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# 2.9: Valores máximos y mínimos

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Uno de los temas centrales en los cursos de cálculo de una sola variable es encontrar los máximos y mínimos de funciones de una variable. Ahora extenderemos esa discusión a funciones de más de una variable 1. En lugar de saltarnos al fondo, no seremos demasiado ambiciosos y nos concentraremos en funciones de dos variables. Dicho esto, muchas de las técnicas funcionan de manera más general. Para comenzar, tenemos las siguientes extensiones naturales a algunas definiciones familiares.

##### Definición 2.9.1

Deje que la función$$f(x,y)$$ se defina para todos$$(x,y)$$ en algún subconjunto$$R$$ de$$\mathbb{R}^2\text{.}$$ Let$$(a,b)$$ be a point in$$R\text{.}$$

• $$(a,b)$$es un máximo local de$$f(x,y)$$ si$$f(x,y)\le f(a,b)$$ para todos$$(x,y)$$ cerca de$$(a,b)\text{.}$$ Más precisamente,$$(a,b)$$ es un máximo local de$$f(x,y)$$ si existe$$r \gt 0$$ tal que$$f(x,y)\le f(a,b)$$ para todos los puntos$$(x,y)$$ dentro de una distancia$$r$$ de$$(a,b)\text{.}$$
• $$(a,b)$$es un mínimo local de$$f(x,y)$$ si$$f(x,y)\ge f(a,b)$$ para todos$$(x,y)$$ cerca$$(a,b)\text{.}$$
• Los valores máximos y mínimos locales también se denominan valores extremos.
• $$(a,b)$$es un máximo absoluto o máximo global de$$f(x,y)$$ if$$f(x,y)\le f(a,b)$$ for all$$(x,y)$$ in$$R\text{.}$$
• $$(a,b)$$es un mínimo absoluto o mínimo global de$$f(x,y)$$ si$$f(x,y)\ge f(a,b)$$ para todos$$(x,y)$$ en$$R\text{.}$$

## Locales Maxima y Minima

Una de las primeras cosas que hiciste cuando estabas desarrollando las técnicas utilizadas para encontrar los valores máximos y mínimos de$$f(x)$$ fue preguntarte 2

• Supongamos que el mayor valor de$$f(x)$$ es de$$f(a)\text{.}$$ lo que nos dice eso$$a\text{?}$$

Después de pensarlo un poco respondiste

• Si el valor más grande de$$f(x)$$ es$$f(a)$$ y$$f$$ es diferenciable en$$a\text{,}$$ entonces$$f'(a)=0\text{.}$$

Recordemos por qué eso es cierto. Supongamos que el mayor valor de$$f(x)$$ es$$f(a)\text{.}$$ Entonces para todos$$h \gt 0\text{,}$$

$f(a\!+\!h)\le f(a) \implies f(a\!+\!h)-f(a)\le 0 \implies \frac{f(a\!+\!h)-f(a)}{h}\le 0\quad\text{if } h \gt 0 \nonumber$

Tomando el límite nos$$h\rightarrow 0$$ dice que$$f'(a)\le 0\text{.}$$ Del mismo modo 3, para todos$$h \lt 0\text{,}$$

$f(a\!+\!h)\le f(a) \implies f(a\!+\!h)-f(a)\le 0 \implies \frac{f(a\!+\!h)-f(a)}{h}\ge 0\quad\text{if } h \lt 0 \nonumber$

Tomando el límite$$h\rightarrow 0$$ ahora nos dice que$$f'(a)\ge 0\text{.}$$ Así tenemos ambos$$f'(a)\ge 0$$ y$$f'(a)\le 0$$ qué fuerzas$$f'(a)=0\text{.}$$

También observaste en su momento que para que este argumento funcione, solo necesitas$$f(x)\le f(a)$$ para todos$$x$$ está cerca$$a\text{,}$$ no necesariamente para todos$$x$$ en el mundo entero. (En las desigualdades anteriores, solo usamos$$f(a+h)$$ con$$h$$ pequeñas.) Ya que nos preocupamos solo$$f(x)$$ por$$x$$ cerca$$a\text{,}$$ podemos refinar la afirmación anterior.

• Si$$f(a)$$ es un máximo local para$$f(x)$$ y$$f$$ es diferenciable en$$a\text{,}$$ entonces$$f'(a)=0\text{.}$$

Precisamente el mismo razonamiento se aplica a los mínimos.

• Si$$f(a)$$ es un mínimo local para$$f(x)$$ y$$f$$ es diferenciable en$$a\text{,}$$ entonces$$f'(a)=0\text{.}$$

Usemos las ideas del discurso anterior para extender el estudio de los máximos locales y mínimos locales a funciones de más de una variable. Supongamos que la función$$f(x,y)$$ está definida para todos$$(x,y)$$ en algún subconjunto$$R$$ de$$\mathbb{R}^2\text{,}$$ eso$$(a,b)$$ es punto de$$R$$ que no está en el límite de$$R\text{,}$$ y que$$f$$ tiene un máximo local en$$(a,b)\text{.}$$ Ver la figura a continuación.

Entonces la función$$f(x,y)$$ debe disminuir de valor a medida que$$(x,y)$$ se aleja$$(a,b)$$ en cualquier dirección. No importa en qué dirección$$\vec{d}$$ elijamos, la derivada direccional de$$f$$ at$$(a,b)$$ en dirección$$\vec{d}$$ debe ser cero o menor. Escribiendo esto en símbolos matemáticos, obtenemos

$\begin{gather*} D_\vec{d} f(a,b) = \nabla f(a,b)\cdot\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|}\le 0 \end{gather*}$

Y la derivada direccional de$$f$$ at$$(a,b)$$ en la dirección$$-\vec{d}$$ también debe ser cero o negativa.

$\begin{gather*} D_{-\vec{d}} f(a,b) = \nabla f(a,b)\cdot\frac{-\vec{d}}{|\vec{d}|}\le 0 \quad\text{which implies that}\quad \nabla f(a,b)\cdot\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|}\ge 0 \end{gather*}$

Como$$\vec{n}abla f(a,b)\cdot\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|}$$ debe ser tanto positivo (o cero) como negativo (o cero) al mismo tiempo, debe ser cero. En particular, la elección$$\vec{d}=\hat{\pmb{\imath}}$$ obliga$$\vec{n}abla f(a,b)$$ a que el$$x$$ componente de sea cero, y la elección$$\vec{d}=\hat{\pmb{\jmath}}$$ obliga al$$y$$ componente de$$\nabla f(a,b)$$ a ser cero. Así hemos demostrado que$$\nabla f(a,b)=\textbf{0}\text{.}$$ El mismo argumento muestra que$$\nabla f(a,b)=\textbf{0}$$ cuando$$(a,b)$$ es un mínimo local también. Este es un resultado importante y útil, así que vamos a teoremizarlo.

##### Teorema 2.9.2

Deje que la función$$f(x,y)$$ se defina para todos$$(x,y)$$ en algún subconjunto$$R$$ de$$\mathbb{R}^2\text{.}$$ Supongamos que

• $$(a,b)$$es un punto de$$R$$ que no está en el límite de$$R$$ y
• $$(a,b)$$es un máximo local o mínimo local de$$f$$ y que
• las derivadas parciales de$$f$$ existen en$$(a,b)\text{.}$$

Entonces

$\nabla f(a,b) = \textbf{0}. \nonumber$

##### Definición 2.9.3

Dejar$$f(x,y)$$ ser una función y dejar$$(a,b)$$ ser un punto en su dominio. Entonces

• si$$\nabla f(a,b)$$ existe y es cero llamamos$$(a,b)$$ punto crítico (o punto estacionario) de la función, y
• si$$\nabla f(a,b)$$ no existe entonces llamamos$$(a,b)$$ un punto singular de la función.

Tenga en cuenta que algunas personas (y textos) combinan ambos casos y llaman a$$(a,b)$$ un punto crítico cuando o bien el gradiente es cero o no existe.

El teorema 2.9.2 nos dice que cada máximo o mínimo local (en el interior del dominio de una función cuyas derivadas parciales existen) es un punto crítico. Cuidado que no 4 nos dice que cada punto crítico es o bien un máximo local o un mínimo local.

De hecho, veremos más adelante 5, en los Ejemplos 2.9.13 y 2.9.15, puntos críticos que no son ni máximos locales ni mínimos locales. Sin embargo, el Teorema 2.9.2 es muy útil porque muchas veces las funciones tienen solo un pequeño número de puntos críticos. Para encontrar máximos y mínimos locales de tales funciones, solo necesitamos considerar sus puntos críticos y singulares. Volveremos más adelante a la pregunta de cómo saber si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos. Por ahora, solo practicaremos la búsqueda de puntos críticos.

##### Ejemplo 2.9.6. $$f(x,y)=x^2-2xy+2y^2+2x-6y+12$$

Encuentra todos los puntos críticos de$$f(x,y)=x^2-2xy+2y^2+2x-6y+12\text{.}$$

Solución

Para encontrar los puntos críticos, necesitamos encontrar el gradiente. Para encontrar el gradiente necesitamos encontrar las derivadas parciales de primer orden. Entonces, como cálculo preliminar, encontramos las dos derivadas parciales de primer orden de$$f(x,y)\text{.}$$

\begin{align*} f_x(x,y)&= 2x-2y+2\\ f_y(x,y)&= -2x+4y-6 \end{align*}

Entonces los puntos críticos son las soluciones del par de ecuaciones

$2x-2y+2=0\qquad -2x+4y-6=0 \nonumber$

o equivalentemente (dividiendo por dos y moviendo las constantes hacia el lado derecho)

\begin{align*} x-y&=-1 \tag{E1}\\ -x+2y&=3 \tag{E2} \end{align*}

Este es un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas ($$x$$y$$y$$). Una estrategia para un sistema de resolución como este es

• Primero usa una de las ecuaciones para resolver por una de las incógnitas en términos de la otra desconocida. Por ejemplo, (E1) nos dice que$$y= x+1\text{.}$$ Esto se expresa$$y$$ en términos de$$x\text{.}$$ Nosotros decimos que hemos resuelto para$$y$$ en términos de$$x\text{.}$$
• Después sustituimos el resultado,$$y= x+1$$ en nuestro caso, por la otra ecuación, (E2). En nuestro caso, esto da

$-x+2(x+1)=3 \iff x+2=3 \iff x=1 \nonumber$

• Ahora hemos encontrado que esa$$x=1\text{,}$$$$y=x+1=2$$ es la única solución. Entonces el único punto crítico es Por$$(1,2)\text{.}$$ supuesto que solo toma un momento verificar que$$\nabla f(1,2) =\left \langle 0,0 \right \rangle\text{.}$$ es una buena idea hacer esto como una simple comprobación de nuestro trabajo.

Una estrategia alternativa para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, como (E1) y (E2), es

• sumar ecuaciones (E1) y (E2) juntas. Esto da

$(E1) + (E2):\ \ (1-1)x+(-1+2)y = -1+3 \iff y=2 \nonumber$

El punto aquí es que sumar las ecuaciones (E1) y (E2) juntas elimina lo desconocido$$x\text{,}$$ dejándonos con una ecuación en$$y\text{,}$$ lo desconocido que se resuelve fácilmente. Para otros sistemas de ecuaciones es posible que tenga que multiplicar las ecuaciones por algunos números antes de sumarlas.
• Ahora sabemos que$$y=2\text{.}$$ Sustituirlo en (E1) nos da

$x-2=-1 \implies x=1 \nonumber$

• Una vez más (por suerte) hemos encontrado que el único punto crítico es$$(1,2)\text{.}$$

Esto fue bastante fácil porque solo teníamos que resolver ecuaciones lineales, lo que a su vez era consecuencia del hecho de que$$f(x,y)$$ era un polinomio de grado dos. Aquí hay un ejemplo con algunos álgebra un poco más desafiantes.

##### Ejemplo 2.9.7. $$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y$$

Encuentra todos los puntos críticos de$$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y \text{.}$$

Solución

Como en el último ejemplo, necesitamos encontrar donde el gradiente es cero, y para encontrar el gradiente necesitamos las derivadas parciales de primer orden.

$f_x=6x^2-6y \qquad f_y=-6x+2y+4 \nonumber$

Entonces los puntos críticos son las soluciones de

$6x^2-6y=0 \qquad -6x+2y+4 = 0 \nonumber$

Podemos reescribir la primera ecuación como la$$y=x^2\text{,}$$ que se expresa$$y$$ como una función de$$x\text{.}$$ Podemos entonces sustituir$$y=x^2$$ en la segunda ecuación, dando

\begin{align*} -6x+2y+4 = 0 &\iff -6x+2x^2+4 = 0 \iff x^2-3x+2=0\\ &\iff (x-1)(x-2)=0\\ &\iff x=1\text{ or }2 \end{align*}

Cuando$$x=1\text{,}$$$$y=1^2=1$$ y cuando$$x=2\text{,}$$$$y=2^2=4\text{.}$$ So, hay dos puntos críticos:$$(1,1),\ (2,4)\text{.}$$

Alternativamente, podríamos haber usado también la segunda ecuación para escribir$$y=3x-2\text{,}$$ y luego sustituirla en la primera ecuación para obtener

$6x^2-6(3x-2) =0 \iff x^2-3x+2=0 \nonumber$

al igual que arriba.

Y aquí hay un ejemplo para el cual el álgebra requiere un poco más de pensamiento.

##### Ejemplo 2.9.8. $$f(x,y) = xy(5x+y-15)$$

Encuentra todos los puntos críticos de$$f(x,y)=xy(5x+y-15) \text{.}$$

Solución

Las derivadas parciales de primer orden de$$f(x,y)=xy(5x+y-15)$$ son

\begin{alignat*}{2} f_x(x,y) &\ =\ y(5x+y-15)+xy(5) &&\ =\ y(5x+y-15)+y(5x)\\ &\ =\ y(10x+y-15)\\ f_y(x,y) &\ =\ x(5x+y-15)+xy(1) &&\ =\ x(5x+y-15)+ x(y)\\ &\ =\ x(5x+2y-15) \end{alignat*}

Los puntos críticos son las soluciones de Es$$f_x(x,y)=f_y(x,y)=0\text{.}$$ decir, necesitamos encontrar todo lo$$x,y$$ que satisfaga el par de ecuaciones

\begin{align*} y(10x+y-15)&=0\tag{E1}\\ x(5x+2y-15)&=0\tag{E2} \end{align*}

La primera ecuación,$$y(10x+y-15)=0\text{,}$$ se satisface si al menos uno de los dos factores$$y\text{,}$$$$(10x+y-15)$$ es cero. Entonces la primera ecuación se satisface si al menos una de las dos ecuaciones

\begin{align*} y&=0 \tag{E1a}\\ 10x+y&=15 \tag{E1b} \end{align*}

está satisfecho. La segunda ecuación,$$x(5x+2y-15)=0\text{,}$$ se satisface si al menos uno de los dos factores$$x\text{,}$$$$(5x+2y-15)$$ es cero. Entonces la segunda ecuación se satisface si al menos una de las dos ecuaciones

\begin{align*} x&=0 \tag{E2a}\\ 5x+2y&=15 \tag{E2b} \end{align*}

está satisfecho.

Por lo que ambas ecuaciones de punto crítico (E1) y (E2) se satisfacen si y sólo si se cumple al menos una de (E1a), (E1b) y además se satisface al menos una de (E2a), (E2b). Entonces ambas ecuaciones de punto crítico (E1) y (E2) se satisfacen si y sólo si se mantiene al menos una de las siguientes cuatro posibilidades.

• (E1a) y (E2a) se satisfacen si y solo si$$x=y=0$$
• (E1a) y (E2b) se satisfacen si y solo si$$y=0,\ 5x+2y=15 \iff y=0,\ 5x=15$$
• (E1b) y (E2a) se satisfacen si y solo si$$10x+y=15,\ x=0 \iff y=15,\ x=0$$
• (E1b) y (E2b) están satisfechos si y solo si$$10x+y=15,\ 5x+2y=15\text{.}$$ Podemos usar, por ejemplo, la segunda de estas ecuaciones para resolver$$x$$ en términos de$$y\text{:}$$$$x =\frac{1}{5}(15-2y)\text{.}$$ Cuando sustituimos esto en la primera ecuación$$2(15-2y)+y=15\text{,}$$ que obtenemos la cual podemos resolver para$$y\text{.}$$ Esto da$$-3y=15-30$$ o$$y=5$$ y luego$$x=\frac{1}{5}(15-2\times 5)=1\text{.}$$

En conclusión, los puntos críticos son$$(0,0)\text{,}$$$$(3,0)\text{,}$$$$(0,15)$$ y$$(1,5)\text{.}$$

Una forma más compacta de escribir lo que acabamos de hacer es

\begin{alignat*}{1} &f_x(x,y)=0\hskip6.75em \text{and}\hskip1.5em f_y(x,y)=0\\ \iff\qquad &y(10x+y-15)=0\hskip3.25em \text{and}\hskip1.5em x(5x+2y-15)=0\\ \iff\qquad & \big\{y=0\text{ or }10x+y=15\big\}\hskip1.5em \text{and}\hskip1.5em \big\{x=0\text{ or }5x+2y=15\big\}\\ \iff\qquad & \big\{y=0,\ x=0\big\}\text{ or } \big\{y=0,\ 5x+2y=15\big\}\\ &\text{ or }\big\{10x+y=15,\ x=0\big\}\text{ or } \big\{10x+y=15,\ 5x+2y=15\big\}\\ \iff\qquad & \big\{x=y=0\big\}\text{ or } \big\{y=0,\ x=3\big\}\\ &\text{ or }\big\{x=0,\ y=15\big\}\text{ or } \big\{x=1,\ y=5\big\} \end{alignat*}

Probemos un ejemplo más práctico —algo del mundo real. Bueno, el “mundo real” de un matemático. El lector interesado debe buscar su camino hacia una discusión de “idealización”, “teoría de juegos” “modelos Cournot” y “modelos Bertrand”. Pero no pases demasiado tiempo ahí. Una discusión sobre las cervecerías está a punto de tener lugar.

##### Ejemplo 2.9.9

En cierta comunidad, hay dos cervecerías en competencia 6, por lo que las ventas de cada una afectan negativamente las ganancias de la otra. Si la cervecería A produce$$x$$ litros de cerveza por mes y la cervecería B produce$$y$$ litros por mes, entonces las ganancias de las dos cervecerías son dadas por

$P=2x-\frac{2x^2+y^2}{10^6}\qquad Q=2y-\frac{4y^2+x^2}{2\times 10^6} \nonumber$

respectivamente. Encuentre la suma de las dos ganancias si cada cervecería establece de forma independiente su propio nivel de producción para maximizar su propio beneficio y asume que su competidor hace lo mismo. Entonces, asumiendo el comportamiento del cártel, encuentra la suma de las dos ganancias si las dos cervecerías cooperan para maximizar esa suma 7.

Solución

Si$$A$$ se ajusta$$x$$ para maximizar$$P$$ (para$$y$$ mantener fijo) y$$B$$ se ajusta$$y$$ para maximizar$$Q$$ ($$x$$para mantener fijo) entonces$$x$$ y$$y$$ están determinados por las ecuaciones

\begin{align*} P_x&=2-\tfrac{4x}{10^6}=0 \tag{E1}\\ Q_y&=2-\tfrac{8y}{2\times 10^6}=0 \tag{E2} \end{align*}

Ecuación (E1) rendimientos$$x=\frac{1}{2} 10^6$$ y ecuación (E2) rendimientos$$y=\frac{1}{2} 10^6\text{.}$$ Conocer$$x$$ y$$y$$ podemos determinar$$P\text{,}$$$$Q$$ y el beneficio total

\begin{align*} P+Q&=2(x+y)-\tfrac{1}{10^6}\big(\tfrac{5}{2}x^2+3y^2\big)\\ &=10^6\big(1+1-\tfrac{5}{8}-\tfrac{3}{4}\big) =\tfrac{5}{8}10^6 \end{align*}

Por otro lado si se$$(A,B)$$ ajustan$$(x,y)$$ para maximizar$$P+Q =2(x+y)-\tfrac{1}{10^6}\big(\tfrac{5}{2}x^2+3y^2\big)\text{,}$$ entonces$$x$$ y$$y$$ están determinados por

\begin{align*} (P+Q)_x&=2-\tfrac{5x}{10^6}=0 \tag{E1}\\ (P+Q)_y&=2-\tfrac{6y}{10^6}=0 \tag{E2} \end{align*}

Ecuación (E1) rendimientos$$x=\tfrac{2}{5} 10^6$$ y ecuación (E2) rendimientos$$y=\tfrac{1}{3} 10^6\text{.}$$ Otra vez conociendo$$x$$ y$$y$$ podemos determinar el beneficio total

\begin{align*} P+Q&=2(x+y)-\tfrac{1}{10^6}\big(\tfrac{5}{2}x^2+3y^2\big)\\ &=10^6\big(\tfrac{4}{5}+\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{3}\big) =\tfrac{11}{15}10^6 \end{align*}

Entonces, cooperar realmente ayuda a sus ganancias. Desafortunadamente, como una olla de té muy pequeña, los consumidores serán un poco más pobres 8.

Alejándonos rápidamente del último juego de palabras, hagamos algo un poco más geométrico.

##### Ejemplo 2.9.10

Las curvas de ángulo igual se realizan a distancias iguales de los dos extremos de una cerca de 100 metros de largo, por lo que la cerca de tres segmentos resultante se puede colocar a lo largo de una pared existente para hacer un recinto de forma trapezoidal. ¿Cuál es el área más grande posible para tal recinto?

Solución

Este es un problema muy geométrico (cercado de oportunidades de juego de palabras), y como tal deberíamos comenzar por dibujar un boceto e introducir algunos nombres de variables.

El área encerrada por la barda es el área dentro del rectángulo azul (en la figura de arriba a la derecha) más el área dentro de los dos triángulos azules.

\begin{align*} A(x,\theta) &=(100-2x)x\sin\theta+2\cdot\frac{1}{2}\cdot x\sin\theta\cdot x\cos\theta\\ &=(100x-2x^2)\sin\theta+ x^2\sin\theta\ \cos\theta \end{align*}

Para maximizar el área, necesitamos resolver

\begin{align*} 0=\frac{\partial A}{\partial x}&=(100-4x)\sin\theta+2x\sin\theta\cos\theta\\ 0=\frac{\partial A}{\partial \theta} &=(100x-2x^2)\cos\theta+x^2\big\{\cos^2\theta-\sin^2\theta\big\} \end{align*}

Obsérvese que ambos términos en la primera ecuación contienen el factor$$\sin\theta$$ y todos los términos de la segunda ecuación contienen el factor$$x\text{.}$$ Si cualquiera$$\sin\theta$$ o$$x$$ son cero el área también$$A(x,\theta)$$ será cero, y así ciertamente no será máxima. Entonces podemos dividir la primera ecuación por$$\sin\theta$$ y la segunda ecuación$$x\text{,}$$ dando

\begin{align*} (100-4x)+2x\cos\theta&=0 \tag{E1}\\ (100-2x)\cos\theta+x\big\{\cos^2\theta-\sin^2\theta\big\}&=0 \tag{E2} \end{align*}

Estas ecuaciones podrían parecer un poco aterradoras. Pero no hay necesidad de entrar en pánico. No son tan malos como se ven porque$$\theta$$ entra solo a través$$\cos\theta$$ y$$\sin^2\theta\text{,}$$ que podemos escribir fácilmente en términos de$$\cos\theta\text{.}$$ Además podemos eliminar observando que las fuerzas de la primera ecuación$$\cos\theta=-\frac{100-4x}{2x}$$ y$$\cos\theta$$ por lo tanto$$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta=1-\frac{(100-4x)^2}{4x^2}\text{.}$$ Sustituyendo éstas en la segunda ecuación da

\begin{alignat*}{2} & & -(100-2x)\frac{100-4x}{2x}+x\left[\frac{(100-4x)^2}{2x^2}-1\right]&=0\\ &\implies\quad & -(100-2x)(100-4x)+(100-4x)^2-2x^2&=0\\ &\implies & 6x^2-200x&=0\\ &\implies & x=\frac{100}{3} \quad\cos\theta=-\frac{-100/3}{200/3}=\frac{1}{2}\quad \theta&=60^\circ \end{alignat*}

y el área máxima cerrada es

$A= \Big(100\frac{100}{3}-2\frac{100^2}{3^2}\Big)\frac{\sqrt{3}}{2} \ +\ \frac{1}{2} \frac{100^2}{3^2}\frac{\sqrt{3}}{2} \ =\ \frac{2500}{\sqrt{3}} \nonumber$

Ahora aquí hay una muy útil (¡incluso práctica!) ejemplo estadístico — encontrar la línea que mejor se ajuste a un conjunto determinado de puntos.

##### Ejemplo 2.9.11. Regresión lineal

Un experimento produce puntos de$$n$$ datos$$\ (x_i,y_i),\ i=1,2,\cdots,n.$$ Deseamos encontrar la línea recta$$\ y=mx+b\$$ que “mejor” se ajuste a los datos.

La definición de “mejor” es “minimiza el error cuadrático medio”, es decir, minimiza

$E(m,b)=\sum_{i=1}^n (mx_i+b-y_i)^2 \nonumber$

Tenga en cuenta que

• número de término$$i$$ en$$E(m,b)$$ es el cuadrado de la diferencia entre el$$y_i\text{,}$$ cual es el valor$$i^{\rm th}$$ medido de$$y\text{,}$$ y$$\Big[mx+b\Big]_{x=x_i}\text{,}$$ que es la aproximación a$$y_i$$ dada por la línea$$y=mx+b\text{.}$$
• Todos los términos en la suma son positivos, independientemente de que los puntos$$(x_i,y_i)$$ estén por encima o por debajo de la línea.

Nuestro problema es encontrar el$$m$$ y$$b$$ que minimiza$$E(m,b)\text{.}$$ Esta técnica para dibujar una línea a través de un montón de puntos de datos se llama “regresión lineal”. Se usa mucho 9 10. Incluso en el mundo real —y no solo en el mundo real que encuentras en los problemas matemáticos. El mundo real real que involucra empleos.

Solución

Deseamos elegir$$m$$ y$$b$$ para minimizar$$E(m,b)\text{.}$$ Así que necesitamos determinar donde las derivadas parciales de$$E$$ son cero.

\begin{alignat*}{3} 0&=\frac{\partial E}{\partial m}&&=\sum_{i=1}^n 2(mx_i+b-y_i)x_i &&=m\Big[\sum_{i=1}^n 2x^2_i\Big]+b\Big[\sum_{i=1}^n 2x_i\Big] -\Big[\sum_{i=1}^n 2x_iy_i\Big]\\ 0&=\frac{\partial E}{\partial b}&&=\sum_{i=1}^n 2(mx_i+b-y_i) &&=m\Big[\sum_{i=1}^n 2x_i\Big]+b\Big[\sum_{i=1}^n 2\Big] -\Big[\sum_{i=1}^n 2y_i\Big] \end{alignat*}

Aquí hay muchos símbolos. Pero recuerda que a todos los$$x_i$$'s y$$y_i$$'s se les dan constantes. Proceden, por ejemplo, de datos experimentales. Las únicas incógnitas son$$m$$ y$$b\text{.}$$ Para enfatizar esto, y para guardar algo de escritura, definir las constantes

$S_x=\sum_{i=1}^n x_i\qquad S_y=\sum_{i=1}^n y_i\qquad S_{x^2}=\sum_{i=1}^n x^2_i\qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^n x_iy_i \nonumber$

Las ecuaciones que determinan los puntos críticos son (después de dividirlas por dos)

\begin{align*} S_{x^2}\, m+S_x\, b&=S_{xy} \tag{E1}\\ S_{x}\, m+n\, b&=S_{y} \tag{E2} \end{align*}

Se trata de dos ecuaciones lineales sobre las incógnitas$$m$$ y se$$b\text{.}$$ pueden resolver de cualquiera de las formas habituales. Una es usar (E2) para resolver$$b$$ en términos de$$m$$

$b=\frac{1}{n}\big(S_y-S_xm\big)\tag{E3} \nonumber$

y luego sustituirlo por (E1) para obtener la ecuación

$S_{x^2}\, m+\frac{1}{n}S_x\, \big(S_y-S_xm\big)=S_{xy}\quad\implies\quad \big(nS_{x^2} -S_x^2\big) m = nS_{xy}-S_xS_y \nonumber$

para entonces$$m\text{.}$$ podemos resolver esta ecuación para$$m$$ y sustituir de nuevo en (E3) para obtener$$b\text{.}$$ Esto da

\begin{align*} m&=\frac{nS_{xy}-S_xS_y}{nS_{x^2} -S_x^2}\\ b&=\frac{S_y}{n}\,\frac{nS_{x^2} -S_x^2}{nS_{x^2} -S_x^2} -\frac{S_x}{n}\,\frac{nS_{xy}-S_xS_y}{nS_{x^2} -S_x^2} =\frac{nS_yS_{x^2}-nS_xS_{xy}}{n(nS_{x^2} -S_x^2)}\\ &=-\frac{S_xS_{xy}-S_yS_{x^2}}{nS_{x^2} -S_x^2} \end{align*}

Otra forma de resolver el sistema de ecuaciones es

\begin{alignat*}{2} n\text{(E1)}-S_x\text{(E2)}:&\quad \Big[nS_{x^2} -S_x^2\Big]m&&=nS_{xy}-S_xS_y\\ -S_x\text{(E1)}+S_{x^2}\text{(E2)}:&\quad \Big[nS_{x^2} -S_x^2\Big]b&&=-S_xS_{xy}+S_yS_{x^2} \end{alignat*}

lo que da la misma solución.

Entonces, dado un montón de puntos de datos, solo se necesita un poco de aritmética rápida, no se requiere cálculo, para aplicar las fórmulas anteriores y así encontrar la línea que mejor se ajuste. Por supuesto, si bien no necesitas ningún cálculo para aplicar las fórmulas, sí necesitas cálculo para entender de dónde vinieron. La misma técnica se puede extender a otros tipos de problemas de ajuste de curvas. Por ejemplo, regresión polinómica.

Ahora comencemos a pensar en cómo saber si un punto crítico es un mínimo o máximo local. Recuerda lo que sucede para las funciones de una variable. Supongamos que$$x=a$$ es un punto crítico de la función$$f(x)\text{.}$$ Cualquier función (suficientemente suave) está bien aproximada, cuando$$x$$ está cerca$$a\text{,}$$ de los primeros términos de su expansión Taylor

$f(x) = f(a) + f'(a)\,(x-a) + \tfrac{1}{2} f''(a)\,(x-a)^2 +\tfrac{1}{3!} f^{(3)}(a)\, (x-a)^3 + \cdots \nonumber$

Como$$a$$ es un punto crítico, lo sabemos$$f'(a)=0$$ y

$f(x) = f(a) + \tfrac{1}{2} f''(a)\,(x-a)^2 +\tfrac{1}{3!} f^{(3)}(a)\, (x-a)^3 + \cdots \nonumber$

Si$$f''(a)\ne 0\text{,}$$$$f(x)$$ va a parecerse mucho$$f(a) + \tfrac{1}{2} f''(a)\,(x-a)^2$$ cuando$$x$$ está muy cerca de$$a\text{.}$$ En particular

• si$$f''(a) \gt 0\text{,}$$ entonces tendremos$$f(x) \gt f(a)$$ cuando$$x$$ esté cerca (pero no igual a)$$a\text{,}$$ así que eso$$a$$ será un mínimo local y
• si$$f''(a) \lt 0\text{,}$$ entonces tendremos$$f(x) \lt f(a)$$ cuando$$x$$ esté cerca (pero no igual a)$$a\text{,}$$ así que eso$$a$$ será un máximo local, pero
• si$$f''(a)=0\text{,}$$ entonces no podemos sacar ninguna conclusión sin más trabajo.

Un análisis similar, pero más desordenado, es posible para funciones de dos variables. Aquí hay algunos ejemplos cuadráticos simples que proporcionan un calor para ese análisis más desordenado.

##### Ejemplo 2.9.12. $$f(x,y)= x^2+3xy+3y^2-6x-3y-6$$

Considerar$$f(x,y)= x^2+3xy+3y^2-6x-3y-6\text{.}$$ El gradiente de$$f$$ es

$\nabla f(x,y) = \big(2x+3y-6\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(3x+6y-3\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$

Así$$(x,y)$$ es un punto crítico de$$f$$ si y solo si

\begin{align*} 2x+3y&=6\tag{E1}\\ 3x+6y&=3\tag{E2} \end{align*}

Multiplicar la primera ecuación por 2 y restar la segunda ecuación da

$x=9\tag{2(E1) - (E2)} \nonumber$

Luego, sustituyendo de$$x=9$$ nuevo en la primera ecuación da

$2\times 9+3y=6\implies y=-4 \nonumber$

Así$$f(x,y)$$ tiene precisamente un punto crítico, a saber$$(9\,,\,-4)\text{.}$$

Ahora intentemos determinar si$$f(x,y)$$ tiene un mínimo local, o un máximo local, o ninguno, en$$(9,-4)\text{.}$$ Una buena manera de determinar el comportamiento de$$f(x,y)$$ for$$(x,y)$$ near$$(9,-4)$$ es hacer el cambio de variables 11

$x=9+\Delta x\qquad y=-4+\Delta y \nonumber$

y estudiar el comportamiento de$$f$$ para$$\Delta x$$ y$$\Delta y$$ cerca de cero.

\begin{align*} f\big(9+\Delta x\,,\,-4+\Delta y\big) &=(9+\Delta x)^2+3(9+\Delta x)(-4+\Delta y)+3(-4+\Delta y)^2\\ &\hskip1in-6(9+\Delta x)-3(-4+\Delta y)-6\\ &= (\Delta x)^2 +3\Delta x\,\Delta y+3(\Delta y)^2 - 27 \end{align*}

Y una buena manera de estudiar el signo de expresiones cuadráticas como$$(\Delta x)^2 +3\Delta x\,\Delta y+3(\Delta y)^2$$ es completar el cuadrado. Hasta ahora probablemente acabas de completar el cuadrado para expresiones cuadráticas que involucran solo una sola variable. Por ejemplo

$x^2 +3x +3 = \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} +3 \nonumber$

Cuando hay dos variables alrededor, como$$\Delta x$$ y solo$$\Delta y\text{,}$$ puedes fingir que una de ellas es una constante y completar el cuadrado como antes. Por ejemplo, si$$\Delta y$$ finges que es una constante,

\begin{align*} (\Delta x)^2 +3\Delta x\,\Delta y+3(\Delta y)^2 &=\left(\Delta x +\frac{3}{2}\Delta y\right)^2 + \left(3-\frac{9}{4}\right)(\Delta y)^2\\ &=\left(\Delta x +\frac{3}{2}\Delta y\right)^2 + \frac{3}{4}(\Delta y)^2 \end{align*}

$f\big(9+\Delta x\,,\,-4+\Delta y\big) = \left(\Delta x +\frac{3}{2}\Delta y\right)^2 + \frac{3}{4}(\Delta y)^2 -27 \nonumber$

Como los valores más pequeños de$$\left(\Delta x +\frac{3}{2}\Delta y\right)^2$$ y$$\frac{3}{4}(\Delta y)^2$$ son ambos cero, tenemos que

$f(x,y)=f\big(9+\Delta x\,,\,-4+\Delta y\big)\ge -27 =f(9,-4) \nonumber$

para todos$$(x,y)$$ para que$$(9,-4)$$ sea tanto un mínimo local como un mínimo global para$$f\text{.}$$

Ya ha encontrado funciones de una sola variable que tienen un punto crítico que no es ni un máximo local ni un mínimo local. Ver Ejemplo 3.5.9 en el texto CLP-1. Aquí hay un par de ejemplos que muestran que esto también puede suceder para funciones de dos variables. Empezaremos con el ejemplo más simple posible.

##### Ejemplo 2.9.13. $$f(x,y)=x^2-y^2$$

Las primeras derivadas parciales de$$f(x,y)=x^2-y^2$$ son$$f_x(x,y)=2x$$ y$$f_y(x,y)=-2y\text{.}$$ Entonces el único punto crítico de esta función$$(0,0)\text{.}$$ es ¿Es este un mínimo o máximo local? Bueno comencemos con$$(x,y)$$ at$$(0,0)$$ y luego$$(x,y)$$ aléjense$$(0,0)$$ y veamos si$$f(x,y)$$ se hace más grande o más pequeño. En el origen Por$$f(0,0)=0\text{.}$$ supuesto que podemos$$(x,y)$$ alejarnos$$(0,0)$$ en muchas direcciones diferentes.

• Primero considere moverse$$(x,y)$$ a lo largo del$$x$$ eje. Entonces$$(x,y)=(x,0)$$ y$$f(x,y)=f(x,0)=x^2\text{.}$$ Entonces cuando empezamos con$$x=0$$ y luego aumentamos$$x\text{,}$$ el valor de la función$$f$$ aumenta — lo que significa que$$(0,0)$$ no puede ser un máximo local para$$f\text{.}$$
• A continuación,$$(x,y)$$ alejémonos de$$(0,0)$$ lo largo del$$y$$ eje. Entonces$$(x,y)=(0,y)$$ y$$f(x,y)=f(0,y)=-y^2\text{.}$$ Entonces cuando empezamos con$$y=0$$ y luego aumentamos$$y\text{,}$$ el valor de la función$$f$$ disminuye — lo que significa que$$(0,0)$$ no puede ser un mínimo local para$$f\text{.}$$

Por lo tanto, alejarse de$$(0,0)$$ en una dirección hace que el valor de$$f$$ aumente, mientras que alejarse de$$(0,0)$$ en una segunda dirección hace que el valor de$$f$$ disminuya. En consecuencia no$$(0,0)$$ es ni un mínimo local ni máximo para$$f\text{.}$$ Se le llama punto de silla de montar, porque la gráfica de$$f$$ parece una silla de montar. (La definición completa de “punto de sillín” se da inmediatamente después de este ejemplo). Aquí hay algunas cifras que muestran la gráfica de$$f\text{.}$$

La siguiente figura muestra algunas curvas de nivel de$$f\text{.}$$ Observar a partir de las curvas de nivel que

• $$f$$aumenta a medida que te vas$$(0,0)$$ caminando por el$$x$$ eje
• $$f$$disminuye a medida que te vas$$(0,0)$$ caminando por el$$y$$ eje

Aproximadamente hablando, si un punto crítico no$$(a,b)$$ es ni un mínimo local ni un máximo local, entonces es un punto de silla de montar. $$(a,b)$$Para no ser un mínimo local,$$f$$ tiene que tomar valores mayores que$$f(a,b)$$ en algunos puntos cercanos$$(a,b)\text{.}$$$$(a,b)$$ Para no ser un máximo local,$$f$$ tiene que tomar valores más pequeños que$$f(a,b)$$ en algunos puntos cercanos$$(a,b)\text{.}$$ Escribiendo esto más matemáticamente obtenemos el siguiente definición.

##### Definición 2.9.14

El punto crítico$$(a,b)$$ se denomina punto de sillín para la función$$f(x,y)$$ si, para cada$$r \gt 0\text{,}$$

• hay al menos un punto$$(x,y)\text{,}$$ dentro de una distancia$$r$$$$(a,b)\text{,}$$ para el cual$$f(x,y) \gt f(a,b)$$ y
• hay al menos un punto$$(x,y)\text{,}$$ dentro de una distancia$$r$$$$(a,b)\text{,}$$ para el cual$$f(x,y) \lt f(a,b)\text{.}$$

Aquí hay otro ejemplo de una punta de silla de montar. Esta vez tenemos que trabajar un poco para verlo.

##### Ejemplo 2.9.15. $$f(x,y)= x^2-2xy-y^2+4y-2$$

Considerar$$f(x,y)= x^2-2xy-y^2+4y-2\text{.}$$ El gradiente de$$f$$ es

$\nabla f(x,y) = \big(2x-2y\big)\,\hat{\pmb{\imath}} +\big(-2x-2y+4\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$

Así$$(x,y)$$ es un punto crítico de$$f$$ si y solo si

\begin{align*} 2x-2y&=0\\ -2x-2y&=-4 \end{align*}

La primera ecuación da que$$x=y\text{.}$$ Sustituir$$y=x$$ en la segunda ecuación da

$-2y-2y=-4\implies x=y=1 \nonumber$

Así$$f(x,y)$$ tiene precisamente un punto crítico, a saber$$(1,1)\text{.}$$

Para determinar si$$f(x,y)$$ tiene un mínimo local, o un máximo local, o ninguno, al$$(1,1)\text{,}$$ procedemos como en el Ejemplo 2.9.12. Hacemos el cambio de variables

$x=1+\Delta x\qquad y=1+\Delta y \nonumber$

para dar

\begin{align*} &f\big(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y\big)\\ &\hskip0.5in=(1+\Delta x)^2-2(1+\Delta x)(1+\Delta y)-(1+\Delta y)^2 + 4(1+\Delta y)-2\\ &\hskip0.5in= (\Delta x)^2 -2\Delta x\,\Delta y-(\Delta y)^2 \end{align*}

Completando la plaza,

$f\big(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y\big) =(\Delta x)^2 -2\Delta x\,\Delta y-(\Delta y)^2 =\left(\Delta x - \Delta y\right)^2 -2 (\Delta y)^2 \nonumber$

Observe que ahora se$$f$$ ha escrito como la diferencia de dos cuadrados, al igual que el$$f$$ en el punto de silla de montar Ejemplo 2.9.13.

• Si$$\Delta x$$ y$$\Delta y$$ son tales que el primer cuadrado$$\left(\Delta x - \Delta y\right)^2$$ es distinto de cero, pero el segundo cuadrado$$(\Delta y)^2$$ es cero, entonces$$f\big(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y\big)=\left(\Delta x - \Delta y\right)^2 \gt 0 = f(1,1)\text{.}$$ Eso es, cuando$$\Delta y=0$$ y$$\Delta x\ne \Delta y\text{,}$$ entonces$$f\big(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y\big)=\left(\Delta x - \Delta y\right)^2 \gt 0 = f(1,1)\text{.}$$
• Por otro lado, si$$\Delta x$$ y$$\Delta y$$ son tales que el primer cuadrado$$\left(\Delta x - \Delta y\right)^2$$ es cero pero el segundo cuadrado$$(\Delta y)^2$$ es distinto de cero, entonces es$$f\big(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y\big)=- 2(\Delta y)^2 \lt 0 = f(1,1)\text{.}$$ decir, siempre que$$\Delta x=\Delta y\ne 0\text{,}$$ entonces$$f\big(1+\Delta x\,,\,1+\Delta y\big) =- 2(\Delta y)^2 \lt 0 = f(1,1)\text{.}$$

Entonces

• $$f(x,y) \gt f(1,1)$$en todos los puntos de la línea azul de la figura anterior, y
• $$f(x,y) \lt f(1,1)$$en todo punto de la línea roja.

Concluimos que$$(1,1)$$ es el único punto crítico para$$f(x,y)\text{,}$$ y además que es un punto de silla de montar.

Los tres ejemplos anteriores muestran que podemos encontrar todos los puntos críticos de las funciones cuadráticas de dos variables. También podemos clasificar cada punto crítico como mínimo, máximo o punto de sillín.

Por supuesto que no todas las funciones son cuadráticas. Pero al usar la aproximación cuadrática 2.6.12 podemos aplicar las mismas ideas de manera mucho más general. Supongamos que$$(a,b)$$ es un punto crítico de alguna función$$f(x,y)\text{.}$$ Para$$\Delta x$$ y$$\Delta y$$ pequeño, la aproximación cuadrática 2.6.12 da

$\begin{split} &f\big(a + \Delta x\,,\,b+\Delta y\big) \\ &\hskip0.25in\approx f\big(a\,,\,b\big) + f_x\big(a\,,\,b\big)\,\Delta x + f_y\big(a\,,\,b\big)\,\Delta y \\ &\hskip0.75in +\frac{1}{2}\left\{ f_{xx}\big(a,b\big)\,\Delta x^2 +2f_{xy}\big(a,b\big) \,\Delta x\Delta y + f_{yy}\big(a,b\big)\,\Delta y^2 \right\}\\ &\hskip0.25in= f\big(a\,,\,b\big) +\frac{1}{2}\left\{ f_{xx}\big(a,b\big)\,\Delta x^2 +2f_{xy}\big(a,b\big) \,\Delta x\Delta y + f_{yy}\big(a,b\big)\,\Delta y^2 \right\} \end{split}\tag{*} \nonumber$

ya que$$(a,b)$$ es un punto crítico para que$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0\text{.}$$ Luego usando la técnica de los Ejemplos 2.9.12 y 2.9.15, obtengamos 12 (detalles a continuación).

##### Teorema 2.9.16. Segunda Prueba Derivada

Supongamos que todas las derivadas de segundo orden de la función$$f(x,y)$$ son continuas en todos los puntos$$(x,y)$$ que se encuentran a una distancia$$r$$ de$$(a,b)\text{.}$$ Supongamos que$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0\text{.}$$ Definir$$r \gt 0$$

$D(x,y) = f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y) - f_{xy}(x,y)^2 \nonumber$

Se llama el discriminante de$$f\text{.}$$ Entonces

• si$$D(a,b) \gt 0$$ y$$f_{xx}(a,b) \gt 0\text{,}$$ luego$$f(x,y)$$ tiene un mínimo local en$$(a,b)\text{,}$$
• si$$D(a,b) \gt 0$$ y$$f_{xx}(a,b) \lt 0\text{,}$$ luego$$f(x,y)$$ tiene un máximo local en$$(a,b)\text{,}$$
• si$$D(a,b) \lt 0\text{,}$$ entonces$$f(x,y)$$ tiene un punto de sillín en$$(a,b)\text{,}$$ pero
• si$$D(a,b)=0\text{,}$$ entonces no podemos sacar ninguna conclusión sin más trabajo.
Prueba

Estamos poniendo comillas alrededor de la palabra “Prueba”, porque no vamos a justificar el hecho de que basta con analizar la aproximación cuadrática en ecuación$$(*)\text{.}$$ Vamos a suprimir temporalmente los argumentos$$(a,b)\text{.}$$ Si$$f_{xx}(a,b)\ne 0\text{,}$$ entonces completando el cuadrado podemos escribir

\begin{align*} &f_{xx}\,\Delta x^2 +2f_{xy}\,\Delta x\Delta y + f_{yy}\,\Delta y^2\\ &\hskip0.5in=f_{xx}\left(\Delta x +\frac{f_{xy}}{f_{xx}}\Delta y\right)^2 +\left(f_{yy}-\frac{f_{xy}^2}{f_{xx}}\right)\,\Delta y^2\\ &\hskip0.5in=\frac{1}{f_{xx}}\left\{\big(f_{xx}\,\Delta x+f_{xy}\,\Delta y\big)^2 +\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big)\,\Delta y^2\right\} \end{align*}

Del mismo modo, si$$f_{yy}(a,b)\ne 0\text{,}$$

\begin{align*} &f_{xx}\,\Delta x^2 +2f_{xy}\,\Delta x\Delta y + f_{yy}\,\Delta y^2\\ &\hskip0.5in=\frac{1}{f_{yy}}\left\{\big(f_{xy}\,\Delta x+f_{yy}\,\Delta y\big)^2 +\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big)\,\Delta x^2\right\} \end{align*}

Tenga en cuenta que este álgebra se descompone si$$f_{xx}(a,b)=f_{yy}(a,b)=0\text{.}$$ nos ocuparemos de ese caso en breve. Más importante aún, tenga en cuenta que

• si$$\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big) \gt 0$$ entonces ambos$$f_{xx}$$ y$$f_{yy}$$ deben ser distintos de cero y del mismo signo y además, siempre que$$\Delta x$$ o$$\Delta y$$ sean distintos de cero,

\begin{align*} \left\{\big(f_{xx}\,\Delta x+f_{xy}\,\Delta y\big)^2 +\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big)\,\Delta y^2\right\} & \gt 0\quad\text{and}\\ \left\{\big(f_{xy}\,\Delta x+f_{yy}\,\Delta y\big)^2 +\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big)\,\Delta x^2\right\} & \gt 0 \end{align*}

para que, recordando$$(*)\text{,}$$

• si$$f_{xx}(a,b) \gt 0\text{,}$$ entonces$$(a,b)$$ es un mínimo local y
• si$$f_{xx}(a,b) \lt 0\text{,}$$ entonces$$(a,b)$$ es un máximo local.
• Si$$\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big) \lt 0$$ y$$f_{xx}$$ es distinto de cero entonces

$\left\{\big(f_{xx}\,\Delta x+f_{xy}\,\Delta y\big)^2 +\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big)\,\Delta y^2\right\} \nonumber$

es estrictamente positivo siempre$$\Delta x\ne 0\text{,}$$$$\Delta y= 0$$ y es estrictamente negativo cuando sea$$f_{xx}\,\Delta x+f_{xy}\,\Delta y=0\text{,}$$$$\Delta y\ne 0\text{,}$$ así que eso$$(a,b)$$ es un punto de silla de montar. Del mismo modo, también$$(a,b)$$ es un punto de sillín si$$\big(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\big) \lt 0$$ y$$f_{yy}$$ es distinto de cero.
• Finalmente, si$$f_{xy}\ne 0$$ y$$f_{xx}=f_{yy}=0\text{,}$$ entonces

$f_{xx}\,\Delta x^2 +2f_{xy}\,\Delta x\,\Delta y + f_{yy}\,\Delta y^2 =2f_{xy}\,\Delta x\,\Delta y \nonumber$

es estrictamente positivo para un signo de$$\Delta x\,\Delta y$$ y es estrictamente negativo para el otro signo de$$\Delta x\,\Delta y\text{.}$$ Así$$(a,b)$$ es de nuevo un punto de silla de montar.

Quizás te preguntes por qué, en los casos locales máximo/ mínimos locales del Teorema 2.9.16,$$f_{xx}(a,b)$$ aparece más que$$f_{yy}(a,b)\text{.}$$ La respuesta es sólo que$$x$$ está antes$$y$$ en el alfabeto 13. Puedes usar$$f_{yy}(a,b)$$ igual de bien como$$f_{xx}(a,b)\text{.}$$ La razón es que si$$D(a,b) \gt 0$$ (como en las dos primeras balas del teorema), entonces porque necesariamente$$D(a,b) = f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b) - f_{xy}(a,b)^2 \gt 0\text{,}$$ tenemos$$f_{xx}(a,b)\,f_{yy}(a,b) \gt 0$$ así que$$f_{xx}(a,b)$$ y$$f_{yy}(a,b)$$ debemos tener el mismo signo —o ambas son positivas o ambas son negativas.

También podría preguntarse por qué no podemos sacar ninguna conclusión cuándo$$D(a,b)=0$$ y qué sucede entonces. La segunda prueba derivada para funciones de dos variables se derivó precisamente de la misma manera que se deriva la segunda prueba derivada para funciones de una variable — aproximas la función por un polinomio que es de grado dos en$$(x-a)\text{,}$$$$(y-b)$$ y luego analizas el comportamiento de la cuadrática polinomio cerca$$(a,b)\text{.}$$ Para que esto funcione, las contribuciones a$$f(x,y)$$ de términos que son de grado dos en$$(x-a)\text{,}$$$$(y-b)$$ tenían mejor ser mayores que las contribuciones a$$f(x,y)$$ de términos que son de grado tres y superiores en$$(x-a)\text{,}$$$$(y-b)$$ cuando$$(x-a)\text{,}$$$$(y-b)$$ son muy pequeño. Si no es así, por ejemplo cuando los términos en$$f(x,y)$$ que son de grado dos en$$(x-a)\text{,}$$$$(y-b)$$ total tienen coeficientes que son exactamente cero, el análisis ciertamente se descompondrá. Eso es exactamente lo que sucede cuando$$D(a,b)=0\text{.}$$ Aquí hay algunos ejemplos. Las funciones

\begin{align*} f_1(x,y)&=x^4+y^4& f_2(x,y)&=-x^4-y^4\\ f_3(x,y)&=x^3+y^3& f_4(x,y)=x^4-y^4 \end{align*}

todos tienen$$(0,0)$$ como único punto crítico y todos tienen$$D(0,0)=0\text{.}$$ El primero,$$f_1$$ tiene su mínimo ahí. El segundo,$$f_2\text{,}$$ tiene su máximo ahí. El tercero y cuarto tienen una punta de silla ahí.

Aquí hay bocetos de algunas curvas de nivel para cada una de estas cuatro funciones (con todas renombradas a simplemente$$f$$).

##### Ejemplo 2.9.17. $$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y$$

Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y \text{.}$$

Solución

Pensando un poco más adelante, para encontrar los puntos críticos necesitaremos el gradiente y para aplicar la segunda prueba derivada del Teorema 2.9.16 necesitaremos todas las derivadas parciales de segundo orden. Entonces necesitamos todas las derivadas parciales de orden hasta dos. Aquí están.

\begin{alignat*}{3} f&=2x^3 - 6xy + y^2 +4y\\ f_x&=6x^2-6y & f_{xx}&=12x \qquad & f_{xy}&= -6\\ f_y&=-6x+2y+4 \qquad & f_{yy}&=2\qquad & f_{yx}&= -6 \end{alignat*}

(Claro,$$f_{xy}$$ y$$f_{yx}$$ tienen que ser lo mismo. Todavía es útil para calcular ambos, como una forma de atrapar algunos errores mecánicos.)

Ya hemos encontrado, en el Ejemplo 2.9.7, que los puntos críticos son$$(1,1),\ (2,4)\text{.}$$ La clasificación es

 $$\text{critical}\\ \text{point}$$ $$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$$ $$f_{xx}$$ tipo $$(1,1)$$ $$12\times 2-(-6)^2 \lt 0$$ punto de sillín $$(2,4)$$ $$24\times 2-(-6)^2 \gt 0$$ 24 local min

Pudimos dejar en blanco la$$f_{xx}$$ entrada en la fila superior, porque

• lo sabíamos$$f_{xx}(1,1) f_{yy}(1,1)-f_{xy}^2(1,1) \lt 0\text{,}$$ y
• sabíamos, del Teorema 2.9.16, que$$f_{xx}(1,1) f_{yy}(1,1)-f_{xy}^2(1,1) \lt 0\text{,}$$ por sí mismo, era suficiente para asegurar que$$(1,1)$$ era un punto de silla de montar.

Aquí hay un boceto de algunas curvas de nivel de nuestro$$f(x,y)\text{.}$$

No son necesarios para responder a esta pregunta, pero pueden darte una idea de cómo$$f$$ se ve la gráfica de.

##### Ejemplo 2.9.18. $$f(x,y) = xy(5x+y-15)$$

Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$f(x,y)=xy(5x+y-15)\text{.}$$

Solución

$f_x(x,y)= y(10x+y-15)\qquad\qquad f_y(x,y)= x(5x+2y-15) \nonumber$

de$$f(x,y)$$ en el Ejemplo 2.9.8. Nuevamente, para clasificar los puntos críticos necesitamos las derivadas parciales de segundo orden. Ellos son

\begin{alignat*}{2} f_{xx}(x,y)&= 10y\\ f_{yy}(x,y)&= 2x\\ f_{xy}(x,y)&= (1)(10x+y-15)+y(1) &= 10x+2y-15\\ f_{yx}(x,y)&= (1)(5x+2y-15)+x(5) &= 10x+2y-15 \end{alignat*}

(Una vez más, hemos calculado ambos$$f_{xy}$$ y$$f_{yx}$$ para protegernos contra errores mecánicos.) Ya hemos encontrado, en el Ejemplo 2.9.8, que los puntos críticos son$$(0,0),\ (0,15),\ (3,0)$$ y$$(1,5)\text{.}$$ La clasificación es

 $$\text{critical}\\ \text{point}$$ $$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$$ $$f_{xx}$$ tipo $$(0,0)$$ $$0\times0-(-15)^2 \lt 0$$ punto de sillín $$(0,15)$$ $$150\times0-15^2 \lt 0$$ punto de sillín $$(3,0)$$ $$0\times 6-15^2 \lt 0$$ punto de sillín $$(1,5)$$ $$50\times 2-5^2 \gt 0$$ 75 local min

Aquí hay un boceto de algunas curvas de nivel de nuestro$$f(x,y)\text{.}$$$$f$$ es negativo en las regiones sombreadas y$$f$$ es positivo en las regiones no sombreadas.

Nuevamente esto no es necesario para responder a esta pregunta, pero te puede dar alguna idea de cómo$$f$$ se ve la gráfica de.

##### Ejemplo 2.9.19

Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$f(x,y)=x^3+xy^2-3x^2-4y^2+4\text{.}$$

Solución

Ya conocemos el simulacro. Comenzamos por computar todas las derivadas parciales de$$f$$ hasta el orden 2.

\begin{align*} f&=x^3+xy^2-3x^2-4y^2+4\\ f_x&=3x^2+y^2-6x & f_{xx}&=6x-6 & f_{xy}&= 2y\\ f_y&=2xy-8y & f_{yy}&=2x-8 & f_{yx}&= 2y \end{align*}

Los puntos críticos son entonces las soluciones de$$f_x=0\text{,}$$$$f_y=0\text{.}$$ Eso es

\begin{align*} f_x&=3x^2+y^2-6x=0 \tag{E1}\\ f_y&=2y(x-4)=0 \tag{E2} \end{align*}

La segunda ecuación,$$2y(x-4)=0 \text{,}$$ se satisface si y sólo si al menos una de las dos ecuaciones$$y=0$$ y$$x=4$$ se satisface.

• Cuando$$y=0\text{,}$$ la ecuación (E1) obliga$$x$$ a obedecer

$0=3x^2+0^2-6x=3x(x-2) \nonumber$

para que$$x=0$$ o$$x=2\text{.}$$
• Cuando$$x=4\text{,}$$ la ecuación (E1) obliga$$y$$ a obedecer

$0=3\times 4^2+y^2-6\times 4=24+y^2 \nonumber$

lo cual es imposible.

Entonces, hay dos puntos críticos:$$(0,0),\ (2,0)\text{.}$$ Aquí hay una tabla que clasifica los puntos críticos.

 $$\rm critical\\ \rm point$$ $$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$$ $$f_{xx}$$ tipo $$(0,0)$$ $$(-6)\times (-8)-0^2 \gt 0$$ $$-6 \lt 0$$ local max $$(2,0)$$ $$6\times(-4)-0^2 \lt 0$$ punto de sillín
##### Ejemplo 2.9.20

Un fabricante desea hacer una caja rectangular abierta de volumen dado$$V$$ utilizando el menor material posible. Encuentre las especificaciones de diseño.

Solución

Denote por$$x\text{,}$$$$y$$ y$$z\text{,}$$ el largo, ancho y alto, respectivamente, de la caja.

La caja tiene dos lados del área$$xz\text{,}$$ dos lados del área$$yz$$ y un fondo del área$$xy\text{.}$$ Así que la superficie total del material utilizado es

$S = 2xz + 2yz + xy \nonumber$

Sin embargo las tres dimensiones$$x\text{,}$$$$y$$ y no$$z$$ son independientes. El requisito de que la caja tenga volumen$$V$$ impone la restricción

$xyz = V \nonumber$

Podemos usar esta restricción para eliminar una variable. Ya que$$z$$ está al final del alfabeto (pobre$$z$$), eliminamos$$z$$ sustituyendo$$z=\frac{V}{xy}\text{.}$$ Así que hemos encontrado los valores de$$x$$ y$$y$$ que minimizan la función

$S(x,y) = \frac{2V}{y} + \frac{2V}{x} + xy \nonumber$

Empecemos por encontrar los puntos críticos de$$S\text{.}$$ Desde

\begin{align*} S_x(x,y) &= -\frac{2V}{x^2} + y\\ S_y(x,y) &= -\frac{2V}{y^2} + x \end{align*}

$$(x,y)$$es un punto crítico si y solo si

\begin{align*} x^2y&=2V \tag{E1}\\ xy^2&=2V \tag{E2} \end{align*}

Resolviendo (E1) para$$y$$ da$$y=\frac{2V}{x^2}\text{.}$$ Sustituir esto en (E2) da

$x\frac{4V^2}{x^4}=2V \implies x^3 = 2V \implies x = \root{3}\of{2V}\quad\text{and}\quad y = \frac{2V}{(2V)^{2/3}} = \root{3}\of{2V} \nonumber$

Como sólo hay un punto crítico, esperaríamos que diera el mínimo 14. Pero usemos la segunda prueba derivada para verificar que al menos el punto crítico es un mínimo local. Las diversas segundas derivadas parciales son

\begin{align*} S_{xx}(x,y)&=\frac{4V}{x^3} & S_{xx}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)&=2\\ S_{xy}(x,y)&=1& S_{xy}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)&=1\\ S_{yy}(x,y)&=\frac{4V}{y^3} & S_{yy}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)&=2 \end{align*}

Entonces

\begin{align*} S_{xx}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)\ S_{yy}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big) -S_{xy}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)^2 &=3 \gt 0\\ S_{xx}\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)&=2 \gt 0 \end{align*}

y, por Teorema 2.9.16.b,$$\big(\root{3}\of{2V}\,,\,\root{3}\of{2V}\big)$$ es un mínimo local y las dimensiones deseadas son

$x=y=\root{3}\of{2V}\qquad z=\root{3}\of{\frac{V}{4}} \nonumber$

Tenga en cuenta que nuestra solución tiene$$x=y\text{.}$$ Eso es algo bueno — la función$$S(x,y)$$ es simétrica en$$x$$ y$$y\text{.}$$ Debido a que la caja no tiene tapa, la simetría no se extiende a$$z\text{.}$$

## Mínimos absolutos y máximos

Por supuesto, un máximo o mínimo local de una función no necesita ser el máximo absoluto de mínimo. Ahora consideraremos cómo encontrar el máximo y mínimo absoluto. Comencemos revisando cómo se encuentra el máximo y mínimo absoluto de una función de una variable en un intervalo.

Para concreción, supongamos que queremos encontrar los 15 valores extremos de una función$$f(x)$$ en el intervalo$$0\le x\le 1\text{.}$$ Si se alcanza un valor extremo en algunos$$x=a$$ que está en el interior del intervalo, es decir, si$$0 \lt a \lt 1\text{,}$$ entonces también$$a$$ es un máximo o mínimo local y así tiene que ser un punto crítico de$$f\text{.}$$ Pero si se alcanza un valor extremo en un punto límite$$a$$ del intervalo, es decir, si$$a=0$$ o$$a=1\text{,}$$ entonces no$$a$$ necesita ser un punto crítico de$$f\text{.}$$ Esto sucede, por ejemplo, cuando$$f(x)=x\text{.}$$ El mayor valor de$$f(x)$$ en el intervalo$$0\le x\le 1$$ es$$1$$ y se alcanza en$$x=1\text{,}$$ pero nunca$$f'(x)=1$$ es cero, por lo que no$$f$$ tiene puntos críticos.

Así que para encontrar el máximo y mínimo de la función$$f(x)$$ en el intervalo$$[0,1]\text{,}$$ que

1. construir una lista de todos los puntos candidatos$$0\le a\le 1$$ en los que se pueda alcanzar el máximo o mínimo, encontrando todos los$$a$$ puntos para los cuales
1. $$0 \lt a \lt 1$$y$$f'(a)=0$$ o
2. $$0 \lt a \lt 1$$y$$f'(a)$$ no existe 16 o
3. $$a$$es un punto límite, es decir,$$a=0$$ o$$a=1\text{,}$$
2. y luego evalúas$$f(a)$$$$a$$ en cada uno de la lista de candidatos. El mayor de estos valores candidatos$$f(a)$$ es el máximo absoluto y el más pequeño de estos valores candidatos es el mínimo absoluto.

El procedimiento para encontrar el máximo y mínimo de una función de dos variables,$$f(x,y)$$ en un conjunto como, por ejemplo, el disco unitario$$x^2+y^2\le 1\text{,}$$ es similar. Tú otra vez

1. construir una lista de todos los puntos candidatos$$(a,b)$$ en el conjunto en el que se pudiera alcanzar el máximo o mínimo, encontrando todos los$$(a,b)$$ puntos para los que ya sea 17
1. $$(a,b)$$está en el interior del conjunto (para nuestro ejemplo,$$a^2+b^2 \lt 1$$)$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$$ y/o
2. $$(a,b)$$está en el interior del conjunto y$$f_x(a,b)$$ o$$f_y(a,b)$$ no existe o
3. $$(a,b)$$es un punto límite 18, (para nuestro ejemplo,$$a^2+b^2=1$$), y podría dar el máximo o mínimo en el límite - más sobre esto en breve -
2. y luego evalúas$$f(a,b)$$$$(a,b)$$ en cada uno de la lista de candidatos. El mayor de estos valores candidatos$$f(a,b)$$ es el máximo absoluto y el más pequeño de estos valores candidatos es el mínimo absoluto.

El límite de un conjunto, como$$x^2+y^2\le 1\text{,}$$ en$$\mathbb{R}^2$$ es una curva, como$$x^2+y^2=1\text{.}$$ Esta curva es un conjunto unidimensional, lo que significa que es como un$$x$$ eje deformado. Podemos encontrar el máximo y mínimo de$$f(x,y)$$ en esta curva$$f(x,y)$$ convirtiendo en una función de una variable (en la curva) y utilizando la función estándar de técnicas de una variable. Esto se explica mejor con algunos ejemplos.

##### Ejemplo 2.9.21

Encuentra el máximo y mínimo de$$T(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}$$ en la región definida por$$x^2+y^2\le 1$$ (es decir, en el disco de la unidad).

Solución

Sigamos nuestra lista de verificación. Primero puntos críticos, luego puntos donde no existen las derivadas parciales, y finalmente el límite.

Puntos críticos interiores: Si$$T$$ toma su valor máximo o mínimo en un punto del interior,$$x^2+y^2 \lt 1\text{,}$$ entonces ese punto debe ser un punto crítico de$$T$$ o un punto singular de$$T\text{.}$$ Para encontrar los puntos críticos calculamos las derivadas de primer orden.

$T_x(x,y)=(1-2x^2-2xy)e^{-x^2-y^2}\qquad T_y(x,y)=(1-2xy-2y^2)e^{-x^2-y^2} \nonumber$

Porque lo exponencial nunca$$e^{-x^2-y^2}$$ es cero, los puntos críticos son las soluciones de

\begin{alignat*}{3} T_x&=0 &\quad&\iff\quad & 2x(x+y)&=1\\ T_y&=0 & &\iff & 2y(x+y)&=1 \end{alignat*}

• Como ambos$$2x(x+y)$$ y$$2y(x+y)$$ son distintos de cero, podemos dividir las dos ecuaciones, lo que da$$\frac{x}{y}=1\text{,}$$ forzamiento$$x=y\text{.}$$
• Sustituir esto en cualquiera de las ecuaciones da de$$2x(2x)=1$$ manera que$$x=y=\pm\frac{1}{2}\text{.}$$

Entonces los únicos puntos críticos son$$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$ y$$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})\text{.}$$ Ambos están en$$x^2+y^2 \lt 1\text{.}$$

Puntos singulares: En este problema, no hay puntos singulares.

Límite: Los puntos en el límite satisfacen Es$$x^2+y^2=1\text{.}$$ decir, se encuentran en un círculo. Podemos usar la figura a continuación para expresar$$x=\cos t$$ y$$y=\sin t\text{,}$$ en términos del ángulo$$t\text{.}$$ Esto hará que la fórmula para$$T$$ en el límite sea bastante más fácil de tratar. En la frontera,

$T = (\cos t+\sin t)e^{-\cos^2 t -\sin^2 t} =(\cos t+\sin t)e^{-1} \nonumber$

Como todos$$t$$ están permitidos, esta función toma su max y min a ceros de

$\frac{dT}{dt}=\big(-\sin t+\cos t\big)e^{-1} \nonumber$

Es decir,$$(\cos t+\sin t)e^{-1}$$ toma su max y min

• cuando$$\sin t=\cos t\text{,}$$
• es decir, cuándo$$x=y$$ y$$x^2+y^2=1\text{,}$$
• que obliga$$x^2+x^2=1$$ y por lo tanto$$x=y=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$$

En conjunto, tenemos los siguientes candidatos para max y min, con el max y el min indicados.

 punto $$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$ $$(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$$ $$(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})$$ $$(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},-\tfrac{1}{\sqrt{2}})$$ valor de$$T$$ $$\tfrac{1}{\sqrt{e}}\approx0.61$$ $$-\tfrac{1}{\sqrt{e}}$$ $$\tfrac{\sqrt{2}}{e}\approx0.52$$ $$-\tfrac{\sqrt{2}}{e}$$ max min

El siguiente boceto muestra todos los puntos críticos. Es una buena idea hacer tal boceto para que no se incluya accidentalmente un punto crítico que esté fuera de la región permitida.

En el último ejemplo, analizamos el comportamiento de$$f$$ en el límite de la región de interés mediante el uso de la parametrización$$x=\cos t\text{,}$$$$y=\sin t$$ del círculo$$x^2+y^2=1\text{.}$$ A veces el uso de esta parametrización no es tan limpio. Y peor aún, algunas curvas no tienen una parametrización tan simple. En el siguiente problema veremos el límite de manera un poco diferente.

##### Ejemplo 2.9.22

Encuentra los valores máximos y mínimos de$$f(x,y)=x^3+xy^2-3x^2-4y^2+4$$ en el disco$$x^2+y^2\le 1\text{.}$$

Solución

Nuevamente, primero encontramos todos los puntos críticos, luego encontramos todos los puntos singulares y, finalmente, analizamos el límite.

Puntos críticos interiores: Si$$f$$ toma su valor máximo o mínimo en un punto del interior,$$x^2+y^2 \lt 1\text{,}$$ entonces ese punto debe ser un punto crítico de$$f$$ o un punto singular de$$f\text{.}$$ Para encontrar los puntos críticos 19 calculamos las derivadas de primer orden.

$\begin{gather*} f_x=3x^2+y^2-6x \qquad f_y=2xy-8y \end{gather*}$

Los puntos críticos son las soluciones de

\begin{align*} f_x&=3x^2+y^2-6x=0 \tag{E1}\\ f_y&=2y(x-4)=0 \tag{E2} \end{align*}

La segunda ecuación,$$2y(x-4)=0 \text{,}$$ se satisface si y sólo si al menos una de las dos ecuaciones$$y=0$$ y$$x=4$$ se satisface.

• Cuando$$y=0\text{,}$$ la ecuación (E1) obliga$$x$$ a obedecer

$0=3x^2+0^2-6x=3x(x-2) \nonumber$

para que$$x=0$$ o$$x=2\text{.}$$
• Cuando$$x=4\text{,}$$ la ecuación (E1) obliga$$y$$ a obedecer

$0=3\times 4^2+y^2-6\times 4=24+y^2 \nonumber$

lo cual es imposible.

Entonces, solo hay dos puntos críticos:$$(0,0),\ (2,0)\text{.}$$

Puntos singulares: En este problema, no hay puntos singulares.

Límite: En el límite,$$x^2+y^2=1\text{,}$$ podríamos volver a aprovechar tener un círculo y escribir$$x=\cos t$$ y$$y=\sin t\text{.}$$ Pero, para la práctica, usaremos otro método 20. Sabemos que$$(x,y)$$ satisface$$x^2+y^2=1\text{,}$$ y de ahí$$y^2=1-x^2\text{.}$$ Examinando la fórmula para$$f(x,y)\text{,}$$ vemos que solo contiene hasta 21 poderes de$$y\text{,}$$ lo que podemos eliminar$$y$$ sustituyendo$$y^2=1-x^2$$ en la fórmula.

$f=x^3+x(1-x^2)-3x^2-4(1-x^2)+4=x+x^2 \nonumber$

El máximo y el mínimo de$$x+x^2$$ para$$-1\le x\le 1$$ deben ocurrir ya sea

• cuando$$x=-1$$ ($$\Rightarrow y=f=0$$) o
• cuando$$x=+1$$ ($$\Rightarrow y=0\text{,}$$$$f=2$$) o
• cuando$$0=\frac{d}{dx}(x+x^2)=1+2x$$ ($$\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\text{,}$$$$y=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}\text{,}$$$$f=-\frac{1}{4}$$).

Aquí hay un boceto que muestra todos los puntos que hemos identificado.

Obsérvese que el punto$$(2,0)$$ está fuera de la región permitida 22. Entonces todos juntos, tenemos los siguientes candidatos para max y min, con el max y min indicados.

 punto $$(0,0)$$ $$(-1,0)$$ $$(1,0)$$ $$\big(-\frac{1}{2},\pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)$$ valor de$$f$$ $$4$$ $$0$$ $$2$$ $$-\tfrac{1}{4}$$ max min
##### Ejemplo 2.9.23

Encuentra los valores máximo y mínimo de$$f(x,y)=xy-x^3y^2$$ cuando$$(x,y)$$ se ejecuta sobre el cuadrado$$0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\text{.}$$

Solución

Como es habitual, examinemos los puntos críticos, los puntos singulares y el límite a su vez.

Puntos críticos interiores: Si$$f$$ toma su valor máximo o mínimo en un punto del interior,$$0 \lt x \lt 1\text{,}$$$$0 \lt y \lt 1\text{,}$$ entonces ese punto debe ser un punto crítico de$$f$$ o un punto singular de$$f\text{.}$$ Para encontrar los puntos críticos calculamos las derivadas de primer orden.

$f_x(x,y)=y-3x^2y^2\qquad f_y(x,y)=x-2x^3y \nonumber$

Los puntos críticos son las soluciones de

\begin{alignat*}{5} f_x&=0 & &\quad\iff\quad &y(1-3x^2y)=0 & &\quad\iff\quad & &y=0 \ \text{ or }\ 3x^2y=1\\ f_y&=0 & &\quad\iff\quad &x(1-2x^2y)=0 & &\quad\iff\quad & &x=0 \ \text{ or }\ 2x^2y=1 \end{alignat*}

• Si no$$y=0\text{,}$$ podemos tener$$2x^2y=1\text{,}$$ así debemos tener$$x=0\text{.}$$
• Si no$$3x^2y=1\text{,}$$ podemos tener$$x=0\text{,}$$ así debemos tener$$2x^2y=1\text{.}$$ Dividiendo da$$1=\tfrac{3x^2y}{2x^2y}=\tfrac{3}{2}$$ lo cual es imposible.

Entonces el único punto crítico en la plaza es$$(0,0)\text{.}$$ There$$f=0\text{.}$$

Puntos singulares: Una vez más no hay puntos singulares en este problema.

• Primero, miramos la parte del límite con$$x=0\text{.}$$ En todo ese lado$$f=0\text{.}$$
• A continuación, miramos la parte del límite con$$y=0\text{.}$$ En todo ese lado$$f=0\text{.}$$
• A continuación, miramos la parte del límite con$$y=1\text{.}$$ Allí$$f=f(x,1)=x-x^3\text{.}$$ Para encontrar el máximo y mínimo de$$f(x,y)$$ en la parte del límite con$$y=1\text{,}$$ debemos encontrar el máximo y mínimo de$$x-x^3$$ cuando$$0\le x\le 1\text{.}$$

Recordemos que, en general, el máximo y mínimo de una función$$h(x)$$ en el intervalo$$a\le x\le b\text{,}$$ deben ocurrir ya sea en$$x=a$$ o en$$x=b$$ o en una$$x$$ para la que exista$$h'(x)=0$$ o$$h'(x)$$ no exista. En este caso,$$\tfrac{d}{dx}(x-x^3)=1-3x^2\text{,}$$ por lo que$$0\le x\le 1$$ deben ocurrir los máximos y mínimos de$$x-x^3$$ for

• ya sea en$$x=0\text{,}$$ donde$$f=0\text{,}$$
• o en$$x=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\text{,}$$ donde$$f=\tfrac{2}{3\sqrt{3}}\text{,}$$
• o en$$x=1\text{,}$$ donde$$f=0\text{.}$$
• Finalmente, miramos la parte del límite con$$x=1\text{.}$$ There$$f=f(1,y)=y-y^2\text{.}$$ Como$$\tfrac{d}{dy}(y-y^2)=1-2y\text{,}$$ el único punto crítico de$$y-y^2$$ está en$$y=\frac{1}{2}\text{.}$$ Así que el máximo y min de$$y-y^2$$ for$$0\le y\le 1$$ deben ocurrir
• ya sea en$$y=0\text{,}$$ donde$$f=0\text{,}$$
• o en$$y=\frac{1}{2}\text{,}$$ donde$$f=\tfrac{1}{4}\text{,}$$
• o en$$y=1\text{,}$$ donde$$f=0\text{.}$$

En conjunto, tenemos los siguientes candidatos para max y min, con el max y el min indicados.

 punto $$(0,0)$$ $${\scriptstyle(0,0\le y\le 1)}$$ $${\scriptstyle(0\le x\le 1,0)}$$ $$(1,0)$$ $$(1,\frac{1}{2})$$ $$(1,1)$$ $$(0,1)$$ $$(\tfrac{1}{\sqrt{3}},1)$$ valor de$$f$$ 0 0 0 0 $$\tfrac{1}{4}$$ 0 0 $$\tfrac{2}{3\sqrt{3}}\approx0.385$$ min min min min min min max
##### Ejemplo 2.9.24

Encuentre los valores máximo y mínimo de$$f(x,y)=xy+2x+y$$ cuando$$(x,y)$$ se ejecuta sobre la región triangular con vértices$$(0,0)\text{,}$$$$(1,0)$$ y$$(0,2)\text{.}$$ La región triangular se esboza en

Solución

Como es habitual, examinemos los puntos críticos, los puntos singulares y el límite a su vez.

Puntos críticos interiores: Si$$f$$ toma su valor máximo o mínimo en un punto del interior, entonces ese punto debe ser un punto crítico$$f$$ o un punto singular de$$f\text{.}$$ Los puntos críticos son las soluciones de

$f_x(x,y)=y+2=0\qquad f_y(x,y)=x+1=0 \nonumber$

Entonces hay exactamente un punto crítico, a saber$$(-1,-2)\text{.}$$ Esto está bien fuera del triángulo y por lo tanto no es candidato para la ubicación del max y min.

Puntos singulares: Una vez más no hay puntos singulares para esto$$f\text{.}$$

Límite: La región es un triángulo, por lo que su límite consiste en sus tres lados.

• Primero, miramos el lado que va de$$(0,0)$$ a$$(0,2)\text{.}$$ En todo ese lado para$$x=0\text{,}$$ que$$f(0,y)=y\text{.}$$ El valor más pequeño de$$f$$ en ese lado esté$$f=0$$ en$$(0,0)$$ y el valor más grande de$$f$$ en ese lado esté$$f=2$$ en$$(0,2)\text{.}$$
• A continuación, miramos el lado que va de$$(0,0)$$ a$$(1,0)\text{.}$$ En todo ese lado para$$y=0\text{,}$$ que$$f(x,0)=2x\text{.}$$ El valor más pequeño de$$f$$ en ese lado esté$$f=0$$ en$$(0,0)$$ y el valor más grande de$$f$$ en ese lado esté$$f=2$$ en$$(1,0)\text{.}$$
• Por último, miramos el lado que va de$$(0,2)$$ a$$(1,0)\text{.}$$ O el primer trabajo es encontrar la ecuación de la línea que contiene$$(0,2)$$ y$$(1,0)\text{.}$$ A modo de revisión, encontraremos la ecuación usando tres métodos diferentes.
• Método 1: Usted (probablemente) aprendió en la preparatoria que cualquier línea en el$$xy$$ -plano 23 tiene ecuación$$y=mx + b$$ donde$$b$$ está la$$y$$ intercepción y$$m$$ es la pendiente. En este caso, la línea cruza el$$y$$ eje en$$y=2$$ y así ha$$y$$ interceptado$$b=2\text{.}$$ La línea pasa a través$$(0,2)$$$$(1,0)$$ y y así, como vemos en la figura de abajo, tiene pendiente$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0-2}{1-0}=-2\text{.}$$ Así el lado del triángulo que va de$$(0,2)$$ a$$(1,0)$$ es $$y=2-2x$$con$$0\le x\le 1\text{.}$$
• Método 2: Cada línea en el$$xy$$ plano -tiene una ecuación de la forma$$ax+by=c\text{.}$$ En este caso no$$(0,0)$$ está en la línea para que$$c\ne 0$$ y podamos dividir la ecuación$$c\text{,}$$ dando$$\frac{a}{c}x+\frac{b}{c}y=1\text{.}$$ Renombrar$$\frac{a}{c}=A$$ y$$\frac{b}{c}=B\text{.}$$ Así, porque la línea no pasar por el origen, tiene una ecuación de la forma$$Ax+By=1\text{,}$$ para algunas constantes$$A$$ y$$(0,2)$$ Para que se encuentre$$B\text{.}$$ en la línea,$$x=0\text{,}$$$$y=2$$ tiene que ser una solución de Es$$Ax+By=1\text{.}$$ decir, para$$Ax\big|_{x=0}+By\big|_{y=2}=1\text{,}$$ que$$B=\frac{1}{2}\text{.}$$$$(1,0)$$ Para que se acueste en la línea ,$$x=1\text{,}$$$$y=0$$ tiene que ser una solución de$$Ax+By=1\text{.}$$ Eso es$$Ax\big|_{x=1}+By\big|_{y=0}=1\text{,}$$ para que$$A=1\text{.}$$ así la línea tenga ecuación$$x+\frac{1}{2}y=1\text{,}$$ o equivalentemente,$$y=2-2x\text{.}$$
• Método 3: El vector de$$(0,2)$$ a$$(1,0)$$ es$$\left \langle 1-0\,,\,0-2 \right \rangle = \left \langle 1,-2 \right \rangle\text{.}$$ Como vemos en la figura anterior, es un vector de dirección para la línea. Un punto en la línea es$$(0,2)\text{.}$$ Así que una ecuación paramétrica para la línea (ver Ecuación 1.3.1) es

$\left \langle x-0\,,\,y-2 \right \rangle = t\left \langle 1,-2 \right \rangle\qquad\text{or}\qquad x=t,\ y=2-2t \nonumber$

Por cualquiera de estos tres métodos 24, tenemos que el lado del triángulo que va de$$(0,2)$$ a$$(1,0)$$ está$$y=2-2x$$ con$$0\le x\le 1\text{.}$$ En ese lado del triángulo

$f(x,2-2x) = x(2-2x)+2x+(2-2x) = -2x^2 +2x+2 \nonumber$

Escribir$$g(x) = -2x^2 +2x+2\text{.}$$ El máximo y mínimo de$$g(x)$$ para$$0\le x\le 1\text{,}$$ y por lo tanto los valores máximos y mínimos de$$f$$ sobre la hipotenusa del triángulo, deben alcanzarse ya sea en

• $$x=0\text{,}$$donde$$f(0,2)=g(0)=2\text{,}$$ o en
• $$x=1\text{,}$$dónde$$f(1,0)=g(1)=2\text{,}$$ o cuándo
• $$0=g'(x) = -4x+2$$para que$$x=\frac{1}{2}\text{,}$$$$y=2-\frac{2}{2}=1$$ y

$f(\frac{1}{2},1)=g(\frac{1}{2})=-\frac{2}{4}+\frac{2}{2}+2 =\frac{5}{2} \nonumber$

En conjunto, tenemos los siguientes candidatos para max y min, con el max y el min indicados.

 punto $$(0,0)$$ $$(0,2)$$ $$(1,0)$$ $$(\frac{1}{2},1)$$ valor de$$f$$ 0 2 2 $$\frac{5}{2}$$ min max

##### Ejemplo 2.9.25

Encuentra los puntos altos y bajos de la superficie$$\ z=\sqrt{x^2+y^2}\$$ con$$(x,y)$$ variación sobre el cuadrado$$\ |x|\le 1\text{,}$$$$|y|\le 1\ \text{.}$$

Solución

La función$$\ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\$$ tiene una interpretación geométrica particularmente simple — es la distancia desde el punto$$(x,y)$$ hasta el origen. Entonces

• el mínimo de$$f(x,y)$$ se alcanza en el punto de la plaza que está más cerca del origen —es decir, el origen mismo. Así$$(0,0,0)$$ es el punto más bajo en la superficie y está en altura$$0\text{.}$$
• El máximo de$$f(x,y)$$ se logra en los puntos del cuadrado que están más alejados del origen —es decir, las cuatro esquinas del cuadrado$$\big(\pm 1,\pm 1\big)\text{.}$$ En esos cuatro puntos$$z=\sqrt{2}\text{.}$$ Así que los puntos más altos de la superficie son$$(\pm 1,\pm 1,\sqrt{2})\text{.}$$

A pesar de que ya hemos respondido a esta pregunta, será instructivo ver qué habríamos encontrado si hubiéramos seguido nuestro protocolo habitual. Las derivadas parciales de$$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$ se definen para$$(x,y)\ne (0,0)$$ y son

$f_x(x,y) =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad f_y(x,y) =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \nonumber$

• No hay puntos críticos porque
• $$f_x=0$$solo para$$x=0\text{,}$$ y
• $$f_y=0$$solo para$$y=0\text{,}$$ pero
• $$(0,0)$$no es un punto crítico porque$$f_x$$ y no$$f_y$$ están definidos ahí.
• Hay un punto singular — a saber$$(0,0)\text{.}$$ El valor mínimo de$$f$$ se logra en el punto singular.
• El límite de la plaza consta de sus cuatro lados. Un lado es

$\left \{(x,y)|x=1,\ -1\le y\le 1 \right \} \nonumber$

De este lado$$f=\sqrt{1+y^2}\text{.}$$ As$$\sqrt{1+y^2}$$ aumenta con$$|y|\text{,}$$ el menor valor de$$f$$ en ese lado es$$1$$ (cuando$$y=0$$) y el mayor valor de$$f$$ es$$\sqrt{2}$$ (cuando$$y=\pm 1$$). Lo mismo sucede en los otros tres lados. El valor máximo de$$f$$ se logra en las cuatro esquinas. Tenga en cuenta que$$f_x$$ y ambos$$f_y$$ son distintos de cero en las cuatro esquinas.

## Ejercicios

### Etapa 1

##### 1 ✳

a. Algunas curvas de nivel de una función$$f(x,y)$$ se trazan en el$$xy$$ plano —abajo.

Para cada una de las cuatro declaraciones a continuación, circule las letras de todos los puntos en el diagrama donde aplique la situación. Por ejemplo, si el enunciado fuera “Estos puntos están en el$$y$$ eje —”, cerraría en círculo ambos$$P$$ y$$U\text{,}$$ pero ninguna de las otras letras. Se puede suponer que un máximo local ocurre en el punto$$T\text{.}$$

\begin{align*} \text{(i) }& \vec{n}abla f\text{ is zero} & &\text{P R S T U}\\ \text{(ii) }& f \text{ has a saddle point} & &\text{P R S T U}\\ \text{(iii) }& \text{ the partial derivative f_y is positive} & &\text{P R S T U}\\ \text{(iv) }& \text{ the directional derivative of f in the direction \left \langle 0,-1 \right \rangle is} & &\text{P R S T U}\\ & \text{ negative} & & \end{align*}

b. El siguiente diagrama muestra tres “$$y$$trazas” de una gráfica$$z=F(x,y)$$ trazada en$$xz$$ —ejes. (A saber, las intersecciones de la superficie$$z=F(x,y)$$ con los tres planos ($$y=1.9\text{,}$$$$y=2\text{,}$$$$y=2.1$$). Para cada declaración a continuación, encierra en un círculo la palabra correcta.

\begin{align*} \text{(i) }& \text{ the first order partial derivative F_x(1,2) is} & & \text{positive/negative/zero}\\ \text{(ii) }& F \text{ has a critical point at } (2,2) & &\text{true/false}\\ \text{(iii) }& \text{ the second order partial derivative F_{xy}(1,2) is} & &\text{positive/negative/zero} \end{align*}

##### 2

Encuentra los puntos altos y bajos de la superficie$$\ z=\sqrt{x^2+y^2}\$$ con$$(x,y)$$ variación sobre el cuadrado$$\ |x|\le 1\text{,}$$$$|y|\le 1\ \text{.}$$ Discutir los valores de$$\ z_x,\ z_y\$$ ahí. No evalúe ningún derivado al responder a esta pregunta.

##### 3

Si$$t_0$$ es un mínimo o máximo local de la función suave$$\ f(t)\$$ de una variable ($$t$$recorre todos los números reales), entonces$$\ f'(t_0)=0.$$ Derive una condición necesaria análoga$$\vec{x}_0$$ para ser un mínimo o máximo local de la función suave$$\ g(\vec{x})\$$ restringida a puntos en la línea$$\ \vec{x}=\vec{a}+t\vec{d}\ .$$ La prueba debe involucrar el gradiente de$$g(\vec{x})\text{.}$$

### Etapa 2

##### 4 ✳

Let$$z = f(x,y) = {(y^2 - x^2)}^2\text{.}$$

1. Haga un boceto razonablemente preciso de las curvas de nivel en el$$xy$$ plano —de$$z = f(x,y)$$ for$$z = 0\text{,}$$$$1$$ y$$16\text{.}$$ Asegúrese de mostrar las unidades en los ejes de coordenadas.
2. Verifique que$$(0,0)$$ sea un punto crítico para$$z = f(x,y)\text{,}$$ y determine a partir de la parte (a) o directamente a partir de la fórmula para determinar$$f(x,y)$$ si$$(0, 0)$$ es un mínimo local, un máximo local o un punto de sillín.
3. ¿Se puede utilizar la Prueba de Segunda Derivada para determinar si el punto crítico$$(0, 0)$$ es un mínimo local, un máximo local o un punto de sillín? Da razones para tu respuesta.
##### 5 ✳

Utilice la Prueba de Segunda Derivada para encontrar todos los valores de la constante$$c$$ para la cual la función$$z = x^2 + cxy + y^2$$ tiene un punto de sillín en$$(0,0)\text{.}$$

##### 6 ✳

Buscar y clasificar todos los puntos críticos de la función

$f(x, y) = x^3 - y^3 - 2xy + 6. \nonumber$

##### 7 ✳

Encuentra todos los puntos críticos para$$f(x,y) = x(x^2 + xy + y^2 - 9)\text{.}$$ También averigua cuáles de estos puntos dan valores máximos locales para los$$f(x,y)\text{,}$$ cuales dan valores mínimos locales, y cuáles dan puntos de sillín.

##### 8 ✳

Encuentra los valores más grandes y más pequeños de$$x^2 y^2 z$$ en la parte del plano$$2x + y + z = 5$$ donde$$x \ge 0\text{,}$$$$y \ge 0$$ y$$z \ge 0\text{.}$$ también encuentra todos los puntos donde ocurren esos valores extremos.

##### 9

Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$f(x,y)=x^2+y^2+x^2y+4\text{.}$$

##### 10 ✳

Encuentra todos los puntos de sillín, mínimos locales y máximos locales de la función

$f(x,y) = x^3 + x^2 - 2xy + y^2 - x. \nonumber$

##### 11 ✳

Para la superficie

$z = f (x, y) = x^3 + xy^2 - 3x^2 - 4y^2 + 4 \nonumber$

Encuentre y clasifique [como máximos locales, mínimos locales o puntos de sillín] todos los puntos críticos de$$f(x,y)\text{.}$$

##### 12

Encuentra los valores máximo y mínimo de$$f(x,y)=xy-x^3y^2$$ cuando$$(x,y)$$ se ejecuta sobre el cuadrado$$0\le x\le 1\text{,}$$$$0\le y\le 1\text{.}$$

##### 13

La temperatura en todos los puntos del disco$$x^2+y^2\le 1$$ viene dada por$$T(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}\text{.}$$ Encuentra las temperaturas máximas y mínimas en puntos del disco.

##### 14 ✳
1. Para la función$$z = f (x, y) = x^3 + 3xy + 3y^2 - 6x - 3y - 6\text{.}$$ Buscar y clasificar como [máximos locales, mínimos locales o puntos de sillín] todos los puntos críticos de$$f(x, y)\text{.}$$
2. Las imágenes a continuación representan conjuntos$$f (x, y) = c$$ de niveles de las funciones en la lista en alturas$$c = 0, 0.1, 0.2, \ldots , 1.9, 2\text{.}$$ Etiquete las imágenes con la función correspondiente y marque los puntos críticos en cada imagen. (Tenga en cuenta que en algunos casos, los puntos críticos podrían no estar dibujados ya en las imágenes. En esos casos debes agregarlos a la imagen.)
1. $$\displaystyle f(x, y) = (x^2 + y^2 - 1)(x - y) + 1$$
2. $$\displaystyle f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$
3. $$\displaystyle f(x, y) = y(x + y)(x - y) + 1$$
4. $$\displaystyle f(x, y) = x^2 + y^2$$

##### 15 ✳

Deje que la función

$f(x,y) = x^3+3xy+3y^2-6x-3y-6 \nonumber$

Clasificar como máximos$$\big[$$ locales, mínimos o puntos de sillín$$\big]$$ todos los puntos críticos de$$f(x,y)\text{.}$$

##### 16 ✳

Let$$h(x, y) = y(4 - x^2 - y^2)\text{.}$$

1. Encuentra y clasifica los puntos críticos$$h(x, y)$$ como máximos locales, mínimos locales o puntos de sillín.
2. Encuentra los valores máximos y mínimos de$$h(x, y)$$ en el disco$$x^2 + y^2 \le 1\text{.}$$
##### 17 ✳

Encuentra los valores máximos y mínimos absolutos de la función$$f(x, y) = 5 + 2x - x^2 - 4y^2$$ en la región rectangular

$R = \left \{ (x, y)| -1 \le x \le 3,\ -1 \le y \le 1\right \} \nonumber$

##### 18 ✳

Encuentra el mínimo de la función$$h(x,y) = -4x - 2y + 6$$ en el dominio delimitado cerrado definido por$$x^2 + y^2 \le 1\text{.}$$

##### 19 ✳

Let$$f(x,y) = xy(x + y - 3)\text{.}$$

1. Encuentre todos los puntos críticos$$f\text{,}$$ y clasifique cada uno como un máximo local, un mínimo local o un punto de sillín.
2. Encontrar la ubicación y el valor del máximo absoluto y mínimo de$$f$$ en la región triangular$$x \ge 0\text{,}$$$$y \ge 0\text{,}$$$$x + y \le 8\text{.}$$
##### 20 ✳

Encuentre y clasifique los puntos críticos de$$f(x,y) = 3x^2 y + y^3 - 3x^2 - 3y^2 + 4\text{.}$$

##### 21 ✳

Considera la función

$f(x,y)=2x^3 - 6xy + y^2 +4y \nonumber$

1. Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$f(x,y)\text{.}$$
2. Encuentra los valores máximos y mínimos de$$f(x,y)$$ en el triángulo con vértices$$(1,0)\text{,}$$$$(0,1)$$ y$$(1,1)\text{.}$$
##### 22 ✳

Encuentre todos los puntos críticos de la función$$f(x,y)=x^4+y^4-4xy+2\text{,}$$ y para cada uno determine si se trata de un punto local mínimo, máximo o sillín.

##### 23 ✳

Let

$f(x,y)=xy(x+2y-6) \nonumber$

1. Encuentra cada punto crítico$$f(x,y)$$ y clasifica cada uno.
2. Dejar$$D$$ ser la región en el plano entre la hipérbola$$xy=4$$ y la línea$$x+2y-6=0\text{.}$$ Encuentra los valores máximos y mínimos de$$f(x,y)$$ on$$D\text{.}$$
##### 24 ✳

Encuentra todos los puntos críticos de la función

$f(x,y)=x^4+y^4-4xy \nonumber$

definido en el$$xy$$ plano -. Clasifique cada punto crítico como mínimo local, máximo o punto de sillín.

##### 25 ✳

Una placa metálica está en forma de disco semicircular delimitado por el$$x$$ -eje y la mitad superior de$$x^2+y^2=4\text{.}$$ La temperatura en el punto$$(x,y)$$ viene dada por$$T(x,y)=\ln\big(1+x^2+y^2\big)-y\text{.}$$ Encuentra el punto más frío de la placa, explicando tus pasos cuidadosamente. (Nota:$$\ln 2\approx 0.693\text{,}$$$$\ln 5\approx 1.609$$)

##### 26 ✳

Encuentra todos los puntos críticos de la función

$f(x,y)=x^3+xy^2-x \nonumber$

definido en el$$xy$$ plano -. Clasifique cada punto crítico como mínimo local, máximo o punto de sillín. Explica tu razonamiento.

##### 27 ✳

Considere la función$$g(x,y)=x^2-10y-y^2 .$$

1. Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$g\text{.}$$
2. Encuentra el extremo absoluto de$$g$$ en la región delimitada dada por

$x^2+4y^2\le 16,\ y\le 0 \nonumber$

##### 28 ✳

Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de

$f(x,y)=x^3-3xy^2-3x^2-3y^2 \nonumber$

##### 29 ✳

Encuentra el valor máximo de

$f(x, y) = xye^{-(x^2 + y^2) / 2} \nonumber$

en el cuarto de círculo$$D = \left \{(x, y)| x^2 + y^2 \le 4,\ x\ge0,\ y\ge 0\right \}\text{.}$$

##### 30

Las curvas de igual ángulo se realizan a distancias iguales de los dos extremos de una cerca de 100 metros de largo, de manera que la cerca de tres segmentos resultante se puede colocar a lo largo de una pared existente para hacer un cerramiento de forma trapezoidal. ¿Cuál es el área más grande posible para tal recinto?

##### 31

Encuentra la forma más económica de una caja rectangular que tenga un volumen fijo$$V$$ y que no tenga tapa.

### Etapa 3

##### 32 ✳

La temperatura$$T(x,y)$$ en un punto del$$xy$$ plano —viene dada por

$T(x,y) = 20 - 4x^2 - y^2 \nonumber$

1. Encuentra los valores máximos y mínimos de$$T(x,y)$$ en el disco$$D$$ definidos por$$x^2 + y^2 \le 4\text{.}$$
2. Supongamos que una hormiga vive en el disco ¿$$D\text{.}$$Si la hormiga está inicialmente$$(1, 1)\text{,}$$ en el punto en que dirección debe moverse para aumentar su temperatura lo más rápido posible?
3. Supongamos que la hormiga se mueve a una velocidad$$\vec{v} = \left \langle -2, -1 \right \rangle\text{.}$$ ¿Cuál es su tasa de aumento de la temperatura a medida que pasa a través$$(1, 1)\text{?}$$
4. Supongamos que la hormiga está obligada a permanecer en la curva$$y = 2 - x^2\text{.}$$ ¿A dónde debe ir la hormiga si quiere estar lo más cálida posible?
##### 33 ✳

Considera la función

$f (x,y) = 3kx^2 y + y^3 - 3x^2 - 3y^2 + 4 \nonumber$

donde$$k \gt 0$$ es una constante. Encuentra y clasifica todos los puntos críticos de$$f(x,y)$$ como mínimos locales, máximos locales, puntos de sillín o puntos de tipo indeterminado. Distinguir cuidadosamente los casos$$k \lt \frac{1}{2}\text{,}$$$$k = \frac{1}{2}$$ y$$k \gt \frac{1}{2}\text{.}$$

##### 34 ✳
1. Demostrar que la función$$f(x,y)=2x+4y+\frac{1}{xy}$$ tiene exactamente un punto crítico en el primer cuadrante$$x \gt 0\text{,}$$$$y \gt 0\text{,}$$ y encontrar su valor en ese punto.
2. Utilice la segunda prueba derivada para clasificar el punto crítico en la parte (a).
3. De ahí explicar por qué la desigualdad$$2x+4y+\frac{1}{xy}\ge 6$$ es válida para todos los números reales positivos$$x$$ y$$y\text{.}$$
##### 35

Un experimento produce puntos de datos$$\ (x_i,y_i),\ i=1,2,\cdots,n.$$ Deseamos encontrar la línea recta$$\ y=mx+b\$$ que “mejor” se ajuste a los datos. La definición de “mejor” es “minimiza el error cuadrático medio”, es decir, minimiza$$\ \sum_{i=1}^n (mx_i+b-y_i)^2\text{.}$$ Find$$m$$ y$$b\text{.}$$

1. La vida no es (siempre) unidimensional y a veces tenemos que abrazarla.
2. O quizás te lo pidió tu instructor.
3. Recordemos que si$$h\lt 0$$ y$$A\le B\text{,}$$ entonces$$hA\ge hB\text{.}$$ Esto se debe a que el producto de cualesquiera dos números negativos es positivo, por lo que$$h\lt 0,\ A\le B \implies A-B\le 0 \implies h(A-B)\ge 0 \implies hA\ge hB\text{.}$$
4. Un error muy común de lógica que comete la gente es “Afirmar lo consecuente”. “Si P entonces Q” es cierto, no implica que “Si Q entonces P” es cierto. Es cierta la afirmación “Si es Shakespeare entonces está muerto”. Pero concluir de “Ese hombre está muerto” que “Él debe ser Shakespeare” es simplemente una tontería.
5. Y también se vio, por ejemplo en el Ejemplo 3.6.4 del texto CLP-1, que los puntos críticos que también son puntos de inflexión no son ni máximos locales ni mínimos locales.
6. Aquí tenemos ambos tipos de música: country y western.
7. Este tipo de cosas es generalmente ilegal.
8. Perdón por el juego de palabras.
9. Prueba por motor de búsqueda.
10. Y se ha utilizado desde hace mucho tiempo. Fue introducido por el matemático francés Adrien-Marie Legendre, 1752—1833, en 1805, y por el matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss, 1777—1855, en 1809.
11. Esto equivale a traducir la gráfica para que el punto crítico se encuentre en$$(0,0)\text{.}$$
12. Hay resultados análogos en dimensiones superiores que son accesibles para personas que han aprendido algo de álgebra lineal. Se derivan diagonalizando la matriz de segundas derivadas, que se denomina matriz hessiana.
13. Los grilletes de la convención no se limitan a las matemáticas. Las boletas electorales suelen tener a los candidatos listados en orden alfabético.
14. En efecto, uno puede utilizar los hechos$$0 \lt x \lt \infty\text{,}$$ que eso$$0 \lt y \lt \infty\text{,}$$$$x\rightarrow 0$$ y aquello$$S\rightarrow\infty$$ como$$y\rightarrow 0$$ y como$$x\rightarrow \infty$$ y como$$y\rightarrow\infty$$ para demostrar que el único punto crítico da el mínimo global.
15. Recordemos que “valor extremo” significa “ya sea valor máximo o valor mínimo”.
16. Recordemos que si$$f'(a)$$ no existe, entonces$$a$$ se llama un punto singular de$$f\text{.}$$
17. Este es probablemente un buen momento para revisar el enunciado del Teorema 2.9.2.
18. Debería intuitivamente obvio a partir de un boceto que el límite del disco$$x^2+y^2\le 1$$ es el círculo$$x^2+y^2=1\text{.}$$ Pero si realmente necesitas una definición formal, aquí está. Un punto$$(a,b)$$ está en el límite de un conjunto$$S$$ si hay una secuencia de puntos en$$S$$ que converge a$$(a,b)$$ y también hay una secuencia de puntos en el complemento de$$S$$ que converge para$$(a,b)\text{.}$$
19. En realidad encontramos los puntos críticos en el Ejemplo 2.9.19. Pero, para comodidad del lector, vamos a repetirlo aquí.
20. Aunque no creas que “no puedes tener demasiadas herramientas”, es bastante peligroso tener que depender de una sola herramienta.
21. Si también contuviera facultades extrañas, podríamos considerar los casos$$y\ge 0$$ y$$y\le 0$$ separadamente y sustituirlos$$y=\sqrt{1-x^2}$$ en el primero y$$y=-\sqrt{1-x^2}$$ en el segundo.
22. Encontramos$$(2,0)$$ como solución a las ecuaciones de punto crítico (E1), (E2). Eso es porque, en el curso de resolver esas ecuaciones, ignoramos la restricción de que$$x^2+y^2\le 1\text{.}$$
23. Para ser quisquilloso, cualquier línea el$$xy$$ -plano que no es paralelo al$$y$$ eje.
24. En el tercer método,$$x$$ acaba de ser renombrado a$$t\text{.}$$

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