3.7: Integrales triples en coordenadas esféricas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118831

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Coordenadas esféricas

En el caso de que se desee calcular, por ejemplo, la masa de un objeto que es invariante bajo rotaciones alrededor del origen, es ventajoso utilizar otra generalización de coordenadas polares a tres dimensiones. El sistema de coordenadas se llama coordenadas esféricas.

Definición 3.7.1

Las coordenadas esféricas se indican con ¹$\rho\text{,}$$\theta$$\varphi$ y se definen por

\[\begin{align*} \rho&=\text{ the distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \varphi&=\text{ the angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \theta&=\text{ the angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

$spherical.svg$

Aquí hay dos figuras más dando las vistas laterales y superiores de la figura anterior.

$sphericalSide.svg$ $sphericalTop.svg$

La coordenada esférica$\theta$ es la misma que la coordenada cilíndrica$\theta\text{.}$ La coordenada esférica$\vec{a}rphi$ es nueva. Se extiende de$0$ (en el$z$ eje positivo) a$\pi$ (en el$z$ eje negativo). Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por

Ecuación 3.7.2

\[\begin{align*} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta & y&=\rho\sin\varphi\sin\theta & z&=\rho\cos\varphi\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \theta&=\arctan\frac{y}{x} & \varphi&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

Aquí hay tres figuras que muestran

una superficie de constante$\rho\text{,}$, es decir,$\rho$ una superficie$x^2+y^2+z^2=\rho^2$ con una constante (que parece una piel de cebolla),
una superficie de constante$\theta\text{,}$, es decir, una superficie$y= x\,\tan\theta$ con ²$\theta$ una constante (que se parece a la página de un libro), y
una superficie de constante$\varphi\text{,}$, es decir, una superficie$z=\sqrt{x^2+y^2}\ \tan\varphi$ con$\varphi$ una constante (que parece un embudo cónico).

$spher2.svg$ $spher3.svg$ $spher4.svg$

El elemento de volumen en coordenadas esféricas

Si cortamos un sólido ³ por

primero cortarlo en segmentos (como segmentos de una naranja) mediante el uso de planos de constante$\theta\text{,}$ decir con la diferencia entre sucesivos$\theta$$ \mathrm{d}{\theta} \text{,}$
$sphereSph1.svg$
y luego subdividiendo los segmentos en “reflectores” (como el reflector delineado en azul en la figura de abajo) usando superficies de constante$\varphi\text{,}$ decir con la diferencia entre sucesivos$\varphi$ siendo$\mathrm{d}\varphi\text{,}$
$sphereSph2.svg$
y luego subdividiendo los reflectores en cubos aproximados usando superficies de$\rho\text{,}$ decir constante con la diferencia entre sucesivos$\rho$ siendo$\mathrm{d}\rho\text{,}$

$sphereSph3.svg$

terminamos con cubos aproximados que parecen

$spher5b.svg$

Las dimensiones del “cubo” aproximado en coordenadas esféricas son (esencialmente)$\mathrm{d}\rho$$\rho\mathrm{d}\varphi$ por$\rho\sin\varphi\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}$ (Estas dimensiones se derivan con más detalle en la siguiente sección.) Entonces el cubo aproximado tiene volumen (esencialmente)

Ecuación 3.7.3

\[ \mathrm{d}V = \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi \nonumber \]

Los detalles

Aquí hay una explicación de las longitudes de borde dadas en la figura anterior. Cada uno de los 12 bordes del cubo se forma sujetando dos de las tres coordenadas$\rho\text{,}$$\theta\text{,}$$\varphi$ fijas y variando la tercera.

Cuatro de los bordes del cubo se forman sujetando$\theta$ y$\varphi$ fijando y variando$\rho\text{.}$ La intersección de un plano de fijo$\theta$ con un cono de fijo$\varphi$ es una línea recta que emana del origen. Cuando introdujimos rebanadas usando esferas de constante$\rho\text{,}$ la diferencia entre los sucesivos$\rho$ era$\mathrm{d}\rho\text{,}$ así que esos bordes del cubo cada uno tienen longitud$\mathrm{d}\rho\text{.}$

$sphereTh.svg$

$spherePhi.svg$

$sphereThPhiA.svg$
Cuatro de los bordes del cubo se forman sujetando$\theta$ y$\rho$ fijando y variando$\varphi\text{.}$ La intersección de un plano de fijo$\theta$ (que contiene el origen) con una esfera de fijo$\rho$ (que está centrada en el origen) es un círculo de radio$\rho$ centrado en el origen. Es una línea de longitud ⁴.

$sphereRho.svg$

$SphereTH (1) .svg$

$sphereRhoThB.svg$

Cuando introdujimos reflectores usando superficies de constante$\varphi\text{,}$ la diferencia entre los sucesivos$\varphi$ fue$\mathrm{d}\varphi\text{.}$ Así esos cuatro bordes del cubo son arcos circulares de radio esencialmente$\rho$ que subtienden un ángulo$\mathrm{d}\varphi\text{,}$ y así tienen longitud$\rho\,\mathrm{d}\varphi\text{.}$

$spher9.svg$
Cuatro de los bordes del cubo se forman sujetando$\varphi$ y$\rho$ fijando y variando$\theta\text{.}$ La intersección de un cono de fijo$\varphi$ con una esfera de fijo$\rho$ es un círculo. Como ambos$\rho$ y$\varphi$ son fijos, el círculo de intersección se encuentra en el plano$z=\rho\cos\varphi\text{.}$ Es una línea de latitud. El círculo tiene radio$\rho\sin\varphi$ y está centrado en$\big(0,0, \rho\cos\varphi\big)\text{.}$

$SphereHo (1) .svg$

$SpherePhi (1) .svg$

$sphereRhoPhi.svg$

Cuando introdujimos segmentos usando superficies de constante$\theta\text{,}$ la diferencia entre los sucesivos$\theta$ fue$ \mathrm{d}{\theta} \text{.}$ Así estos cuatro bordes del cubo son arcos circulares de radio esencialmente$\rho\sin\varphi$ que subtienden un ángulo$ \mathrm{d}{\theta} \text{,}$ y así tienen longitud$\rho\sin\varphi\, \mathrm{d}{\theta} \text{.}$

$spher10.svg$

Integrales de muestra en coordenadas esféricas

Ejemplo 3.7.4. Cono de Helado

Encuentra el volumen del helado ⁵ cono que consiste en la parte del interior de la esfera$x^2+y^2+z^2=a^2$ que está por encima del$xy$ -plano y que está dentro del cono$x^2+y^2=b^2 z^2\text{.}$ Aquí$a$ y$b$ son cualesquiera dos constantes estrictamente positivas.

Solución

Tenga en cuenta que, en coordenadas esféricas

\[ x^2+y^2=\rho^2\sin^2\varphi\qquad z^2=\rho^2\cos^2\varphi\qquad x^2+y^2+z^2=\rho^2 \nonumber \]

En consecuencia, en coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es$\rho=a\text{,}$ y la ecuación del cono es$\tan^2\varphi = b^2\text{.}$ Vamos a escribir$\beta=\arctan b\text{,}$ con$0 \lt \beta \lt \frac{\pi}{2}\text{.}$ Aquí hay un boceto de la parte del cono de helado en el primer octante. El volumen del cono de helado lleno será cuatro veces el volumen de la parte en el primer octante.

$iceCream.svg$

Cortaremos la primera parte octante del cono de helado en pequeños trozos usando coordenadas esféricas. Es decir, lo cortaremos usando planos de$\theta\text{,}$ conos constantes de constantes$\varphi\text{,}$ y esferas de constante$\rho\text{.}$

Primero corte el (la primera parte octante del) cono de helado en segmentos insertando muchos planos de constante$\theta\text{,}$ con los diversos valores de$\theta$ diferir por$ \mathrm{d}{\theta} \text{.}$ La figura de la izquierda de abajo muestra un segmento delineado en rojo. Cada segmento
- tiene$\theta$ esencialmente constante en el segmento, y
- tiene$\varphi$ corriendo de$0$ a$\beta$ y$\rho$ corriendo de$0$ a$a\text{.}$
- El segmento más a la izquierda tiene, esencialmente,$\theta=0$ y el segmento más a la derecha tiene, esencialmente,$\theta=\frac{\pi}{2}\text{.}$ Ver la figura de abajo a la derecha.
  
  $iceCream1.svg$
  
  $iceCream1a.svg$
Concéntrese en cualquier segmento. Una vista lateral del segmento se esboza en la figura de abajo a la izquierda. Subdividirlo en reflectores largos y delgados insertando muchos conos de constante$\varphi\text{,}$ con los diversos valores de$\varphi$ diferir por$\mathrm{d}\varphi\text{.}$ La figura de la izquierda de abajo muestra un reflector delineado en azul. Cada reflector
- tiene$\theta$ y$\varphi$ esencialmente constante en el reflector, y
- ha$\rho$ atropellado$0\le \rho\le a\text{.}$
- El reflector más a la izquierda tiene, esencialmente,$\varphi=0$ y el reflector más a la derecha tiene, esencialmente,$\varphi=\beta\text{.}$ Ver la figura de abajo a la derecha.
  
  $iceCream2.svg$
  
  $iceCream2b.svg$
Concéntrese en cualquier reflector. Subdividirlo en diminutos cubos aproximados insertando muchas esferas de constante$\rho\text{,}$ con los diversos valores de$\rho$ diferir por$\mathrm{d}\rho\text{.}$ La figura de abajo a la izquierda muestra la vista lateral de un cubo aproximado en negro. Cada cubo
- tiene$\rho\text{,}$$\theta$ y$\varphi$ todo esencialmente constante en el cubo y
- tiene volumen$\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\text{,}$ por 3.7.3.
- El primer cubo tiene, esencialmente,$\rho=0$ y el último cubo tiene, esencialmente,$\rho=a\text{.}$ Ver la figura de abajo a la derecha.

$iceCream3.svg$ $iceCream3b.svg$

Ahora podemos construir el volumen.

Concéntrese en un cubo aproximado. Digamos que contiene el punto con coordenadas esféricas$\rho\text{,}$$\theta\text{,}$$\varphi\text{.}$ El cubo tiene volumen esencialmente$\mathrm{d}V = \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\text{,}$ por 3.7.3.
Para obtener el volumen cualquier reflector, digamos el reflector cuya$ \varphi $ coordenada va desde$ \varphi $ hasta solo$ \varphi +\mathrm{d} \varphi \text{,}$ sumamos los volúmenes de los cubos aproximados en ese reflector, integrando$\rho$ desde su valor más pequeño en el reflector, es decir,$0\text{,}$ hasta su mayor valor en el reflector, a saber$a\text{.}$ El volumen del reflector es así
\[\begin{gather*} \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\int_0^a\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \end{gather*}\]
Para obtener el volumen de cualquier segmento, digamos el segmento cuya$\theta$ coordenada va desde$\theta$ hasta, solo$\theta+ \mathrm{d}{\theta} \text{,}$ sumamos los volúmenes de los reflectores en ese segmento, integrando$\varphi$ desde su valor más pequeño en el segmento, es decir,$0\text{,}$ hasta su mayor valor en el segmento, a saber $\beta\text{.}$El volumen del segmento es así
\[\begin{gather*} \mathrm{d}{\theta} \,\int_0^\beta \mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi \int_0^a\mathrm{d}\rho\ \rho^2 \end{gather*}\]
Para obtener el volumen de$\mathcal{V}_1\text{,}$ la parte del cono de helado en el primer octante, solo sumamos los volúmenes de los segmentos que contiene, integrando$\theta$ desde su valor más pequeño en el octante, es decir,$0\text{,}$ hasta su mayor valor sobre el octante, a saber$\frac{\pi}{2}\text{.}$
El volumen en el primer octante es así
\[\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \,\int_0^\beta \mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi \int_0^a\mathrm{d}\rho\ \rho^2\\ &=\frac{a^3}{3}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \, \int_0^\beta \mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\\ &=\frac{a^3}{3}\big[1-\cos\beta\big]\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \\ &=\frac{\pi a^3}{6}\big[1-\cos\beta\big] \end{align*}\]
Entonces el volumen$\mathcal{V}\text{,}$ del cono de helado total (cuatro octantes), es
\[ \text{Volume}(\mathcal{V})=4\,\text{Volume}(\mathcal{V}_1) =\frac{4\pi a^3}{6}\big[1-\cos\beta\big] \nonumber \]

Podemos expresar$\beta$ (que no se dio en la declaración del problema original) en términos de$b$ (que estaba en la declaración del problema original), con sólo mirar el triángulo

$triangleIceCream.svg$

Se han elegido los lados derecho e inferior del triángulo de manera que lo$\tan\beta=b\text{,}$ que era la definición de$\beta\text{.}$ So$\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}$ y el volumen del cono de helado es

\[ \text{Volume}(\mathcal{V}) =\frac{2\pi a^3}{3}\left[1-\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\right] \nonumber \]

Tenga en cuenta que, como en el Ejemplo 3.2.11, podemos aplicar fácilmente un par de comprobaciones de cordura a nuestra respuesta.

Si es$b=0\text{,}$ así que el cono es justo$x^2+y^2=0\text{,}$ cual es la línea$x=y=0\text{,}$ el volumen total debe ser cero. Nuestra respuesta sí da$0$ en este caso.
En el límite$b\rightarrow\infty\text{,}$ el ángulo$\beta\rightarrow\frac{\pi}{2}$ y el cono de helado se abre en un hemisferio de radio$a\text{.}$ Nuestra respuesta de hecho da el volumen del hemisferio, que es$\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pi a^3\text{.}$

Ejemplo 3.7.5. Manzana con Núculo

Un agujero cilíndrico de radio$b$ se perfora simétricamente a través de una manzana perfectamente esférica de radio$a\ge b\text{.}$ Encuentra el volumen de manzana que queda.

Solución

En el Ejemplo 3.2.11 calculamos el volumen eliminado, básicamente usando coordenadas cilíndricas. Entonces podríamos obtener la respuesta a esta pregunta simplemente restando la respuesta del Ejemplo 3.2.11 de$\frac{4}{3}\pi a^3\text{.}$ En su lugar, evaluaremos el volumen restante como un ejercicio para establecer límites de integración al usar coordenadas esféricas.

Como en el Ejemplo 3.2.11, usemos un sistema de coordenadas con la esfera centrada en$(0,0,0)$ y con el centro del taladro siguiendo el$z$ eje -eje. Aquí un boceto de la manzana que permanece en el primer octante. Está delineado en rojo. Por simetría la cantidad total de manzana restante será ocho veces la cantidad del primer octante.

$appleCoreB.svg$

Primero corte la primera parte octante de la manzana restante en segmentos insertando muchos planos de constante$\theta\text{,}$ con los diversos valores de$\theta$ diferir por$ \mathrm{d}{\theta} \text{.}$ El segmento más a la izquierda tiene, esencialmente,$\theta=0$ y el segmento más a la derecha tiene, esencialmente,$\theta=\frac{\pi}{2}\text{.}$
Cada segmento, visto desde un lado, se ve como
$appleCoreB2.svg$

Subdividirlo en reflectores largos y delgados insertando muchos conos de constante$\varphi\text{,}$ con los diversos valores de$\varphi$ diferir por$\mathrm{d}\varphi\text{.}$ La figura de abajo muestra un reflector delineado en azul. Cada foco
- tiene$\theta$ y$\varphi$ esencialmente constante en el reflector.
- El reflector superior tiene, esencialmente,$\varphi=\arcsin\frac{b}{a}$ y el reflector inferior tiene, esencialmente,$\varphi=\frac{\pi}{2}\text{.}$
  $appleCoreB3.svg$
Concéntrese en cualquier reflector. Subdividirlo en diminutos cubos aproximados insertando muchas esferas de constante$\rho\text{,}$ con los diversos valores de$\rho$ diferir por$\mathrm{d}\rho\text{.}$ La figura de abajo a la izquierda muestra la vista lateral de un cubo aproximado en negro. Cada cubo
- tiene$\rho\text{,}$$\theta$ y$\varphi$ todo esencialmente constante en el cubo y
- tiene volumen$\mathrm{d}V=\rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\text{,}$ por 3.7.3.
- La figura de abajo a la derecha da una vista ampliada del reflector. A partir de ella, vemos (después de un pequeño trigo) que el primer cubo tiene, esencialmente,$\rho=\frac{b}{\sin\varphi$ y el último cubo tiene, esencialmente,$\rho=a$ (el radio de la manzana).

$appleCoreB3b.svg$ $appleCoreB3c.svg$

Ahora podemos construir el volumen.

Concéntrate en un cubo aproximado. Digamos que contiene el punto con coordenadas esféricas$\rho\text{,}$$\theta\text{,}$$\varphi\text{.}$ El cubo tiene volumen esencialmente$\mathrm{d}V = \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\text{,}$ por 3.7.3.
Para obtener el volumen cualquier reflector, digamos el reflector cuya$\varphi$ coordenada va desde$\varphi$ hasta solo$\varphi+\mathrm{d}\varphi\text{,}$ sumamos los volúmenes de los cubos aproximados en ese reflector, integrando$\rho$ desde su valor más pequeño en el reflector, es decir,$\frac{b}{\sin\varphi}\text{,}$ hasta su mayor valor en el reflector, a saber$a\text{.}$ El volumen del reflector es así
\[\begin{gather*} \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\varphi\int_{\frac{b}{\sin\varphi}}^a \mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \end{gather*}\]
Para obtener el volumen de cualquier segmento, digamos el segmento cuya$\theta$ coordenada va desde$\theta$ hasta, solo$\theta+ \mathrm{d}{\theta} \text{,}$ sumamos los volúmenes de los reflectores en ese segmento, integrando$\varphi$ desde su valor más pequeño en el segmento, es decir,$\arcsin\frac{b}{a}\text{,}$ hasta su mayor valor en el segmento, a saber $\frac{\pi}{2}\text{.}$El volumen del reflector es así
\[\begin{gather*} \mathrm{d}{\theta} \,\int_{\arcsin\frac{b}{a}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{b}{\sin\varphi}}^a \mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \end{gather*}\]
Para obtener el volumen de la parte restante de la manzana en el primer octante, solo sumamos los volúmenes de los segmentos que contiene, integrando$\theta$ desde su valor más pequeño en el octante, es decir,$0\text{,}$ hasta su mayor valor sobre el octante, a saber$\frac{\pi}{2}\text{.}$ El volumen en el primer octante es así
\[\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_{\arcsin\frac{b}{a}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}\varphi \int_{\frac{b}{\sin\varphi}}^{a} \mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \end{align*}\]
Ahora solo tenemos que integrar
\ begin {align*}
\ text {Volumen} (\ mathcal {V} _1)
&=\ frac {1} {3}\ int_0^ {\ pi/2}\ mathrm {d} {\ theta}\,
\ int_ {\ arcsin\ frac {b} {a}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ mathrm {d} {\ varr {\ phi}
\\ sin\ varphi\ izquierda [a^3-\ frac {b^3} {\ sin^3\ varphi}\ derecha]\\
& amp; =\ frac {1} {3}\ int_0^ {\ pi/2}\ mathrm {d} {\ theta}\,
\ int_ {\ arcsin\ frac {b} {a}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\ mathrm {d} {\ varphi}
\ izquierda [a^3\ sin\ varphi- b^3\ sc^2\ varphi\ derecha]\\
&=\ frac {1} {3}\ int_0^ {\ pi/2}\ mathrm {d} {\ theta}\
\ izquierda [-a^3\ cos\ varphi + b^3\ cuna\ varphi\ derecha]
_ {\ arcsin\ frac {b} {a}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}\\
&\ hskip1in\ texto {desde}\ int\ csc^2\ varphi\ mathrm {d} {\ varphi} =-\ cuna\ varphi+c\\
&=\ frac\ pi} {6}
\ izquierda [-a^3\ cos\ varphi + b^3\ cuna\ varphi\ derecha]
_ {\ arcsin\ frac {b} {a}} ^ {\ frac {\ pi} {2}}
\ end {alinear*}

Ahora$\cos\frac{\pi}{2} = \cot\frac{\pi}{2}=0$ y, si escribimos$\alpha =\arcsin\frac{b}{a}\text{,}$

\[\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\frac{\pi}{6} \left[a^3 \cos\alpha - b^3\cot\alpha \right] \end{align*}\]

Desde el triángulo de abajo, tenemos$\cos\alpha =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} $ y$\cot\alpha =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\text{.}$

$triangleApple.svg$

Entonces

\[\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\frac{\pi}{6} \left[a^2 \sqrt{a^2-b^2} - b^2\sqrt{a^2-b^2}\right] =\frac{\pi}{6}\big[a^2-b^2\big]^{3/2} \end{align*}\]

El volumen completo (ocho octantes) de la manzana restante es así

\[ \text{Volume}(\mathcal{V}) =8 \text{Volume}(\mathcal{V}_1) =\frac{4}{3}\pi\big[a^2-b^2\big]^{3/2} \nonumber \]

Podemos, una vez más, aplicar las comprobaciones de cordura del Ejemplo 3.2.11 a nuestra respuesta.

Si el radio de la broca$b=0\text{,}$ no se quita ninguna manzana en absoluto. Entonces el volumen total restante debería ser$\frac{4}{3}\pi a^3\text{.}$ Nuestra respuesta sí da esto.
Si el radio de la broca$b=a\text{,}$ el radio de la manzana, entonces la manzana entera desaparece. Entonces la manzana restante debería tener volumen$0\text{.}$ Nuevamente, nuestra respuesta da esto.

Como comprobación final anote que la suma de la respuesta al Ejemplo 3.2.11 y la respuesta a este Ejemplo es$\frac{4}{3}\pi a^3\text{,}$ como debería ser.

Ejercicios

Etapa 1

1

Se usa$(\rho,\theta,\varphi)$ para denotar coordenadas esféricas.

Sorteo$\varphi=0\text{.}$
Sorteo$\varphi=\frac{\pi}{4}\text{.}$
Sorteo$\varphi=\frac{\pi}{2}\text{.}$
Sorteo$\varphi=\frac{3\pi}{4}\text{.}$
Sorteo$\varphi=\pi\text{.}$

2

Croquis del punto con las coordenadas esféricas especificadas.

$\rho=0\text{,}$$\theta=0.1\pi\text{,}$$\varphi=0.7\pi$
$\rho=1\text{,}$$\theta=0.3\pi\text{,}$$\varphi=0$
$\rho=1\text{,}$$\theta=0\text{,}$$\varphi=\frac{\pi}{2}$
$\rho=1\text{,}$$\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}$$\varphi=\frac{\pi}{2}$
$\rho=1\text{,}$$\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$$\varphi=\frac{\pi}{2}$
$\rho=1\text{,}$$\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}$$\varphi=\frac{\pi}{6}$

3

Convertir de coordenadas cartesianas a esféricas.

$\displaystyle (-2,0,0)$
$\displaystyle (0,3,0)$
$\displaystyle (0,0,-4)$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\sqrt{3}\right)$

4

Convertir de coordenadas esféricas a cartesianas.

$\rho=1\text{,}$$\theta=\frac{\pi}{3}\text{,}$$\varphi=\frac{\pi}{6}$
$\rho=2\text{,}$$\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$$\varphi=\frac{\pi}{2}$

5

Reescribe las siguientes ecuaciones en coordenadas esféricas.

$\displaystyle z^2=3x^2+3y^2$
$\displaystyle x^2+y^2+(z-1)^2=1$
$\displaystyle x^2+y^2=4$

6. ✳

Usando coordenadas esféricas e integración, mostrar que el volumen de la esfera de radio$1$ centrada en el origen es$4\pi/3\text{.}$

Etapa 2

7. ✳

Considerar la región$E$ en$3$ -dimensiones especificadas por las desigualdades esféricas

\[ 1 \le \rho \le 1 + \cos \varphi \nonumber \]

Dibuje una imagen razonablemente precisa$E$ en 3 dimensiones. Asegúrese de mostrar las unidades en los ejes de coordenadas.
Encuentra el volumen de E.

8. ✳

Usar coordenadas esféricas para evaluar la integral

\[ I=\iiint_D z\ \mathrm{d}V \nonumber \]

donde$D$ esta el solido encerrado por el cono$z = \sqrt{x^2 + y^2}$ y la esfera Es$x^2 + y^2 + z^2 = 4\text{.}$ decir,$(x,y,z)$ esta en$D$ si y solo si$\sqrt{x^2 + y^2}\le z$ y$x^2 + y^2 + z^2 \le 4\text{.}$

9

Usa coordenadas esféricas para encontrar

El volumen dentro del cono$z=\sqrt{x^2+y^2}$ y dentro de la esfera$x^2+y^2+z^2=a^2\text{.}$
$\iiint_R x\, \mathrm{d}V$y$\iiint_R z\, \mathrm{d}V$ sobre la parte de la esfera de radio$a$ que se encuentra en el primer octante.
La masa de un planeta esférico de radio$a$ cuya densidad a$\rho$ distancia del centro es$\delta=A/(B+\rho^2)\text{.}$
El volumen encerrado por$\ \rho=a(1-\cos\varphi).$ Aquí$\rho$ y$\varphi$ se refieren a las coordenadas esféricas habituales.

10. ✳

Considere el caparazón hemisférico delimitado por las superficies esféricas

\[ x^2 + y^2 + z^2 = 9\qquad\text{and}\qquad x^2 + y^2 + z^2 = 4 \nonumber \]

y por encima del plano$z = 0\text{.}$ Deja que el caparazón tenga densidad constante$D\text{.}$

Encuentra la masa de la concha.
Encuentra la ubicación del centro de masa del caparazón.

11. ✳

Let

\[ I = \iiint_T xz\ \mathrm{d}V \nonumber \]

donde$T$ esta el octavo de la esfera$x^2 + y^2 + z^2 \le 1$ con$x,y,z \ge 0\text{.}$

Esbozar el volumen$T\text{.}$
Expreso$I$ como triple integral en coordenadas esféricas.
Evaluar$I$ por cualquier método.

12. ✳

Evaluar$W = \iiint_Q xz\ \mathrm{d}V\text{,}$ dónde$Q$ está un octavo de la esfera$x^2 + y^2 + z^2 \le 9$ con$x\text{,}$$y\text{,}$$z \ge 0\text{.}$

13. ✳

Evaluar$\iiint_{\mathbb{R}^3} {\big[1+{(x^2+y^2+z^2)}^3\big]}^{-1}\ \mathrm{d}V\text{.}$

14. ✳

Evaluar

\[ \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{1-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{1+\sqrt{1-x^2-y^2}} (x^2+y^2+z^2)^{5/2} \ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]

cambiando a coordenadas esféricas.

15

Evaluar el volumen de un cilindro circular de radio$a$ y altura$h$ mediante una integral en coordenadas esféricas.

16. ✳

Dejar$B$ denotar la región dentro de la esfera$x^2+y^2+z^2=4$ y por encima del cono$x^2+y^2=z^2\text{.}$ Calcular el momento de inercia

\[ \iiint_B z^2\,\mathrm{d}V \nonumber \]

17. ✳

Evaluar$\displaystyle \iiint_\Omega z\,\mathrm{d}V$ dónde$\Omega $ está la región tridimensional en el primer octante$x\ge 0\text{,}$$y\ge 0\text{,}$$z\ge 0\text{,}$ que ocupa el interior de la esfera$x^2+y^2+z^2=1\text{.}$
Utilice el resultado de la parte (a) para determinar rápidamente el centroide de una bola hemisférica dado por$z\ge 0\text{,}$$x^2+y^2+z^2\le 1\text{.}$

18. ✳

Considera la mitad superior de una bola de radio 2 centrada en el origen. Supongamos que la bola tiene densidad variable igual a$9z$ unidades de masa por unidad de volumen.

Configurar una triple integral dando la masa de esta media bola.
Descubre qué fracción de esa masa se encuentra dentro del cono
\[ z=\sqrt{x^2+y^2} \nonumber \]

Etapa 3

19. ✳

Encuentra el límite o demuestra que no existe

\[ \lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{xy+yz^2+xz^2}{x^2+y^2+z^4} \nonumber \]

20. ✳

Un cierto sólido$V$ es un cilindro circular derecho. Su base es el disco de radio$2$ centrado en el origen en el$xy$ plano -plano. Tiene altura$2$ y densidad$\sqrt{x^2 + y^2}\text{.}$

Un sólido más pequeño$U$ se obtiene quitando el cono invertido, cuya base es la superficie superior de$V$ y cuyo vértice es el punto$(0, 0, 0)\text{.}$

Utilice coordenadas cilíndricas para configurar una integral dando la masa de$U\text{.}$
Utilice coordenadas esféricas para configurar una integral dando la masa de$U\text{.}$
Encuentra esa masa.

21. ✳

Un sólido está delimitado por debajo por el cono$z\!=\!\sqrt{x^2\!+\!y^2}\ $ y arriba por la esfera$x^2+y^2+z^2 = 2\text{.}$ Tiene densidad$\delta(x,y,z) = x^2 + y^2\text{.}$

Expresar la masa$M$ del sólido como una triple integral, con límites, en coordenadas cilíndricas.
Igual que (a) pero en coordenadas esféricas.
Evaluar$M\text{.}$

22. ✳

Let

\[\begin{gather*} I = \iiint_E xz\ \mathrm{d}V \end{gather*}\]

donde$E$ esta el octavo de la esfera$x^2+y^2+z^2\le 1$ con$x,y,z\ge 0\text{.}$

Expreso$I$ como triple integral en coordenadas esféricas.
Expreso$I$ como triple integral en coordenadas cilíndricas.
Evaluar$I$ por cualquier método.

23. ✳

Let

\[ I = \iiint_T (x^2+y^2)\ \mathrm{d}V \nonumber \]

donde$T$ está la región sólida delimitada por debajo por el cono$z =\sqrt{3x^2+3y^2}$ y arriba por la esfera$x^2 + y^2 + z^2 = 9\text{.}$

Expreso$I$ como triple integral en coordenadas esféricas.
Expreso$I$ como triple integral en coordenadas cilíndricas.
Evaluar$I$ por cualquier método.

24. ✳

Deja$E$ ser el “cono de helado”$x^2 + y^2 + z^2 \le 1\text{,}$$x^2 + y^2 \le z^2$,$z \ge 0\text{.}$ Considera

\[ J =\iiint_E \sqrt{x^2+y^2+z^2}\ \mathrm{d}V \nonumber \]

Escribir$J$ como una integral iterada, con límites, en coordenadas cilíndricas.
Escribir$J$ como una integral iterada, con límites, en coordenadas esféricas.
Evaluar$J\text{.}$

25. ✳

El cuerpo de un muñeco de nieve está formado por las bolas de nieve$x^2 + y^2 + z^2 = 12$ (este es su cuerpo) y$x^2 + y^2 + (z - 4)^2 = 4$ (esta es su cabeza).

Encuentra el volumen del muñeco de nieve restando la intersección de las dos bolas de nieve de la suma de los volúmenes de las bolas de nieve. [Recordemos que el volumen de una esfera de radio$r$ es$\frac{4\pi}{3} r^3\text{.}$]
También podemos calcular el volumen del muñeco de nieve como una suma de las siguientes triples integrales:
1. \[ \int_0^{\frac{2\pi}{3}} \int_0^{2\pi} \int_0^2 \rho^2\sin{\vec{a}rphi} \ \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\vec{arphi} \nonumber \]
2. \[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \int_{\sqrt{3}\,r}^{4-\frac{r}{\sqrt{3}}} r\ \mathrm{d}{z} \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]
3. \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^{2\sqrt{3}} \rho^2\sin(\vec{a}rphi)\ \mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}\vec{arphi} \nonumber \]
Encierra en círculo la respuesta correcta de las opciones subrayadas y rellena los espacios en blanco en las siguientes descripciones de la región de integración para cada integral. [Nota: Hemos traducido los ejes con el fin de anotar algunas de las integrales anteriores. Las ecuaciones que especifique deben ser aquellas antes de que se realice la traducción.]
1. La región de integración en (1) forma parte del
  \[ \underline{ \text{ body / head / body and head} } \nonumber \]
  Es el sólido encerrado por el
  \[ \underline{\text{sphere / cone}} \nonumber \]
  definido por la ecuación
  \[ \rule{30ex}{0.2ex} \nonumber \]
  y el
  \[ \underline{\text{sphere / cone}} \nonumber \]
  definido por la ecuación
  \[ \rule{30ex}{0.2ex} \nonumber \]
2. La región de integración en (2) forma parte del
  \[ \underline{ \text{ body / head / body and head} } \nonumber \]
  Es el sólido encerrado por el
  \[ \underline{\text{sphere / cone}} \nonumber \]
  definido por la ecuación
  \[ \rule{30ex}{0.2ex} \nonumber \]
  y el
  \[ \underline{\text{sphere / cone}} \nonumber \]
  definido por la ecuación
  \[ \rule{30ex}{0.2ex} \nonumber \]
3. La región de integración en (3) forma parte del
  \[ \underline{ \text{ body / head / body and head} } \nonumber \]
  Es el sólido encerrado por el
  \[ \underline{\text{sphere / cone}} \nonumber \]
  definido por la ecuación
  \[ \rule{30ex}{0.2ex} \nonumber \]
  y el
  \[ \underline{\text{sphere / cone}} \nonumber \]
  definido por la ecuación
  \[ \rule{30ex}{0.2ex} \nonumber \]

26. ✳

Encuentra el volumen del sólido dentro de la superficie definida por la ecuación$\rho = 8 \sin(\vec{a}rphi)$ en coordenadas esféricas.
Puedes usar eso

\[ \int \sin^4(\varphi) =\frac{1}{32}\big(12\varphi -8\sin(2\varphi) +\sin(4\varphi)\big) +C \nonumber \]
Esboza este sólido o describe cómo se ve.

27. ✳

Dejar$E$ ser el sólido

\[ 0 \le z \le \sqrt{x^2 + y^2},\qquad x^2 + y^2 \le 1, \nonumber \]

y considerar la integral

\[ I = \iiint_E z \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\ \mathrm{d}V. \nonumber \]

Escribe la integral$I$ en coordenadas cilíndricas.
Escribe la integral$I$ en coordenadas esféricas.
Evaluar la integral$I$ usando cualquiera de las dos formas.

28. ✳

Considere la integral iterada

\[ I =\int_{-a}^0\int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^0 \int_0^{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \big(x^2+y^2+z^2\big)^{2014}\ \mathrm{d}{z} \, \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \nonumber \]

donde$a$ es una constante positiva.

Escribir$I$ como una integral iterada en coordenadas cilíndricas.
Escribir$I$ como una integral iterada en coordenadas esféricas.
Evalúa yo usando el método que prefieras.

29. ✳

El sólido$E$ está limitado por debajo por el paraboloide$z = x^2 + y^2$ y arriba por el cono$z=\sqrt{x^2+y^2}\text{.}$ Let

\[ I = \iiint_E z\big(x^2+y^2+z^2\big)\ \mathrm{d}V \nonumber \]

Escribir$I$ en términos de coordenadas cilíndricas. No evaluar.
Escribir$I$ en términos de coordenadas esféricas. No evaluar.
Calcular$I\text{.}$

30. ✳

Dejar$S$ ser la región en el primer octante (de modo que$x,y,z\ge 0$) que se encuentra por encima del cono$z=\sqrt{x^2+y^2}$ y por debajo de la esfera$(z-1)^2 +x^2+y^2=1\text{.}$ Dejar$V$ ser su volumen.

Expreso$V$ como triple integral en coordenadas cilíndricas.
Expreso$V$ como triple integral en coordenadas esféricas.
Calcule$V$ usando cualquiera de las integrales anteriores.

31. ✳

Un sólido está delimitado por debajo por el cono$z=\sqrt{3x^2+3y^2}$ y arriba por la esfera$x^2+y^2+z^2=9\text{.}$ Tiene densidad$\delta(x,y,z)=x^2+y^2\text{.}$

Expresar la masa$m$ del sólido como una triple integral en coordenadas cilíndricas.
Expresar la masa$m$ del sólido como una triple integral en coordenadas esféricas.
Evaluar$m\text{.}$

Estamos utilizando las convenciones matemáticas estándar para las coordenadas esféricas. Bajo las convenciones ISO son$(r,\phi,\theta)\text{.}$ Ver Apéndice A.7.
y con la señal de$x$ ser lo mismo que el signo de$\cos\theta$
Ya conoces el simulacro.
El problema de encontrar un método práctico y confiable para determinar la longitud de un barco en el mar fue un problema muy importante durante un período de varios siglos. Entre los científicos que trabajaron en esto se encontraban Galileo, Edmund Halley (del cometa Halley) y Robert Hooke (de la ley de Hooke).
Un helado muy matemático. ¿Roca-rho? ¿Choculus?