Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.6: Integrales triples en coordenadas cilíndricas

  • Page ID
    118839
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

    Muchos problemas poseen simetrías naturales. Podemos facilitar nuestro trabajo mediante el uso de sistemas de coordenadas, como coordenadas polares, que se adaptan a esas simetrías. Analizaremos dos sistemas de coordenadas más de este tipo: coordenadas cilíndricas y esféricas.

    Coordenadas cilíndricas

    En el caso de que se desee calcular, por ejemplo, la masa de un objeto que es invariante bajo rotaciones alrededor del\(z\) eje 1, es ventajoso utilizar una generalización natural de coordenadas polares a tres dimensiones. El sistema de coordenadas se llama coordenadas cilíndricas.

    Definición 3.6.1

    Las coordenadas cilíndricas se indican con 2\(r\text{,}\)\(\theta\)\(z\) y se definen por

    \[\begin{align*} r&=\text{ the distance from }(x,y,0)\text{ to }(0,0,0)\\ &=\text{ the distance from }(x,y,z)\text{ to the $z$-axis}\\ \theta&=\text{ the angle between the positive $x$ axis and}\\ & \qquad\qquad \text{the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ the signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

    cyl1.svg

    Es decir,\(r\) y\(\theta\) son las coordenadas polares habituales y\(z\) es la habitual\(z\text{.}\)

    Las coordenadas cartesianas y cilíndricas están relacionadas por 3

    Ecuación 3.6.2

    \[\begin{align*} x&=r\cos\theta & y&=r\sin\theta & z&=z\\ r&=\sqrt{x^2+y^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

    Aquí hay bocetos de superficies de constante\(r\text{,}\) constante\(\theta\text{,}\) y constante\(z\text{.}\)

    cyl3.svgcyl4.svgcyl2.svg

    El elemento de volumen en coordenadas cilíndricas

    Antes de que podamos comenzar a integrar usando estas coordenadas necesitamos determinar el elemento de volumen. Recordemos que antes de integrarnos en coordenadas polares, tuvimos que establecer que\(\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) En los argumentos que siguen establecemos que\(\mathrm{d}V =r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \text{.}\)

    Si cortamos un sólido por

    • primero cortarlo en placas horizontales de espesor\( \mathrm{d}{z} \) mediante el uso de planos de constante\(z\text{,}\)
      sphereCyl1.svg
    • y luego subdividiendo las placas en cuñas usando superficies de constante\(\theta\text{,}\) decir con la diferencia entre sucesivos\(\theta\)\( \mathrm{d}{\theta} \text{,}\)
      sphereCyl2.svg
    • y luego subdividiendo las cuñas en cubos aproximados usando superficies de\(r\text{,}\) decir constante con la diferencia entre ser sucesivos\(r\)\(\mathrm{d}r\text{,}\)
      sphereCyl3.svg

    terminamos con cubos aproximados que parecen

    cylCube.svg

    • Cuando introdujimos rebanadas usando superficies de constante\(r\text{,}\) la diferencia entre los sucesivos\(r\) fue\(\mathrm{d}r\text{,}\) así que el borde indicado del cubo tiene longitud\(\mathrm{d}r\text{.}\)
    • Cuando introdujimos rebanadas usando superficies de constante\(z\text{,}\) la diferencia entre los sucesivos\(z\) era\( \mathrm{d}{z} \text{,}\) así que los bordes verticales del cubo tienen longitud\( \mathrm{d}{z} \text{.}\)
    • Cuando introdujimos rebanadas usando superficies de constante\(\theta\text{,}\) la diferencia entre los sucesivos\(\theta\) fue\( \mathrm{d}{\theta} \text{,}\) así que los bordes restantes del cubo son arcos circulares de radio esencialmente 4\(r\) que subtienden un ángulo\(\theta\text{,}\) y así tienen longitud\(r\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) Ver el derivación de la ecuación 3.2.5.

    Entonces el volumen del cubo aproximado en coordenadas cilíndricas es (esencialmente 5)

    Ecuación 3.6.3

    \[ \mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \nonumber \]

    Integrales de muestra en coordenadas cilíndricas

    Ahora podemos usar 3.6.3 para manejar una variante del Ejemplo 3.5.1 en la que la densidad es invariante bajo rotaciones alrededor del\(z\) eje -eje. Las coordenadas cilíndricas se ajustan para proporcionar integrales más fáciles de evaluar cuando el integrando es invariante bajo rotaciones alrededor del\(z\) eje, o cuando el dominio de integración es cilíndrico.

    Ejemplo 3.6.4

    Encuentra la masa del cuerpo sólido que consiste en el interior de la esfera\(x^2+y^2+z^2=1\) si la densidad es\(\rho(x,y,z) = x^2+y^2\text{.}\)

    Solución

    Antes de comenzar, tenga en cuenta que\(x^2+y^2\) es el cuadrado de la distancia desde\((x,y,z)\) el\(z\) eje -eje. En consecuencia,\(x^2+y^2\text{,}\) tanto el integrando como el dominio de integración,\(x^2+y^2+z^2\le 1\text{,}\) y por lo tanto nuestro sólido, son invariantes bajo rotaciones alrededor del\(z\) eje -6. Eso hace de esta integral un buen candidato para las coordenadas cilíndricas.

    Nuevamente, por simetría la masa total de la esfera será ocho veces la masa en el primer octante. Cortaremos la primera parte octante de la esfera en pequeños trozos usando coordenadas cilíndricas. Es decir, lo cortaremos usando planos de\(z\text{,}\) planos constantes de constantes\(\theta\text{,}\) y superficies de constante\(r\text{.}\)

    • Primero corta la (la primera parte octante de la) esfera en placas horizontales insertando muchos planos de constante\(z\text{,}\) con los diversos valores de\(z\) diferir por\( \mathrm{d}{z} \text{.}\) La figura de la izquierda de abajo muestra la parte de una placa en el primer octante delineada en rojo. Cada plato
      • tiene espesor\( \mathrm{d}{z} \text{,}\)
      • tiene\(z\) esencialmente constante en la placa, y
      • tiene\((x,y)\) atropello\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\text{,}\)\(x^2+y^2\le 1-z^2\text{.}\) En coordenadas cilíndricas,\(r\) corre de\(0\) a\(\sqrt{1-z^2}\) y\(\theta\) corre de\(0\) a\(\frac{\pi}{2}\text{.}\)
      • La placa inferior tiene, esencialmente,\(z=0\) y la placa superior tiene, esencialmente,\(z=1\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.
        sphereCyl1a.svg
        sphereCyl1b.svg

      Hasta el momento, esto se parece a lo que hicimos en el Ejemplo 3.5.1.

    • Concéntrese en cualquier plato. Subdividirlo en cuñas insertando muchos planos de constante\(\theta\text{,}\) con los diversos valores de\(\theta\) diferir por\( \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) La figura de la izquierda de abajo muestra una de esas cuñas delineada en azul. Cada cuña
      • tiene\(z\) y\(\theta\) esencialmente constante en la cuña, y
      • ha\(r\) atropellado\(0\le r\le \sqrt{1-z^2}\text{.}\)
      • La cuña más a la izquierda tiene, esencialmente,\(\theta=0\) y la cuña más a la derecha tiene, esencialmente,\(\theta=\frac{\pi}{2}\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.
        sphereCyl2a.svg
        sphereCyl2b.svg
    • Concéntrate en cualquier cuña. Subdividirlo en diminutos cubos aproximados insertando muchas superficies de constante\(r\text{,}\) con los diversos valores de\(r\) diferir por\(\mathrm{d}r\text{.}\) La figura de abajo a la izquierda muestra la parte superior de un cubo aproximado en negro. Cada cubo
      • tiene volumen\(r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \text{,}\) por 3.6.3, y
      • tiene\(r\text{,}\)\(\theta\) y\(z\) todo esencialmente constante en el cubo.
      • El primer cubo tiene, esencialmente,\(r=0\) y el último cubo tiene, esencialmente,\(r=\sqrt{1-z^2}\text{.}\) Ver la figura de abajo a la derecha.

    sphereCyl3a.svgsphereCyl3b.svg

    Ahora podemos construir la masa.

    • Concéntrese en un cubo aproximado. Digamos que contiene el punto con coordenadas cilíndricas\(r\text{,}\)\(\theta\) y\(z\text{.}\)
      • El cubo tiene volumen esencialmente\(\mathrm{d}V=r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \) y
      • esencialmente tiene densidad\(\rho(x,y,z)=\rho(r\cos\theta,r\sin\theta,z) = r^2\) y así
      • esencialmente tiene masa\(r^3\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \text{.}\) (¡mira lo bonito que puede ser el sistema de coordenadas correcto!)
    • Para obtener la masa cualquier cuña, digamos la cuña cuya\(\theta\) coordenada va desde\(\theta\) hasta solo\(\theta+ \mathrm{d}{\theta} \text{,}\) sumamos las masas de los cubos aproximados en esa cuña, integrando\(r\) desde su valor más pequeño en la cuña, es decir,\(0\text{,}\) hasta su mayor valor en la cuña, a saber,\(\sqrt{1-z^2}\text{.}\) La masa de la cuña es así

      \[\begin{gather*} \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}r\,r^3 \end{gather*}\]

    • Para obtener la masa de cualquier placa, digamos la placa cuya\(z\) coordenada va desde\(z\) hasta solo\(z+ \mathrm{d}{z} \text{,}\) sumamos las masas de las cuñas en esa placa, integrando\(\theta\) desde su valor más pequeño en la placa, es decir,\(0\text{,}\) hasta su mayor valor en la placa, es decir,\(\frac{\pi}{2}\text{.}\) El masa de la placa es así

      \[\begin{gather*} \mathrm{d}{z} \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}r\,r^3 \end{gather*}\]

    • Para obtener la masa de la parte de la esfera en el primer octante, solo sumamos las masas de las placas que contiene, integrando\(z\) desde su valor más pequeño en el octante, es decir,\(0\text{,}\) hasta su mayor valor en la esfera, a saber\(1\text{.}\) La masa en el primer octante es así

      \[\begin{align*} \int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}r\,r^3 &= \frac{1}{4}\int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \ {(1-z^2)}^2\\ &= \frac{\pi}{8}\int_0^1 \mathrm{d}{z} \ {(1-z^2)}^2\\ &=\frac{\pi}{8}\int_0^1 \mathrm{d}{z} \ (1-2z^2+z^4)\\ &= \frac{\pi}{8}\overbrace{\left[1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right]}^{8/15}\\ &=\frac{1}{15}\pi \end{align*}\]

    • Entonces la masa de la esfera total (ocho octantes) es\(8\times\frac{1}{15}\pi=\frac{8}{15}\pi\text{.}\)

    Sólo a modo de comparación, aquí está la integral en coordenadas cartesianas que da la masa en el primer octante. (Encontramos los límites de integración en el Ejemplo 3.5.1.)

    \[ \int_0^1 \mathrm{d}{z} \int_0^{\sqrt{1-z^2}} \mathrm{d}{y} \int_0^{\sqrt{1-y^2-z^2}} \mathrm{d}{x} \ \big(x^2+y^2\big) \nonumber \]

    En el siguiente ejemplo, calculamos el momento de inercia de un cono circular derecho. La Definición 3.3.13 del momento de inercia se limitó a dos dimensiones. Sin embargo, como se señaló en su momento, el mismo análisis se extiende naturalmente a la definición

    Ecuación 3.6.5

    \[ I_\mathcal{A}=\iiint_\mathcal{V} D(x,y,z)^2\,\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \nonumber \]

    del momento de inercia de un sólido\(\mathcal{V}\) en tres dimensiones. Aquí

    • \(\rho(x,y,z)\)es la densidad de masa del sólido en el punto\((x,y,z)\) y
    • \(D(x,y,z)\)es la distancia desde\((x,y,z)\) el eje de rotación.
    Ejemplo 3.6.6

    Encuentra el momento de inercia de un cono circular derecho

    • de radio\(a\text{,}\)
    • de altura\(h\text{,}\) y
    • de densidad constante con masa\(M\)

    alrededor de un eje a través del vértice (es decir, la punta del cono) y paralelo a la base.

    Solución

    Aquí hay un boceto del cono.

    cone.svg

    Escojamos un sistema de coordenadas con

    • el vértice en el origen,
    • el cono simétrico alrededor del\(z\) eje -y
    • siendo el eje de rotación el\(y\) eje -eje.

    y llamar al cono\(\mathcal{V}\text{.}\)

    coneZ.svg

    Utilizaremos 3.6.5 para encontrar el momento de inercia. En el problema actual, el eje de rotación es el\(y\) eje -eje. El punto en el\(y\) eje que está más cerca\((x,y,z)\) es para\((0,y,0)\) que la distancia desde\((x,y,z)\) el eje sea justa

    \[ D(x,y,z) = \sqrt{x^2+z^2} \nonumber \]

    cart6.svg

    Nuestro sólido tiene densidad y masa\(M\text{,}\) constantes

    \[ \rho(x,y,z) = \frac{M}{\text{Volume}(\mathcal{V})} \nonumber \]

    La fórmula

    \[ \text{Volume}(\mathcal{V})= \frac{1}{3} \pi a^2 h \nonumber \]

    para el volumen de un cono se derivó en el Ejemplo 1.6.1 del texto CLP-2 y en el Apéndice B.5.2 del texto CLP-1. Sin embargo, debido a la similitud entre la integral\(\text{Volume}(\mathcal{V})=\iiint_\mathcal{V} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \) y la integral\(\iiint_\mathcal{V} (x^2+z^2)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \text{,}\) que necesitamos para nuestro cálculo de la\(I_\mathcal{A}\text{,}\) misma es fácil derivar la fórmula de volumen y lo haremos.

    Evaluaremos ambas integrales anteriores usando coordenadas cilíndricas.

    • Comience cortando el cono en placas horizontales insertando muchos planos de constante\(z\text{,}\) con los diversos valores de\(z\) diferir por\( \mathrm{d}{z} \text{.}\)
      coneP.svg

      Cada plato

      • es un disco circular de espesor\( \mathrm{d}{z} \text{.}\)
      • Por triángulos similares, como en la figura de la derecha abajo, el disco en altura\(z\) tiene radio\(R\) obedeciendo

        \[ \frac{R}{z} = \frac{a}{h} \implies R =\frac{a}{h}z \nonumber \]

        coneX.svg
        coneT.svg
      • Entonces el disco en altura\(z\) tiene las coordenadas cilíndricas\(r\) que van de\(0\) a\(\frac{a}{h}z\) y\(\theta\) que van de\(0\) a\(2\pi\text{.}\)
      • La placa inferior tiene, esencialmente,\(z=0\) y la placa superior tiene, esencialmente,\(z=h\text{.}\)
    • Ahora concéntrate en cualquier plato. Subdividirlo en cuñas insertando muchos planos de constante\(\theta\text{,}\) con los diversos valores de\(\theta\) diferir por\( \mathrm{d}{\theta} \text{.}\)
      • La primera cuña tiene, esencialmente\(\theta=0\) y la última cuña tiene, esencialmente,\(\theta=2\pi\text{.}\)
    • Concéntrate en cualquier cuña. Subdividirlo en diminutos cubos aproximados 7 insertando muchas superficies de constante\(r\text{,}\) con los diversos valores de\(r\) diferentes por\(\mathrm{d}r\text{.}\) cada cubo
      • tiene volumen\(r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \, \mathrm{d}{z} \text{,}\) por 3.6.3.
      • El primer cubo tiene, esencialmente,\(r=0\) y el último cubo tiene, esencialmente,\(r=\frac{a}{h}z\text{.}\)

    Entonces las dos integrales de interés son

    \[\begin{align*} \iiint_\mathcal{V} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} &=\int_0^h \mathrm{d}{z} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{a}{h}z}\mathrm{d}r\ r\\ &=\int_0^h \mathrm{d}{z} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}z\right)^2 =\frac{a^2\pi}{h^2}\int_0^h \mathrm{d}{z} \ z^2\\ &=\frac{1}{3}\pi a^2 h \end{align*}\]

    como se esperaba, y

    \[\begin{align*} \iiint_\mathcal{V} (x^2+z^2)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} &=\int_0^h \mathrm{d}{z} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{\frac{a}{h}z}\mathrm{d}r\ r \overbrace{\big(r^2\cos^2\theta+z^2\big)}^{x^2+z^2}\\ &=\int_0^h \mathrm{d}{z} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \left[ \frac{1}{4}\left(\frac{a}{h}z\right)^4\cos^2\theta +\frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}z\right)^2z^2\right]\\ &=\int_0^h \mathrm{d}{z} \left[ \frac{1}{4}\frac{a^4}{h^4} +\frac{a^2}{h^2}\right]\pi z^4\\ &\hskip0.5in\text{since } \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\pi \text{ by Remark 3.3.5}\\ &=\frac{1}{5}\left[ \frac{1}{4}\frac{a^4}{h^4} +\frac{a^2}{h^2}\right]\pi h^5 \end{align*}\]

    Armando todo, el momento de inercia es

    \[\begin{align*} I_\mathcal{A} &=\iiint_\mathcal{V} \overbrace{(x^2+z^2)}^{D(x,y,z)^2} \overbrace{\frac{M}{\frac{1}{3}\pi a^2h}}^{\rho(x,y,z)} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{z} \\ &=3\frac{M}{\pi a^2h} \ \frac{1}{5}\left[ \frac{1}{4}\frac{a^4}{h^4} +\frac{a^2}{h^2}\right]\pi h^5\\ &=\frac{3}{20} M\big(a^2+4h^2\big) \end{align*}\]

    Ejercicios

    Etapa 1

    1

    Se usa\((r,\theta,z)\) para denotar coordenadas cilíndricas.

    1. Sorteo\(r=0\text{.}\)
    2. Sorteo\(r=1\text{.}\)
    3. Sorteo\(\theta=0\text{.}\)
    4. Sorteo\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{.}\)
    2

    Esboce los puntos con las coordenadas cilíndricas especificadas.

    1. \(r=1\text{,}\)\(\theta=0\text{,}\)\(z=0\)
    2. \(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(z=0\)
    3. \(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(z=0\)
    4. \(r=0\text{,}\)\(\theta=\pi\text{,}\)\(z=1\)
    5. \(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(z=1\)
    3

    Convertir de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

    1. \(r=1\text{,}\)\(\theta=0\text{,}\)\(z=0\)
    2. \(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(z=0\)
    3. \(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(z=0\)
    4. \(r=0\text{,}\)\(\theta=\pi\text{,}\)\(z=1\)
    5. \(r=1\text{,}\)\(\theta=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(z=1\)
    4

    Convertir de coordenadas cartesianas a cilíndricas.

    1. \(\displaystyle (1,1,2)\)
    2. \(\displaystyle (-1,-1,2)\)
    3. \(\displaystyle (-1,\sqrt{3}, 0)\)
    4. \(\displaystyle (0,0,1)\)
    5

    Reescribir las siguientes ecuaciones en coordenadas cilíndricas.

    1. \(\displaystyle z=2xy\)
    2. \(\displaystyle x^2+y^2+z^2=1\)
    3. \(\displaystyle (x-1)^2 + y^2 =1\)

    Etapa 2

    6

    Utilice coordenadas cilíndricas para evaluar los volúmenes de cada una de las siguientes regiones.

    1. Por encima del\(xy\) plano —, dentro del cono\(z=2a-\sqrt{x^2+y^2}\) y dentro del cilindro\(x^2+y^2=2ay\text{.}\)
    2. Por encima del\(xy\) plano —bajo el paraboloide\(z=1-x^2-y^2\) y en la cuña\(-x\le y\le \sqrt{3}x\text{.}\)
    3. Por encima del paraboloide\(\ z=x^2+y^2\ \) y debajo del avión\(\ z=2y\text{.}\)
    7

    Sea E la región delimitada entre las superficies parabólicas\(z = x^2 + y^2\)\(z = 2 - x^2 - y^2\) y dentro del cilindro\(x^2 + y^2 \le 1\text{.}\) Calcular la integral de\(f(x,y,z) = {(x^2 + y^2)}^{3/2}\) sobre la región\(E\text{.}\)

    8

    Dejar\(E\) ser la región delimitada arriba por la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = 2\) y abajo por el paraboloide\(z = x^2 + y^2\text{.}\) Encuentra el centroide de\(E\text{.}\)

    9

    Dejar\(E\) ser la más pequeña de las dos regiones sólidas delimitadas por las superficies\(z = x^2 + y^2\) y\(x^2 + y^2 + z^2 = 6\text{.}\) Evaluar\(\iiint_E (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V\).

    10

    Dejar\(a \gt 0\) ser un número real positivo fijo. Considera el sólido dentro tanto del cilindro como\(x^2 + y^2 = ax\) de la esfera\(x^2 + y^2 + z^2 = a^2\text{.}\) Calcula su volumen.

    Puedes usar eso\(\int \sin^3(\theta) =\frac{1}{12}\cos(3\theta) -\frac{3}{4}\cos(\theta) +C\)

    11

    Dejar\(E\) ser el sólido que se encuentra por encima de la superficie\(z = y^2\) y debajo de la superficie\(z = 4 - x^2\text{.}\) Evaluar

    \[ \iiint_E y^2\ \mathrm{d}V \nonumber \]

    Puede usar las fórmulas de medio ángulo:

    \[ \sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2},\qquad \cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2} \nonumber \]

    12

    El centro de masa\((\bar x,\bar y, \bar z)\) de un cuerpo\(B\) que tiene densidad\(\rho(x,y,z)\) (unidades de masa por unidad de volumen) en\((x,y,z)\) se define como

    \[\begin{align*} \bar x &=\frac{1}{M}\iiint_B x\rho(x,y,z) \\[4pt] \mathrm{d}V\quad \bar y &=\frac{1}{M}\iiint_B y\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V \\[4pt] \bar z&=\frac{1}{M}\iiint_B z\rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V \end{align*}\]

    donde

    \[ M=\iiint_B \rho(x,y,z)\ \mathrm{d}V \nonumber \]

    es la masa del cuerpo. Entonces, por ejemplo,\(\bar x\) es el promedio ponderado de\(x\) sobre el cuerpo. Encuentra el centro de masa de la parte de la bola sólida\(x^2+y^2+z^2\le a^2\) con\(x\ge 0\text{,}\)\(y\ge 0\) y\(z\ge 0\text{,}\) asumiendo que la densidad\(\rho\) es constante.

    13

    Una esfera de radio\(2{\rm m}\) centrada en el origen tiene densidad variable\(\frac{5}{\sqrt{3}}(z^2+1)\) kg/\({\rm m}^3\text{.}\) Un agujero de diámetro 1m se perfora a través de la esfera a lo largo del\(z\) eje —eje.

    1. Establecer una triple integral en coordenadas cilíndricas dando la masa de la esfera después de que el agujero haya sido perforado.
    2. Evaluar esta integral.
    14

    Considere el sólido finito delimitado por las tres superficies:\(z=e^{-x^2-y^2}\text{,}\)\(z=0\) y\(x^2+y^2=4\text{.}\)

    1. Configurar (pero no evaluar) una triple integral en coordenadas rectangulares que describa el volumen del sólido.
    2. Calcular el volumen del sólido usando cualquier método.
    15

    Encuentra el volumen del sólido que está dentro\(x^2 + y^2 = 4\text{,}\) arriba\(z = 0\) y abajo\(2z = y\text{.}\)

    Etapa 3

    16

    La densidad del gas hidrógeno en una región del espacio viene dada por la fórmula

    \[ \rho(x,y,z) =\frac{z+2x^2}{1+x^2+y^2} \nonumber \]

    1. ¿\((1,0,-1)\text{,}\)En qué dirección aumenta más rápidamente la densidad del hidrógeno?
    2. Estás en una nave espacial en el origen. Supongamos que la nave espacial vuela en dirección de\(\left \langle  0,0,1 \right \rangle\text{.}\) Tiene un disco de radio\(1\text{,}\) centrado en la nave espacial y desplegado perpendicular a la dirección de desplazamiento, para atrapar hidrógeno. Cuánto hidrógeno se ha recolectado para cuando la nave espacial ha recorrido una distancia\(2\text{?}\)

      Puede usar el hecho de que\(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\pi\text{.}\)

    17

    Un toro de masa\(M\) se genera girando un círculo de radio\(a\) alrededor de un eje en su plano a\(b\) distancia del centro\((b \gt a)\text{.}\) El toro tiene densidad constante. Encuentra el momento de inercia alrededor del eje de rotación. Por definición el momento de intertia es\(\iiint r^2 \mathrm{d}m\) donde\(\mathrm{d}m\) está la masa de una pieza infinitesmal del sólido y\(r\) es su distancia del eje.

    1. como una pipa o una lata de atún
    2. Estamos utilizando las convenciones matemáticas estándar para las coordenadas cilíndricas. Bajo las convenciones ISO son\((\rho,\phi,z)\text{.}\) Ver Apéndice A.7.
    3. Como fue el caso de las coordenadas polares, a veces es conveniente extender estas definiciones diciendo eso\(x = r\cos\theta\) e\(y = r\sin\theta\) incluso cuando r es negativo. Véase el final de la Sección 3.2.1.
    4. El borde interior tiene radio\(r\text{,}\) pero el borde exterior tiene radio\(r+\mathrm{d}r \text{.}\) Sin embargo el error que esto genera va a cero en el límite\(\mathrm{d}r\text{,}\)\( \mathrm{d}{\theta} \text{,}\)\( \mathrm{d}{z} \)\(\rightarrow 0\text{.}\)
    5. Por “esencialmente”, queremos decir que la fórmula para\(\mathrm{d}V\) funciona perfectamente cuando tomamos el límite\(\mathrm{d}r, \mathrm{d}{\theta} , \mathrm{d}{z} \rightarrow 0\) de las sumas de Riemann.
    6. Imagina que estás buscando que el sólido de, por ejemplo, lejos en el\(x\) eje -eje. Cierras los ojos por un minuto. Tu gemelo malvado entonces se cuela, gira el sólido alrededor\(z\) del eje y se escapa. Abres los ojos. No podrás decir que el sólido ha sido rotado.
    7. Nuevamente son cubos torcidos, pero podemos encuadernar el error y demostrar que va a cero en el límite\(\mathrm{d}r , \mathrm{d}{\theta} , \mathrm{d}{z} \rightarrow 0\text{.}\)

    This page titled 3.6: Integrales triples en coordenadas cilíndricas is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Joel Feldman, Andrew Rechnitzer and Elyse Yeager via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.