A.8: Secciones Cónicas y Superficies Cuádricas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Una sección cónica es la curva de intersección de un cono y un plano que no pasa por el vértice del cono. Esto se ilustra en las siguientes figuras.

$conePlaneCircle.svg$ $conePlaneEllipse.svg$ $conePlaneParabola.svg$ $conePlaneHyperbola.svg$

Una definición equivalente ¹ (y de uso frecuente) es que una sección cónica es el conjunto de todos los puntos en el$xy$ plano que obedecen$Q(x,y)=0$ con

\[ Q(x,y) = Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F =0 \nonumber \]

siendo un polinomio de grado dos ². Al rotar y traducir nuestro sistema de coordenadas, la ecuación de la sección cónica se puede llevar a una de las formas ³

Esta afirmación puede justificarse utilizando un análisis de álgebra lineal de valores propios y vectores propios. Está más allá de lo que podemos cubrir aquí, pero no es demasiado difícil para un curso de álgeba lineal estándar.

$\alpha x^2 + \beta y^2 =\gamma $con$\alpha ,\beta,\gamma \gt 0\text{,}$ el que es una elipse (o un círculo),
$\alpha x^2 - \beta y^2 =\gamma $con$\alpha ,\beta \gt 0\text{,}$$\gamma \ne0\text{,}$ la que se encuentra una hipérbola,
$x^2 = \delta y\text{,}$con$\delta\ne 0$ lo que es una parábola.

Los análogos tridimensionales de secciones cónicas, superficies en tres dimensiones dadas por ecuaciones cuadráticas, se denominan cuadricos. Un ejemplo es la esfera

\[x^2+y^2+z^2=1. \nonumber\]

Aquí hay algunas tablas que dan todas las superficies cuádricas.

Figura A.8.1. Tabla de secciones cónicas
nombre	cilindro elíptico	cilindro parabólico	cilindro hiperbólico	esfera
ecuación en forma estándar	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$y=ax^2$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$x^2\!+\!y^2\!+\!z^2=r^2$
$x=$sección transversal constante	dos líneas	una línea	dos líneas	círculo
$y=$sección transversal constante	dos líneas	dos líneas	dos líneas	círculo
$z=$sección transversal constante	elipse	parábola	hipérbola	círculo
bosquejo	$cylinder.svg$	$parabolic_cylinder.svg$	$hyperbolic_cylinder.svg$	$sphere.svg$

Figura A.8.2. Tabla de superficies cuádricas-1
nombre	elipsoide	paraboloide elíptico	cono elíptico
ecuación en forma estándar	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$
$x=$sección transversal constante	elipse	parábola	dos líneas si$x=0\text{,}$ hipérbola si$x\ne 0$
$y=$sección transversal constante	elipse	parábola	dos líneas si$y=0\text{,}$ hipérbola si$y\ne 0$
$z=$sección transversal constante	elipse	elipse	elipse
bosquejo	$ellipsoid.svg$	$elliptic_paraboloid.svg$	$cone.svg$

Figura A.8.3. Tabla de superficies cuádricas-2
nombre	hiperboloide de una hoja	hiperboloide de dos hojas	paraboloide hiperbólico
ecuación en forma estándar	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$	$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}$
$x=$sección transversal constante	hipérbola	hipérbola	parábola
$y=$sección transversal constante	hipérbola	hipérbola	parábola
$z=$sección transversal constante	elipse	elipse	dos líneas si$z=0\text{,}$ hipérbola si$z\ne 0$
bosquejo	$hyperboloid1.svg$	$hyperboloid2.svg$	$hyperbolic_paraboloid.svg$

Está fuera de nuestro alcance probar esta equivalencia. Técnicamente, también debemos exigir que las constantes$A\text{,}$$B\text{,}$$C\text{,}$$D\text{,}$$E\text{,}$$F\text{,}$ sean números reales, que no$A\text{,}$$B\text{,}$$C$ sean todos cero, que$Q(x,y)=0$ tenga más de una solución real, y que el polinomio no pueda ser factorizado en el producto de dos polinomios de grado uno.

nombre	cilindro elíptico	cilindro parabólico	cilindro hiperbólico	esfera
ecuación en forma estándar	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)	\(y=ax^2\)	\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)	\(x^2\!+\!y^2\!+\!z^2=r^2\)
\(x=\)sección transversal constante	dos líneas	una línea	dos líneas	círculo
\(y=\)sección transversal constante	dos líneas	dos líneas	dos líneas	círculo
\(z=\)sección transversal constante	elipse	parábola	hipérbola	círculo
bosquejo	$cylinder.svg$	$parabolic_cylinder.svg$	$hyperbolic_cylinder.svg$	$sphere.svg$

nombre	elipsoide	paraboloide elíptico	cono elíptico
ecuación en forma estándar	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z}{c}\)	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}\)
\(x=\)sección transversal constante	elipse	parábola	dos líneas si\(x=0\text{,}\) hipérbola si\(x\ne 0\)
\(y=\)sección transversal constante	elipse	parábola	dos líneas si\(y=0\text{,}\) hipérbola si\(y\ne 0\)
\(z=\)sección transversal constante	elipse	elipse	elipse
bosquejo	$ellipsoid.svg$	$elliptic_paraboloid.svg$	$cone.svg$

nombre	hiperboloide de una hoja	hiperboloide de dos hojas	paraboloide hiperbólico
ecuación en forma estándar	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\)	\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1\)	\(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=\frac{z}{c}\)
\(x=\)sección transversal constante	hipérbola	hipérbola	parábola
\(y=\)sección transversal constante	hipérbola	hipérbola	parábola
\(z=\)sección transversal constante	elipse	elipse	dos líneas si\(z=0\text{,}\) hipérbola si\(z\ne 0\)
bosquejo	$hyperboloid1.svg$	$hyperboloid2.svg$	$hyperbolic_paraboloid.svg$