3.2: Integrales dobles en coordenadas polares
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Hasta ahora, en la configuración de integrales, siempre hemos cortado el dominio de la integración en pequeños rectángulos dibujando en muchas líneas de constante\(x\) y muchas líneas de constante\(y\text{.}\)
No hay ninguna ley que diga que debemos cortar nuestros dominios de integración en pequeños pedazos de esa manera. De hecho, cuando los objetos de interés son una especie de redondos y centrados en el origen, a menudo es ventajoso 1 usar coordenadas polares, en lugar de coordenadas cartesianas.
Coordenadas polares
Puede que haya pasado un tiempo desde que hiciste algo en coordenadas polares. Entonces revisemos antes de reanudar la integración.
Las coordenadas polares 2 de cualquier punto\((x,y)\) en el\(xy\) plano -son
\[\begin{align*} r&=\text{ the distance from }(0,0)\text{ to }(x,y)\\ \theta&=\text{ the (counter-clockwise) angle between the $x$-axis }\\ & \qquad \text{ and the line joining $(x,y)$ to $(0,0)$} \end{align*}\]
Las coordenadas cartesianas y polares están relacionadas, a través de un poco rápido de trigonometría, por
\[\begin{align*} x&=r\cos\theta & y&=r\sin\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} \end{align*}\]
Las dos figuras siguientes muestran una serie de líneas de constante a\(\theta\text{,}\) la izquierda, y curvas de constante a\(r\text{,}\) la derecha.
Tenga en cuenta que el ángulo polar solo\(\theta\) se define hasta múltiplos enteros de\(2\pi\text{.}\) Por ejemplo, el punto\((1,0)\) en el\(x\) eje -podría tener\(\theta=0\text{,}\) pero también podría tener\(\theta=2\pi\) o\(\theta=4\pi\text{.}\) A veces es conveniente asignar valores\(\theta\) negativos. Cuando\(\theta \lt 0\text{,}\) el ángulo en sentido antihorario 3\(\theta\) se refiere al ángulo de las agujas del reloj\(|\theta|\text{.}\) Por ejemplo, el punto\((0,-1)\) en el\(y\) eje negativo puede tener\(\theta=-\frac{\pi}{2}\) y también puede tener\(\theta=\frac{3\pi}{2}\text{.}\)
También a veces es conveniente extender las definiciones anteriores diciendo eso\(x=r\cos\theta\) e\(y=r\sin\theta\) incluso cuando\(r\) es negativo. Por ejemplo, la siguiente figura muestra\((x,y)\) para\(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{4}\) y para\(r=-1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{.}\)
Ambos puntos se encuentran en la línea a través del origen que hace un ángulo de\(45^\circ\) con el\(x\) eje y ambos están a una distancia uno del origen. Pero están en lados opuestos del origen.
Curvas polares
Aquí hay un par de ejemplos en los que esbozamos curvas especificadas por ecuaciones en términos de coordenadas polares.
Vamos a bosquejar la curva
\[ r= 1+\cos\theta \nonumber \]
Nuestro punto de partida será entender cómo\(1+\cos\theta\) varía con\(\theta\text{.}\) Así que será útil recordar cómo\(\cos\theta\) se ve la gráfica de\(0\le\theta\le 2\pi\text{.}\)
De esto vemos que la gráfica de\(y=1+\cos\theta\) es
Ahora vamos a escoger algunos\(\theta\) valores fáciles, encontrar los correspondientes\(r\) y bosquejarlos.
- Cuando\(\theta=0\text{,}\) tenemos\(r=1+\cos 0 = 1+1=2\text{.}\) Para bosquejar el punto con\(\theta=0\) y primero\(r=2\text{,}\) dibujamos en la media línea que consiste en todos los puntos con\(\theta=0\text{,}\)\(r \gt 0\text{.}\) Ese es el\(x\) eje positivo, bosquejado en gris en la figura más a la izquierda de abajo. Entonces ponemos un punto en esa línea a una\(2\) distancia del origen. Ese es el punto rojo en la primera figura de abajo.
- Ahora aumenta\(\theta\) un poco (a otro lugar fácil de evaluar), digamos a\(\theta=\frac{\pi}{6}\text{.}\) Como lo hacemos\(r=1+\cos\theta\) disminuye\(r=1+\cos\frac{\pi}{6} = 1+\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 1.87\text{.}\) a Para bosquejar el punto con\(\theta=\frac{\pi}{6}\) y primero\(r\approx 1.87\text{,}\) dibujamos en la media línea que consiste en todos los puntos con\(\theta=\frac{\pi}{6}\text{,}\)\(r \gt 0\text{.}\) Esa es la línea gris superior en la segunda figura a continuación. Entonces ponemos un punto en esa línea a una\(1.87\) distancia del origen. Ese es el punto rojo superior en la segunda figura de abajo.
- Ahora aumenta\(\theta\) aún más, digamos
- \(\theta=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\text{,}\)
- seguido de\(\theta=\frac{3\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\text{,}\)
- seguido de\(\theta=\frac{4\pi}{6}=\frac{2\pi}{3}\text{,}\)
- seguido de\(\theta=\frac{5\pi}{6}\text{,}\)
- seguido de\(\theta=\frac{6\pi}{6}=\pi\text{.}\)
A medida que\(\theta\) aumenta,\(r=1+\cos\theta\) disminuye, golpeando\(r=1\) cuándo\(\theta=\frac{\pi}{2}\) y terminando en\(r=0\) cuando\(\theta=\pi\text{.}\) Para cada uno\(\theta\) de estos, primero dibujamos en la media línea que consiste en todos los puntos con eso\(\theta\) y\(r\ge 0\text{.}\) Esas son las cinco líneas grises en la figura de la derecha arriba. Después ponemos un punto en cada\(\theta\) -línea a una\(r=1+\cos\theta\) distancia del origen. Esos son los puntos rojos en las líneas grises en la figura de arriba a la derecha.
- Podríamos continuar con el procedimiento anterior para\(\pi\le\theta\le 2\pi\text{.}\) O podemos mirar la gráfica de\(\cos\theta\) arriba y notar que la gráfica de\(\cos\theta\) for\(\pi\le\theta\le 2\pi\) es exactamente la imagen especular, aproximadamente\(\theta=\pi\text{,}\) de la gráfica de\(\cos\theta\) for\(0\le\theta\le \pi\text{.}\)
Es decir,\(\cos(\pi+\theta) =\cos(\pi-\theta)\) para que\(r(\pi+\theta) = r(\pi-\theta)\text{.}\) así obtengamos la cifra.
- Por último, rellenamos una curva suave a través de los puntos y obtenemos la gráfica a continuación. Esta curva se llama cardioide porque parece un corazón 4.
Ahora usaremos el mismo procedimiento que en el último ejemplo para bosquejar la gráfica de
\[ r=\sin(3\theta) \nonumber \]
Nuevamente será útil recordar cómo se\(\sin(3\theta)\) ve la gráfica de\(0\le\theta\le 2\pi\text{.}\)
- Primero consideraremos\(0\le\theta\le\frac{\pi}{3}\text{,}\) para que\(0\le 3\theta \le \pi\text{.}\) En este intervalo\(r(\theta)=\sin(3\theta)\)
- comienza con\(r(0)=0\text{,}\) y luego
- aumenta a medida que\(\theta\) aumenta hasta
- \(3\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\)es decir\(\theta=\frac{\pi}{6}\text{,}\), dónde\(r\big(\frac{\pi}{6}\big)=1\text{,}\) y luego
- disminuye a medida que\(\theta\) aumenta hasta
- \(3\theta=\pi\text{,}\)es decir,\(\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}\) donde\(r\big(\frac{\pi}{3}\big)=0\text{,}\) otra vez.
Aquí hay una tabla que da algunos valores de\(r(\theta)\) para\(0\le \theta\le\frac{\pi}{3}\text{.}\) Aviso que hemos elegido valores\(\theta\) para los cuales\(\sin(3\theta)\) es fácil de calcular.
\(\theta\) \(3\theta\) \(r(\theta)\) 0 0 0 \(\frac{\pi}{12}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71\) \(\frac{2 \pi}{12}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(1\) \(\frac{3 \pi}{12}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.71\) \(\frac{4 \pi}{12}\) \(\pi\) \(0\) y aquí hay un boceto que exhibe esos valores y otro boceto de la parte de la curva con\(0\le \theta\le\frac{\pi}{3}\text{.}\)
- Siguiente considerar\(\frac{\pi}{3}\le\theta\le\frac{2\pi}{3}\text{,}\) para que\(\pi\le 3\theta \le 2\pi\text{.}\) En este intervalo\(r(\theta)=\sin(3\theta)\)
- comienza con\(r\big(\frac{\pi}{3}\big)=0\text{,}\) y luego
- disminuye a medida que\(\theta\) aumenta hasta
- \(3\theta=\frac{3\pi}{2}\text{,}\)es decir\(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\), dónde\(r\big(\frac{\pi}{2}\big)=-1\text{,}\) y luego
- aumenta a medida que\(\theta\) aumenta hasta
- \(3\theta=2\pi\text{,}\)es decir,\(\theta=\frac{2\pi}{3}\text{,}\) donde\(r\big(\frac{2\pi}{3}\big)=0\text{,}\) otra vez.
Ahora nos encontramos, por primera vez, con\(r(\theta)\)'s que son negativos. La figura de la izquierda a continuación contiene, para cada uno de\(\theta = \frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}\text{,}\)\(\frac{5\pi}{12}\text{,}\)\(\ \frac{6\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\ \frac{7\pi}{12}\) y\(\ \frac{8\pi}{12}=\frac{2\pi}{3}\)
- la media línea (discontinua) que consta de todos los puntos con eso\(\theta\) y\(r \lt 0\) y
- el punto con eso\(\theta\) y\(r(\theta)=\sin(3\theta)\text{.}\)
La figura de abajo a la derecha proporciona un boceto de la parte de la curva\(r=\sin(3\theta)\) con\(\frac{\pi}{3}\le \theta\le \frac{2\pi}{3}\text{.}\)
- Finalmente considere\(\frac{2\pi}{3}\le\theta\le\pi\) (porque\(r(\theta+\pi) = \sin (3\theta+3\pi) = -\sin(3\theta)=-r(\theta)\text{,}\) la parte de la curva con\(\pi\le\theta\le 2\pi\) solo retrasa la parte con\(0\le\theta\le \pi\)), de manera que\(2\pi\le 3\theta \le 3\pi\text{.}\) En este intervalo\(r(\theta)=\sin(3\theta)\)
- comienza con\(r\big(\frac{2\pi}{3}\big)=0\text{,}\) y luego
- aumenta a medida que\(\theta\) aumenta hasta
- \(3\theta=\frac{5\pi}{2}\text{,}\)es decir\(\theta=\frac{10\pi}{12}\text{,}\), dónde\(r\big(\frac{5\pi}{2}\big)=1\text{,}\) y luego
- disminuye a medida que\(\theta\) aumenta hasta
- \(3\theta=3\pi\text{,}\)es decir,\(\theta=\frac{12\pi}{12}=\pi\text{,}\) donde\(r\big(\pi\big)=0\text{,}\) otra vez.
La figura de la izquierda a continuación contiene, para cada uno de\(\theta = \frac{8\pi}{12}=\frac{2\pi}{3}\text{,}\)\(\frac{9\pi}{12}\text{,}\)\(\ \frac{10\pi}{12}\text{,}\)\(\ \frac{11\pi}{12}\) y\(\ \frac{12\pi}{12}=\pi\)
- la media línea (sólida) que consta de todos los puntos con eso\(\theta\) y\(r\ge 0\) y
- el punto con eso\(\theta\) y\(r(\theta)=\sin(3\theta)\text{.}\)
La figura de abajo a la derecha proporciona un boceto de la parte de la curva\(r=\sin(3\theta)\) con\(\frac{2\pi}{3}\le \theta\le \pi\text{.}\)
Juntar los tres lóbulos da la curva completa, que se llama la “rosa de tres pétalos”.
Existe una familia infinita de curvas de rosas similares (también llamadas curvas de rodonea 5).
Integrales en Coordenadas Polares
Ahora volvemos al problema de usar coordenadas polares para configurar integrales dobles. Hasta ahora, hemos utilizado coordenadas cartesianas, en el sentido de que hemos cortado nuestros dominios de integración en pequeños rectángulos (en los que el integrando es esencialmente constante) dibujando en muchas líneas de constante\(x\) y muchas líneas de constante\(y\text{.}\) Para usar coordenadas polares, en cambio dibujamos en ambas líneas de constante\(\theta\) y curvas de constante\(r\text{.}\) Esto corta el\(xy\) plano en rectángulos aproximados.
Aquí hay un boceto ampliado de uno de esos rectángulos aproximados.
Un lado tiene longitud\(\mathrm{d}{r}\text{,}\) el espaciamiento entre las curvas de constante\(r\text{.}\) El otro lado es una porción de un círculo de radio\(r\) que subtiende, en el origen, un ángulo\( \mathrm{d}{\theta} \text{,}\) el ángulo entre las líneas de constante\(\theta\text{.}\) Como la circunferencia del círculo completo es\(2\pi r\) y como \( \mathrm{d}{\theta} \)es la fracción\(\frac{ \mathrm{d}{\theta} }{2\pi}\) de un círculo completo 6, el otro lado del rectángulo aproximado tiene longitud\(\frac{ \mathrm{d}{\theta} }{2\pi}2\pi r = r \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) Así que la región sombreada tiene área aproximadamente
\[ \mathrm{d}{A} = r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]
A modo de comparación, usando coordenadas cartesianas tuvimos\(\mathrm{d}{A} = \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{.}\)
Esta computación intuitiva ha sido algo ondulada a mano 7. Pero usándolo en el procedimiento habitual de configuración integral, en el que elegimos\(\mathrm{d}{r}\) y\( \mathrm{d}{\theta} \) para ser constantes tiempos\(\frac{1}{n}\) y luego tomar el límite\(n\rightarrow 0\text{,}\) da, en el límite, error exactamente cero. Un argumento de muestra, en el que vemos que el error va a cero en el límite\(n\rightarrow\infty\text{,}\) se proporciona en la sección (opcional) §3.2.4.
Seamos\(0\le a \lt b\le 2\pi\) constantes y dejemos que\(\mathcal{R}\) sea la región
\[ \mathcal{R}=\left \{(r\cos\theta,r\sin\theta)|a\le\theta\le b, B(\theta)\le r\le T(\theta)\right \} \nonumber \]
donde las funciones\(T(\theta)\) y\(B(\theta)\) son continuas y obedecen\(B(\theta)\le T(\theta)\) para todos\(a\le\theta\le b\text{.}\) Encuentra la masa de\(\mathcal{R}\) si tiene densidad\(f(x,y)\text{.}\)
Solución
La figura de abajo a la izquierda es un boceto de\(\mathcal{R}\text{.}\) Aviso que\(r=T(\theta)\) es la curva exterior mientras que\(r=B(\theta)\) es la curva interna.
\(\mathcal{R}\)Dividir en gajos (como en gajos de pastel 8 o gajos de queso) dibujando en muchas líneas de constante\(\theta\text{,}\) con los diversos valores de\(\theta\) diferir por una pequeña cantidad\( \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) La figura de la derecha arriba muestra una de esas cuñas, delineada en azul.
Concéntrate en cualquier cuña. Subdivida aún más la cuña en rectángulos aproximados dibujando en muchos círculos de constante\(r\text{,}\) con los diversos valores de\(r\) diferir por una pequeña cantidad\(\mathrm{d}{r}\text{.}\) La siguiente figura muestra uno de esos rectángulos aproximados, en negro.
Ahora concéntrate en uno de esos rectángulos. Digamos que contiene el punto con coordenadas polares\(r\) y\(\theta\text{.}\) como vimos en el 3.2.5 anterior,
- el área de ese rectángulo es esencialmente\(\mathrm{d}{A} = r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
- Como la densidad de masa en el rectángulo es esencialmente\(f\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)\text{,}\) la masa del rectángulo es esencialmente\(f\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)\,r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
- Para obtener la masa de cualquier cuña, digamos la cuña cuyo ángulo polar va desde\(\theta\) hasta solo\(\theta+ \mathrm{d}{\theta} \text{,}\) sumamos las masas de los rectángulos aproximados en esa cuña, integrando\(r\) desde su valor más pequeño en la cuña, es decir,\(B(\theta)\text{,}\) hasta su mayor valor en la cuña, a saber\(T(\theta)\text{.}\) La masa de la cuña es así
\[ \mathrm{d}{\theta} \int_{B(\theta)}^{T(\theta)} \mathrm{d}{r}\,r\, f\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
- Finalmente, para obtener la masa de solo\(\mathcal{R}\text{,}\) sumamos las masas de todas las diferentes cuñas, integrando\(\theta\) desde su valor más pequeño en\(\mathcal{R}\text{,}\) es decir,\(a\text{,}\) hasta su mayor valor en a\(\mathcal{R}\text{,}\) saber\(b\text{.}\)
En conclusión,
\[ \text{Mass}(\mathcal{R}) = \int_a^b \mathrm{d}{\theta} \int_{B(\theta)}^{T(\theta)} \mathrm{d}{r}\,r\, f\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
Hemos utilizado repetidamente la palabra “esencialmente” anterior para evitar entrar en los detalles esenciales requeridos para probar las cosas rigurosamente. La prueba matemáticamente correcta de 3.2.7 sigue la misma intuición, pero requiere algunos límites de error más cuidadosos, como en la opcional §3.2.4 a continuación.
En el último ejemplo, derivamos la fórmula importante que la masa de la región
\[ \mathcal{R}=\left \{(r\cos\theta,r\sin\theta)|a\le\theta\le b, B(\theta)\le r\le T(\theta)\right \} \nonumber \]
con densidad de masa\(f(x,y)\) es
\[ \text{Mass}(\mathcal{R}) = \int_a^b \mathrm{d}{\theta} \int_{B(\theta)}^{T(\theta)} \mathrm{d}{r}\,r\, f\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
Podemos adaptar inmediatamente ese ejemplo para calcular áreas y derivar la fórmula que el área de la región
\[ \mathcal{R}=\left \{(r\cos\theta,r\sin\theta)|a\le\theta\le b, 0\le r\le R(\theta)\right \} \nonumber \]
es
\[ \text{Area}(\mathcal{R}) =\frac{1}{2} \int_a^b R(\theta)^2\ \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]
Nosotros solo hemos establecido la densidad en\(1\text{.}\) Nosotros lo hacemos en el siguiente ejemplo.
\(0\le a \lt b\le 2\pi\)Dejen ser constantes. Encuentra la zona de la región
\[ \mathcal{R}=\left \{(r\cos\theta,r\sin\theta)|a\le\theta\le b, 0\le r\le B(\theta)\right \} \nonumber \]
donde la función\(R(\theta)\ge 0\) es continua.
Solución
Para obtener el área de solo\(\mathcal{R}\) necesitamos asignarle una densidad y encontrar la masa resultante. Entonces, por 3.2.7, con\(f(x,y)=1\text{,}\)\(B(\theta)=0\) y\(T(\theta)=R(\theta)\text{,}\)
\[\begin{align*} \text{Area}(\mathcal{R}) &= \int_a^b \mathrm{d}{\theta} \int_0^{R(\theta)} \mathrm{d}{r}\,r \end{align*}\]
En este caso podemos hacer fácilmente la\(r\) integral interna, dando
\[ \text{Area}(\mathcal{R}) =\frac{1}{2} \int_a^b R(\theta)^2\ \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]
La expresión\(\frac{1}{2} R(\theta)^2\ \mathrm{d}{\theta} \) en 3.2.8 tiene una interpretación geométrica. Es solo el área de una cuña de un disco circular de radio\(R(\theta)\) (con\(R(\theta)\) tratado como una constante) que subtiende el ángulo\( \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
Para ver esto, tenga en cuenta que el área de la cuña es la fracción\(\frac{ \mathrm{d}{\theta} }{2\pi}\) del área de todo el disco, que es\(\pi R(\theta)^2\text{.}\) Así que 3.2.8 solo dice que el área de se\(\mathcal{R}\) puede calcular\(\mathcal{R}\) cortando en cuñas diminutas y sumando las áreas de todas las cuñas diminutas.
Encuentra el área de un pétalo de la rosa de tres pétalos\(r=\sin(3\theta)\text{.}\)
Solución
Mirando la última cifra en el Ejemplo 3.2.4, vemos que queremos el área de
\[ \mathcal{R}=\left \{(r\cos\theta,r\sin\theta)|0\le\theta\le \frac{\pi}{3},\ 0\le r\le \sin(3\theta)\right \} \nonumber \]
Entonces, por 3.2.8 con\(a=0\text{,}\)\(b=\frac{\pi}{3}\text{,}\) y\(R(\theta) =\sin(3\theta)\text{,}\)
\[\begin{align*} \text{area}(\mathcal{R}) &=\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2(3\theta)\ \mathrm{d}{\theta} \\ &=\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{3}} \big(1-\cos(6\theta)\big) \ \mathrm{d}{\theta} \\ &= \frac{1}{4}\left[\theta -\frac{1}{6}\sin(6\theta)\right] _0^{\frac{\pi}{3}}\\ &=\frac{\pi}{12} \end{align*}\]
En el primer paso utilizamos la fórmula de doble ángulo Como\(\cos(2\phi) = 1-2\sin^2(\phi)\text{.}\) era de esperar, las identidades trigonométricas aparecen mucho cuando se utilizan coordenadas polares.
Un agujero cilíndrico de radio\(b\) se perfora simétricamente (es decir, a lo largo de un diámetro) a través de una esfera metálica de radio\(a\ge b\text{.}\) Encuentra el volumen de metal eliminado.
Solución
Vamos a usar un sistema de coordenadas con la esfera centrada en\((0,0,0)\) y con el centro del taladro siguiendo el\(z\) eje -eje. En particular, la esfera es\(x^2+y^2+z^2\le a^2\text{.}\)
Aquí hay un boceto de la parte de la esfera en el primer octante. El agujero en la esfera realizado por el taladro está delineado en rojo. Por simetría la cantidad total de metal eliminado será ocho veces la cantidad del primer octante.
Es decir, el volumen de metal eliminado será ocho veces el volumen del sólido
\[ \mathcal{V}_1 = \left \{(x,y,z)|(x,y)\in\mathcal{R}_1,\ 0\le z\le\sqrt{a^2-x^2-y^2}\right \} \nonumber \]
donde la región base
\[ \mathcal{R}_1 = \left \{(x,y)|x^2+y^2\le b^2,\ x\ge 0,\ y\ge 0\right \} \nonumber \]
En coordenadas polares
\[\begin{align*} \mathcal{V}_1 &= \left \{(r\cos\theta,r\sin\theta,z)|(r\cos\theta,r\sin\theta)\in\mathcal{R}_1,\ 0\le z\le\sqrt{a^2-r^2}\right \}\\ \mathcal{R}_1 &= \left \{(r\cos\theta,r\sin\theta)|0\le r\le b,\ 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}\right \} \end{align*}\]
Seguimos nuestra estrategia estándar de dividir y resumir. Cortaremos la región base\(\mathcal{R}_1\) en trozos pequeños y resumiremos los volúmenes que se encuentran por encima de cada pieza pequeña.
- \(\mathcal{R}_1\)Dividir en cuñas dibujando en muchas líneas de constante\(\theta\text{,}\) con los diversos valores de\(\theta\) diferir por una pequeña cantidad\( \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) La figura de la izquierda de abajo muestra una de esas cuñas, delineada en azul.
- Concéntrate en cualquier cuña. Subdivida aún más la cuña en rectángulos aproximados dibujando en muchos círculos de constante\(r\text{,}\) con los diversos valores de\(r\) diferir por una pequeña cantidad\(\mathrm{d}{r}\text{.}\) La figura de la derecha arriba muestra uno de esos rectángulos aproximados, en negro.
- Concéntrate en uno de esos rectángulos. Digamos que contiene el punto con coordenadas polares\(r\) y\(\theta\text{.}\) como vimos en el 3.2.5 anterior,
- el área de ese rectángulo es esencialmente\(\mathrm{d}{A} = r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
- La parte de\(\mathcal{V}_1\) eso que está por encima de ese rectángulo es como una torre de oficinas cuya altura es esencialmente\(\sqrt{a^2-r^2}\text{,}\) y cuya base tiene área\(\mathrm{d}{A} = r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) Se perfila en negro en la figura de abajo. Entonces el volumen de la parte de\(\mathcal{V}_1 \) eso está por encima del rectángulo es esencialmente\(\sqrt{a^2-r^2}\,r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
- Para obtener el volumen de la parte de\(\mathcal{V}_1\) arriba de cualquier cuña (delineada en azul en la figura de abajo), digamos la cuña cuyo ángulo polar va desde\(\theta\) hasta solo\(\theta+ \mathrm{d}{\theta} \text{,}\) sumamos los volúmenes por encima de los rectángulos aproximados en esa cuña, integrando\(r\) desde su valor más pequeño en la cuña, es decir,\(0\text{,}\) a su mayor valor en la cuña, a saber\(b\text{.}\) El volumen por encima de la cuña es así
\[\begin{align*} \mathrm{d}{\theta} \int_0^b \mathrm{d}{r}\,r\, \sqrt{a^2-r^2} &= \mathrm{d}{\theta} \int_{a^2}^{a^2-b^2} \frac{\mathrm{d}{u}}{-2}\, \sqrt{u}\\ &\hskip0.5in \text{where } u= a^2-r^2,\ \mathrm{d}{u} =-2r\,\mathrm{d}{r}\\ &= \mathrm{d}{\theta} \left[\frac{u^{3/2}}{-3}\right]_{a^2}^{a^2-b^2}\\ &= \frac{1}{3} \mathrm{d}{\theta} \left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right] \end{align*}\]
Observe que esta cantidad es independiente de\(\theta\text{.}\) Si piensa en esto por un momento, puede ver que esto es consecuencia de que nuestro sólido es invariante bajo rotaciones alrededor del\(z\) eje -eje.
- Finalmente, para obtener el volumen de solo\(\mathcal{V}_1\text{,}\) sumamos los volúmenes sobre todas las diferentes cuñas, integrando\(\theta\) desde su valor más pequeño en\(\mathcal{R}_1\text{,}\) es decir,\(0\text{,}\) hasta su mayor valor en a\(\mathcal{R}_1\text{,}\) saber\(\frac{\pi}{2}\text{.}\)
\[\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\frac{1}{3}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right]\\ &=\frac{\pi}{6}\left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right] \end{align*}\]
- En conclusión, el volumen total de metal eliminado es
\[\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}) &=8\,\text{Volume}(\mathcal{V}_1)\\ &=\frac{4\pi}{3}\left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right] \end{align*}\]
Tenga en cuenta que podemos aplicar fácilmente un par de comprobaciones de cordura a nuestra respuesta.
- Si el radio de la broca\(b=0\text{,}\) no se quita ningún metal en absoluto. Por lo que el volumen total eliminado debe ser cero. Nuestra respuesta sí da\(0\) en este caso.
- Si el radio de la broca\(b=a\text{,}\) el radio de la esfera, entonces toda la esfera desaparece. Entonces el volumen total eliminado debería ser el volumen de una esfera de radio\(a\text{.}\) Nuestra respuesta sí da\(\frac{4}{3}\pi a^3\) en este caso.
- Si el radio,\(a\text{,}\) de la esfera y el radio,\(b\text{,}\) de la broca se miden en unidades de metros, entonces el volumen restante\(\frac{4\pi}{3}\left[a^3-{\big(a^2-b^2\big)}^{3/2}\right]\text{,}\) tiene unidades\(\text{meters}^3\text{,}\) como debería.
Los dos problemas anteriores nos fueron dados (o casi nos dieron) en coordenadas polares. Ahora vamos a tener un poco de práctica convirtiendo integrales en coordenadas polares, y reconociendo cuándo es útil hacerlo.
Convertir las coordenadas integrales\(\int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \) a polares y evaluar el resultado.
Solución
Primero recordemos que en coordenadas polares\(x=r\cos\theta\text{,}\)\(y=r\sin\theta\) y\( \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =\mathrm{d}{A}=r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \) para que el integrando (y\(\mathrm{d}{A}\))
\[\begin{gather*} y\sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} =(r\sin\theta)\ r\ r\, \mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} =r^3\sin\theta\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \end{gather*}\]
es muy sencillo. Entonces, si esta integral será o no fácil de evaluar usando coordenadas polares, estará determinado en gran medida por el dominio de integración.
Por lo que nuestra tarea principal es bosquejar el dominio de la integración. Para prepararse para el boceto, tenga en cuenta que en la integral
\[ \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} =\int_0^1 \mathrm{d}{x} \left[\int_0^x \mathrm{d}{y} \ y\sqrt{x^2+y^2}\right] \nonumber \]
- la variable\(x\) va de\(0\) a\(1\) y
- para cada ejecución\(0\le x\le 1\text{,}\)\(y\) fija de\(0\) a\(x\text{.}\)
Entonces el dominio de la integración es
\[ \mathcal{D}=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le x\right \} \nonumber \]
que se esboza en la figura de abajo a la izquierda. Se trata de un triángulo en ángulo recto.
A continuación expresamos el dominio de integración en términos de coordenadas polares, expresando las ecuaciones de cada una de las líneas limítrofes en términos de coordenadas polares.
- El\(x\) eje\(y=r\sin\theta=0\text{,}\) -es decir\(\theta=0\text{.}\)
- La línea\(x=1\) es\(r\cos\theta=1\) o\(r=\frac{1}{\cos\theta}\text{.}\)
- Finalmente, (en el primer cuadrante) la línea
\[\begin{gather*} y=x \iff r\sin\theta = r\cos\theta \iff \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1 \iff \theta=\frac{\pi}{4} \end{gather*}\]
Entonces, en coordenadas polares, podemos escribir el dominio de la integración como
\[ \mathcal{R}=\Big\{(r,\theta)\ \Big|\ 0\le\theta\le\frac{\pi}{4},\ 0\le r\le \frac{1}{\cos\theta}\Big\} \nonumber \]
Ahora podemos rebanar\(\mathcal{R}\) usando coordenadas polares.
- \(\mathcal{R}\)Dividir en cuñas dibujando en muchas líneas de constante\(\theta\text{,}\) con los diversos valores de\(\theta\) diferir por una pequeña cantidad\( \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) La figura de la derecha arriba muestra una de esas cuñas.
- La primera cuña tiene\(\theta=0\text{.}\)
- La última cuña tiene\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{.}\)
- Concéntrate en cualquier cuña. Subdivida aún más la cuña en rectángulos aproximados dibujando en muchos círculos de constante\(r\text{,}\) con los diversos valores de\(r\) diferir por una pequeña cantidad\(\mathrm{d}{r}\text{.}\) La figura de la derecha arriba muestra uno de esos rectángulos aproximados, en negro.
- El rectángulo que contiene el punto con coordenadas polares\(r\) y\(\theta\) tiene área (esencialmente)\(r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
- El primer rectángulo tiene\(r=0\text{.}\)
- El último rectángulo tiene\(r=\frac{1}{\cos\theta}\text{.}\)
Entonces nuestra integral es
\[\begin{align*} \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} &=\int_0^{\pi/4} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{1}{\cos\theta}}\mathrm{d}{r}\ r\overbrace{(r^2\sin\theta)}^{y\sqrt{x^2+y^2}} \end{align*}\]
Debido a que la\(r\) -integral trata\(\theta\) como una constante, podemos sacar\(\sin\theta\) lo de la\(r\) integral interna.
\[\begin{align*} \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} &=\int_0^{\pi/4} \mathrm{d}{\theta} \ \sin\theta\int_0^{\frac{1}{\cos\theta}}\mathrm{d}{r}\ r^3\\ &=\frac{1}{4}\int_0^{\pi/4} \mathrm{d}{\theta} \ \sin\theta\frac{1}{\cos^4\theta} \end{align*}\]
Hacer la sustitución
\[ u=\cos\theta,\ \mathrm{d}{u}=-\sin\theta\ \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]
Cuándo\(\theta=0\text{,}\)\(u=\cos\theta=1\) y cuándo\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(u=\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}\)
\[\begin{align*} \int_0^1\int_0^x y\sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} &=\frac{1}{4}\int_1^{1/\sqrt{2}} (-\mathrm{d}{u})\frac{1}{u^4}\\ &=-\frac{1}{4}\left[\frac{u^{-3}}{-3}\right]_1^{1/\sqrt{2}} =\frac{1}{12}\left[2\sqrt{2}-1\right] \end{align*}\]
Evaluar\(\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\ \mathrm{d}{x} \text{.}\)
Solución
Esta es en realidad una pregunta engañosa. De hecho se trata de una famosa pregunta de truco 9.
El integrando\(e^{-x^2}\) no tiene un antiderivado que pueda expresarse en términos de funciones elementales 10. Por lo que no podemos evaluar esta integral utilizando los métodos habituales de Cálculo II. Sin embargo podemos evaluar su cuadrado
\[\begin{gather*} \left[\int_0^\infty e^{-x^2}\ \mathrm{d}{x} \right]^2 =\int_0^\infty e^{-x^2}\ \mathrm{d}{x} \ \int_0^\infty e^{-y^2}\ \mathrm{d}{y} =\int_0^\infty \mathrm{d}{x} \int_0^\infty \mathrm{d}{y} \ e^{-x^2-y^2} \end{gather*}\]
precisamente porque esta doble integral se puede evaluar fácilmente simplemente cambiando a coordenadas polares! El dominio de integración es el primer cuadrante\(\left \{(x,y)|x\ge 0,\ y\ge 0\right \}\text{.}\) en coordenadas polares,\( \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = r\,\mathrm{d}{r} \mathrm{d}{\theta} \) y el primer cuadrante es
\[ \left \{(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta)|r\ge 0,\ 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}\right \} \nonumber \]
Entonces
\[\begin{gather*} \left[\int_0^\infty e^{-x^2}\ \mathrm{d}{x} \right]^2 =\int_0^\infty \mathrm{d}{x} \int_0^\infty \mathrm{d}{y} \ e^{-x^2-y^2} =\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^\infty \mathrm{d}{r}\ r\, e^{-r^2} \end{gather*}\]
Como\(r\) corre todo el camino a\(+\infty\text{,}\) esto es una integral impropia, así que debemos tener un poco de cuidado.
\[\begin{align*} \left[\int_0^\infty e^{-x^2}\ \mathrm{d}{x} \right]^2 &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^R \mathrm{d}{r}\ r\, e^{-r^2}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{R^2} \frac{\mathrm{d}{u}}{2}\ e^{-u} \qquad \text{where } u= r^2,\ \mathrm{d}{u} =2r\,\mathrm{d}{r}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \ \left[-\frac{e^{-u}}{2}\right]_0^{R^2}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \frac{\pi}{2} \left[\frac{1}{2}-\frac{e^{-R^2}}{2}\right]\\ &=\frac{\pi}{4} \end{align*}\]
y así conseguimos el famoso resultado
\[\begin{gather*} \int_0^\infty e^{-x^2}\ \mathrm{d}{x} =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{gather*}\]
Encuentra el área de la región que está dentro del círculo\(r=4\cos\theta\) y a la izquierda de la línea\(x=1\text{.}\)
Solución
Primero, comprobemos que\(r=4\cos\theta\) realmente es un círculo y descubramos qué círculo es. Para ello, convertiremos la ecuación\(r=4\cos\theta\) en coordenadas cartesianas. Multiplicando ambos lados por\(r\) da
\[\begin{gather*} r^2=4r\cos\theta \iff x^2+y^2 =4x \iff (x-2)^2 + y^2 = 4 \end{gather*}\]
Así\(r=4\cos\theta\) es el círculo de radio\(2\) centrado en También\((2,0)\text{.}\) necesitaremos el punto (s) de intersección de\(x=r\cos\theta=1\) y\(r=4\cos\theta\text{.}\) En tal punto de intersección
\[\begin{align*} r\cos\theta=1,\ r=4\cos\theta &\implies \frac{1}{\cos\theta} = 4\cos\theta\\ &\implies \cos^2\theta = \frac{1}{4}\\ &\implies \cos\theta =\frac{1}{2}\qquad\text{since }r\cos\theta=1 \gt 0\\ &\implies \theta = \pm \frac{\pi}{3} \end{align*}\]
Aquí hay un boceto de la región de interés, a la que llamaremos\(\mathcal{R}\text{.}\)
Podríamos averiguar el área de\(\mathcal{R}\) usando alguna geometría de secundaria, porque\(\mathcal{R}\) es una cuña circular con un triángulo eliminado. (Ver Ejemplo 3.2.15, a continuación.)
En cambio, trataremos su cómputo como un ejercicio de integración usando coordenadas polares.
Como\(\mathcal{R}\) es simétrico alrededor del\(x\) eje, el área de\(\mathcal{R}\) es el doble del área de la parte que está por encima del\(x\) eje. Vamos a denotar por\(\mathcal{R}_1\) la mitad superior de\(\mathcal{R}\text{.}\) Tenga en cuenta que podemos escribir la ecuación\(x=1\) en coordenadas polares como\(r=\frac{1}{\cos\theta}\text{.}\) Aquí hay un boceto de\(\mathcal{R}_1\text{.}\)
Observe que, encendido\(\mathcal{R}_1\text{,}\) para cualquier fijo\(\theta\) entre\(0\) y\(\frac{\pi}{2}\text{,}\)
- si\(\theta \lt \frac{\pi}{3}\text{,}\) luego\(r\) se ejecuta de\(0\) a\(\frac{1}{\cos\theta}\text{,}\) mientras
- si\(\theta \gt \frac{\pi}{3}\text{,}\) luego\(r\) se ejecuta de\(0\) a\(4\cos\theta\text{.}\)
Esto nos lleva naturalmente a dividir el dominio de la integración en\(\theta =\frac{\pi}{3}\text{:}\)
\[\begin{align*} \text{Area}(\mathcal{R}_1)& = \int_0^{\pi/3} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{1/\cos\theta}\mathrm{d}{r}\ r +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{4\cos\theta}\mathrm{d}{r}\ r \end{align*}\]
Como\(\int r\ \mathrm{d}{r}=\frac{r^2}{2}+C\text{,}\)
\[\begin{align*} \text{Area}(\mathcal{R}_1) &=\int_0^{\pi/3} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{\sec^2\theta}{2} +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \ 8\cos^2\theta\\ &=\frac{1}{2}\tan\theta\Big|_0^{\pi/3} +4\int_{\pi/3}^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \ \big[1+\cos(2\theta)\big]\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2} +4\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{\pi/3}^{\pi/2}\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2} +4\left[\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]\\ &=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\]
y
\[\begin{gather*} \text{Area}(\mathcal{R})=2\text{Area}(\mathcal{R}_1) = \frac{4\pi}{3}-\sqrt{3} \end{gather*}\]
Ahora volveremos a calcular el área de la región\(\mathcal{R}\) que está dentro del círculo\(r=4\cos\theta\) y a la izquierda de la línea\(x=1\text{.}\) Esa fue la región de interés en el Ejemplo 3.2.14. Esta vez solo usaremos algo de geometría. Piense en\(\mathcal{R}\) como siendo la cuña\(\mathcal{W}\text{,}\) de la figura a la izquierda de abajo, con el triángulo\(\mathcal{T}\text{,}\) de la figura a la derecha abajo, eliminado.
- Primero obtendremos el área de\(\mathcal{W}\text{.}\) El coseno del ángulo entre el\(x\) eje y el radio vector de\(C\) a\(A\) es\(\frac{1}{2}\text{.}\) Así que ese ángulo es\(\frac{\pi}{3}\) y\(\mathcal{W}\) subtiende un ángulo de Todo\(\frac{2\pi}{3}\text{.}\) el círculo tiene área\(\pi 2^2\text{,}\) para que\(\mathcal{W}\text{,}\) que sea la fracción\(\frac{2\pi/3}{2\pi}=\frac{1}{3}\) del círculo completo, tiene área\(\frac{4\pi}{3}\text{.}\)
- Ahora vamos a obtener el área del triángulo\(\mathcal{T}\text{.}\)\(\mathcal{T}\) Piense en tener base\(BD\text{.}\) Entonces la longitud de la base de\(\mathcal{T}\) es\(2\sqrt{3}\) y la altura de\(\mathcal{T}\) es\(1\text{.}\) Así\(\mathcal{T}\) tiene área\(\frac{1}{2}(2\sqrt{3})(1) =\sqrt{3}\text{.}\)
Todos juntos
\[\begin{align*} \text{Area}(\mathcal{R}) &=\text{Area}(\mathcal{W})-\text{Area}(\mathcal{T}) =\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3} \end{align*}\]
Utilizamos algunas manos agitando para derivar la fórmula de área 3.2.8: la palabra “esencialmente” apareció bastantes veces. Aquí es cómo hacer esa derivación más rigurosamente.
Opcional: Control de errores para la fórmula de área polar>
Let\(0\le a \lt b\le 2\pi\text{.}\) En los Ejemplos 3.2.6 y 3.2.9 derivamos la fórmula
\[ A=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \nonumber \]
para la zona de la región
\[ \mathcal{R}= \left \{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)|a\le\theta\le b,\ 0\le r\le R(\theta)\right \} \nonumber \]
En el transcurso de esa derivación aproximamos el área de la región sombreada en
por\(\mathrm{d}{A} = r\,\mathrm{d}{r}\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
Ahora justificaremos esa aproximación, bajo el supuesto de que
\[ 0\le R(\theta)\le M \qquad |R'(\theta)|\le L \nonumber \]
para todos Es\(a\le \theta\le b\text{.}\) decir,\(R(\theta)\) está acotado y su derivado existe y está acotado también.
Dividir el intervalo\(a\le \theta\le b\) en subintervalos\(n\) iguales, cada uno de longitud\(\Delta\theta=\frac{b-a}{n}\text{.}\) Let\(\theta_i^*\) ser el punto medio del\(i^{\rm th}\) intervalo. En el\(i^{\rm th}\) intervalo,\(\theta\) va de\(\theta_i^*-\frac{1}{2}\Delta\theta\) a\(\theta_i^*+\frac{1}{2}\Delta\theta\text{.}\)
Por el teorema del valor medio
\[\begin{gather*} R(\theta)-R(\theta_i^*) = R'(c) (\theta-\theta_i^*) \end{gather*}\]
para algunos\(c\) entre\(\theta\) y\(\theta_i^*\text{.}\) Porque\(|R'(\theta)|\le L\)
\[ \big|R(\theta)-R(\theta_i^*)\big| \le L \big|\theta-\theta_i^*\big| \tag{$*$} \nonumber \]
Esto nos dice que la diferencia entre\(R(\theta)\) y no\(R(\theta_i^*)\) puede ser demasiado grande en comparación con\(\big|\theta-\theta_i^*\big|\text{.}\)
En el\(i^{\rm th}\) intervalo, el radio\(r=R(\theta)\) recorre todos los valores de\(R(\theta)\) con\(\theta\) satisfactorio\(\big|\theta-\theta_i^*\big|\le\frac{1}{2}\Delta\theta\text{.}\) Por\((*)\text{,}\) todos estos valores de\(R(\theta)\) mentira entre\(r_i=R(\theta_i^*)-\frac{1}{2} L\Delta\theta\) y\(R_i=R(\theta_i^*) +\frac{1}{2} L\Delta\theta\text{.}\) Consecuentemente la parte de\(\mathcal{R}\) tener\(\theta\) en el\(i^{\rm th}\) subintervalo, a saber,
\[ \mathcal{R}_i= \left \{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)|\theta_i^*-\frac{1}{2}\Delta\theta\le\theta\le \theta_i^*+\frac{1}{2}\Delta\theta, \ 0\le r\le R(\theta)\right \} \nonumber \]
debe contener todo el sector circular
\[ \left \{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)|\theta_i^*-\frac{1}{2}\Delta\theta\le\theta\le \theta_i^*+\frac{1}{2}\Delta\theta, \ 0\le r\le r_i\right \} \nonumber \]
y deben estar completamente contenidos dentro del sector circular
\[ \left \{\big(r\cos\theta,r\sin\theta\big)|\theta_i^*-\frac{1}{2}\Delta\theta\le\theta\le \theta_i^*+\frac{1}{2}\Delta\theta, \ 0\le r\le R_i\right \} \nonumber \]
Es decir, hemos encontrado un sector circular que es más grande que el que estamos aproximando, y un sector circular que es más pequeño. El área de un disco circular de radio\(\rho\) es\(\pi\rho^2\text{.}\) Un sector circular de radio\(\rho\) que subtiende un ángulo\(\Delta \theta\) es la fracción\(\frac{\Delta\theta}{2\pi}\) del disco completo y también lo ha hecho el área\(\frac{\Delta\theta}{2\pi}\pi\rho^2 = \frac{\Delta\theta}{2}\rho^2\text{.}\)
Entonces el área de\(\mathcal{R}_i\) debe estar entre
\[ \frac{1}{2}\Delta\theta\, r_i^2 =\frac{1}{2}\Delta\theta\left[R(\theta_i^*)-\frac{1}{2} L\Delta\theta\right]^2 \quad\text{and}\quad \frac{1}{2}\Delta\theta\, R_i^2 =\frac{1}{2}\Delta\theta\left[R(\theta_i^*)+\frac{1}{2} L\Delta\theta\right]^2 \nonumber \]
Observe que
\[ \left[R(\theta_i^*)\pm \frac{1}{2} L\Delta\theta\right]^2 =R(\theta_i^*)^2 \pm L R(\theta_i^*)\Delta\theta +\frac{1}{4} L^2\Delta\theta^2 \nonumber \]
implica que, ya que\(0\le R(\theta)\le M\text{,}\)
\[\begin{gather*} R(\theta_i^*)^2 - L M\Delta\theta +\frac{1}{4} L^2\Delta\theta^2\hskip2in\\ \le \left[R(\theta_i^*)\pm \frac{1}{2} L\Delta\theta\right]^2\le\\ \hskip2in R(\theta_i^*)^2 + L M\Delta\theta +\frac{1}{4} L^2\Delta\theta^2 \end{gather*}\]
De ahí (multiplicando por\(\frac{\Delta\theta}{2}\) para convertirlos en áreas)
\[\begin{gather*} \frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\Delta\theta - \frac{1}{2} L M\Delta\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\Delta\theta^3\hskip2in\\ \le\text{Area}(\mathcal{R}_i)\le\\ \hskip2in\frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\Delta\theta + \frac{1}{2} L M\Delta\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\Delta\theta^3 \end{gather*}\]
y el área total\(A\) obedece a los límites
\[\begin{gather*} \sum_{i=1}^n\left[ \frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\Delta\theta - \frac{1}{2} L M\Delta\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\Delta\theta^3\right]\hskip2in\\ \le A\le\\ \hskip2in\sum_{i=1}^n\left[\frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\Delta\theta + \frac{1}{2} L M\Delta\theta^2 +\frac{1}{8} L^2\Delta\theta^3\right] \end{gather*}\]
y
\[\begin{gather*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\Delta\theta - \frac{1}{2} n L M\Delta\theta^2 +\frac{1}{8} n L^2\Delta\theta^3\hskip2in\\ \le A\le\\ \hskip2in\sum_{i=1}^n\frac{1}{2} R(\theta_i^*)^2\Delta\theta + \frac{1}{2} n L M\Delta\theta^2 +\frac{1}{8} nL^2\Delta\theta^3 \end{gather*}\]
Desde\(\Delta \theta=\frac{b-a}{n}\text{,}\)
\[\begin{gather*} \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\Delta\theta \!-\! \frac{ L M}{2}\frac{(b\!-\!a)^2}{n} \!+\!\frac{L^2}{8} \frac{(b\!-\!a)^3}{n^2}\hskip2in\\ \le A\le\\ \hskip2in\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\Delta\theta \!+\! \frac{ L M}{2}\frac{(b\!-\!a)^2}{n} \!+\! \frac{L^2}{8} \frac{(b\!-\!a)^3}{n^2} \end{gather*}\]
Ahora toma el límite como\(n\rightarrow\infty\text{.}\) Since
\[\begin{align*} &\lim_{n\rightarrow\infty}\left[ \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n R(\theta_i^*)^2\Delta\theta \pm \frac{ L M}{2}\frac{(b-a)^2}{n} +\frac{L^2}{8} \frac{(b-a)^3}{n^2}\right] \cr &\hskip1in=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \pm \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{ L M}{2}\frac{(b-a)^2}{n} +\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{L^2}{8} \frac{(b-a)^3}{n^2}\\ &\hskip1in=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \qquad \text{(since $L, M, a$ and $b$ are all constants)} \end{align*}\]
tenemos eso
\[ A=\frac{1}{2}\int_a^b R(\theta)^2\,d\theta \nonumber \]
exactamente, como se desee.
Ejercicios
Etapa 1
Considerar los puntos
\[\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}\]
Para cada\(1\le i\le 5\text{,}\)
- bosquejo, en el\(xy\) plano -plano, el punto\((x_i,y_i)\) y
- encontrar las coordenadas polares\(r_i\) y\(\theta_i\text{,}\) con\(0\le\theta_i \lt 2\pi\text{,}\) para el punto\((x_i,y_i)\text{.}\)
- Encuentra todos los pares de\((r,\theta)\) tal manera que
\[ (-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
- Encuentra todos los pares de\((r,\theta)\) tal manera que
\[ (1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
- Encuentra todos los pares de\((r,\theta)\) tal manera que
\[ (-1,-1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
Considerar los puntos
\[\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}\]
También definir, para cada ángulo\(\theta\text{,}\) los vectores
\[\begin{gather*} \textbf{e}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\pmb{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\pmb{\jmath}}\qquad \textbf{e}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\pmb{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]
- Determinar, para cada ángulo\(\theta\text{,}\) las longitudes de los vectores\(\textbf{e}_r(\theta)\) y\(\textbf{e}_\theta(\theta)\) y el ángulo entre los vectores\(\textbf{e}_r(\theta)\) y\(\textbf{e}_\theta(\theta)\text{.}\) Calcular\(\textbf{e}_r(\theta)\times\textbf{e}_\theta(\theta)\) (visualización\(\textbf{e}_r(\theta)\) y\(\textbf{e}_\theta(\theta)\) como vectores en tres dimensiones con cero\(\hat{\mathbf{k}}\) componentes).
- Para cada\(1\le i\le 5\text{,}\) boceto, en el\(xy\) plano -plano, el punto\((x_i,y_i)\) y los vectores\(\textbf{e}_r(\theta_i)\) y\(\textbf{e}_\theta(\theta_i)\text{.}\) En tu boceto de los vectores, coloca las colas de los vectores\(\textbf{e}_r(\theta_i)\) y\(\textbf{e}_\theta(\theta_i)\) en\((x_i,y_i)\text{.}\)
Dejar\(\left \langle a, b \right \rangle\) ser un vector. Dejar\(r\) ser la longitud de\(\left \langle a, b \right \rangle\) y\(\theta\) ser el ángulo entre\(\left \langle a, b \right \rangle\) y el\(x\) -eje.
- Expreso\(a\) y\(b\) en términos de\(r\) y\(\theta\text{.}\)
- Dejar\(\left \langle A, B \right \rangle\) ser el vector obtenido al girar\(\left \langle a, b \right \rangle\) por un ángulo\(\vec{a}rphi\) alrededor de su cola. Express\(A\) y\(B\) en términos de\(a\text{,}\)\(b\) y\(\vec{a}rphi\text{.}\)
Para cada una de las regiones\(\mathcal{R}\) esbozadas a continuación, exprese\(\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) como una integral iterada en coordenadas polares de dos maneras diferentes.
Esbozar el dominio de integración en el\(xy\) plano para cada una de las siguientes integrales de coordenadas polares.
- \(\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}{r} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}{\theta} \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\)
- \(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}{r} \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\)
- \(\displaystyle \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}{r} \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)\)
Etapa 2
Utilice coordenadas polares para evaluar cada una de las siguientes integrales.
- \(\displaystyle\iint_{S} (x+y) \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \)donde\(S\) está la región en el primer cuadrante que se encuentra dentro del disco\(x^2+y^2\le a^2\) y debajo de la línea\(y=\sqrt{3}x\text{.}\)
- \(\displaystyle\iint_Sx\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{,}\)donde\(S\) esta el segmento de disco\(x^2+y^2\le 2,\ x\ge 1\text{.}\)
- \(\displaystyle\iint_{T} (x^2+y^2) \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \)donde\(T\) está el triángulo con vértices\((0,0), (1,0)\) y\((1,1)\text{.}\)
- \(\displaystyle \iint_{x^2+y^2\le 1} \ln(x^2+y^2)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \)
Encuentra el volumen que se encuentra dentro de la esfera\(x^2+y^2+z^2=2\) y por encima del paraboloide\(z=x^2+y^2\text{.}\)
Deje\(a \gt 0\text{.}\) encontrar el volumen que se encuentra dentro del cilindro\(x^2+(y-a)^2=a^2\) y entre las mitades superior e inferior del cono\(z^2=x^2+y^2\text{.}\)
Deje\(a \gt 0\text{.}\) encontrar el volumen común a los cilindros\(x^2+y^2\le 2ax\) y\(z^2\le 2ax\text{.}\)
Considerar la región\(E\) en 3—dimensiones especificadas por las desigualdades\(x^2 + y^2 \le 2y\) y\(0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}\text{.}\)
- Dibuje una imagen razonablemente precisa\(E\) en 3—dimensiones. Asegúrese de mostrar las unidades en los ejes de coordenadas.
- Usa coordenadas polares para encontrar el volumen de\(E\text{.}\) Tenga en cuenta que estará “usando coordenadas polares” si resuelve este problema por medio de coordenadas cilíndricas.
Evaluar la doble integral iterada
\[ \int_{x=0}^{x=2}\int_{y=0}^{y=\sqrt{4-x^2}} {(x^2+y^2)}^{\frac{3}{2}}\ \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]
- Croquis de la región\(\mathcal{L}\) (en el primer cuadrante del\(xy\) plano —) con curvas de límite
\[ x^2 + y^2 = 2,\ x^2 + y^2 = 4,\ y = x,\ y = 0. \nonumber \]
La masa de una lámina delgada con una función de densidad\(\rho(x,y)\) sobre la región\(\mathcal{L}\) viene dada por\[ M =\iint_{\mathcal{L}} \rho(x,y)\,\mathrm{d}{A} \nonumber \]
- Encuentra una expresión para\(M\) como integral en coordenadas polares.
- Encuentra M cuando
\[ \rho(x,y) = \frac{2xy}{x^2+y^2} \nonumber \]
Evaluar\(\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^2} \frac{1}{{(1+x^2+y^2)}^2}\ \mathrm{d}{A}\text{.}\)
Evaluar la doble integral
\[ \iint_D y\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{d}{A} \nonumber \]
sobre la región\(D =\left \{(x,y)| x^2+y^2\le 2,\ 0\le y\le x\right \}\text{.}\)
Esta pregunta es sobre la integral
\[ \int_0^1 \int_{\sqrt{3}y}^{\sqrt{4-y^2}} \ln\big(1+x^2+y^2)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]
- Esbozar el dominio de la integración.
- Evaluar la integral transformándose en coordenadas polares.
Dejar\(D\) ser la región en el\(xy\) plano —delimitado a la izquierda por la línea\(x = 2\) y a la derecha por el círculo\(x^2 + y^2 = 16\text{.}\) Evaluar
\[ \iint_D\big(x^2+y^2\big)^{-3/2}\ \mathrm{d}{A} \nonumber \]
En el\(xy\) plano —el disco\(x^2 + y^2 \le 2x\) se corta en\(2\) pedazos por la línea\(y = x\text{.}\) Let\(D\) be la pieza más grande.
- Croquis\(D\) que incluye una descripción precisa del centro y el radio del disco dado. Luego describa\(D\) en coordenadas polares\((r, \theta)\text{.}\)
- Encuentra el volumen del sólido abajo\(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) y arriba\(D\text{.}\)
Dejar\(D\) ser la región sombreada en el diagrama. Encuentra la distancia promedio de puntos en\(D\) desde el origen. Puedes usar eso\(\int\cos^n(x)\,dx = \frac{\cos^{n-1}(x)\sin(x)}{n} +\frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)\,dx\) para todos los números naturales\(n\ge 2\text{.}\)
Etapa 3
Que\(G\) sea la región en\(\mathbb{R}^2\) dada por
\[\begin{gather*} x^2 + y^2 \le 1\\ 0 \le x \le 2y\\ y \le 2x \end{gather*}\]
- Esbozar la región\(G\text{.}\)
- Expresar la integral\(\iint_G f(x,y)\ \mathrm{d}{A}\) una suma de integrales iteradas\(\iint f(x, y)\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \text{.}\)
- Expresar la integral\(\iint_G f(x,y)\ \mathrm{d}{A}\) como una integral iterada en coordenadas polares\((r, \theta)\) donde\(x = r \cos(\theta)\) y\(y = r \sin(\theta)\text{.}\)
Considerar
\[ J = \int_0^{\sqrt{2}} \int_y^{\sqrt{4-y^2}} \frac{y}{x} e^{x^2+y^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]
- Esbozar la región de integración.
- Invierta el orden de integración.
- Evaluar\(J\) mediante el uso de coordenadas polares.
Encuentra el volumen de la región en el primer octante debajo del paraboloide
\[ z=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \nonumber \]
Un percolador de café simétrico sostiene 24 tazas cuando está lleno. El interior tiene una sección transversal circular que se estrecha desde un radio de 3' en el centro hasta 2' en la base y la parte superior, que están separados 12'. La superficie delimitadora es parabólica. ¿Dónde se debe colocar la marca que indica el nivel de 6 tazas?
Considere la superficie\(S\) dada por\(z=e^{x^2+y^2}\text{.}\)
- Calcule el volumen por debajo\(S\) y por encima del disco\(x^2+y^2\le 9\) en el\(xy\) plano.
- El volumen por debajo\(S\) y por encima de una determinada región\(R\) en el\(xy\) plano es
\[ \int_0^1\bigg(\int_0^y e^{x^2+y^2}\, \mathrm{d}{x} \bigg) \mathrm{d}{y} +\int_1^2\bigg(\int_0^{2-y} e^{x^2+y^2}\, \mathrm{d}{x} \bigg) \mathrm{d}{y} \nonumber \]
Esbozar\(R\) y expresar el volumen como una sola integral iterada con el orden de integración invertido. No compute ninguna integral en la parte (b).
- El “martillo dorado” (también conocido como martillo de Maslow y como ley del instrumento) se refiere a una tendencia a usar siempre la misma herramienta, incluso cuando no es la mejor herramienta para el trabajo. Es igual de malo en matemáticas como lo es en carpintería.
- En la literatura matemática, la coordenada angular se suele denotar\(\theta\text{,}\) como lo hacemos aquí. El símbolo también\(\phi\) se usa a menudo para la coordenada angular. De hecho existe una norma ISO (#80000 — 2) que especifica que se\(\phi\) debe utilizar en las ciencias naturales y en la tecnología. Ver Apéndice A.7.
- o en sentido antihorario o widdershins. Sí, widdershins es una palabra real, aunque el Oxford English Dictionary enumera su frecuencia de uso entre 0.01 y 0.1 veces por millón de palabras. Por supuesto tanto “en sentido antihorario” como “antihorario” asumen que su reloj no es un reloj de sol en el hemisferio sur.
- Bueno, el corazón de un matemático. El nombre “cardioide” proviene de la palabra griega\(\kappa \alpha \rho \delta \iota \alpha \) (que angliciza a kardia) para corazón.
- El nombre rhodenea apareció por primera vez en la publicación Flores geometrici de 1728 del monje, teólogo, matemático e ingeniero italiano, Guido Grandi (1671— 1742).
- Recordemos que se\(\theta\) tiene que medir en radianes para que esto sea cierto.
- “Agitar las manos” a veces se usa como peyorativo para referirse a un argumento que carece de sustancia. Aquí solo lo estamos usando para indicar que hemos dejado fuera un montón de detalles técnicos. En matemáticas, el “seguimiento de la nariz” a veces se usa como el polo opuesto de agitar las manos. Se refiere a una línea de razonamiento muy estrecha, mecánica.
- Hay un juego de palabras de pie/pi/pye en alguna parte.
- La solución se atribuye al matemático francés Sim\ 'eon Denis Poisson (1781 — 840) y fue publicada en el libro de texto Cours d'analyse de l'\ 'ecole polytechnique de Jacob Karl Franz Sturm (1803 — 1855).
- Por otro lado, es el núcleo de la función lo\(\text{erf} (z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-t^2}\ \mathrm{d}{t}\text{,}\) que da probabilidades gaussianas (es decir, curva de campana). “erf” significa “función de error”.