A.2: Poderes y logaritmos

A.2.1 Poderes

A continuación,$x$ y$y$ son números reales arbitrarios,$q$ es una constante arbitraria que es estrictamente mayor que cero y$e$ es 2.7182818284, a diez decimales.

• $\displaystyle e^0=1,\quad q^0=1$
• $\displaystyle e^{x+y}=e^xe^y, \quad e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}, \quad q^{x+y}=q^xq^y, \quad q^{x-y}=\frac{q^x}{q^y}$
• $\displaystyle e^{-x}=\frac{1}{e^x}, \quad q^{-x}=\frac{1}{q^x}$
• $\displaystyle \big(e^x\big)^y=e^{xy}, \quad \big(q^x\big)^y=q^{xy}$
• $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^x=e^x, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}q^x=(\ln q)\ q^x$
• $\int e^x\ \mathrm{d}{x} =e^x+C, \quad \int e^{ax}\ \mathrm{d}{x} =\frac{1}{a}e^{ax}+C$si$a\ne 0$
• $\displaystyle e^x =\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$
• $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}e^x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}e^x=0$

  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}q^x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}q^x=0$si$q \gt 1$

  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}q^x=0, \quad \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}q^x=\infty$si$0 \lt q \lt 1$

• La gráfica de$2^x$ se da a continuación. La gráfica de$q^x\text{,}$ para cualquiera$q \gt 1\text{,}$ es similar.

A.2.2 Logaritmos

A continuación,$x$ y$y$ son números reales arbitrarios que son estrictamente mayores que 0 (salvo que se especifique lo contrario),$p$ y$q$ son constantes arbitrarias que son estrictamente mayores que uno, y$e$ es 2.7182818284, a diez decimales. La notación$\ln x$ significa que$\log_e x\text{.}$ algunas personas usan$\log x$ para significar$\log_{10} x\text{,}$ otras lo usan para significar$\log_e x$ y otros lo usan para significar$\log_2 x\text{.}$

• $\displaystyle e^{\ln x}=x,\quad q^{\log_q x}=x$
• $\ln \big(e^x\big)=x,\quad \log_q \big(q^x\big)=x\quad$para todos$-\infty \lt x \lt \infty$
• $\displaystyle \log_q x=\frac{\ln x}{\ln q}, \quad \ln x=\frac{\log_p x}{\log_p e}, \quad \log_q x=\frac{\log_p x}{\log_p q}$
• $\ln 1=0,\quad \ln e=1$

  $\log_q 1=0,\quad \log_q q=1$

• $\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y, \quad \log_q(xy)=\log_q x+\log_q y$
• $\displaystyle \ln\big(\frac{x}{y}\big)=\ln x-\ln y, \quad \log_q\big(\frac{x}{y}\big)=\log_q x-\log_q y$
• $\displaystyle \ln\big(\frac{1}{y}\big)=-\ln y, \quad \log_q\big(\frac{1}{y}\big)=-\log_q y$
• $\displaystyle \ln(x^y)=y\ln x, \quad \log_q(x^y)=y\log_q x$
• $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_q x = \frac{1}{x\ln q}$
• $\displaystyle \int \ln x\ \mathrm{d}{x} = x\ln x-x +C, \quad \int \log_q x\ \mathrm{d}{x} = x\log_q x-\frac{x}{\ln q} +C$
• $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\ln x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\ln x=-\infty$

  $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\log_q x=\infty, \quad \lim\limits_{x\rightarrow0}\log_q x=-\infty$

• La gráfica de$\log_{10} x$ se da a continuación. La gráfica de$\log_q x\text{,}$ para cualquiera$q \gt 1\text{,}$ es similar.