2.8: Opcional — Resolviendo la Ecuación de Onda

Muchos fenómenos son modelados por ecuaciones que relacionan las tasas de cambio de diversas cantidades. Como las tasas de cambio son dadas por las derivadas, las ecuaciones resultantes contienen derivadas y así se llaman ecuaciones diferenciales. Vimos una serie de tales ecuaciones diferenciales en §2.4 del texto CLP-1.

En esta sección consideramos

\[ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}(x,t)=0 \nonumber \]

Esta es una ecuación diferencial parcial de ¹ extremadamente importante llamada la “ecuación de onda” (en una dimensión espacial) que se utiliza para modelar ondas de agua, ondas sonoras, ondas sísmicas, ondas de luz, etc. La razón por la que lo estamos viendo aquí es que podemos usar lo que acabamos de aprender para ver que sus soluciones son olas que viajan con velocidad\(c\text{.}\)

Para comenzar, usaremos gradientes y la regla de la cadena para encontrar la solución de la ecuación un poco más simple

\[ \frac{\partial w}{\partial x}(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial w}{\partial t}(x,t)=0 \nonumber \]

A modo de motivación para lo que seguirá, tenga en cuenta que

• podemos reescribir la ecuación anterior como

  \[ \left \langle  1\,,\,-\frac{1}{c} \right \rangle\cdot \nabla w(x,t) =0 \nonumber \]

• Esta ecuación dice que el gradiente de cualquier solución siempre\(w(x,t)\) debe ser perpendicular al vector constante\(\big \lt 1\,,\,-\frac{1}{c}\big \gt \text{.}\)
• Un vector\(\left \langle  a,b \right \rangle\) es perpendicular a\(\big \lt 1\,,\,-\frac{1}{c}\big \gt \) si y solo si

  \[\begin{align*} \left \langle  a,b \right \rangle \cdot \left \langle  1\,,\,-\frac{1}{c} \right \rangle =0 &\iff a-\frac{b}{c} = 0 \iff b=ac \iff \left \langle  a,b \right \rangle =a \left \langle  1,c \right \rangle \end{align*}\]

  Es decir, un vector es perpendicular a\(\big \lt 1\,,\,-\frac{1}{c}\big \gt \) si y solo si es paralelo a\(\left \langle  1,c \right \rangle\text{.}\)
• Así, el gradiente de cualquier solución\(w(x,t)\) debe ser siempre paralelo al vector constante\(\left \langle  1\,,\,c \right \rangle\text{.}\)
• Recordemos que una de nuestras implicaciones después de la Definición 2.7.5 es que el gradiente de siempre\(w(x,t)\) debe ser perpendicular a las curvas de nivel de\(w\text{.}\)
• Entonces las curvas de nivel de siempre\(w(x,t)\) son perpendiculares al vector constante\(\big \lt 1\,,\,c\big \gt \text{.}\) Deben ser líneas rectas con ecuaciones de la forma

  \[ \left \langle  1\,,\,c \right \rangle\cdot\left \langle  x-x_0\,,\,t-t_0 \right \rangle =0\qquad\text{or}\qquad x+ct=u\quad\text{with $u$ a constant} \nonumber \]

  

• Es decir, para cada constante\(u\text{,}\)\(w(x,t)\) toma el mismo valor en cada punto de la línea recta\(x+ct=u\text{.}\) Llamar a ese valor\(U(u)\text{.}\) Así que\(w(x,t)=U(u)=U(x+ct)\) para alguna función\(U\text{.}\)

Esta solución representa un paquete de onda moviéndose hacia la izquierda con velocidad Se\(c\text{.}\) puede ver esto observando que todos los puntos\((x,t)\) en el espacio-tiempo para los cuales\(x+ct\) toma el mismo valor fijo, digamos\(z\text{,}\) tienen el mismo valor de\(U(x+ct)\text{,}\) a saber\(U(z)\text{.}\) Así que si te mueves para que tu posición en el tiempo\(t\) es\(x=z-ct\) (es decir, mover la izquierda con velocidad\(c\)) siempre ves el mismo valor de\(w\text{.}\) La siguiente figura ilustra esto. Contiene las gráficas de\(U(x)\text{,}\)\(U(x+c) =U(x+ct)\big|_{t=1}\) y\(U(x+2c)=U(x+ct)\big|_{t=2}\) para una protuberancia conformada\(U(x)\text{.}\) En la figura se eligió la ubicación de la garrapata\(z\) en el\(x\) eje -eje de manera que de manera que\(U(z)=\max_x U(x)\text{.}\)

El argumento anterior que condujo a la solución\(w(x,t)=U(x+ct)\) fue algo ondulado. Pero podemos convertirlo fácilmente en un argumento mucho más apretado simplemente cambiando las variables de\((x,y)\) a\((u,v)\) con\(u=x+ct\text{.}\) No importa mucho lo que elegimos (dentro de lo razonable) para la nueva variable\(v\text{.}\) Tomemos\(v=x-ct\text{.}\) Entonces\(x=\frac{u+v}{2}\)\(t=\frac{u-v}{2c}\) y y es fácil traducir de nuevo y cuarto entre\(x,t\) y\(u,v\text{.}\)

Ahora defina la función\(W(u,v)\) por

\[ w(x,t) = W(x+ct\,,\,x-ct) \nonumber \]

Por la regla de la cadena

\[\begin{align*} \frac{\partial w}{\partial x}(x,t) &=\frac{\partial }{\partial x}\big[W(x+ct\,,\,x-ct) \big]\\ &= \frac{\partial W}{\partial u}(x+ct\,,\,x-ct)\frac{\partial }{\partial x}(x+ct) + \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct) \frac{\partial }{\partial x}(x-ct)\\ &= \frac{\partial W}{\partial u}(x+ct\,,\,x-ct) + \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct) \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \frac{\partial w}{\partial t}(x,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\big[W(x+ct\,,\,x-ct) \big]\\ &= \frac{\partial W}{\partial u}(x+ct\,,\,x-ct)\frac{\partial }{\partial t}(x+ct) + \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct) \frac{\partial }{\partial t}(x-ct)\\ &= \frac{\partial W}{\partial u}(x+ct\,,\,x-ct)\times c + \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct)\times(-c) \end{align*}\]

Restar\(\frac{1}{c}\) veces la segunda ecuación de la primera ecuación da

\[ \frac{\partial w}{\partial t}(x,t)-\frac{1}{c}\frac{\partial w}{\partial t}(x,t) = 2 \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct) \nonumber \]

Entonces

\ begin {align*} & w (x, t)\ text {obedece a la ecuación}\ frac {\ w parcial} {\ x parcial} (x, t) -\ frac {1} {c}\ frac {\ w parcial} {\ t parcial} (x, t) =0\ text {para todos} x, r\\ end {align*}

si y solo si

\ begin {align*} &W (u, v)\ text {obedece a la ecuación}\ frac {\ W parcial} {\ v parcial} (x+ct\,,\, x-ct) =0\ text {para todos} x, t,\\ end {align*}

que, sustituyendo en\(x=\frac{u+v}{2}\) y\(t=\frac{u-v}{2c}\text{,}\) es el caso si y sólo si

\ begin {align*} &W (u, v)\ text {obedece a la ecuación}\ frac {\ W parcial} {\ v parcial} (u\,,\, v) =0\ text {para todos} u, v\ end {alinear*}

La ecuación\(\frac{\partial W}{\partial v}(u\,,\,v)=0\) significa que\(W(u,v)\) es independiente de\(v\text{,}\) por lo que\(W(u,v)\) es de la forma\(W(u,v)=U(u)\text{,}\) para alguna función\(U\text{,}\) y, así finalmente,

\[ w(x,t) = W(x+ct\,,\,x-ct) = U(x+ct) \nonumber \]

Ahora que hemos resuelto nuestra ecuación de juguete, pasemos a la ecuación de onda 1d.

Ejemplo 2.8.1. Ecuación de Onda

Ahora ampliaremos el argumento anterior para encontrar la solución general a

\[ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}(x,t)=0 \nonumber \]

Volveremos a hacer el cambio de variables de\((x,y)\) a\((u,v)\) con\(u=x+ct\) y\(v=x-ct\) y de nuevo definimos la función\(W(u,v)\) por

\[ w(x,t) = W(x+ct\,,\,x-ct) \nonumber \]

Por la regla de la cadena, todavía tenemos

\[\begin{align*} \frac{\partial w}{\partial x}(x,t) &=\frac{\partial }{\partial x}\big[W(x+ct\,,\,x-ct) \big]\\ &= \frac{\partial W}{\partial u}(x+ct\,,\,x-ct) + \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct)\\ \frac{\partial w}{\partial t}(x,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\big[W(x+ct\,,\,x-ct) \big]\\ &= \frac{\partial W}{\partial u}(x+ct\,,\,x-ct)\times c + \frac{\partial W}{\partial v}(x+ct\,,\,x-ct)\times(-c) \end{align*}\]

Ahora necesitamos diferenciar por segunda vez. Escribir\(W_1(u,v)=\frac{\partial W}{\partial u}(u,v)\) y\(W_2(u,v)=\frac{\partial W}{\partial v}(u,v)\) para que

\[\begin{align*} \frac{\partial w}{\partial x}(x,t) &= W_1(x+ct\,,\,x-ct) + W_2(x+ct\,,\,x-ct)\\ \frac{\partial w}{\partial t}(x,t) &= c\,W_1(x+ct\,,\,x-ct) -c\,W_2(x+ct\,,\,x-ct) \end{align*}\]

Usando de nuevo la regla de la cadena

\[\begin{alignat*}{2} \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) &=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\partial w}{\partial x}(x,t)\right]\\ &=\frac{\partial }{\partial x}\left[W_1(x+ct\,,\,x-ct)\right] &&+ \frac{\partial }{\partial x}\left[W_2(x+ct\,,\,x-ct)\right]\\ &=\frac{\partial W_1}{\partial u} \ +\ \frac{\partial W_1}{\partial v} &&+ \frac{\partial W_2}{\partial u} \ +\ \frac{\partial W_2}{\partial v}\\ &=\frac{\partial^2 W}{\partial u^2} \ +\ \frac{\partial^2\ W}{\partial v\,\partial u} &&+ \frac{\partial^2\ W}{\partial u\ \partial v} \ +\ \frac{\partial^2 W}{\partial v^2}\\ \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}(x,t) &=\frac{\partial }{\partial t}\left[\frac{\partial w}{\partial t}(x,t)\right]\\ &=c\frac{\partial }{\partial t}\left[W_1(x+ct\,,\,x-ct)\right] &&-c \frac{\partial }{\partial t}\left[W_2(x+ct\,,\,x-ct)\right]\\ &=c^2\frac{\partial W_1}{\partial u} \ -\ c^2\frac{\partial W_1}{\partial v} && -c^2 \frac{\partial W_2}{\partial u} \ +\ c^2\frac{\partial W_2}{\partial v}\\ &=c^2\frac{\partial^2 W}{\partial u^2} \ -\ c^2\frac{\partial^2 W}{\partial v\partial u} && - c^2\frac{\partial^2 W}{\partial u\partial v} \ +\ c^2\frac{\partial^2 W}{\partial v^2} \end{alignat*}\]

con todas las funciones en los lados de la derecha teniendo argumentos\((x+ct\,,\,x-ct)\text{.}\) Entonces, restando\(\frac{1}{c^2}\) veces el segundo del primero, obtenemos

\[\begin{align*} \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}(x,t) &=4 \frac{\partial^2 W}{\partial u\partial v}(x+ct\,,\,x-ct) \end{align*}\]

y\(w(x,t)\) obedece\(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}(x,t)=0\) para todos\(x\) y\(t\) si y solo si

\[ \frac{\partial^2 W}{\partial u\partial v}(u\,,\,v)=0 \nonumber \]

para todos\(u\) y\(v\text{.}\)

• Esto nos dice que el\(u\) -derivado de\(\frac{\partial W}{\partial v}\) es cero, así que eso\(\frac{\partial W}{\partial v}\) es independiente de\(u\text{.}\) Eso es\(\frac{\partial W}{\partial v}(u,v) = \widetilde V(v)\) para alguna función\(\tilde V\text{.}\) La razón por la que la hemos llamado\(\widetilde V\) en vez de\(V\) con se hace evidente en breve.
• Recordemos que para aplicar\(\frac{\partial }{\partial v}\text{,}\) tratas\(u\) como una constante y diferenciarte con respecto a\(v\text{.}\)
• Así\(\frac{\partial W}{\partial v}(u,v) = \widetilde V(v)\) dice que, cuando\(u\) se piensa que es una constante,\(W\) es un antiderivado de\(\widetilde V\text{.}\)
• Es decir,\(W(u,v) = \int \tilde V(v)\,\mathrm{d}{v} +U\text{,}\) con\(U\) ser una constante arbitraria. Al\(u\) ser pensado como una constante,\(U\) se le permite depender de\(u\text{.}\)

Entonces, denotando por\(V\) cualquier antiderivado de\(\tilde V\text{,}\) podemos escribir nuestra solución de una forma muy ordenada.

\[ W(u,v) = U(u) + V(v) \nonumber \]

y la función que queremos es ²

\[ w(x,t) = W(x+ct\,,\,x-ct) = U(x+ct) + V(x-ct) \nonumber \]

Como vimos anteriormente\(U(x+ct)\) representa un paquete de ondas moviéndose hacia la izquierda con velocidad\(c\text{.}\) Del mismo modo,\(V(x-ct)\) representa un paquete de ondas que se mueve hacia la derecha con velocidad\(c\text{.}\)

Esto se conoce como la forma de solución de D'Alembert. Lleva el nombre de Jean le Rond d'Alembert, 1717—1783, quien fue matemático, físico, filósofo y teórico de la música francés.

Observe que\(w(x,t) = U(x+ct) + V(x-ct)\) es una solución independientemente de lo que\(U\) y\(V\) sean. La ecuación diferencial no puede decirnos qué\(U\) y\(V\) son. Para determinarlos, necesitamos más información sobre el sistema —generalmente en forma de condiciones iniciales, como\(w(x,0)=\cdots\) y Las técnicas\(\frac{\partial w}{\partial t}(x,0)=\cdots\text{.}\) generales para resolver ecuaciones diferenciales parciales se encuentran más allá de este texto— pero definitivamente requieren una buena comprensión del cálculo multivariable. ¡Una buena razón para seguir leyendo!

Realmente Opcional — Derivación de la Ecuación de Onda

En esta sección derivamos la ecuación de onda

\[ \frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}(x,t)=0 \nonumber \]

en una sola aplicación. Para ser precisos, aplicamos la ley de Newton a una cuerda elástica, y concluimos que las vibraciones transversales de pequeña amplitud de la cuerda obedecen a la ecuación de onda.

Aquí hay un boceto de un elemento minúsculo de la cuerda.

La notación básica que usaremos (la mayoría de la cual aparece en el boceto) es

\[\begin{align*} w(x,t) &= \text{vertical displacement of the string from the }x \text{ axis}\\ &\hskip0.25in\text{at position }x\text{ and time }t\\ \theta(x,t) &= \text{angle between the string and a horizontal line}\\ &\hskip0.25in\text{at position }x\text{ and time }t\\ T(x,t) &= \text{tension in the string at position $x$ and time $t$}\\ \rho(x) &= \text{mass density (per unit length) of the string at position $x$} \end{align*}\]

Las fuerzas que actúan sobre el pequeño elemento de la cuerda en el momento\(t\) son

1. tensión tirando hacia la derecha, que tiene magnitud\(T(x+\Delta x,t)\) y actúa en un ángulo\(\theta(x+\Delta x,t)\) por encima de la horizontal
2. tensión tirando hacia la izquierda, que tiene magnitud\(T(x,t)\) y actúa en un ángulo\(\theta(x,t)\) por debajo de la horizontal y, posiblemente,
3. diversas fuerzas externas, como la gravedad. Supondremos que todas las fuerzas externas actúan verticalmente y denotaremos por\(F(x,t)\Delta x\) la magnitud neta de la fuerza externa que actúa sobre el elemento de cuerda.

La longitud del elemento de cadena es esencialmente\(\sqrt{\Delta x^2+\Delta w^2}\) para que la masa del elemento de cadena sea esencialmente\(\rho(x)\sqrt{\Delta x^2+\Delta w^2}\) y el componente vertical de la ley de Newton\(\textbf{F} =m\textbf{a}\) dice que

\[\begin{align*} &\rho(x)\,\sqrt{\Delta x^2+\Delta w^2}\, \frac{\partial^2 w}{\partial\, t^2}(x,t)\\ &\hskip0.5in=T(x+\Delta x,t)\sin\theta(x+\Delta x,t)-T(x,t)\sin\theta(x,t)+F(x,t)\Delta x \end{align*}\]

Dividiendo por\(\Delta x\) y tomando el límite como\(\Delta x\rightarrow 0\) da

\[\begin{align*} &\rho(x)\,\sqrt{1+\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2}\, \frac{\partial^2 w}{\partial\, t^2}(x,t) =\frac{\partial }{\partial x}\big[T(x,t)\sin\theta(x,t)\big]+F(x,t)\\ &\hskip0.5in=\frac{\partial T}{\partial x}(x,t)\sin\theta(x,t) +T(x,t)\cos\theta(x,t)\,\frac{\partial \theta}{\partial x}(x,t) +F(x,t) \tag{E1} \end{align*}\]

Podemos disponer de todos los\(\theta\)'s observando desde la figura anterior que

\[ \tan\theta(x,t)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} =\frac{\partial w}{\partial x}(x,t) \nonumber \]

lo que implica, utilizando la siguiente figura, que

\[\begin{align*} \sin \theta(x,t)&= \frac{\frac{\partial w}{\partial x}(x,t)} {\sqrt{1+\big(\frac{\partial w}{\partial x}(x,t)\big)^2}} & \cos \theta(x,t)&= \frac{1} {\sqrt{1+\big(\frac{\partial w}{\partial x}(x,t)\big)^2}} &\\ \theta(x,t)&=\arctan\frac{\partial w}{\partial x}(x,t) & \frac{\partial \theta}{\partial x}(x,t) &=\frac{\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t)} {1+\big(\frac{\partial w}{\partial x}(x,t)\big)^2} \end{align*}\]

Sustituir estas fórmulas en (E1) da un desastre horrendo. Sin embargo, podemos obtener una simplificación considerable al observar solo pequeñas vibraciones. Por una pequeña vibración, queremos decir que\(|\theta(x,t)|\ll 1\) para todos\(x\) y\(t\text{.}\) Esto implica que de\(|\tan\theta(x,t)|\ll 1\text{,}\) ahí eso\(\big|\frac{\partial w}{\partial x}(x,t)\big|\ll 1\) y de ahí que

\[\begin{align*} \sqrt{1+\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2}&\approx 1& \sin \theta(x,t)&\approx \frac{\partial w}{\partial x}(x,t)\\ \cos \theta(x,t)&\approx 1 & \frac{\partial \theta}{\partial x}(x,t) &\approx\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) \tag{E2} \end{align*}\]

Sustituyendo estos en la ecuación (E1) da

\[ \rho(x)\frac{\partial^2 w}{\partial\, t^2}(x,t) =\frac{\partial T}{\partial x}(x,t)\frac{\partial w}{\partial x}(x,t) +T(x,t)\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) +F(x,t) \tag{E3} \nonumber \]

que de hecho es relativamente simple, pero sigue presentando un problema. Esta es una ecuación en las dos incógnitas\(w\) y\(T\text{.}\)

Afortunadamente hay una segunda ecuación al acecho en el fondo, que aún no hemos usado. A saber, el componente horizontal de la ley del movimiento de Newton. Como segunda simplificación, suponemos que sólo hay vibraciones transversales. Es decir, nuestro pequeño elemento de cuerda se mueve solo verticalmente. Entonces la fuerza horizontal neta sobre él debe ser cero. Es decir,

\[ T(x+\Delta x,t)\cos\theta(x+\Delta x,t)-T(x,t)\cos\theta(x,t)=0 \nonumber \]

Dividir por\(\Delta x\) y tomar el límite como\(\Delta x\) tiende a cero da

\[ \frac{\partial }{\partial x}\big[T(x,t)\cos\theta(x,t)\big]=0 \nonumber \]

Así\(T(x,t)\cos\theta(x,t)\) es independiente de\(x\text{.}\) Para pequeñas vibraciones de amplitud,\(\cos\theta\) está muy cerca de una, para todos\(x\text{.}\) Así\(T\) es una función de\(t\) solo, que está determinada por lo duro que estás tirando de los extremos de la cuerda a la vez\(t\text{.}\) Así para pequeñas vibraciones transversales, (E3) simplifica aún más

\[ \rho(x)\frac{\partial^2 w}{\partial\, t^2}(x,t) =T(t)\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) +F(x,t) \tag{E4} \nonumber \]

En el caso de que la densidad de la cuerda\(\rho\) sea una constante, independiente de\(x\text{,}\) la tensión de la cuerda\(T(t)\) es una constante independiente de\(t\) (en otras palabras, no estás jugando continuamente con las clavijas de afinación) y no hay fuerzas externas\(F\) terminamos con la ecuación de onda

\[ \frac{\partial^2 w}{\partial\, t^2}(x,t) =c^2\,\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}(x,t) \qquad \text{where}\qquad c=\sqrt{\frac{T}{\rho}} \nonumber \]

según se desee.

La ecuación que se llama la ecuación de onda ha incorporado en ella muchas aproximaciones. Al pasar por la derivación, hemos visto cuáles son esas aproximaciones, y podemos hacernos una idea de cuándo son aplicables.

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