y\) es negativo).
- Supongamos que caminas\(3\) metros este y 2 metros norte. En su nueva ubicación, ¿\((3,2)\text{,}\)en qué dirección la duna de arena se inclina más pronunciadamente hacia abajo?
- Si caminas hacia el norte desde la ubicación descrita en la parte (a), ¿cuál es la tasa instantánea de cambio de altura de la duna de arena?
- Si estás parado\((3,2)\) en qué dirección debes caminar para asegurarte de que permaneces a la misma altura?
- Encuentra la ecuación de la curva a través de la\((3,2)\) que debes moverte para que siempre estés apuntando en la dirección de descenso más pronunciada en cada punto de esta curva.
Let\(f(x,y)\) Ser una función diferenciable con\(f(1,2)=7\text{.}\) Let
\[ \textbf{u} =\frac{3}{5}\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{4}{5}\,\hat{\pmb{\jmath}},\qquad \textbf{v} =\frac{3}{5}\,\hat{\pmb{\imath}}-\frac{4}{5}\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
ser vectores unitarios. Supongamos que se sabe que las derivadas direccionales\(D_\textbf{u} f(1,2)\) y\(D_\textbf{v} f(1,2)\) son iguales a\(10\) y\(2\) respectivamente.
- Mostrar que el vector de gradiente\(\nabla f\) en\((1,2)\) es\(10\hat{\pmb{\imath}}+5\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)
- Determinar la tasa de cambio de\(f\) at\((1,2)\) en la dirección del vector\(\hat{\pmb{\imath}}+2\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)
- Usando la aproximación del plano tangente, estime el valor de\(f(1.01,2.05)\text{.}\)
- Algunas personas requieren vectores de dirección para tener longitud unitaria. Nosotros no.
- Compruebe esto tomando el producto punto de\(\left \langle 1,2 \right \rangle\) y\(\left \langle 2,-1 \right \rangle\text{.}\)
- Las coordenadas polares se definieron en el Ejemplo 2.1.8.