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A.7: Notación del sistema de coordenadas ISO

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    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    En este texto hemos elegido símbolos para las diversas coordenadas polares, cilíndricas y esféricas que son estándar para las matemáticas. Hay otro, diferente, conjunto de símbolos que se utilizan comúnmente en las ciencias físicas y la ingeniería. En efecto, existe una convención internacional, llamada ISO 80000-2, que especifica esos símbolos 1. En este apéndice, resumimos las definiciones y propiedades estándar de los sistemas de coordenadas polares, cilíndricos y esféricos utilizando los símbolos ISO.

    A.7.1 Coordenadas polares

    En la convención ISO los símbolos\(\rho\) y\(\phi\) se utilizan (en lugar de\(r\) y\(\theta\)) para coordenadas polares.

    \[\begin{align*} \rho&=\text{ the distance from }(0,0)\text{ to }(x,y)\\ \phi&=\text{ the (counter-clockwise) angle between the $x$-axis }\\ & \qquad \text{ and the line joining $(x,y)$ to $(0,0)$} \end{align*}\]

    ISOpolar.svg

    Las coordenadas cartesianas y polares están relacionadas por

    \[\begin{align*} x&=\rho\cos\phi & y&=\rho\sin\phi \\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} \end{align*}\]

    Las dos figuras siguientes muestran una serie de líneas de constante a\(\phi\text{,}\) la izquierda, y curvas de constante a\(\rho\text{,}\) la derecha.

    ISOpolarTh.svgISOpolarR.svg

    Tenga en cuenta que el ángulo polar solo\(\phi\) se define hasta múltiplos enteros de\(2\pi\text{.}\) Por ejemplo, el punto\((1,0)\) en el\(x\) eje -podría tener\(\phi=0\text{,}\) pero también podría tener\(\phi=2\pi\) o\(\phi=4\pi\text{.}\) A veces es conveniente asignar valores\(\phi\) negativos. Cuando\(\phi\lt 0\text{,}\) el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj\(\phi\) se refiere al ángulo de las agujas del reloj\(|\phi|\text{.}\) Por ejemplo, el punto\((0,-1)\) en el\(y\) eje negativo puede tener\(\phi=-\frac{\pi}{2}\) y también puede tener\(\phi=\frac{3\pi}{2}\text{.}\)

    ISOpolarNegTh.svg

    También a veces es conveniente extender las definiciones anteriores diciendo eso\(x=\rho\cos\phi\) e\(y=\rho\sin\phi\) incluso cuando\(\rho\) es negativo. Por ejemplo, la siguiente figura muestra\((x,y)\) para\(\rho=1\text{,}\)\(\phi=\frac{\pi}{4}\) y para\(\rho=-1\text{,}\)\(\phi=\frac{\pi}{4}\text{.}\)

    ISOpolarNeg.svg

    Ambos puntos se encuentran en la línea a través del origen que hace un ángulo de\(45^\circ\) con el\(x\) eje y ambos están a una distancia uno del origen. Pero están en lados opuestos del origen.

    El elemento de área en coordenadas polares es

    \[ \mathrm{d}A = \rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi \nonumber \]

    ISOpolarA.svg

    A.7.2 Coordenadas cilíndricas

    En la convención ISO los símbolos\(\rho\text{,}\)\(\phi\) y\(z\) se utilizan (en lugar de\(r\text{,}\)\(\theta\) y\(z\)) para coordenadas cilíndricas.

    \[\begin{align*} \rho&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,0)\\ \phi&=\text{ angle between the the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$}\\ z&=\text{ signed distance from }(x,y,z) \text{ to the $xy$-plane} \end{align*}\]

    ISOcyl1.svg

    Las coordenadas cartesianas y cilíndricas están relacionadas por

    \[\begin{align*} x&=\rho\cos\phi & y&=\rho\sin\phi & z&=z\\ \rho&=\sqrt{x^2+y^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} & z&=z \end{align*}\]

    Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,\(\rho\text{,}\) una superficie de constante\(\phi\text{,}\) y una superficie de constante\(z\text{.}\)

    ISOcyl3.svgISOcyl4.svgISOcyl2.svg

    Finalmente aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen\(\mathrm{d}V\) en coordenadas cilíndricas.

    ISOcyl5.svg

    A.7.3 Coordenadas esféricas

    En la convención ISO los símbolos\(r\) (en lugar de\(\rho\)),\(\phi\) (en lugar de\(\theta\)) y\(\theta\) (en lugar de\(\phi\)) se utilizan para coordenadas esféricas.

    \[\begin{align*} r&=\text{ distance from }(0,0,0)\text{ to }(x,y,z)\\ \theta&=\text{ angle between the $z$ axis and the line joining $(x,y,z)$ to $(0,0,0)$}\\ \phi&=\text{ angle between the $x$ axis and the line joining $(x,y,0)$ to $(0,0,0)$} \end{align*}\]

    ISOspherical.svg

    Aquí hay dos figuras más dando las vistas laterales y superiores de la figura anterior.

    ISOsphericalSide.svgISOsphericalTop.svg

    Las coordenadas cartesianas y esféricas están relacionadas por

    \[\begin{align*} x&=r\sin\theta\cos\phi & y&=r\sin\theta\sin\phi & z&=r\cos\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2+z^2} & \phi&=\arctan\frac{y}{x} & \theta&=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \end{align*}\]

    Aquí hay tres figuras que muestran una superficie de constante,\(r\text{,}\) una superficie de constante\(\phi\text{,}\) y una superficie de constante\(\theta\text{.}\)

    ISOspher2.svgISOspher3.svgISOspher4.svg

    Finalmente, aquí hay una figura que muestra el elemento de volumen\(\mathrm{d}V\) en coordenadas esféricas

    ISOspher5.svg

    y dos extractos de la figura anterior para que sea más fácil ver cómo\(r\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\) surgen los factores\(r\ \mathrm{d}{\theta} \) y.

     

    1. Especifica más que solo esos símbolos. Consulte https://en.Wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 y https://en.Wikipedia.org/wiki/ISO/IEC_80000 La ISO completa 80000-2 está disponible en https://www.iso.org/standard/64973.html.

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