2.10: Multiplicadores Lagrange
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Un problema de la forma
- “Encuentra los valores máximos y mínimos de la función\(f(x,y)\) para\((x,y)\) en la curva\(g(x,y)=0\text{.}\)”
es un tipo de problema de optimización restringida. La función al ser maximizada o minimizada,\(f(x,y)\text{,}\) se llama la función objetiva. La función,\(g(x,y)\text{,}\) cuyo conjunto cero es la curva de interés, se llama función de restricción.
Tales problemas son bastante comunes. Como dijimos anteriormente, ya los hemos encontrado en la última sección sobre máximos y mínimos absolutos, cuando buscábamos los valores extremos de una función en el límite de una región. En economía se utilizan “funciones de utilidad” para modelar la relativa “utilidad” o “deseabilidad” o “preferencia” de diversas opciones económicas. Por ejemplo, una función de utilidad\(U(w,\kappa)\) podría especificar el nivel relativo de satisfacción que un consumidor obtendría al comprar una cantidad\(w\) de vino y\(\kappa\) de café. Si el consumidor quiere gastar $100 y el vino cuesta $20 por unidad y el café cuesta $5 por unidad, entonces al consumidor le gustaría maximizar\(U(w,\kappa)\) sujeto a la restricción de que\(20w+5\kappa=100\text{.}\)
A este punto siempre hemos resuelto tales problemas de optimización restringidos ya sea por
- resolver\(g(x,y)=0\) para\(y\) como una función de\(x\) (o para\(x\) como una función de\(y\)) o por
- parametrizar la curva\(g(x,y)=0\text{.}\) Esto significa escribir todos los puntos de la curva en la forma\(\big(x(t), y(t)\big)\) para algunas funciones\(x(t)\) y\(y(t)\text{.}\) Por ejemplo usamos\(x(t)=\cos t\text{,}\)\(y(t)=\sin t\) como parametrización del círculo\(x^2+y^2=1\) en el Ejemplo 2.9.21.
Sin embargo, muy a menudo la función\(g(x,y)\) es tan complicada que uno no puede resolver explícitamente\(g(x,y)=0\) para\(y\) como una función de\(x\) o para\(x\) como una función de\(y\) y tampoco se puede parametrizar explícitamente\(g(x,y)=0\text{.}\) O a veces se puede, por ejemplo, resolver\(g(x,y)=0\) para \(y\)en función de\(x\text{,}\) pero la solución resultante es tan complicada que es realmente difícil, o incluso prácticamente imposible, trabajar con ella. Los ataques directos se vuelven aún más duros en dimensiones superiores cuando, por ejemplo, deseamos optimizar una función\(f(x,y,z)\) sujeta a una restricción\(g(x,y,z)=0\text{.}\)
Hay otro procedimiento llamado el método de “multiplicadores Lagrange” 1 que viene a nuestro rescate en estos escenarios. Aquí está la versión tridimensional del método. Hay análogos obvios es otras dimensiones.
Dejar\(f(x,y,z)\) y\(g(x,y,z)\) tener continuas primeras derivadas parciales en una región de\(\mathbb{R}^3\) que contiene la superficie\(S\) dada por la ecuación\(g(x,y,z)=0\text{.}\) Además, supongamos que\(\nabla g(x,y,z)\ne\textbf{0}\) en\(S\text{.}\)
Si\(f\text{,}\) se restringe a la superficie\(S\text{,}\) tiene un valor extremo local\((a,b,c)\) en el punto\(S\text{,}\) entonces hay un número real\(\lambda\) tal que
es decir
\ begin {align*} f_x (a, b, c) &=\ lambda\, g_x (a, b, c)\\ f_y (a, b, c) &=\ lambda\, g_y (a, b, c)\\ f_z (a, b, c) &=\ lambda\, g_z (a, b, c)\ end {align*}El número\(\lambda\) se llama multiplicador Lagrange.
-
Supongamos que\((a,b,c)\) es un punto de\(S\) y que\(f(x,y,z)\ge f(a,b,c)\) para todos los puntos\((x,y,z)\) sobre\(S\) que están cerca de\((a,b,c)\text{.}\) Eso\((a,b,c)\) es es un mínimo local para\(f\) el Por\(S\text{.}\) supuesto que el argumento para un máximo local es prácticamente idéntico.
Imagínese que vamos a dar un paseo\(S\text{,}\) con el tiempo\(t\) corriendo, digamos, de\(t=-1\) a\(t=+1\) y que en el momento\(t=0\) nos pasa a estar exactamente en\((a,b,c)\text{.}\) Digamos que nuestra posición es\(\big(x(t),y(t),z(t)\big)\) en el momento\(t\text{.}\)
Escribir
\[ F(t) = f\big(x(t),y(t),z(t)\big) \nonumber \]
Así\(F(t)\) es el valor de lo\(f\) que vemos en nuestro paseo a la hora\(t\text{.}\) Entonces para todos\(t\) cerca\(0\text{,}\)\(\big(x(t),y(t),z(t)\big)\) está cerca de para\(\big(x(0),y(0),z(0)\big)=(a,b,c)\) que
\[ F(0) = f\big(x(0),y(0),z(0)\big) = f(a,b,c) \le f\big(x(t),y(t),z(t)\big) =F(t) \nonumber \]
para todos\(t\) cerca de cero. Así que\(F(t)\) tiene un mínimo local en\(t=0\) y consecuentemente\(F'(0)=0\text{.}\)
Por la regla de la cadena, Teorema 2.4.1,
\[\begin{align*} F'(0) &= \frac{d}{dt}f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\Big|_{t=0}\\ &=f_x\big(a,b,c\big) x'(0)+f_y\big(a,b,c\big) y'(0) +f_z\big(a,b,c\big) z'(0) =0 \tag{$*$} \end{align*}\]
Podemos reescribir esto como un producto punto:
\[\begin{align*} &0=F'(0)=\nabla f(a,b,c)\cdot\left \langle x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right \rangle\\ &\implies \vec{n}abla f(a,b,c) \perp \left \langle x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right \rangle \end{align*}\]
Esto es cierto para todos los caminos en los\(S\) que pasan\((a,b,c)\) a través\(0\text{.}\) en el tiempo En particular, es cierto para todos los vectores\(\left \langle x'(0)\,,\,y'(0)\,,\,z'(0) \right \rangle\) que son tangentes a\(S\) at\((a,b,c)\text{.}\) Así\(\nabla f(a,b,c)\) es perpendicular a\(S\) at\((a,b,c)\text{.}\)
Pero ya sabemos, por Teorema 2.5.5.a, que también\(\nabla g(a,b,c)\) es perpendicular a\(S\) al\((a,b,c)\text{.}\) So\(\nabla f(a,b,c)\) y\(\nabla g(a,b,c)\) tienen que ser vectores paralelos. Es decir,
\[ \nabla f(a,b,c) = \lambda \nabla g(a,b,c) \nonumber \]
para algún número\(\lambda\text{.}\) Esa es la regla del multiplicador Lagrange de nuestro teorema.
Entonces, para encontrar los valores máximo y mínimo de\(f(x,y,z)\) en una superficie\(g(x,y,z)=0\text{,}\) asumiendo que tanto la función\(f(x,y,z)\) objetiva como la función de restricción\(g(x,y,z)\) tienen primeras derivadas parciales continuas y\(\nabla g(x,y,z)\ne\textbf{0}\text{,}\) que
- construir una lista de puntos candidatos\((x,y,z)\) encontrando todas las soluciones a las ecuaciones
\[\begin{align*} f_x(x,y,z) &= \lambda\, g_x(x,y,z)\\ f_y(x,y,z) &= \lambda\, g_y(x,y,z)\\ f_z(x,y,z) &= \lambda\, g_z(x,y,z)\\ g(x,y,z)&=0 \end{align*}\]
Tenga en cuenta que hay cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, a saber\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\) y\(\lambda\text{.}\) - Después evalúas\(f(x,y,z)\)\((x,y,z)\) en cada uno de la lista de candidatos. El mayor de estos valores candidatos es el máximo absoluto y el más pequeño de estos valores candidatos es el mínimo absoluto.
Otra forma de escribir el sistema de ecuaciones en el primer paso es
\[ L_x(a,b,c,\lambda) = L_y(a,b,c,\lambda) = L_z(a,b,c,\lambda) = L_\lambda(a,b,c,\lambda) = 0 \nonumber \]
donde\(L(x,y,z,\lambda)\) esta la función auxiliar 2 3.
\[ L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda\, g(x,y,z) \nonumber \]
Ahora para un montón de ejemplos.
Encuentra el máximo y mínimo de la función\(x^2-10x-y^2\) en la elipse cuya ecuación es\(x^2+4y^2= 16\text{.}\)
Solución
Para este problema la función objetiva es\(f(x,y) = x^2-10x-y^2\) y la función de restricción es\(g(x,y)=x^2+4y^2-16\text{.}\) Para aplicar el método de multiplicadores Lagrange necesitamos\(\nabla f\) y\(\nabla g\text{.}\) Así empezamos por computar las derivadas de primer orden de estas funciones.
\[ f_x=2x-10\qquad f_y=-2y\qquad g_x=2x\qquad g_y=8y \nonumber \]
Entonces, según el método de los multiplicadores Lagrange, necesitamos encontrar todas las soluciones para
\[\begin{align*} 2x-10&=\lambda (2x)\\ -2y&=\lambda (8y)\\ x^2+4y^2-16&=0 \end{align*}\]
La reordenación de estas ecuaciones da
\[\begin{align*} (\lambda -1)x&=-5 \tag{E1}\\ (4\lambda+1)y&=0 \tag{E2}\\ x^2+4y^2-16&=0 \tag{E3} \end{align*}\]
Desde (E2), vemos que debemos tener cualquiera\(\lambda=-\frac{1}{4}\) o\(y=0\text{.}\)
- Si\(\lambda=-\frac{1}{4}\text{,}\) (E1) da\(-\frac{5}{4}x=-5\text{,}\)\(x=4\text{,}\) i.e. Y luego (E3) da\(y=0\text{.}\)
- Si\(y=0\text{,}\) entonces (c) da\(x=\pm 4\) (y aunque podríamos usar fácilmente (E1) para resolver porque en realidad no\(\lambda\text{,}\) necesitamos\(\lambda\)).
Entonces el método de multiplicadores Lagrange, Teorema 2.10.2 (en realidad la dimensión dos versión del Teorema 2.10.2), da que las únicas ubicaciones posibles del máximo y mínimo de la función\(f\) son\((4,0)\) y\((-4,0)\text{.}\) Para completar el problema, sólo tenemos que computar\(f\) en esos puntos.
punto | \((4,0)\) | \((-4,0)\) |
valor de\(f\) | \(-24\) | \(56\) |
min | max |
Por lo tanto, el valor máximo de\(x^2-10x-y^2\) en la elipse es\(56\) y el valor mínimo es\(-24\text{.}\)
En el ejemplo anterior, se especificaron explícitamente la función objetiva y la restricción. Ese no siempre será el caso. En el siguiente ejemplo, tenemos que hacer un poco de geometría para extraerlos.
Encuentra el rectángulo del área más grande (con lados paralelos a los ejes de coordenadas) que se puede inscribir en la elipse\(x^2+2y^2=1\text{.}\)
Solución
Dado que esta pregunta es tan geométrica, lo mejor es comenzar por dibujar un cuadro.
Llama a las coordenadas de la esquina superior derecha del rectángulo\((x,y)\text{,}\) como en la figura anterior. Las cuatro esquinas del rectángulo son\((\pm x, \pm y)\) así que el rectángulo tiene ancho\(2x\) y alto\(2y\) y la función objetiva es\(f(x,y) = 4xy\text{.}\) La función de restricción para este problema es\(g(x,y)=x^2+2y^2-1\text{.}\) De nuevo, para usar multiplicadores Lagrange necesitamos las derivadas parciales de primer orden.
\[ f_x=4y\qquad f_y=4x\qquad g_x=2x\qquad g_y=4y \nonumber \]
Entonces, según el método de los multiplicadores Lagrange, necesitamos encontrar todas las soluciones para
\[\begin{align*} 4y&=\lambda (2x) \tag{E1}\\ 4x&=\lambda (4y) \tag{E2}\\ x^2+2y^2-1&=0 \tag{E3} \end{align*}\]
La ecuación (E1) da\(y=\frac{1}{2}\lambda x\text{.}\) Sustituir esto en la ecuación (E2) da
\[\begin{gather*} 4x=2\lambda^2 x \qquad\text{or}\qquad 2x\big(2-\lambda^2\big)=0 \end{gather*}\]
Entonces (E2) está satisfecho si\(x=0\) o\(\lambda=\sqrt{2}\) o\(\lambda=-\sqrt{2}\text{.}\)
- Si\(x=0\text{,}\) entonces (E1) da\(y=0\) también. Pero\((0,0)\) viola la ecuación de restricción (E3). Tenga en cuenta que, para tener una solución, deben satisfacerse todas las ecuaciones (E1), (E2) y (E3).
- Si\(\lambda=\sqrt{2}\text{,}\) entonces
- (E2) da\(x=\sqrt{2}y\) y luego
- (E3) da\(2y^2+2y^2=1\) o\(y^2=\frac{1}{4}\) así que
- \(y=\pm\frac{1}{2}\)y\(x=\sqrt{2}y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\)
- Si\(\lambda=-\sqrt{2}\text{,}\) entonces
- (E2) da\(x=-\sqrt{2}y\) y luego
- (E3) da\(2y^2+2y^2=1\) o\(y^2=\frac{1}{4}\) así que
- \(y=\pm\frac{1}{2}\)y\(x=-\sqrt{2}y=\mp\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\)
Ahora tenemos cuatro valores posibles de\((x,y)\text{,}\) a saber\(\big(\frac{1}{\sqrt{2}}\,,\,\frac{1}{2}\big)\text{,}\)\(\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\,,\,-\frac{1}{2}\big)\text{,}\)\(\big(\frac{1}{\sqrt{2}}\,,\,-\frac{1}{2}\big)\) y\(\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}\,,\,\frac{1}{2}\big)\text{.}\) Ellos son las cuatro esquinas de un solo rectángulo. Dijimos que queríamos\((x,y)\) ser la esquina superior derecha, es decir, la esquina en el primer cuadrante. Es\(\big(\frac{1}{\sqrt{2}}\,,\,\frac{1}{2}\big)\text{.}\)
Encuentra los extremos de los ejes mayor y menor de la elipse\(3x^2-2xy+3y^2=4\text{.}\) Son los puntos de la elipse que están más alejados y más cercanos al origen.
Solución
Dejar\((x,y)\) ser un punto en\(3x^2-2xy+3y^2=4\text{.}\) Este punto se encuentra al final de un eje mayor cuando maximiza su distancia desde el centro,\((0,0)\) de la elipse. Está al final de un eje menor cuando minimiza su distancia de\((0,0)\text{.}\) Así que deseamos maximizar y minimizar la distancia\(\sqrt{x^2+y^2}\) sujeta a la restricción
\[ g(x,y)=3x^2-2xy+3y^2-4=0 \nonumber \]
Ahora maximizar/minimizar\(\sqrt{x^2+y^2}\) es equivalente 4 a maximizar/minimizar su cuadrado\(\big(\sqrt{x^2+y^2}\big)^2=x^2+y^2\text{.}\) Así que somos libres de elegir la función objetivo
\[ f(x,y)=x^2+y^2 \nonumber \]
lo que vamos a hacer, porque hace que los derivados sean más limpios. Nuevamente, utilizamos multiplicadores Lagrange para resolver este problema, por lo que comenzamos por encontrar las derivadas parciales.
\[ f_x(x,y)=2x\quad f_y(x,y)=2y \quad g_x(x,y)=6x-2y\quad g_y(x,y)=-2x+6y \nonumber \]
Necesitamos encontrar todas las soluciones para
\[\begin{align*} 2x&=\lambda (6x-2y)\\ 2y&=\lambda (-2x+6y)\\ 3x^2-2xy+3y^2-4&=0 \end{align*}\]
Dividiendo las dos primeras ecuaciones por\(2\text{,}\) y luego reuniendo las\(x\) 's y las\(y\)' s da
\[\begin{align*} (1-3\lambda)x+\lambda y&=0 \tag{E1}\\ \lambda x+(1-3\lambda)y&=0 \tag{E2}\\ 3x^2-2xy+3y^2-4&=0 \tag{E3} \end{align*}\]
Para comenzar, concentrémonos en las dos primeras ecuaciones. Pretender, por un par de minutos, que ya conocemos el valor de\(\lambda\) y estamos tratando de encontrar\(x\) y\(y\text{.}\) Note que\(\lambda\) no puede ser cero porque si lo es, (E1) fuerzas\(x=0\) y (E2) fuerzas\(y=0\) y no\((0,0)\) está en la elipse, es decir viola (E3). Así que podemos dividir por\(\lambda\) y (E1) da
\[ y=-\frac{1-3\lambda}{\lambda}x \nonumber \]
Subbing esto en (E2) da
\[ \lambda x-\frac{(1-3\lambda)^2}{\lambda}x=0 \nonumber \]
Nuevamente,\(x\) no puede ser cero, ya que entonces\(y=-\frac{1-3\lambda}{\lambda}x\) daría\(y=0\) y todavía no\((0,0)\) está en la elipse.
Así que podemos dividir\(\lambda x-\frac{(1-3\lambda)^2}{\lambda}x=0\)\(x\text{,}\) dando
\[\begin{align*} \lambda -\frac{(1-3\lambda)^2}{\lambda}=0 &\iff (1-3\lambda)^2-\lambda^2=0\\ &\iff 8\lambda^2-6\lambda+1 =(2\lambda-1)(4\lambda-1)=0 \end{align*}\]
Ahora sabemos que\(\lambda\) debe ser\(\frac{1}{2}\) o\(\frac{1}{4}\text{.}\) Subbing estos en cualquiera de (E1) o (E2) da
\[\begin{alignat*}{3} \lambda&=\frac{1}{2} &\ \implies\ -\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} y&=0 &\ \implies\ x&=y\\ & &\ \overset{E3}{\implies}\ 3x^2-2x^2+3x^2&=4 &\ \implies\ x&=\pm 1\\ \lambda&=\frac{1}{4} &\ \implies\ \phantom{-}\frac{1}{4} x+\frac{1}{4} y&=0 &\ \implies\ x&=-y\\ & &\ \overset{E3}{\implies}\ 3x^2+2x^2+3x^2&=4 &\ \implies\ x&=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{alignat*}\]
Aquí “\(\overset{E3}{\implies}\)” indica que acabamos de usar (E3). Ahora tenemos\((x,y)=\pm (1,1)\text{,}\) desde\(\lambda=\frac{1}{2}\text{,}\) y\((x,y)=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) desde\(\lambda=\frac{1}{4}\text{.}\) La distancia de\((0,0)\) a\(\sqrt{2}\text{,}\) es\(\pm (1,1)\text{,}\) decir, es mayor que la distancia de\((0,0)\) a\(\pm\big(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\big)\text{,}\) saber\(1\text{.}\) Entonces los extremos de los ejes menores son\(\pm\big(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\big)\) y los extremos de los ejes mayores son\(\pm(1,1)\text{.}\) Esos extremos están bosquejados en la figura de abajo a la izquierda. Una vez que tenemos los extremos, es una cuestión fácil 5 bosquejar la elipse como en la figura de abajo a la derecha.
Encuentre los valores de\(w\ge0\) y\(\kappa\ge0\) que maximicen la función de utilidad
\[ U(w,\kappa) =6 w^{\frac{2}{3}}\kappa^{\frac{1}{3}} \qquad\text{subject to the constraint}\qquad 4w+2\kappa=12 \nonumber \]
Solución
La restricción\(4w+2\kappa=12\) es lo suficientemente simple como para que podamos usarla fácilmente para expresarla\(\kappa\) en términos de\(w\text{,}\) luego sustituir\(\kappa=6-2w\)\(U(w,\kappa)\text{,}\) y luego maximizar\(U(w,6-2w) = 6 w^{\frac{2}{3}}(6-2w)^{\frac{1}{3}}\) usando las técnicas de §3.5 en el libro de texto CLP-1.
Sin embargo, para fines prácticos, usaremos multiplicadores Lagrange con la función objetiva\(U(w,\kappa) =6 w^{\frac{2}{3}}\kappa^{\frac{1}{3}}\) y la función de restricción.\(g(w,\kappa)=4w+2\kappa-12\text{.}\) Las derivadas de primer orden de estas funciones son
\[ U_w=4w^{-\frac{1}{3}}\kappa^{\frac{1}{3}}\qquad U_\kappa=2w^{\frac{2}{3}}\kappa^{-\frac{2}{3}}\qquad g_w=4\qquad g_\kappa=2 \nonumber \]
Los valores límite\(w=0\) y\(\kappa=0\) dan utilidad\(0\text{,}\) que obviamente no va a ser la máxima utilidad. Por lo que basta con considerar únicamente máximos locales. Según el método de los multiplicadores Lagrange, necesitamos encontrar todas las soluciones para
\[\begin{alignat*}{1} 4w^{-\frac{1}{3}}\kappa^{\frac{1}{3}}&=4\lambda \tag{E1}\\ 2w^{\frac{2}{3}}\kappa^{-\frac{2}{3}}&=2\lambda \tag{E2}\\ 4w+2\kappa-12&=0 \tag{E3} \end{alignat*}\]
Entonces
- ecuación (E1) da\(\lambda=w^{-\frac{1}{3}}\kappa^{\frac{1}{3}}\text{.}\)
- Sustituyendo esto en (E2) da\(w^{\frac{2}{3}}\kappa ^{-\frac{2}{3}}=\lambda =w^{-\frac{1}{3}}\kappa^{\frac{1}{3}}\) y por lo tanto\(w=\kappa\text{.}\)
- Luego sustituyendo\(w=\kappa\) en (E3) da\(6\kappa=12\text{.}\)
Entonces\(w=\kappa=2\) y la máxima utilidad es\(U(2,2)=12\text{.}\)
Encuentra el punto en la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) que está más lejos\((1,2,3)\text{.}\)
Solución
Como antes, simplificamos el álgebra maximizando el cuadrado de la distancia en lugar de la distancia misma. Así que estamos para maximizar
\[ f(x,y,z) = (x-1)^2 +(y-2)^2 + (z-3)^2 \nonumber \]
sujeto a la restricción
\[ g(x,y,z)= x^2 + y^2 + z^2 -1=0 \nonumber \]
Desde
\[\begin{align*} f_x(x,y,z)&=2(x-1) & f_y(x,y,z)&=2(y-2) & f_z(x,y,z)&=2(z-3)\\ g_x(x,y,z)&=2x & g_y(x,y,z)&=2y & g_z(x,y,z)&= 2z \end{align*}\]
necesitamos encontrar todas las soluciones
\[\begin{alignat*}{2} 2(x-1)&=\lambda (2x)\qquad&\iff\qquad x&=\frac{1}{1-\lambda} \tag{E1}\\ 2(y-2)&=\lambda (2y)\qquad&\iff\qquad y&=\frac{2}{1-\lambda} \tag{E2}\\ 2(z-3)&=\lambda (2z)\qquad&\iff\qquad z&=\frac{3}{1-\lambda} \tag{E3}\\ 0&=x^2+y^2+z^2-1 \tag{E4} \end{alignat*}\]
Sustituir (E1), (E2) y (E3) en (E4) da
\[\begin{gather*} \frac{1+4+9}{(1-\lambda)^2}-1=0 \implies (1-\lambda)^2 = 14 \implies 1-\lambda = \pm\sqrt{14} \end{gather*}\]
Podemos entonces sustituir estos dos valores de\(\lambda\) back en las expresiones para\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\) en términos de\(\lambda\) para obtener los dos puntos\(\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)\) y\(-\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)\text{.}\)
El vector de\(\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)\) a\(\left\{1-\frac{1}{\sqrt{14}}\right\}(1,2,3)\text{,}\) es\((1,2,3)\text{,}\) decir, obviamente es más corto que el vector desde\(-\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)\) el\((1,2,3)\text{,}\) que es\(\left\{1+\frac{1}{\sqrt{14}}\right\}(1,2,3)\text{.}\) Entonces el punto más cercano es\(\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)\) y el punto más lejano es\(-\frac{1}{\sqrt{14}}(1,2,3)\).
(Opcional) Un Ejemplo con Dos Multiplicadores de Lagrange
En esta sección opcional, consideramos un ejemplo de un problema de la forma “maximizar (o minimizar)\(f(x,y,z)\) sujeto a las dos restricciones\(g(x,y,z)=0\) y\(h(x,y,z)=0\)”. Utilizamos la siguiente variante del Teorema 2.10.2.
Dejar\(f(x,y,z)\text{,}\)\(g(x,y,z)\) y\(h(x,y,z)\) tener primeras derivadas parciales continuas en una región de la\(\mathbb{R}^3\) que contiene la curva\(C\) dada por las ecuaciones
\[ g(x,y,z)=h(x,y,z)=0 \nonumber \]
Supongamos 6 que\(\nabla g(x,y,z)\times \nabla h(x,y,z) \ne 0\) en\(C\text{.}\) Si\(f\text{,}\) restringido a la curva\(C\text{,}\) tiene un valor extremo local\((a,b,c)\) en el punto\(C\text{,}\) entonces hay números reales\(\lambda\) y\(\mu\) tal que
es decir
\ begin {alinear*} f_x (a, b, c) &=\ lambda\, g_x (a, b, c) +\ mu\, h_x (a, b, c)\\ f_y (a, b, c) &=\ lambda\, g_y (a, b, c) +\ mu\, h_y (a, b, c)\ f_z (a, b, c) &=\ lambda\, g_z (a, b, c) +\ mu\, h_z (a, b, c)\ end {align*}Podemos reformular este teorema en términos de la función auxiliar
\[ L(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)-\lambda\, g(x,y,z) - \mu\, h(x,y,z) \nonumber \]
Es una función de cinco variables — las variables originales\(x\text{,}\)\(y\) y\(z\text{,}\) y dos variables auxiliares\(\lambda\) y\(\mu\text{.}\) Si hay un valor extremo local en\((a,b,c)\) entonces\((a,b,c)\) debe obedecer
\[\begin{alignat*}{2} 0&= L_x(a,b,c,\lambda,\mu) &&= f_x(a,b,c) - \lambda g_x(a,b,c) -\mu h_x(a,b,c)\\ 0&= L_y(a,b,c,\lambda,\mu) &&= f_y(a,b,c) - \lambda g_y(a,b,c) -\mu h_y(a,b,c)\\ 0&=L_z(a,b,c,\lambda,\mu) &&= f_z(a,b,c) - \lambda g_z(a,b,c) -\mu h_z(a,b,c)\\ 0&=L_\lambda(a,b,c,\lambda,\mu) &&= g(a,b,c)\\ 0&=L_\mu(a,b,c,\lambda,\mu) &&= h(a,b,c) \end{alignat*}\]
para algunos\(\lambda\) y\(\mu\text{.}\) Así que resolver este sistema de cinco ecuaciones en cinco incógnitas da todos los posibles candidatos para las ubicaciones de máximos y mínimos locales. Pasaremos por un ejemplo en breve.
-
Antes de llegar al ejemplo en sí, aquí es por qué funciona el enfoque anterior. Supongamos que ocurre un mínimo local en el\((a,b,c)\text{,}\) que se encuentra el punto gris en la siguiente figura esquemática. Imagina que comienzas a alejarte a\((a,b,c)\) lo largo de la curva\(g=h=0\text{.}\) Tu camino es la línea gris en la figura esquemática de abajo.
Llama a tu vector de velocidad\(\vec{v}\text{.}\) Es tangente a la curva\(g(x,y,z)=h(x,y,z)=0\text{.}\) Porque\(f\) tiene un mínimo local en\((a,b,c)\text{,}\)\(f\) debe ser creciente (o constante) a medida\((a,b,c)\text{.}\) que salimos Así que la derivada direccional
\[ D_{\vec{v}}f(a,b,c)=\nabla f(a,b,c) \cdot \vec{v}\ge 0 \nonumber \]
Ahora empieza de nuevo. Nuevamente caminar lejos de\((a,b,c)\) lo largo de la curva\(g=h=0\text{,}\) pero esta vez moviéndose en sentido contrario, con vector de velocidad\(-\vec{v}\text{.}\) Una vez más\(f\) debe ser creciente (o constante) a medida\((a,b,c)\text{,}\) que dejamos así la derivada direccional
\[ D_{-\vec{v}}f(a,b,c)=\nabla f(a,b,c) \cdot (-\vec{v})\ge 0 \nonumber \]
Como ambos\(\nabla f(a,b,c) \cdot \vec{v}\) y\(-\nabla f(a,b,c) \cdot \vec{v}\) son al menos cero, ahora tenemos eso
\[ \nabla f(a,b,c) \cdot \vec{v}=0 \tag{$*$} \nonumber \]
para todos los vectores\(\vec{v}\) que son tangentes a la curva\(g=h=0\) en\((a,b,c)\text{.}\) Vamos a denotar por\(\mathcal{T}\) el conjunto de todos los vectores\(\vec{v}\) que son tangentes a la curva\(g=h=0\) en\((a,b,c)\) y vamos a denotar por\(\mathcal{T}^\perp\) el conjunto de todos los vectores que son perpendiculares a todos los vectores en\(\mathcal{T}\text{.}\) Así\((*)\) dice que\(\nabla f(a,b,c)\) debe en\(\mathcal{T}^\perp\text{.}\)
Ahora encontramos todos los vectores en\(\mathcal{T}^\perp\text{.}\) Podemos adivinar fácilmente dos de esos vectores. Dado que la curva\(g=h=0\) se encuentra dentro de la superficie\(g=0\) y\(\nabla g(a,b,c)\) es normal\(g=0\) a en\((a,b,c)\text{,}\) tenemos
\[ \nabla g(a,b,c) \cdot \vec{v}=0 \tag{E1} \nonumber \]
Del mismo modo, dado que la curva\(g=h=0\) se encuentra dentro de la superficie\(h=0\) y\(\nabla h(a,b,c)\) es normal\(h=0\) a en\((a,b,c)\text{,}\) tenemos
\[ \nabla h(a,b,c) \cdot \vec{v}=0 \tag{E2} \nonumber \]
Escoger dos constantes cualesquiera\(\lambda\) y\(\mu\text{,}\) multiplicar (E1)\(\lambda\text{,}\) multiplicando (E2) por\(\mu\) y sumando da que
\[ \big(\lambda\nabla g(a,b,c) +\mu\nabla h(a,b,c)\big) \cdot \vec{v}=0 \nonumber \]
para todos los vectores\(\vec{v}\) en\(\mathcal{T}\text{.}\) Así, para todos\(\lambda\) y\(\mu\text{,}\) el vector\(\lambda\nabla g(a,b,c)+\mu\nabla h(a,b,c)\) está en\(\mathcal{T}^\perp\text{.}\)
Ahora los vectores en\(\mathcal{T}\) forma de una línea. (Todos son tangentes a la misma curva en el mismo punto.) Entonces,\(\mathcal{T}^\perp\text{,}\) el conjunto de todos los vectores perpendiculares a\(\mathcal{T}\text{,}\) forma un plano. Como\(\lambda\) y\(\mu\) recorriendo todos los números reales, los vectores\(\lambda\nabla g(a,b,c) +\mu\nabla h(a,b,c)\) forman un plano. Así hemos encontrado todos los vectores en\(\mathcal{T}^\perp\) y concluimos que\(\nabla f(a,b,c)\) debe ser de la forma\(\lambda\nabla g(a,b,c)+\mu\nabla h(a,b,c)\) para algunos números reales\(\lambda\) y\(\mu\text{.}\) Los tres componentes de la ecuación
\[ \nabla f(a,b,c) =\lambda\nabla g(a,b,c)+\mu\nabla h(a,b,c) \nonumber \]
son exactamente las tres primeras ecuaciones de 2.10.9. Esto completa la explicación de por qué los multiplicadores Lagrange funcionan en este entorno.
Encuentra la distancia desde el origen hasta la curva que es la intersección de las dos superficies
\[ z^2=x^2+y^2\qquad x-2z=3 \nonumber \]
Solución
Una vez más, simplificamos el álgebra maximizando el cuadrado de la distancia en lugar de la distancia misma. Así que estamos para maximizar
\[ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \nonumber \]
sujeto a las restricciones
\[ 0=g(x,y,z)=x^2+y^2-z^2\qquad 0=h(x,y,z)=x-2z-3 \nonumber \]
Desde
\[\begin{align*} f_x&=2x & f_y&=2y & f_z&=2z\\ g_x&=2x & g_y&=2y & g_z&=-2z\\ h_x&=1 & h_y&=0 & h_z&=-2 \end{align*}\]
el método de los multiplicadores Lagrange nos obliga a encontrar todas las soluciones para
\[\begin{alignat*}{2} 2x&=\lambda(2x) + \mu(1) \tag{E1}\\ 2y&=\lambda(2y) + \mu(0) \qquad&\iff\qquad(1-\lambda)y&=0 \tag{E2}\\ 2z&=\lambda(-2z) + \mu(-2) \tag{E3}\\ z^2&=x^2+y^2 \tag{E4}\\ x-2z&=3 \tag{E5} \end{alignat*}\]
Desde la ecuación (E2) factores tan bien empezamos ahí. Nos dice que cualquiera\(y=0\) o\(\lambda=1\text{.}\)
Caso\(\lambda = 1\ text {:}\) Cuando\(\lambda=1\) las ecuaciones restantes se reducen a
\[\begin{alignat*}{1} 0&=\mu \tag{E1}\\ 0&=4z + 2 \mu \tag{E3}\\ z^2&=x^2+y^2 \tag{E4}\\ x-2z&=3 \tag{E5} \end{alignat*}\]
Entonces
- ecuación (E1) da\(\mu=0\text{.}\)
- Luego sustituyendo\(\mu=0\) en (E3) da\(z=0\text{.}\)
- Luego sustituyendo\(z=0\) en (E5) da\(x=3\text{.}\)
- Luego sustituyendo\(z=0\) y\(x=3\) en (E4) da\(0=9+y^2\text{,}\) lo que es imposible, ya que\(9+y^2\ge 9 \gt 0\) para todos\(y\text{.}\)
Así que no podemos tener\(\lambda=1\text{.}\)
Caso\(y=0\text{:}\) Cuando\(y=0\) las ecuaciones restantes se reducen a
\[\begin{alignat*}{1} 2(1-\lambda)x &= \mu \tag{E1}\\ (1+\lambda)z&= -\mu \tag{E3}\\ z^2&=x^2 \tag{E4}\\ x-2z&=3 \tag{E5} \end{alignat*}\]
Estos no limpian tan bien como en el\(\lambda=1\) caso. Pero al menos la ecuación (E4) nos dice que\(z=\pm x\text{.}\) Así que tenemos que considerar esas dos posibilidades.
Subcaso\(y=0\text{,}\)\(z=x\text{:}\) Cuando\(y=0\) y\(z=x\text{,}\) las ecuaciones restantes se reducen a
\[\begin{alignat*}{1} 2(1-\lambda)x &= \mu \tag{E1}\\ (1+\lambda)x&= -\mu \tag{E3}\\ -x&=3 \tag{E5} \end{alignat*}\]
Entonces la ecuación (E5) ahora nos dice\(x=-3\) eso para que\((x,y,z)=(-3,0,-3) \text{.}\) (Realmente no nos importa qué\(\lambda\) y\(\mu\) somos. Pero como ellos obedecen\(-6(1-\lambda)=\mu\text{,}\)\(-3(1+\lambda)=-\mu\) tenemos, sumando las dos ecuaciones juntas
\[ -9+3\lambda=0 \implies \lambda=3 \nonumber \]
y luego, subponiéndose en cualquiera de las ecuaciones,\(\mu=12\text{.}\))
Subcaso\(y=0\text{,}\)\(z=-x\text{:}\) Cuando\(y=0\) y\(z=-x\text{,}\) las ecuaciones restantes se reducen a
\[\begin{alignat*}{1} 2(1-\lambda)x &= \mu \tag{E1}\\ (1+\lambda)x&= \mu \tag{E3}\\ 3x&=3 \tag{E5} \end{alignat*}\]
Entonces la ecuación (E5) ahora nos dice\(x=1\) eso para que\((x,y,z)=(1,0,-1) \text{.}\) (Una vez más, realmente no nos importa qué\(\lambda\) y\(\mu\) somos. Pero como ellos obedecen\(2(1-\lambda)=\mu\text{,}\)\((1+\lambda)=\mu\) tenemos, restando la segunda ecuación de la primera,
\[ 1-3\lambda=0 \implies \lambda=\frac{1}{3} \nonumber \]
y luego, subponiéndose en cualquiera de las ecuaciones,\(\mu=\frac{4}{3}\text{.}\))
Conclusión: Tenemos dos candidatos para la ubicación del max y min, a saber\((-3,0,-3)\) y\((1,0,-1)\text{.}\) El primero es una\(3\sqrt{2}\) distancia del origen, dando el máximo, y el segundo es una\(\sqrt{2}\) distancia del origen, dando el mínimo. En particular, la distancia es\(\sqrt{2}\text{.}\)
Ejercicios
Etapa 1
- ¿La función\(f(x, y) = x^2 +y^2\) tiene un máximo o un mínimo en la curva\(xy = 1\text{?}\) Explicar.
- Encuentra todos los máximos y mínimos de\(f(x, y)\) en la curva\(xy = 1\text{.}\)
La superficie\(S\) viene dada por la ecuación\(g(x,y,z)=0\text{.}\) Estás caminando\(S\) midiendo la función a\(f(x,y,z)\) medida que avanzas. Actualmente estás en el\((x_0,y_0,z_0)\) punto en el que\(f\) toma su mayor valor\(S\text{,}\) y estás caminando en la dirección\(\vec{d}\ne\textbf{0}\text{.}\) Porque estás caminando sobre\(S\text{,}\) el vector\(\vec{d}\) es tangente a\(S\) at\((x_0,y_0,z_0)\text{.}\)
- Cuál es la derivada direccional de\(f\) at\((x_0,y_0,z_0)\) en la dirección\(\vec{d}\text{?}\) No utilice el método de multiplicadores Lagrange.
- Cuál es la derivada direccional de\(f\) at\((x_0,y_0,z_0)\) en la dirección\(\vec{d}\text{?}\) Esta vez usa el método de multiplicadores Lagrange.
Etapa 2
Encuentra los valores máximos y mínimos de la función\(f(x,y,z)=x+y-z\) en la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\text{.}\)
Encuentra\(a,\ b\) y\(c\) para que el volumen\(\frac{4\pi}{3} abc\) de un elipsoide\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\) que pasa por el punto\((1,2,1)\) sea lo más pequeño posible.
Utiliza el Método de Multiplicadores Lagrange para encontrar el valor mínimo de\(z = x^2 + y^2\) sujeto a ¿\(x^2 y = 1\text{.}\)En qué punto o puntos ocurre el mínimo?
Utilice el Método de Multiplicadores Lagrange para encontrar el radio de la base y la altura de un cilindro circular derecho de volumen máximo que puede caber dentro de la esfera unitaria\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{.}\)
Usa el método de Multiplicadores Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de
\[ f(x, y) = xy \nonumber \]
sujeto a la restricción
\[ x^2 + 2y^2 = 1. \nonumber \]
Encuentra los valores máximos y mínimos de\(f(x,y) = x^2 + y^2\) sujeto a la restricción\(x^4 + y^4 = 1\text{.}\)
Usa multiplicadores Lagrange para encontrar los puntos en la esfera\(z^2 + x^2 + y^2 - 2y - 10 = 0\) más cercana y más alejada del punto\((1, -2, 1)\text{.}\)
Utilice multiplicadores Lagrange para encontrar los valores máximo y mínimo de la función\(f(x,y,z) = x^2 + y^2 -\frac{1}{20} z^2\) en la curva de intersección del plano\(x + 2y + z = 10\) y el paraboloide\(x^2 + y^2 - z = 0\text{.}\)
Encuentra el punto\(P = (x, y, z)\) (con\(x\text{,}\)\(y\) y\(z \gt 0\)) en la superficie\(x^3 y^2 z = 6 \sqrt{3}\) que está más cerca del origen.
Encuentra el valor máximo de\(f (x, y, z) = xyz\) en el elipsoide
\[ g(x, y, z) = x^2 + xy + y^2 + 3z^2 = 9 \nonumber \]
Especifique todos los puntos en los que se produce este valor máximo.
Encuentra el radio de la esfera más grande centrada en el origen que se puede inscribir dentro (es decir, encerrada dentro) del elipsoide
\[ 2(x+1)^2 + y^2 + 2(z-1)^2 =8 \nonumber \]
Que\(C\) sea la intersección del plano\(x + y + z = 2\) y la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 2\text{.}\)
- Usa multiplicadores Lagrange para encontrar el valor máximo de\(f(x, y, z) = z\) on\(C\text{.}\)
- ¿Cuáles son las coordenadas del punto más bajo en\(C\text{?}\)
- Usa multiplicadores Lagrange para encontrar los valores extremos de
\[ f (x, y, z) = (x - 2)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 \nonumber \]
en la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 6\text{.}\) - Encuentra el punto en la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 6\) que está más alejado del punto\((2, -2, 4)\text{.}\)
- Encuentra el mínimo de la función
\[ f(x,y,z) = (x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 \nonumber \]
sujeto a la restricción\(x^2 + y^2 + z^2 = 1\text{,}\) utilizando el método de multiplicadores Lagrange. - Dar una interpretación geométrica de este problema.
Utilice multiplicadores Lagrange para encontrar los valores mínimos y máximos de\((x + z)e^y\) sujeto a\(x^2 + y^2 + z^2 = 6\text{.}\)
Encuentra los puntos en la elipse\(2x^2 + 4xy + 5y^2 = 30\) que están más cerca y más alejados del origen.
Encuentra los extremos de los ejes mayor y menor de la elipse\(3x^2-2xy+3y^2=4\text{.}\)
Una caja rectangular cerrada con un volumen de 96 metros cúbicos se construirá de dos materiales. El material para la parte superior cuesta el doble por metro cuadrado que el de los lados y el fondo. Utiliza el método de los multiplicadores Lagrange para encontrar las dimensiones de la caja menos costosa.
Considera la esfera de la unidad
\[ S=§et{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2=1} \nonumber \]
en\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Supongamos que la temperatura en un punto\((x,y,z)\) de\(S\) es
\[ T(x,y,z)=40xy^2z \nonumber \]
Encuentra las temperaturas más calientes y frías en\(S\text{.}\)
Encuentra las dimensiones de la caja de volumen máximo que tiene sus caras paralelas a los planos de coordenadas y que está contenida dentro de la región\(0\le z\le 48-4x^2-3y^2\text{.}\)
Un contenedor rectangular debe estar hecho de una base de madera y cartón pesado sin tapa. Si la madera es tres veces más cara que el cartón, encuentra las dimensiones de la papelera más barata que tiene un volumen de\(12{\rm m}^3\text{.}\)
Una caja rectangular cerrada que tenga un volumen de metros\(4\) cúbicos se construirá con material que cuesta $8 por metro cuadrado para los lados pero $12 por metro cuadrado para la parte superior e inferior. Encuentra las dimensiones menos costosas para la caja.
Supongamos que todos\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\) son mayores que cero y dejan\(D\) ser la pirámide delimitada por el plano\(ax+by+cz=1\) y los 3 planos de coordenadas. Utilice el método de los multiplicadores Lagrange para encontrar el mayor volumen posible de\(D\) si\(ax + by + cz = 1\) se requiere que el plano pase por el punto\((1, 2, 3)\text{.}\) (El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de su base por la altura.)
Etapa 3
Utilice multiplicadores Lagrange para encontrar la distancia mínima desde el origen hasta todos los puntos de la intersección de las curvas
\[\begin{align*} g(x,y,z) &= x-z-4=0\\ \text{and } h(x,y,z) &= x+y+z-3=0 \end{align*}\]
Encuentra los valores más grandes y más pequeños de
\[ f(x,y,z) = 6x + y^2 + xz \nonumber \]
en la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 36\text{.}\) Determinar todos los puntos en los que ocurren estos valores.
La temperatura en el avión viene dada por\(T(x,y) = e^y\big(x^2+y^2\big)\text{.}\)
-
- Dar el sistema de ecuaciones que deben resolverse para encontrar el punto más cálido y fresco del círculo\(x^2+y^2=100\) por el método de los multiplicadores Lagrange.
- Encuentra los puntos más cálidos y frescos del círculo resolviendo ese sistema.
-
- Dar el sistema de ecuaciones que deben resolverse para encontrar los puntos críticos de\(T(x,y)\text{.}\)
- Encuentra los puntos críticos resolviendo ese sistema.
- Encuentra el punto más fresco en el disco sólido\(x^2+y^2\le 100\text{.}\)
- Al encontrar los puntos de tangencia, determinar los valores de\(c\) para los cuales\(x+y+z=c\) es un plano tangente a la superficie\(4x^2+4y^2+z^2=96\text{.}\)
- Utilice el método de Multiplicadores Lagrange para determinar los valores máximos y mínimos absolutos de la función\(f(x,y,z)=x+y+z\) a lo largo de la superficie\(g(x,y,z)=4x^2+4y^2+z^2=96\text{.}\)
- ¿Por qué obtienes las mismas respuestas en (a) y (b)?
Dejar\(f(x,y)\) tener derivadas parciales continuas. Considerar el problema de encontrar mínimos y máximos locales de\(f(x,y)\) en la curva\(xy=1\text{.}\)
- Definir\(g(x,y) = xy -1\text{.}\) Según el método de los multiplicadores Lagrange, si\((x,y)\) es un mínimo o máximo local de\(f(x,y)\) en la curva\(xy=1\text{,}\) entonces hay un número real\(\lambda\) tal que
\[ \nabla f(x,y) =\lambda \nabla g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1} \nonumber \]
- En la curva\(xy=1\text{,}\) tenemos\(y=\frac{1}{x}\) y\(f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)\text{.}\) Definir\(F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)\text{.}\) Si\(x\ne 0\) es un mínimo local o máximo de\(F(x)\text{,}\) tenemos eso
\[ F'(x)=0 \tag{E2} \nonumber \]
Mostrar que (E1) es equivalente a (E2), en el sentido de que
\[\begin{align*} &\text{there is a $\lambda$ such that $(x,y,\lambda)$ obeys (E1)}\\ &\hskip-0.5in\text{if and only if}\\ &\text{$x\ne 0$ obeys (E2) and $y=\frac{1}{x}$.} \end{align*}\]
- Joseph-Louis Lagrange nació realmente Giuseppe Lodovico Lagrangia en Turín, Italia en 1736. Se mudó a Berlín en 1766 y luego a París en 1786. Finalmente adquirió la ciudadanía francesa y luego el francés afirmó que era un matemático francés, mientras que los italianos continuaron alegando que era un matemático italiano.
-
Llamamos a\(L\) una función auxiliar porque, mientras la usamos para ayudar a resolver el problema, en realidad no aparece ni en el enunciado de la pregunta ni en la respuesta misma
-
Algunas personas usan\(L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\, g(x,y,z)\) en su lugar. Esto equivale a renombrar\(\lambda\) a\(-\lambda\text{.}\) Si bien nos importa que\(\lambda\) tenga un valor, no nos importa lo que sea.
-
La función\(S(z)=z^2\) es una función estrictamente creciente para\(z\ge 0\text{.}\) So, para\(a,b\ge 0\text{,}\) la sentencia “\(a \lt b\)” es equivalente a la declaración “\(S(a) \lt S(b)\)”.
-
si inclina la cabeza para que la línea a través\((1,1)\) y\((-1,-1)\) aparezca horizontal
-
Esta condición dice que los vectores normales a\(g=0\) y\(h=0\) at no\((x,y,z)\) son paralelos. Esto asegura que las superficies\(g=0\) y no\(h=0\) son tangentes entre sí en\((x,y,z)\text{.}\) Se cruzan en una curva.